PAGE8PAGE7在MFDMA的基礎上用赫斯特指數作為關鍵特征分析ECG信號的方法摘要多重分形譜反映了ECG信號生物醫學時間序列分形結構的變化和生物機體長時演化過程。ECG信號節拍間隔的多重分形結構可以識別人類心臟的病理狀況，處理ECG信號單分形信號和多分形信號在相同的放大比例下，基于MFDFA多重去趨勢分形的方法用赫斯特指數作為關鍵特征的分析生物醫學心電ECG信號,在大的縮放范圍內運行MFDFA來檢查尺度不變性的存在，利用MFDFA內消除接近零的局部波動，仿真實驗驗證了該方法對生物醫學ECG信號的有效性。關鍵詞多重分;ECG信號;赫斯特指數 AmethodforanalyzingECGsignalsusingtheHurstexponentasakeyfeaturebasedonMFDMAAbstractMultifractalreflectsthechangesinthefractalstructureofECGbiomedicaltimeseriessignalsandthelong-termevolutionofbiologicalorganisms.ThemultifractalstructureoftheECGsignalbeatintervalcanidentifythepathologicalconditionofthehumanheart.SinglefractalandmultifractalsignalofECGsignalareprocessedatthesamemagnificationratio.AmethodbasedonMFDMAmultipledetrendedfractalanalysisusingtheHurstexponentasakeyfeaturetoanalyzebiomedicalECGsignals.RunningMFDFAalgorithmanalysisbiomedicalECGsignalsinalargescaletochecktheexistenceofScale-free,usingtheMFDFAtoeliminatelocalfluctuationsclosetozero,simulationexperimentsverifytheeffectivenessofthemethodforECG.KeywordsMultifractal,ECGsignal,Hurstindex0引言Mandelbrot將分形(fractal)[2]在上世紀70年代正式引入學術界,分形的原意是指破碎的、支離的,現在常用于描述物質表面的粗糙程度。比如測量海岸線長度，我們就不能用規則圖形測量的線性方法處理。在不同的領域的非線性對象通常有很大的差異,亟需非線性工具來處理這些不規則甚至是支離破碎的圖形集合,因此研究非線性系統的分形理論由此而誕生。用于描述非線性對象粗糙程度的特征量是維數，豪斯多夫分形維數[3]概念最早是由豪斯多夫提出的，他將線性系統的位置參數（用來描述空間某一點坐標的空間位置系數）從整數擴展到了實數，他認為非線性對象的維數有可能是分數。而多重分形是分形理論的進一步補充，因為自然界很多物體是非線性的，用分形理論的—個分數維數來刻畫和描述物體是不夠準確的,自然界的非線性對象,在不同的局部區域可能具有不同的維數，那么在不同局部區域的分形特征同時計算出才能全面地描述其特征。全面刻畫非線性對象的分形測度在某種支撐下的分布情況就稱為多重分形。心臟病是嚴重威脅人類健康的疾病，ECG信號是診斷心臟病的重要判據。ECG監視儀是從體表記錄心臟每一心動周期所產生的電活動變化圖形的技術，心臟的心機細胞充電放電的過程反映了心臟心房心室極化和除極及復極的過程，心房的除極在體表上反映為P波，而心室的除極在體表表現為QRS波。心臟是一個立體的物體，如果全面反映心臟整體的電活動，需要在體表安放12個電極，通過導聯線與心電圖機電流計的正負極相連，記錄心臟的電活動，通過這12個電極反應心臟不同部位的電活動并采集體表的導聯出的電信號，可以映射出心臟的健康或疾病狀態。早期分析它是由診斷醫生完成的，隨著計算機技術的發展，數字濾波器技術濾除噪聲，傅里葉頻譜分析、神經網絡等分析輔助技術使ECG心電信號分析越來越自動化。ECG心電信號是非線性的[1]，大量實驗觀察ECG信號也具有分形特征，分形理論是研究非線性對象的一種數學方法，分形分析是生物醫學信號處理中進行預警和診斷工具[7]。本文用多重分形理論去研究ECG信號,得出相應結論。1豪斯多夫維數和多重分形概念及分形分析方法1.1豪斯多夫分數維數[4]對于歐氏空間中的一個點，如果需要幾個獨立坐標來確定其位置，則該空間被稱為幾個維度的空間。將此概念擴展到對象和幾何，以確定所需的獨立坐標的數量，即對象或幾何的維數，此維數是經典維數，稱歐幾里德維數[2]。擴展歐幾里得維的概念，假設存在一維客體線段，其長度為L,現用半徑為r的線段作為單位去度量線段（即測量在L中含有多少個長度為2r的線段），度量結果為N，由于N與r有關，故記(1)將此式變形進一步寫為(2)對于二維客體圓，將面積設置為S，現用半徑是r圓的面積作為單位去度量，度量的結果為N(r)。同理則有(3)對于三維球，將單位體積設置為V，查看具有半徑為r的多少個單位球，度量的結果為N(r)。(4)結合上述一維，二維，三維情形，定義Hausdorff維數(5)根據公式5，計算得出分數維數，由此定義的維度自然擴展為分數（可以是整數或非整數），可用于定量刻畫非線性對象的分形[2]。Hausdorff[4]分數維數還可以用統計隱含方法估計。下面通過一個例子說明豪斯多夫分數維數的性質：將一個單位立方體等分成邊長為1/3的27個小立方體，去掉各面中心的6個小立方體以及正中心的那個小立方體，保留剩下的小立方，不斷重復這個過程，最后得到的圖形就是menger海綿，它的分維數(6)menger海綿可以用來作為模擬巖石結構的數學模型，從表觀上看，海綿立方塊是一個立方體，是3維的，但是它是以某一種構造為基礎反復迭代而形成的許多空洞的高度無序結構，假定最初單位立方體的密度,不難得出n次迭代后的生成海綿的平均密度是：(7)當這表明menger海綿的質量（體積）為0，在一定壓力下它能壓實在一個平面上，這時它就是2維的，這說明表觀上看上去充實的立方體實際上是部分充實的3維結構，其真實的維數是大于2小于3的，所以經典的幾何的整數維只能反映物體的表觀，分形維數可以刻畫物體的內在特性。上面的方法其實也是粗判分形維數的方法之一。Hausdorff豪斯多夫分數維數的性質1)Hausdorff豪斯多夫分數維數是基于測度的度量，是刻畫復雜對象的數學工具之一，它和歐式維數的有關，一維用一維的豪斯多夫，二維用豪斯多夫二維，同理，推廣N維，用來刻畫非線性對象的粗糙程度。2)豪斯多夫維數的變化結果是復雜對象事物之間相互作用的動力學演化的結果，是分形元相互作用、反饋和迭代的結果。3)分形維數具有刻畫物體的內部獨有屬性的作用。1.2多重分形對于多重分形頻譜的計算主要是估算法,將研究的對象均勻的分成n個互不相交的小區域,設第i個小區域的長度大小為Li,對于概率P在這一段小區域的生長概率為Pi,很明顯對于不同的小區域有著不同的生長概率,其變化規律可n用標度指數Hi來表征。份數i變大,線度L將趨于零,兩邊取對數得到極限(8)將式子兩邊各自取q次方再求和得到(9)(10)由多重分形譜的計算方法與分形維數的定義相比較多重分是計算由具有標度指數Hi的集合所組成的并集的分形維數,稱為多重分形譜。一個復雜的分形體,它的內部是由一系列不同a值的集合所構成的。是多重分形維數它近似的可以單分形維數在各個區域的和。1.3基于多重分形去趨勢波動方法在現實生活中,很多自然對象都具有自相似性或半相似性,他們不僅具有分形結構可能還具有多重分形結構,因此,這種情況下僅僅利用分形方法進行分析是不夠的。分形理論所擴展得到的去趨勢波動分析法(MFA)己被廣泛用于揭示現實對象的多重分形性質。生物醫學信號的結構特征通常是明顯的，但不能通過傳統測量如信號的平均幅度來捕捉。來自各種生理現象的生物醫學信號具有尺度不變的結構。當結構在信號的子間隔上重復時，生物醫學信號具有尺度不變結構。分形分析估計冪律指數H，它定義了生物醫學信號的特定種類的尺度不變結構。分形分析經常用于生物醫學信號處理，以定義ECG，EEG，MR和X射線圖像中的尺度不變結構（參見Lopes和Betrouni，2009）。神經元放電的間諜間隔，人類行走的跨步間隔，人類呼吸的間隔間隔和人類心臟的間隔間隔的尺度不變結構在健康和病理條件之間存在差異（例如，Ivanov等，1999;Peng等，2002;Zheng等，2005;Hausdorff，2007），以及不同類型的病理條件之間（例如，Wang等，2007）[7]。在經典的多重分形分析理論中,多重分形頻譜是一個重要的指標。常是用來描述對象的奇異性粗糙程度。基于MFA多重分形理論2002年kantelhardt提出了一種新的技術多重分形去除趨勢波動分析(MFDFA)[7]用來描述研究對象的多重分形性質,相對于標準的多重分形方法比較其優勢主要在處理非平穩的對象能夠展現更好的處理能力。基于MFDMA的方法,是用MF-DMA方法對信號提取局部Hurst指數刻畫分形領域的波動情況。2ECG信號的多重分形分析2.1ECG信號圖1典型ECG波形圖及QT間期標注圖Fig1.ECGwaveandQTannotation典型的ECG波形圖如圖1。QT間期是指ECG信號從QRS波開始到T波結束的這段時間，QTc是正確的QT間期基于心率。RR是指一個心跳周期。分析ECG信號，需要計算心率HR及間期QT的值，這要從Holter記錄即無標注的心跳周期一個周期一個周期標注（即標注每一跳的每一個導聯的心電記錄），心電圖標注工作從Q波開始R和T，到合并所有導聯到單個列表保存每一心跳RR值及QT間期最壞的可能值。從ECG波形觀察可以看出ECG波形具有自相似多重分形結構[7]。ECG信號是自相似的（如圖2所示），統計自相似性的其他例子存在于制圖學（海岸線的測量），計算機圖形學（山脈和丘陵的模擬），生物學和醫學(菌落的邊界的測量、神經元生長的測量)中，這些例子中的對象都有長程依賴性[1],局部細小變化關聯整體對象長期性質。ECG信號還表現出長期依賴性，長程依賴與長記憶過程相同。事實上，自然界對長程依賴的偏好已在水文學，氣象學和地球物理學中得到充分證明[7]。2.2ECG信號分析所需參數赫斯特指數估計是分析金融和生物醫療等領域常用的參數。赫斯特指數[7]最初是在水文學中發展起來的，用于研究長程依賴特性和光譜。赫斯特指數與“分形維數”直接相關，“分形維數”給出了表面粗糙度的度量及自相似特性。分形維數Df與赫斯特指數Ht，則他們之間的關系Df=2–Ht。換句話說，分形維數與統計上自相似數據集的Hurst指數直接相關。一個小的赫斯特指數具有更高的分形維數和更粗糙的表面。較大的Hurst指數具有較小的分數維度和較光滑的表面。如圖3所示。對生物醫學時間序列變化的常規分析是將平均變化計算為計算ECG信號的最小均方根RMS。赫斯特指數通過局部波動的總RMS，隨著段樣本大小的增加而增長的速度來定義ECG信號時間序列的單分形結構。估計數據集的不同Hurst指數可以衡量數據是純白噪聲隨機過程還是具有潛在趨勢，則可以用多重分形來研究，如果數據集具有潛在的趨勢則數據集具有某種程度的自相關性，當自相關具有非常長的（或數學無限的）衰變時，這個過程被稱為長程記憶。假設ECG信號是純粹的白噪聲，ECG信號會顯示長程記憶的Hurst指數統計特征。按照純粹的白噪聲隨機過程思路，它的分布可能是泊松（Poisson分布）。事實證明，ECG信號的假設隨機模型似乎是錯誤的。ECG信號可由顯示非隨機Hurst指數的過程建模。一般來說，赫斯特指數將在-1和1之間，時間序列具有長程依賴（即相關）結構，更細解釋當Hurst指數接近0.5時，時間序列在特殊情況下具有獨立或短程相關結構，而單分形和多重分形具有長程依賴結構時，Hurst指數在0.7和0.8之間。讀者應該注意到，對于某些縮放范圍，短程相關過程可以圖6中的尺度不變性（參見Gao等人，2006）[6]。隨機的布朗運動也可以從赫斯特指數生成。像隨機白噪聲有時也被稱為分數布朗運動[7]。部分的布朗運動可以通過各種方法生成，包括使用傅立葉變換或小波變換的頻譜合成。3實驗和討論仿真實驗使用Matlab編程實現，實驗數據是來自美國心臟病挑戰項目采集的數據集，數據集由RiverCityECGCollectionServiceUSA完成[5]。記錄的是受試者在感到眩暈后記錄的2分鐘的ECG信號，在實驗得出的圖中被標記為ECGL3，在多重分形分析MFDFA方法里做多重分形數據。ECGL4是正常人的ECG信號，在MFDFA方法里做單分形數據，實驗中做了放大處理，以便與ECG信號做對比。實驗結論由第四部分給出。圖2ECG時間序列L3（上圖），L4（中圖）和白噪聲（下圖）顯示為藍色跡線。Fig.2TheECGtimeseriesL3(upperpanel),L4(middlepanel),andwhitenoise(lowerpanel).本文中使用所有ECG信號時間序列包含8000個數據樣本（如圖2所示）。圖2所示上部紅色跡線使用Matlab代碼轉換為隨機行走[10]（紅色具有畫中畫相似性的痕跡，如圖2的方框子圖所示）圖2所示中部黑色跡線使用Matlab代碼轉換為隨機行走[11]（（如圖2的中部所示）。請注意圖2所示ECGL3和ECGL4具有不同的周期，與白色噪聲時間序列相比具有大的波動。如圖2所示利用多重分形MFDFA方法，量化ECG信號波動較大的時期內波動的結構。圖3ECGL3時間序列（上圖），ECGL4（中圖）和白噪聲（下圖）具有零平均值（黑色虛線）和±1RMS（黑色實線）。Fig3.TheECGL3timeseries(upperpanel),ECGL4(middlepanel),andwhitenoise(lowerpanel)withzeroaverage(blackdashedlines)and±1RMS(blacksolidlines).圖3所示的所有ECG信號時間序列都相同RMS=1，但結構完全不同。從圖3中可以看出RMS僅對變化幅度的差異敏感，而不是變化結構的差異敏感。圖4整體RMS與段樣本大小的關系曲線（F和標度是對數坐標）。Fig4.TheplotofoverallRMSversusthesegmentsamplesize.圖4所示尺度不變關系由回歸線的斜率(slope)H表示。斜率H是冪律指數稱為Hurst指數[12]。與較大尺度上整體RMS的較大幅度所表示的白色噪聲相比，圖4所示ECG信號的單分形和多重分形時間序列斜率分別等于0.77和0.73與白色噪聲斜率等于0.45相比具有更明顯的緩慢波動。圖5局部波動RMS（藍線）總RMS（紅線）Fig5Thelocalfluctuations-RMS{ns}(bluelines)andtheoverallRMS(redline).圖5所示在不同標度(1024、512、256、128、64、32、16)下ECG信號的局部波動具有多個分段大小的分段的局部波動特性，從圖5所示的Scale=16可以看出局部信號有明顯的自相關的波動性質。圖6(A)ECGL3,ECGL4白色噪聲時間序列（上圖）及其局部Hurst指數Ht。（B）ECGL3與ECGL4和白色噪聲局部Hurst指數Ht的概率分布Ph直方圖。（C）相同時間序列的分布Ph估計的ECGL3譜[12]Dh。Fig6(A)TheECGL3,ECGL4andwhitenoisetimeseries(upperpanel)andtheirlocalHurstexponents.(B)TheprobabilitydistributionPhofthelocalHurstexponentsHtestimatedashistogramsfortheECGL3,ECGL4andwhitenoisetimeseries.(C)TheECGL3spectrumDhestimatedfromdistributionPhforthesametimeseries.圖6所示ECGL3與ECGL4和白色噪聲時間序列相比，ECGL3時間序列在局部Hurst指數Ht中具有更大的變化。在ECGL3和ECGL4時間序列(圖6中紅色和藍色的線)中具有最小幅度的局部波動的周期內包含最大Htmin指數（參見紅色虛線之間的周期中的Htmin），而具有最大幅度的局部波動的周期包含最小的Htmax指數（參見黑色虛線之間的周期中的Htmax）。與ECGL3和L4與白色時間序列相比，Hurst指數概率分布Ph和多重分形譜Dh對于多重分形時間序列具有更大的寬度。因此，從圖6中得出結論：多重分形譜Dh與ECG時間序列的局部分形結構的分布Ph直接相關。從圖6中的(B)子圖看出ECG時間序列的局部尺度不變結構，分布Ph是相同的，ECGL4的Ph在1-1.4，ECGL3的Ph在1.2-1.6從傳統概率分布是時間序列的局部幅度知識中我們也可以直觀得到多重分形的Hurst指數概率分布比單分形Hurst指數概率分布要大。所以，從圖6得出生理系統的當前狀態與影響時間序列的局部尺度不變結構的過去和未來狀態相關[13][14]。進一步說，Hurst指數分布Ph和ECG時間序列的多重分形譜Dh可能反映了生理過程自我調節的重要特性[15][16]。圖7q階RMS-Fq指數圖和對應的回歸線ECGL3時間序列和ECGL4和白色噪聲q階RMS-Fq指數圖（A）縮放函數Fq（藍+玫紅色心點）和對應的回歸斜率Hq（藍色虛線）是q依賴的。（B，C）縮放函數Fq（紅色和綠松石色點）和回歸斜率Hq（肉粉色）是q獨立的。（D）ECGL3時間序列（玫紅色軌跡），ECGL4（紅色軌跡）和白噪聲（綠松石色軌跡）的q階Hurst指數Hq，其中彩色點表示q=-3，-1,1的斜率Hq。Fig7.q-orderRMSFqandcorrespondingregressionlineqRegLinecomputedbyMFDFAforECGL3andECGL4andwhitenoise.(A)ThescalingfunctionsFq(bluedots)andcorrespondingregressionslopesHq(bluedashedlines)areq-dependent.(B,C)ThescalingfunctionsFq(blackandturqouishdots)andregressionslopeHq(Fleshpinkdashedlines)areq-independent.(D)Theq-orderHurstexponentHqfortheECGL3(redtrace),ECGL4(roseredtrace)andwhitenoise(turqouishtrace),slopeHqofcolorpointq=-3，-1,1.圖7是去趨勢波動分析方法中的輸入參數q決定了局部波動RMS的q階權重，圖7中參數q是權重參數，q-階應該包括正q和負q，以便對一時間內大小變化的周期進行加權。q階Hurst指數Hq的計算精度隨著負q序和正q階的增加而減小。圖7中的結果解釋了這種q階Hurst指數隨權重q變化的不精確性，小段能夠區分具有大波動和小波動的局部周期（即分別為正和負q），因為小段嵌入在這些周期內，如圖7中的子圖D所示。從圖7的權重Hurst指數分析看，總的ECG信號跨越幾個局部時期，波動幅度小加上波動很大的，因此可以平均它們的幅度差異。因此，多重分形時間序列的q階Hurst指數做最小均方RMS后他們之間的關系變得類似于最大分段大小的單分形時間序列總和，如圖7中(A,B,D)子圖。4結論文章在MFDMA的基礎上提出用赫斯特指數作為關鍵特征的分析ECG信號的方法,從實驗中,我們得到如下主要的結論:多重分形譜反映了ECG信號生物醫學時間序列分形結構的變化。ECG信號節拍間隔的多重分形結構可以識別人類心臟的病理狀況（Ivanov等[8]，1999;Wang等[9]，2007）。MFDFA用于ECG時間序列時，最重要的是，首先，應采用單分形DFA來確保ECG時間序列具有類似噪聲的結構。其次，應在MFDFA內消除接近零的局部波動。第三，應首先通過在大的縮放范圍內運行MFDFA來檢查尺度不變性的存在。第四，ECG信號單分形信號和多分形信號要在相同的放大比例下使用MFDFA方法。從而驗證了該方法的有效性。參考文獻[1]Abbound,S.,Berenfeld,O.,andSadeh,D.Simulationofhigh-resolutionQRScomplexusingventricularmodelwithafractalconductionsystem.Effectsofischemiaonhigh-requencyQRSpotentials.Circ.Res.1991(68):1751–1760.[2]B.B.Mandelbrot,TheFractalGeometryofNature,W.H.Freeman,NewYork,1983.[3]K.Falconer,FractalGeometry:MathematicalFoundationsandApplications,seconded.,Wiley,2003.[4]Hausdorff,J.M.Gaitdynamics,fractalsandfalls:findingmeaninginthestride-to-stridefluctuationsofhumanwalking.Hum.Mov.Sci.2007(26),555–589.[5]JohnSmith,M.D.JMKClarkUSCardiacSafetyTrialforPUK-123CardiacSafetyProtocolforPUK-123ABCPharmaceuticalCompanyRiverCityClinicfortheCardiacChallengedUSAZZRiver[6]Gao,J.B.,Hu,J.,Tung,W.-W.,Cao,Y.H.,Sarshar,N.,andRoychowd-hury,V.P.Assessmentoflongrangecorrelationintimeseries:howtoavoidpitfalls.Phys.Rev.EStat.Nonlin.SoftMatterPhys.2006(73):016-17[7]EspenA.F.Ihlen.IntroductiontomultifractaldetrendedfluctuationanalysisinMatlab.fphys.METHODSARTICLE:2012(14).[8]Ivanov,P.C.,Amaral,L.A.N.,Gold-berger,A.L.,Havlin,S.,Rosen-blum,M.G.,Struzik,Z.,andStan-ley,H.Multifractalityinhumanheartbeatdynamics.Nature1999(399):461–465.[9]Wang,G.,Huang,H.,Xie,H.,Wang,Z.,andHu,X.M