中職數學拓展模塊全冊教案

目錄

1.1.1.1兩角和與差的余弦公式................................1

1.1.1.2兩角和與差的正弦公式................................6

1.1.2二倍角公式.........................................10

1.2正弦型函數...........................................16

L3.1余弦定理............................................22

1.3.2正弦定理...........................................27

2.1.1橢圓的標準方程......................................32

2.1.2橢圓的幾何性質......................................40

2.2.1雙曲線的標準方程....................................45

2.2.2雙曲線的幾何性質....................................52

2.3.1拋物線的標準方程....................................61

2.3.2拋物線的性質........................................69

3.1.1排歹U.............................................................................................................................75

3.1.2組合...............................................82

3.1.3二項式定理..........................................88

3.2.1離散型隨機變量及其分布..............................95

3.2.2二項分布...........................................102

課時教學設計首頁（試用）

授課時間：年月

日

第H

課題LLL1兩角和與差的余弦公式課型新授1?2

課

時

教理解兩角和與差的余弦公式；

學

目通過三角計算的學習，培養學生的計算技能與計算工具使

標

<三用技能.

的

教學重點：

教學

兩角差的余弦公式

重點

與

教學難點：

難點

公式的推導和運用

教學

方法

講練結合

與

手段

使利用向量論證兩角差的余弦的公式，使得公式推導過程簡捷.正確

用

教

理解向量數量積的兩種方法是理解公式推導過程的關鍵.授課前，讓學

材

的

構生先復習向量的有關知識.這個公式是推導后面各公式的基礎，教學重

想

點放在對公式形式特點的認識和對公式正向與反向的應用上.

太原市教研科研中心研制

第1頁

課時教學流程

☆補充設計☆

教師行為學生行為設計意圖

導入：

創設情境興趣導入1、回顧三角函數相關知識

2、復習向量的有關知識

問題:我們知道,cos60。=Leos30。=正，

3、學生計算三角函數值并驗

22

證猜想

顯然

cos(60°-30°)wcos600-cos30°.思考：如何計算出

cos--Q))的值?

由此可知cos(a-夕)。cosa-cos/7.

新課：

動腦思考探索新知

在單位圓(如上圖)中，設向量。4、

OB與x軸正半軸的夾角分別為a和4，

則點A的坐標為(cosor,sina)，點8的坐

標為(cos/7,sin/?).

因此向量O,=(cosa,sina),向量回顧向量的坐標運算、數量

積運算

OB=(cos/7,sin/?),且OA=1,Qq=1.

于是

OAOB=|tZ4||oB|cos(a-/7)=cos(a-)0),又

0A0B=cosa-cosy?+sina-sin,

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第2頁

課時教學流程

所以cos(a-夕)=cosa-cos￡+sina-sin夕.(1)

又cos(a+y?)=cos[a-(-/?)]

=cosa-cos(-￡)+sina?sin(-/?)

=cosa-cos尸一sina-sinp.總結公式：

(2)利用誘導公式可以證明，(1)、(2)cos(a+夕)=cosa?cos夕一sina?sinp

兩式對任意角都成立.由此得到兩角和與

cos(a一儀二cosa,cos夕+sina?sin夕，

差的余弦公式

cos(a=cosacos^-sina-sin(1.1)

cos(a-^)=cosa-cosy?+sina-sinp,(1.2)

公式(1.1)反映了a+夕的余弦函數與

a,/?的三角函數值之間的關系；公式

(1.2)反映了a-夕的余弦函數與a,p

的三角函數值之間的關系.

運用知識強化練習

鞏固知識典型例題

1.求cos105°的值.

例1求cos75。的值.

分析可利用公式(1.1),將75°角

看作45°角與30°角之和.

解cos750=cos(450+30°)

2.求cos15°的值.

=cos45°cos300-sin45°sin30°

夜6夜1A/6->/2

=--X--------X—=-------.

22224

,11

3.已矢口sina=1,sin尸=§,

例2設cosa=\,cos/y=q,并且a和

且a,力均為銳角，求

cos(a+0的值.

都是銳角，求COS(2+0的值.

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第3頁

課時教學流程

分析可以利用公式(1.1),但是需

要首先求出sina與sin/?的值.

解因為cosa=2,cos￡=&,并且a

55

和尸都是銳角，所以

sina=71-cos2a=g,

sin/?=Jl—cos2/?=[?

4.ti知sina二;,sin6=g,

因此cos(a+^?)=cosacos-sinasiny?,

且a,4均為銳角，求

3443c

=—x-------x—=0.

5555

cos(a+￡)的值.

小結：

兩角和與差的余弦公式

cos(cr+/?)=cosa?cosp一sina?sin/?

cos(?-/3)=cosa-cos/?+sincr-sin(3

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第4頁

課時教學設計首頁（試用）

授課時間：年月R

☆補充設計☆

板書設計

1、兩角差的余弦公式

cos(a-/7)=cosa-cos尸+sina?sin/3

2、兩角和的余弦公式

cos(a+萬)=cosa-cos/?-sina?sin(3

例題分析：

作業設計

P5練習1、4

教學后記

太原市教研科研中心研制

第5頁（總頁）

課時教學設計首頁（試用）

授課時間：年月日

課題1.1.1.2兩角和與差的正弦公式課型新授1?2

課

時

教理解兩角和與差的正弦公式；

學通過三角計算的學習，培養學生的計算技能與計算工具使用

目

標

（三技能

維）

教學重點：

教學

重點運用公式，進行簡單三角函數式的化簡及求值

與教學難點：

難點

運用公式，解決簡單三角函數式的化簡及求值問題

教學

方法

與講練結合法

手段

使公式sin（a+尸）的推導過程，首先反向應用結論cosg-a）=sina,然后再利用公式

用

教cos（a-￡）,最后整理得到公式.教學關鍵是引導學生將（a+Q）看做整體，這樣才能應用公式

材

cos（^-a）.反向使用公式，培養學生的逆向思維是數學課程教學的一項重要任務，要在不同

的

構的例題和不同知識層面的教學上引起足夠的重視.教學中要強調公式的特點，同時注重反向應

想用公式，通過具體例題的分析，使得學生明白正向和反向應用公式的原因，注重方法和思想的

教育.

太原市教研科研中心研制

第6頁（總頁）

課時教學流程

☆補充設計☆

教師行為學生行為設計意圖

導入：

*創設情境興趣導入

問題：cos[]一a)=?

師生共同推導證明

動腦思考探索新知

由于cos《-a)=sina對于任意角都成

立，所以

sin(a+P)=cos^-(a+S)=cos

=cos(T-a)?cosP+sin(^-a)?sin0

=sina?cos/?+cos2sin夕.

sin(a—萬)=sin[a+(-/7)]=sina?cos(-79)4cosasin（一/）

=sincr-cos0-coscr?sin尸.

由此得到，兩角和與差的正弦公式

sin(a+/7)=sina-cos+cosa-sin/3(1.3)

sin(a一夕)=sina-cos夕-cosa-sin夕(1.4)

運用知識強化練習

鞏固知識典型例題

1.求sin165。的值.

例1求sin15。的值.

分析可以利用公式(L4),將15°

角可以看作是60°角與45°角之差.

解sinl50=sin(60o-45°)

=sin60°cos45°-cos60°sin45°

G百i及

=--X------X---

2222

76-5/2

4

例2已知cosa=3,?！?-工,0),求

52

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第7頁（總頁）

課時教學流程

sin(a+工)的值.

6

解由于口￡(四,0),故

2

.1.21,f3Y4

sina=-v1-costz=-.1--=——，

V⑸5

所以

./兀、.7t.7T

sin(a+—)=sinacos—+cosasin—

6662.求sin255。的值.

,4、百31

5252

-46+3

一_10-

_3-46

10

例3求sinl0508s750+cosl050sin75°

的值.

分析所給的式子恰好是公式(13)

右邊的形式，可以考慮逆向使用公式.

解sin105°cos75°+cos105°sin75°

=sin(1050+75°)

3.求sin250cos85o-cos25°sin850的

=sinl80°=0.

值.

【小提示】

逆向使用公式是非常重要的，往往會帶來

新的思路，使問題的解決簡單化.

io

4.已知cosa=---，月,冗Va

13

小結：

<—,求sin(a-3)的值.

兩角和與差的余弦公式24

sin(a+^)=sina-cos^+cosa-sin/?(1.3)

sin(a-jff)=sina-cos/?-cosa-sinp(1.4)

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第8頁（總頁）

課時教學設計首頁（試用）

授課時間:年月R

☆補充設計☆

板書設計

1、兩角和與差的余弦公式例題分析：

2、兩角和與差的正弦公式

3.公式應用

作業設計

P71、2、

教學后記

太原市教研科研中心研制

第9頁（總頁）

課時教學設計首頁（試用）

授課時間：年月日

課題1.1.2二倍角公式課型新授船1?2

課

時

教了解二倍角公式

學

目通過三角計算的學習，培養學生的計算技能與計算工具使用技

標

1三能.

給

教學重點：

教學

運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡及求值

重點

與

教學難點：

難點

運用三角公式，解決簡單三角函數式的化簡及求值問題

教學

方法

類比教學法

與

手段

使

用

要明確二倍角的概念：是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等.二

教2aa3a2a4

22

材

倍角的實質是用一個角的三角函數表示這個角的二倍角的三角函數.要使學生從一開始就對二

的

倍角的含義有正確的認識.二倍角余弦的三種形式的公式同等重要，要分析這三種公式各自的

構

形式特點.

想

太原市教研科研中心研制

第10頁（總頁）

課時教學流程

%補充設計食

教師行為學生行為設計意圖■

導入：

動腦思考探索新知

師生共同推導：

在公式（1.3）中，令a=〃會得到什在公式（1.3）中，令&=夕則

sin2a=sinacosa+cosasina=2sinacosa

么結論呢？

即sin2a=2sinacosa

可以得到二倍角的正弦公式

sin2a=sinacosa+cosasina=2sinacosa?

即

sin2a=2sinacosa（1.5）

同理，公式（LI）中，令。=/，可

以得到二倍角的余弦公式

cos2a=cos2a-sin2a（1.6）

因為sin2a+cos2a=1,所以公式

（L6）又可以變形為

cos2a=2cos2a-l,

或cos2a=l-2sin2a.

還可以變形為

.a1-cos2a

sina=--------，

2

t21+cos2a

或cosa=--------?

2

公式（1.5）、（1.6）及其變形形式，

反映出具有二倍關系的角的三角函數之【小提示】

二倍角公式適用于所有具

間的關系.在三角的計算中有著廣泛的應

有二倍關系的角.如4a與2a,

用.a與色，區與4等.

224

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第11頁（總頁）

課時教學流程

鞏固知識典型例題

例1已知sinc=1,且a為第二象

限的角，求sin%、8s2a的值.

解因為a為第二象限的角，所以

cosa=-Vl-sin2a=-^1-(^)2=-^,運用知識強化練習

已知sina=』，且a為第一

故sin2a=2sinacosa------,13

象限的角，求sin2a、cos2a.

cos2a=l-2sin26Z=-?

例2已知cos2=」,且aw(兀,2%),

23

求sina、cos金?的值.

4

分析區與4與巳之間都是具

224

有二倍關系的角，故可以使用二倍角公式

來計算

解由二￡(兀,2兀)知應￡(工冗)，所以

22

.a12af―F2y/2

sin—=,/l-cos—=.1——=-----,

2V2V93

故

..aa2夜14丘

sincc=o2sin—cos—=2x------x(—)=--------?

22339

由于且

442

1+COSa14-(--)1

2a231

cos——=----------=--------=-

4223

所以

太原市教研科研中心研制

第12頁（總頁）

課時教學流程

aG

cos—=——.

43

例3已知sina=3,月.a為第二象

5

限的角，求sinZz、cos2a的值.

解因為a為第二象限的角，所以

cosof=-Vl-sin2a=-^1-）2=一2,

故sin2a=2sinacosa=--，

25

27

cos2<z=l-2sina=-?

25

例4已知cosq=」,且。€（兀,2兀）,

23

求sina、cos^的值.

4

分析區與區與區之間都是具

224

有二倍關系的角，故可以使用二倍角公式

來計算

解由aw（7r,2兀）知4僅工㈤，所以

22

.a12a[—r2y/2

sin—=,11-cos—=,/l——=------,

2V2V93

故

..aa2014血

sina=2sin—cos—=2x------x（—）=---------?

22339

由于@￡（之與,且

442

1+COSa1+（--）1

2

cos^=——2=—L=L所以

4223

aG

cos-=——.

43

【注意】

要用公式（1.6）及其變形公式求

三角函數的值時，經常需要進行開方運

算，因此，要首先確定角的范圍.

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第13頁（總頁）

課時教學流程

小結：

二倍角的正弦、余弦公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cosa-sina

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第14頁（總頁）

中職中專數學教學設計教案

☆補充設計☆

板書設計

1、二倍角的正弦公式例題分析：

2、二倍角的余弦公式

練習：

作業設計

P81、2、

教學后記

中職中專數學教學設計教案

第幾

課題1.2正弦型函數課型新授1-3

課時

課

時通過本節學習培養學生作圖像解決問題的能力；理解參數4）、3、A變化時對

教函數圖象形狀和位置的影響

學掌握五點作圖法做正弦型函數圖像的方法；通過正弦函數的圖像變換作出正弦

目型函數的圖像

標通過三角函數圖像變換的學習，培養學生對三角函數的學習興趣滲；透數形結

（三合的思想，讓學生理解動與靜的辯證關系，善于從運動的觀點觀察問題；

維）

教學重點：

教學五點作圖法做三角函數圖像

重點

與教學難點：

難點

由y=sinx的圖像怎樣變換得到y=Asin（/yx+e）的圖像

教學

方法

自主嘗試探究教學法

與

手段

使

用

教

本節課通過圖像變換，揭示參數6、3、4變化時對函數圖象形狀和位置的影

材

響，討論函數的圖象與正弦曲線的關系，以及6、3、4的物理意義，并通過圖

的

象的變換過程，進一步理解正、余函數的性質

構

想

中職中專數學教學設計教案

☆補充設計☆

教師活動學生活動設計意圖

一、課題引入復習回顧正弦函數

直接提出課題“函數y=Asin（5+°）的圖像”與圖像知識

二、知識回顧學生交流解決問題

出示函數丫=5而（提出問題：誰能快速做出它的圖像?的方法，調動學生學

三、講解新課習積極性，激發求知

1.振幅變換欲望。

函數的y=Asinx圖像與函數y=sinx的圖像的關系

例1.畫出函數y=2sinx和y=gsinx的圖像

X0兀713"2兀

T學生動手用“五點作

圖法”作出圖像

sinx010-10

2sinx020-20

1.0]_0]_0

—sinx

222

觀察函數的圖像與

y=sinx的圖像的關

系，然后總結出一般

情況

思考：如何由

引導學生觀察圖像

y=sinx

結論：一般的，函數y=Asinx,（xeR,A>0,471）的圖

的圖像得到

像，可以看作把正弦曲線上所有點的縱坐標伸長（A>1）y=3sinx的圖像

觀察函數的圖像與

或縮短（0<A<1）到原來的A倍而得到。

y=sinx的圖像的關

A叫做函數丁=Asinx的振幅，故這種變換叫做振幅變換系，然后總結出一般

情況

思考：如何由

中職中專數學教學設計教案

2.周期變換y=sinx

函數的圖像與函數的圖像的關系

y=sin<yxy=sinx的圖像得到

例2.畫出函數y=5皿2%和丁=5皿3》的圖像

y=sin3x的圖像

2x071713萬24

7T

X0717137171

7~T

sin2x010-10

10717137124

—x

27~T

X0712兀344乃

.10\_00

sin—x_1

222

結論：一般的，函數y=sin6yx,(xeR,0>O,。。1)的圖

像，可以看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短(3>1)

或伸長(0<口<1)到原來的工倍而得到。

(0

。決定函數y=Asinx的周期，故這種變換叫做周期變換

小結：以上兩種變換叫做伸縮變換，即

y=fix')—y=f(a>x),y=/(x)—y=Af(x)

3.相位變換

函數y=sin(x+°)的圖像與函數y=sinx的圖像的關系

例3.畫出函數丁=sin(x+工)和y=sin(x-工)的圖像

34

中職中專數學教學設計教案

問題：能否通過丁=5足8的圖像來得到？

TTJT學生思考回答：可通

/(x)=sinX-/(x+?=sin(x+-)

過平移變換得到

問題：如何由y=sin(x+—)的圖像得到y=sin(x-馬的圖

34

像？

結論：一般的，函數y=sin(x+°),(xeR,°HO)的圖像,

可以看作把正弦曲線上所有點的向左(°〉0)或向右

"<0)平移|尹|個單位而得到。。決定函數y=sin(x+0

的初相，故這種變換叫做相位變換

學生分成兩組思考

完成例題4,然后讓

例4.如何通過y=sinx的圖像得到y=sin(2x-g)的圖

學生總結

像？

y=sinx-千移.變y=sin(x-y)—周1期變換'>y-sin(2x-y)

y=sinx—抑網變［一>y=sin2x-乎移?變婢y=sin(2x-—)

中職中專數學教學設計教案

四、課堂練習

練習：用“五點作圖法”作出函數y=；sin(3x-?)的圖完成鞏固練習

像，并回答如何由y=sinx的圖像變換得到。

五、課堂小結

y=sinx-婀期變「fy-Asinx

y-si?nx―周?期產變空換一＞y=si?ncox

y=sinx相位,變、一＞y=sin(x+夕)

y=sinx-'小"變饞ry=Asin(cox+cp)

中職中專數學教學設計教案

☆補充設計☆

板書設計

函數y=Asin(s+°)的圖像

1.振幅變換例題分析：

2.周期變換

3.平移變換小結：

作業設計

習題1.2：1、2、3題（作業本上）

教學后記

中職中專數學教學設計教案

課題1.3.1余弦定理課型新授1-3

課

時

教

學理解余弦定理；

目通過應用舉例與數學知識的應用，培養學生分析問題和解決問題的能力

標

（三

維）

教學重點：

教學

余弦定理及其應用

重點

與

教學難點：

難點

余弦定理及其應用

教學

方法

講授法

與

手段

使

用

教教學中，不利用向量工具進行嚴格的證明，否則會增加難度，而是重在應用.例1是已知

材兩邊及夾角，求第三邊的示例，可以直接應用余弦定理；例2是己知三邊的長求最大角和最小

的角的示例.由于余弦函數在區間（0,兀）內是單調函數，所以知道余弦值求角時，沒有必要進行討

構論

想

中職中專數學教學設計教案

☆補充設計☆

教師行為學生行為設計意圖

一、復習

1、解直角三角形的知識

復習回顧

2、解斜三角形的思路

二、動腦思考探索新知

B

如圖1—8所示，在△48C中，:

BC=AC-AB,所以

BC?BC=(AC-AB)?(AC-AB)師生共同探討求證

?2-2-圖1一8

=AC+AB-2AC?AB

=AC'+|-2困網COSA

=b2+c2—2feccosA.

即a2=b2+c2-2hccosA.

同理可得b1=a2+c2-2accosB,

c2=a2+b2—2abeosC.

于是得到余弦定理：

三角形中任意一邊的平方等于其余

兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角余弦

乘積的兩倍.即

a2=b~+C1—2hccosA

h2=a2+c2-laccosB

c1=a1+h1—2abcosC

(1.8)

顯然，當C=90。時，有,2=42+〃.這

就是說，勾股定理是余弦定理的特例.

公式(1.8)經變形后可以寫成

中職中專數學教學設計教案

b,24,-c2-a2

cosA=----------思考：

2bc

a2+,c2,-2b利用余弦定理可以解決

cosB=----------

lac所有解斜三角形的問題嗎？

(1.9)

2

a+,b,2-c2

cosC=----------經過論證分析得出結論

2ab

利用余弦定理可以求解下列問題：

⑴已知三角形的兩邊和它們的夾

角，求第三邊和其他的兩個角.

(2)已知三角形的三邊，求三個角.

三、鞏固知識典型例題

例1在AABC中，A=60。，6=8,

c=3,求a.

分析這是已知三角形的兩邊和它

們的夾角，求第三邊的問題，可以直接應

用余弦定理.

解a2=b2+c2-2bccosA=

82+32-2X8X3XCOS60°=49,

所以a=7.

例2在AABC中，a=6,6=7,

c=10,求△ABC中的最大角和最小角(精

確到1。).

分析三角形中大邊對大角，小邊對

小角.

解由于aVbVc,所以C最大，A

最小，由公式(1.9),有

中職中專數學教學設計教案

CT+b2-c262+72-102練習

cosC=----------=------------X—0.1786,

2ab2x6x7

1.在△48C中，6=150°,

a=3后,c=2,求b.

所以C2100。，

>2,22,22

b+c-a7+1i0n-6r

cosA=----------=-------------

2bc2x7x10

?0.8071,

所以A?36°.2.在△48C中，三邊之比

a:b:c=3:5:7＞求三角形最大

內角.

四、小結：

余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2—2a匕cosC

利用余弦定理可以求解下列問題：

⑴已知三角形的兩邊和它們的夾

角，求第三邊和其他的兩個角.

(2)已知三角形的三邊，求三個角.

中職中專數學教學設計教案

☆補充設計☆

板書設計

1.3.1余弦定理

一、復習：正弦定理及可解決的兩類問題例題分析：

二、新課：

1、余弦定理

2、適用范圍（可解決的問題）

作業設計

P18練習1、2

教學后記

中職中專數學教學設計教案

課題1.3.2正弦定理課型新授1~3

課

時

教

學理解正弦定理；

目通過應用舉例與數學知識的應用，培養學生分析問題和解決問題的能力

標

（三

維）