云南省保山市云縣一中2025屆數學高一下期末達標檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．《算法統宗》是中國古代數學名著，由明代數學家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數學知識起到了很大的作用，是東方古代數學的名著，在這部著作中，許多數學問題都是以歌訣形式呈現的.“九兒問甲歌”就是其中一首:一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問小兒多少歲，各兒歲數要誰推，這位公公年齡最小的兒子年齡為（）A．8歲 B．11歲 C．20歲 D．35歲2．圓與直線的位置關系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能3．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．34．直線x+2y﹣3＝0與直線2x+ay﹣1＝0垂直，則a的值為（）A．﹣1 B．4 C．1 D．﹣45．圓心坐標為，半徑長為2的圓的標準方程是（）A． B．C． D．6．如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．．若且，直線不通過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限，8．以下現象是隨機現象的是A．標準大氣壓下，水加熱到100℃，必會沸騰B．長和寬分別為a，b的矩形，其面積為C．走到十字路口，遇到紅燈D．三角形內角和為180°9．對于數列，定義為數列的“好數”，已知某數列的“好數”，記數列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．10．袋中共有完全相同的4只小球，編號為1，2，3，4，現從中任取2只小球，則取出的2只球編號之和是偶數的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若角的終邊經過點，則___________.12．已知滿足約束條件，則的最大值為__13．已知圓錐如圖所示，底面半徑為，母線長為，則此圓錐的外接球的表面積為___．14．在中，角的對邊分別為，若，則角________.15．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），已知甲組數據的中位數為17，則x的值為_________.16．已知向量，向量，若與垂直，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某校從高一(1)班和(2)班的某次數學考試的成績中各隨機抽取了6份數學成績組成一個樣本,如莖葉圖所示(試卷滿分為100分)(1)試計算這12份成績的中位數；(2)用各班的樣本方差比較兩個班的數學學習水平,哪個班更穩定一些?18．已知函數（1）求函數的單調遞減區間；（2）在銳角中，若角，求的值域.19．設為數列的前項和，．（1）求證：數列是等比數列；（2）求證：．20．已知數列的前項和，且，數列滿足：對于任意，有.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的通項公式，若在數列的兩項之間都按照如下規則插入一些數后，構成新數列：和兩項之間插入個數，使這個數構成等差數列，求；（3）若不等式成立的自然數恰有個，求正整數的值．21．如圖，在三棱錐中，分別為棱上的中點.（1）求證：平面；（2）若平面，求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

九個兒子的年齡成等差數列，公差為1．【詳解】由題意九個兒子的年齡成等差數列，公差為1．記最小的兒子年齡為a1，則S9=9故選B．【點睛】本題考查等差數列的應用，解題關鍵正確理解題意，能用數列表示題意并求解．2、C【解析】

由直線方程可確定其恒過的定點，由點與圓的位置關系的判定方法知該定點在圓內，則可知直線與圓相交.【詳解】由得：直線恒過點在圓內部直線與圓相交故選：【點睛】本題考查直線與圓位置關系的判定，涉及到直線恒過定點的求解、點與圓的位置關系的判定，屬于?？碱}型.3、A【解析】

利用余弦定理推論得出a，b，c關系，在結合正弦定理邊角互換列出方程，解出結果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用．4、A【解析】

由兩直線垂直的條件，列出方程即可求解，得到答案．【詳解】由題意，直線與直線垂直，則滿足，解得，故選：A．【點睛】本題主要考查了兩直線位置關系的應用，其中解答中熟記兩直線垂直的條件是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．5、C【解析】

根據圓的標準方程的形式寫.【詳解】圓心為，半徑為2的圓的標準方程是.故選C.【點睛】本題考查了圓的標準方程，故選C.6、A【解析】

連結，由，可知異面直線與所成角是，分別求出，然后利用余弦定理可求出答案.【詳解】連結，因為，所以異面直線與所成角是，在中，，，，所以.故選A.【點睛】本題考查了異面直線的夾角，考查了利用余弦定理求角，考查了計算能力，屬于中檔題.7、D【解析】

因為且，所以，，又直線可化為，斜率為，在軸截距為，因此直線過一二三象限，不過第四象限.故選：D.8、C【解析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】A.標準大氣壓下，水加熱到100℃，必會沸騰,是必然事件；B.長和寬分別為a，b的矩形，其面積為，是必然事件；C.走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；D.三角形內角和為180°，是必然事件.故選C【點睛】本題主要考查必然事件、隨機事件的定義與判斷，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.9、B【解析】分析：由題意首先求得的通項公式，然后結合等差數列的性質得到關于k的不等式組，求解不等式組即可求得最終結果.詳解：由題意,，則，很明顯n?2時,，兩式作差可得：，則an=2(n+1),對a1也成立，故an=2(n+1)，則an?kn=(2?k)n+2，則數列{an?kn}為等差數列，故Sn?S6對任意的恒成立可化為：a6?6k?0,a7?7k?0；即，解得：.實數的取值范圍為.本題選擇B選項.點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.10、C【解析】

先求出在編號為1，2，3，4的小球中任取2只小球的不同取法，再求出取出的2只球編號之和是偶數的不同取法，然后求概率即可得解.【詳解】解：在編號為1，2，3，4的小球中任取2只小球，則有共6種取法，則取出的2只球編號之和是偶數的有共2種取法，即取出的2只球編號之和是偶數的概率為，故選：C.【點睛】本題考查了古典型概率公式，屬基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

直接根據任意角三角函數的定義求解，再利用兩角和的正切展開代入求解即可【詳解】由任意角三角函數的定義可得：．則故答案為3【點睛】本題主要考查了任意角三角函數的定義和兩角和的正切計算，熟記公式準確計算是關鍵，屬于基礎題．12、【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．【詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，化目標函數為，由圖可得，當直線過時，直線在軸上的截距最大，所以有最大值為．故答案為1．【點睛】本題主要考查簡單線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．13、【解析】

根據圓錐的底面和外接球的截面性質可得外接球的球心在上，再根據勾股定理可得求的半徑．【詳解】由圓錐的底面和外接球的截面性質可得外接球的球心在上，設球心為，球的半徑為，則，圓，因為,所以，所以，，則有.解得，則.【點睛】本題主要考查了幾何體的外接球，關鍵是會找到球心求出半徑，通常結合勾股定理求．屬于難題．14、【解析】

根據得，利用余弦定理即可得解.【詳解】由題：，，，由余弦定理可得：，.故答案為：【點睛】此題考查根據余弦定理求解三角形的內角，關鍵在于熟練掌握余弦定理公式，準確計算求解.15、【解析】

根據莖葉圖中數據和中位數的定義可構造方程求得.【詳解】甲組數據的中位數為，解得：故答案為：【點睛】本題考查莖葉圖中中位數相關問題的求解，屬于基礎題.16、；【解析】

由計算可得．【詳解】，∵與垂直，∴，．故答案為－1．【點睛】本題考查向量垂直的坐標運算．由向量垂直得其數量積為0，本題屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)80；(2)（1）班.【解析】

（1）從莖葉圖可直接得到答案；（2）通過方差公式計算出兩個半的方差，方差更小的更穩定.【詳解】（1）從莖葉圖中可以看到，這12份成績按從小到大排列，第6個是78，第7個是82，所以中位數為.（2）由表中數據，易得（1）班的6份成績的平均數，（2）班的6份成績的平均數，所以（1）班的6份成績的方差為；（2）班的6份成績的方差為.所以有，說明（1）班成績波動較小，（2）班兩極分化較嚴重些，所以（1）班成績更穩定.【點睛】本題主要考查中位數，平均數，方差的相關計算和性質，意在考查學生的計算能力及分析能力，難度不大.18、（1），；（2）【解析】

（1）利用二倍角、輔助角公式化簡，然后利用單調區間公式求解單調區間；（2）根據條件求解出的范圍，然后再求解的值域.【詳解】（1），令，解得：，所以單調減區間為：，；（2）由銳角三角形可知：，所以，則，又，所以，，則.【點睛】本題考查三角恒等變換以及三角函數值域問題，難度較易.根據三角形形狀求解角范圍的時候，要注意到隱含條件的使用.19、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）令，由求出的值，再令，由得，將兩式相減并整理得，計算出為非零常數可證明出數列為等比數列；（2）由（1）得出，可得出，利用放縮法得出，利用等比數列求和公式分別求出數列和的前項和，從而可證明出所證不等式成立.【詳解】（1）當時，，解得；當時，由得，上述兩式相減得，整理得.則，且.所以，數列是首項為，公比為的等比數列；（2）由（1）可知，則．因為，所以.又因為，所以．綜上，．【點睛】本題考查利用前項和求數列通項，考查等比數列的定義以及放縮法證明數列不等式，解題時要根據數列遞推公式或通項公式的結構選擇合適的方法進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20、（1）；，；（3）.【解析】

（1）令求出，然后令，由得出，兩式相減可得出數列是等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求出數列的通項公式；（2）令可計算出，再令，由可得出，兩式相減求出，求出，再檢驗是否滿足的表達式，由此可得出數列的通項公式，求出，由，以及可得出的值；（3）化簡可得，分類討論，當、時，不等式成立，當時，，利用判斷數列的單調性，得出該數列的最大項，可知滿足不等式，且和不滿足該不等式，由此可得出實數的取值范圍，進而求出正整數的值.【詳解】（1）對任意的，.當時，，解得；當時，由得出，兩式相減得，化簡得，即，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此，；（2）對于任意，有.當時，，；當時，由，可得，上述兩式相減得，.適合上式，因此，.由于和兩項之間插入個數，使得這個數成等差數列，這個數列的公差為.，且，所以，；（3）由，得.當、，該不等式顯然成立；當時，，由，得，設，，當時，，即當時，，即，則.所以，數列的最大項為，又，.由題意可中，滿足不等式，和不滿足不等式.，則，因此正整數的值為.【點睛】本題考查利用求數列