立體幾何初步

考綱導讀

1.理解平面的根本性質，會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖、能夠畫出空間兩條直線、

直線和平面的各種位置關系的圖形，能根據圖形想象它們的位置關系.

2.了解空間兩條直線、直線和平面、兩個平面的位置關系.

3.掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理；理解直線和平面垂直的概念；掌握直線和平面垂直的

判定定理和性質定理；掌握三垂線定理及其逆定理.

4.掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念；掌握兩個平面平行、垂直的判

定定理和性質定理.

5.了解多面體、凸多面體、正多面體的概念.

6.了解棱柱，棱錐的概念；了解棱柱，棱錐的性質；會畫其直觀圖.

7.r解球的概念；掌握球的性質；掌握球的外表積、體枳公式.

知識網絡

平面三個公理、三個推論I

平行直I—公理4及等角定理

異面直線所成褊

―I空間兩條直I

異面直線間的距離

直|-1直線在平面百

線空間直概念、判定與性質

、直線與平而平'

線—I

平-三垂線定理

U宜線與平面福：

面門一I斜I—直線與平面所施前

、

簡

單兩個平面平行距離

幾-0兩個平面平行的判定與性質

一|空間兩|

|個平面|一

I—兩個平面相二面角

交兩個平面垂直的判定與性質I

定義及有關概念

性質I--------

棱柱

棱錐面積公式—綜合應用

球

一?體積公式上

1-口多面標"1----1多面體

高考導航

本章的定義、定理、性質多，為了易于掌握，可把主要知識系統化.首先，歸納總結，理線串點，

可分為四塊：A、平面的三個根本性質，四種確定平面的條件；B、兩個特殊的位置關系，即線線，線

面，面面的平行與垂直.C、三個所成角；即線線、線面、面面所成角；D、四個距離，即兩點距、兩

線距、線面距、面面距.

其次，平行和垂直是位置關系的核心，而線面垂直又是核心中的核心，線面角、二面角、距離等均與線

面垂直密切相關，把握其中的線面垂直，也就找到了解題的鑰匙.

再次，要加強數學思想方法的學習，立體幾何中蘊涵著豐富的思想方法，化空間圖形為平面圖形解決,

化幾何問題為坐標化解決，自覺地學習和運用數學思想方法去解題，常能收到事半功倍的效果.

第1課時平面的根本性質

根底過關

公理1如果一條直線上的在同一個平面內，那么這條直線上的都在這個平面內（證明直

線在平面內的依據）.

公理2如果兩個平面有個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是（證

明多點共線的依據）.

公理3經過不在的三點，有且只有一個平面（確定平面的依據）.

推論1經過一條直線和這條直線外的一點有且只有一個平面.

推論2經過兩條_____直線，有且只有一個平面.

推論3經過兩條_____直線，有且只有一個平面.

典型例題

例1.正方體ABCD-AiBiGDi中，對角線AC與平面BDG交于O,AC、BD交于點M.

求證：點Ci、0、M共線.

證明：

A1A/7CC]n確定平面AC]

A|Cu面AC?=>0e面AiC=

OeAiC

面BCiDCl直線AiC=OnO?面BGD

O在面A]C與平面BCiD的交線CiM上

0、M共線

變式訓練1：空間四點A、B、C、D不在同一平面內，求證。直線AB和不相交也不平行.

提示：反證法.

例2.直線/與三條平行線a、b、c都相交.求證：/與a、b、c共面.

證明：設aCll=AbCll=Bcni=C

a//b=>a、b確定平面a]nlu0

Aea,BebJ

b〃cnb、c確定平面P同理可證lu「

所以a、。均過相交直線b、Ina、。重合=>cua=>a>b、c、1共面

變式訓練2：如圖，AABC在平面a外，它的三條邊所在的直線AB、BC、CA分別交平面a于P、Q、

R點.求證：P、Q、R共線./A

證明：設平面ABCna=L由于P=ABna,即P=平面ABCDa=LAy

即點P在直線1上.同理可證點Q、R在直線1上.去《

，P、Q、R共線，共線于直線1.

例3.假設aABC所在的平面和△AiBCi所在平面相交，并且直線AAi、BB「CG相交于一點0,求

證：（1）AB和AIBI、BC和BICI分別在同一個平面內；

（2）如果AB和AiB”BC和BICI分別相交，那么交點在同一條直線上.

證明ASNAmBB|=O,；.AAi與BBi確定平面a,又；AGa,BGa,A|Ga,B,Ga,；.ABua,

AIBI/欽土苑、AiBi在同一個平面內

同蚣C、磷Ci》￡、AiG分別在同一個平面內

色）屐咫？iXigZx,BCCBiG=Y,ACnA,Ci=Z,那么只需證明X、Y、Z三點都是平面AiBiJ與

R

ABC的公共點即可.

變式訓練3：如圖，在正方體ABCD-AIBICIDI中，E為AB中點，F為AAi中點,

求證：(1)E、C.DisF四點共面；]>___________C)

⑵CE、DF、DA三線共點./I

證明(1)連結AiB那么EF〃A|BA|B〃DCA'j\；fe,

，EF〃DiC，E、F、Di、C四點共面!''、'、、、

(2)面DiACl面CA=DAFLi'卜J

C

，EF〃D|C且EF=?iC\7

...D|F與CE相交又DFu面D|A,CEu面ACA匕B

ADiF與CE的交點必在DA上

ACE.DF、DA三線共點.

例4.求證：兩兩相交且不通過同一點的四條直線必在同一平面內.

證明：(1)假設a、b、c三線共點P,但點p^d,由d和其外一點可確定一個平面a

又aDd=A.,.點ACa.,.直線aua

同理可證：b、cua.,.a、b、c、d共面

(2)假設a、b、c、d兩兩相交但不過同一點

Vanb=Q；.a與b可確定一個平面0

又cflb=EAEGp

同理cCla=FAFCp

二直線c上有兩點E、F在p上.?.cup

同理可證：du。故a、b、c>d共面

由(1)(2)知：兩兩相交而不過同一點的四條直線必共面

變式訓練4：分別和兩條異面直線AB、CD同時相交的兩條直線AC、BD一定是異面直線，為什么？

解:假設AC、BD不異面，那么它們都在某個平面a內，那么A、B、C、Dea.由公理1知或a.

這與AB與fD異面矛盾,所以假設不成立，即AC、BD一定是異面直線。

小結歸納

1.證明假設千點共線問題，只需證明這些點同在兩個相交平面.

2.證明點、線共面問題有兩種根本方法：①先假定局部點、線確定一個平面，再證余下的點、線在此

平面內；②分別用局部點、線確定兩個(或多個)平面，再證這些平面重合.

3.證明多線共點，只需證明其中兩線相交，再證其余的直線也過交點.

第2課時空間直線

根底過關

1.空間兩條直線的位置關系為、、.

2.相交直線一個公共點，平行直線沒有公共點，

異面直線：不同在任平面，沒有公共點.

3.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相.

4.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩角.

5.異面直線的判定定理

過平面外一點與平面內一點的直線和平面內—的直線是異面直線(作用：判定兩條直線是異面直線)

6.異面直線的距離：和兩條異面直線____的直線稱為異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線在.

的長度，叫兩號面直線的距離.

典型例題

例1.如圖，在空間四邊形ABCD中，AD=AC=BC=BD=a,AB=CD=b,E、F分別是AB、CD的

中點.

(1)求證：EF是AB和CD的公垂線；

(2)求AB和CD間的距離.

證明：(1)連結CE、DE

AC=BC\

A￡>=fiD=>AB，CE]NAB_L面CDE

AE=BE

AAB1EF同理CD_LEF

，EF是AB和CD的公垂線

⑵AECD中，EC=.L2--=ED

變式訓練1：在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E,F分別為AB、CD的中點，EF=石，求AD、

BC所成角的大小.

解：設BD的中點G,連接FG,EG。在4EFG中EF=6FG=EG=1

/.ZEGF=120°；.AD與BC成60。的角。

例2.S是正三角形ABC所在平面外的一點，如圖SA=SB=SC,

且NASB=NBSC=NCSA=X,M、N分別是AB和SC的中點.

2

求異面直線SM與BN所成的角.

證明：連結CM,設Q為CM的中點，連結QN那么QN〃SM

ZQNB是SM與BN所成的角或其補角

連結BQ,設SC=a,在△BQN中

BN=￡NQ="M=&BQ=?,

2244

BN2+NQ2-BQ2V10

ACOSZQNB=

2BN-NQ

/.ZQNB=arccos

變式訓練2：正△ABC的邊長為a,S為AABC所在平面外的一點，SA=SB=SC=a,E,F分別是SC

和AB的中點.

(1)求異面直線SC和AB的距離;

(2)求異面直線SA和EF所成角.

答案：(1)今a(2)45°

例3.如圖，棱長為1的正方體ABCD-AIBICIDI中，M、N、

分別為AiBi、BBi、CG的中點.

(1)求異面直線DiP與AM,CN與AM所成角；

(2)判斷DF與AM是否為異面直線？假設是，求其距離.

解：(1)D|P與AM成90。的角

AB

CN與AM所成角為arccos|.

(2)是.NP是其公垂線段,D.P與AN的距離為1.

變式訓練3：如圖，在直三棱柱ABC—AiBCi中,

ZBCA=90°,M、N分別是AIBI和AiG的中點，

假設BC=CA=CC”求NM與AN所成的角.

解：連接MN,作NG〃BM交BC于G,連接AG,

易證NGNA就是BM與AN所成的角.

設：BC=CA=CG=2,那么AG=AN=K,GN=BIM=K,

6+5-5反

cosZGNA=

2x76x7510

例4.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PAL底

面ABCD,AE±PD,EF〃CD,AM=EF.

(1)證明MF是異面直線AB與PC的公垂線；

⑵假設PA=3AB,求直線AC與平面EAM所成角的正弦值.

(1)證明：；EF〃CDAM〃CD

二AM〃EF,又AM=EFAMFE為平行四邊形

VAB±PA,AB±ADAPAD

/.ABXAE,又AE〃MF,AABIMF

又?.?AE_LPDCD±AE人￡，面PCD

，AE1PCMF±PCMF為AB與PC的公垂線.

⑵設AB=1,那么PA=3,建立如下圖坐標系.由得通=(。,X,Q

A8=(l,0,0)

cos<AC,%>=3.AC與面EAM所成的

面MFEA的法向量為％=(0,1,—3),AC=(1,1,0),

10

角為5-arccos6,其正弦值為它.

21010

變式訓練4：如圖，在正方體—中，

E、F分別是881、CD的中點.

(1)證明AD_L。/；

(2)求AE與。F所成的角。

(1)證明：因為AG是正方體，所以ADL面DG

又DBuDCi,所以AD_LDF.

(2)取AB中點G,連結AiG,FG,

因為F是CD的中點，所以GF4sAD,

又AIDI〃AD,所以G%A|Di，

故四邊放GFD1A1是平彳踵邊形，AQ〃DF。

設AiG與AE相交于H,那么/AiHA是AE與D】F所成的角。

因為E是BBi的中點，所以RtAAiAG^AABE,NGA|A=NGAH,從而NA|HA=90。,

即直線AE與DF所成的角為直角。

小結歸納

1.求兩條異面直線所成角的步驟：（1）找出或作出有關角的圖形；（2）證明它符合定義;

（3）求角.

2.證明兩條直線異面的常用方法：反證法、定義法（排除相交或平行）、定理法.

3.求異面直線間距離的方法：作出公垂線段，向量法.

第3課時直線和平面平行

根底過關

1.直線和平面的位置關系、、.

直線在平面內，有___________公共點.

直線和平面相交，有____―公共點

直線和平面平行，有____一公共點

直線與平面平行、直線與平面相交稱為直線在平面外.

2.直線和平面平行的判定定理

如果平面外和這個平面內平行，那么這條直線和這個平面平行.

（記憶口訣：線線平行線面平行）

3.直線和平面平行的性質定理

如果一條直線和一個平面，經過平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（記憶

口訣：線面平行線線平行）

典型例題

例1.如圖，P是△ABC所在平面外一點，MePB,

試過AM作一平面平行于BC,并說明畫法的理論依據.

解：在平面PBC內過M點作MN〃BC,交PC于N點，

連AN那么平面AMN為所求

根據線面平行的性質定理及判定定理

變式訓練1：在正方體ABCD—AIBICIDI中，M、N分別是AiB和AC上的點，且AiM=AN.

求證：MN〃平面BBiCiC.

證明：在面BAi內作MMi〃AB交BBi于Mi

在面AC內作NNi〃AB交BC于Ni

易證MMi可

例2.設直線a〃a,P為。內任意一點,求證：過P且平行a的直線2必在平面。內.

證明：設a與p確定平面p,且anp=a，,那么a'〃a

又.aH\lCla'=p

.'.a與a'重合.".lea

變式訓練2：求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行.

解：aD|3=la〃aa〃0求證：a〃l

證明：過a作平面丫交平面a于b,交平面0于C,

Va/7a>；.a〃b

同理，；a〃p，a〃c；.b〃c

又；buR且cu。；.b〃B

又平面a經過b交B于1

，b〃l且a〃b：.a//l

例3.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側菱PDJ_底面ABCD,PD=DC,E是PC

的中點.

(1)證明：PA〃平面EDB；p

(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值.

(1)證明：提示，連結AC交BD于點0,連結E0.

(2)解：作EF_LDC交DC于F,連結BF.

設正方形的邊長為；底面

ABCDa.PD_LABCD,APD1DC.B

EF〃PD,F為DC的中點.，EF_L底面ABCD,

BF為BE在底面ABCD內的射影，D

ZEBF為直線EB與底面ABCD所成的角.

在RSCF中，BF=yll3C2+CF2=—a

2

EF=-!-PD=-,在RtAEFB中，

22

tanZEBF=—=.所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為

BF5

變式訓練3：如圖，在四面體中截面EFGH平行于對棱

AB和CD,試問：截面在什么位置時，其截面的面積最大？

解：易證截面EFGH是平行四邊形

設AB=aCD=bZFGH=a(a>b為定值，a為異面直線AB與CD所成的角)

又設FG=xGH=y由平幾得：磊譽嘿

?*.—+—=1.\y=—(a-x)

aba

SEFGH=FGGHsina=x?-(a—x)sina

Da

=^inax(a_x)

a

Vx>0a—x>0且x+(a—x)=a為定值

???當且僅當x=a—x

即x=］時(SoEFGH)max=W^

例4.：zXABC中，NACB=90。，D、E分別為AC、AB的中點，沿DE將△ADE折起使A到A'的位

置，假設平面BCDE,M是AB的中點，求證：ME〃面A'CD.

證明：取AC的中點N,連MN、DN,

那么MN=1BC,D后1BC

22

AMN=DE；.ME〃ND

又ME<z面A'CDNDu面ACD

，ME〃面A'CD

變式訓練4：(2005年北京)如圖，在直三棱柱ABC—AIBICI中，AC=3,BC=4,AB=5,AA|=4,

點D是AB的中點.

(1)求證：AC1BCI；

⑵求證：AG〃平面CDBi；

（3）求異面直線ACi與BiC所成角的余弦值.

解：（1）直三棱柱ABC-AIBICI，底面三邊長AC=3,BC=4,AB=5.

AACIBC,且BG在平面ABC內的射影為BC,AACIBC,；

（2）設CBi與CiB的交點為E,連結DE,是AB的中點,E是BQ

的中點，；.DE〃AG

.?.DEu平面CDBi，ACi<z平面CDBi，ACi〃平面CDB|；

⑶...DE//AG，...CED為AG與BiC所成的角,在4CED中，ED="C產?CD杉AB=?，

CE=*B尸2板,/.cosZCED=——-~~力巫

2x2-72x-5

2

.?.異面直線AC.與B）C所成角的余弦值為半.

小結歸納

1.證明直線和平面平行的方法有：（1）依定義采用反證法；（2）判定定理；（3）面面平行性質；（4）向量法.

2.輔助線（面）是解、證有關線面問題的關鍵，要充分發揮在化空間問題為平面問題的轉化作用.

第4課時直線和平面垂直

根底過關

1.直線和平面垂直的定義

如果一條直線和一個平面的__________直線垂直，那么這條直線和這個平面互相垂直.

2.直線和平面垂直的判定定理

如果一條直線和一個平面內的直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

3.直線和平面垂直性質

假設aJ_a,bua那么

假設aJ_a,bJ_a那么

假設a_La,a,/那么

過一點和平面垂直的直線有且只有一條.

4.點到平面距離

過一點作平面的垂線叫做點到平面的距離.

5.直線到平面的距離

--條直線與一?平面平行時,這條直線上到這個平面的距離叫做直線到平面距離.

典型例題

例l.OA、OB、0C兩兩互相垂直，G為AABC的垂心.求證：OGJ?平面ABC.

證明：VOA.OB、0C兩兩互相垂直

：OA_L平面OBC.,.OA±BC

又G為4ABC的垂心

二AGJ_BC,，BCJ^OAG

ABC1OG

同理可證：ACXOG又BC("IAC=C

，OG_L平面ABC

變式訓練1：如圖SA_L面ABC,ZABC=90°,AE1SB,且SBClAE=E,AFXSC,且AFDSC=F,求

證：(1)BC_L面SAB；(2)AElffiSBC；(3)SC±EF.

證明：⑴BC，叫nBCJ_面SAB

BC1SA]

⑵由⑴有nAEJ_面SBC

AE1SB\

(3)由⑵有",sc]=sc，面AEFnSC_LEF

AF±SC

例2如圖，PAL矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC中點.

(1)求證：MN1CD；

(2)假設/PDA=45。，求證：MN_L面PCD.

證明：(1)連AC取中點O,連NO、MO,并且MO交CD于R

為PC中點，NO為aPAC的中位線NO/7PA

而PA_L平面ABCD...NO,平面ABCD

，MN在平面ABCD的射影為MO,又ABCD是矩形

M為AB中點，O為AC中點AMO±CD

ACD±MN

(2)連NR,那么NNRM=45o=NPDA

又O為MR的中點，且NOLMR

.?.△MNR為等腰三角形且NNRM=NNMR=45。

AZMNR=90°AMN±NR又MN_LCD

，.MN_L平面PCD

變式訓練2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB1AC,PA±AB.

求證：①ABCD是正方形；②PC_LBC.

證明：略

例3.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PD_L底面ABCD,AD=PD,E、F分別為CD、

PB的中點.^Zlp

(1)求證：EF,平面PAB；/

⑵設AB=V5BC,求AC與平面AEF所成的角的大小./

(1)證明：連結EP.：PDJ_底面ABCD,DE在/

平面ABCD中，APD±DE,又CE=ED,PD=AD=BC,ET/

ARtABCE^RtAPDE,；.PE=BED___A/

DA

為PB中點，.*.EF±PB.

由垂線定理得PA_LAB,.?.在RtZ!\PAB中，PF=AF,又PE=BE=EA,AEFP^AEFA,

AEF1FA.

,/PB、FA為平面PAB內的相交直線，；.EF_L平面PAB.

(2)解：不防設BC=1,那么AD=PD=1,AB=6,PA=6,AC=6，Z\PAB為等腰直角三角

形.且PB=2,F是其斜邊中點，BF=1,且AFJ_PB.：PB與平面AEF內兩條相交直線EF、AF都垂

直.；.PB_L平面AEF.連結BE交AC于G,作GH〃BP交EF于H,那么GH_L平面AEF.

ZGAH為AC與平面AEF所成的角.

由△EGCs^BGA可知EG=，GB,EG=-EB,AG=-AC=—.

2333

由△EGHs^BGF可知GH=-BF=-

33

.,.sinZGAH=—=

AG6

AAC與面AEF所成的角為arcsin理.

6

變式訓練3：如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD_L平面BCD,NBAD=NBDC=90。，AB=AD

=3拒，BC=2CD.求：

(1)求AC的長；

⑵求證：平面ABC_L平面ACD；

(3)求D點到平面ABC的距離d.

解：⑴V30⑵略.

⑶因VA—DBC=—(—DCxBD)xOA—6Vs>

又VD-ABC=g(JABxAC)xd—^\5d>

VA-BCD=VD-ABC,那么Vi^d=66,解得d=6f.

例4：如圖，棱長為4的正方體AG，0是正方形A1B1GD1的中心，點P在棱CG上，且CG=4CP.

(1)求直線AP與平面BCGBi所成角的大小；

(2)設O點在平面DiAP上的射影是H,求證：DiHlAP；

(3)求點P到平面ABDi的距離.

答案：(1)NAPB=arctan

17

(2)AP在面AC上的射影為AC又ACJ_BD

.*.PA±BD而BD〃BD.IBiDjAP

而B1D1在平面DiAP上的射影為DiH.\D|H±AP

(3)面ABDi_1_面BCi過P作PM_LBCi于M

那么PM=±?

2

變式訓練4：三棱錐v—ABC的三條側棱VA、VC兩兩垂直,頂點V在底面內的射影是H.

(1)求證H是AABC的垂心；

⑵^IABV=SAAKHS^ABC■

(1)證明：連結AH交BC于D點，連接CH交AB于E點,

VVA1VB,VA1VC,VBDVC=V,

.?.VA1.VBC面，又BCuVBC面，；.BC_LVA.

：VHJ_ABC面，BCuABC面，

.".BC1VH,又VACVH=A,.,.BC±VHAffi.

又ADuVHA面，AAD1BC,同理可得CE_LAB,

，H是4ABC的垂心.

(2)連接VE,在RtZWEC中,VE2=EHXEC

-AB2XVE2=-AB2XEHXEC,

44

即^MBV=SgBH^MBC■

小結歸納

線面垂直的判定方法：(1)線面垂直的定義；(2)判定定理;

(3)面面垂直的性質；(4)面面平行的性質：假設a〃戶，a_L，那么aJ_a

第5課時三垂線定理

根底過關

1.和一個平面相交，但不和這個平面

的直線叫做平面的斜線，斜線和平面的交點叫做.

2.射影(1)平面外一點向平面引垂線的叫做點在平面內的射影;

(2)過垂足和斜足的直線叫斜線在平面內的.

斜線上任意一點在平面上的射影一定在.

垂線在平面上的射影只是.

直線和平面平行時，直線在平面上的射影是和該直線一的一條直線.

3.如圖，A0是平面a斜線，A為斜足，OBJ.a，B

為垂足，ACua,NOAB=q,ZBAC=6?,>

ZOAC=0,那么cos。=

4.直線和平面所成的角

平面的斜線和它在這個平面內的所成

的.叫做這條直線和平面所成角.

斜線和平面所成角，是這條斜線和平面內任一條直線所成角中

5.三垂線定理：在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線的,垂直，那么它也和

垂直.

逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條____垂直，那么它也和這條—垂直.

典型例題

例1.RtAABC的斜邊BC在平面。內，A到。的距離2,兩條直角邊和平面?所成角分別是45。和30。.求:

(1)斜邊上的高AD和平面。所成的角；

(2)點A在a內的射影到BC的距離.

答案：(1)60。(2),后

變式訓練1：如圖，道旁有一條河，河對岸有電塔AB,塔頂A到道路距離為AC,且測得NBCA=30。,

在道路上取一點D,又測得CD=30m,ZCDB=45°.求電塔AB的高度.

解：BC=30,AB=BCtan30°=10V3

例2.如圖，矩形紙片AiA2A3A4,B、C、Bi、Ci

分別為A1A4、A2A3的三等分點，將矩形片沿

BB”CG折成三棱柱，假設面對角線A|B|_LBG；

求證:A2C-LA|B|.

解：取A2B1中點Di?.?A2G=BCIACiDilA.Bi

又A1A2-L面A2B1C1.'.CiD|,LA1A2

，GD」面A1A2B1BABDi是BG在面A2B上的射影

由ABJ_BCiABDIIAIBI

取AiB中點D同理可證A2D是A2c在面A2B上的射影

VA2D^BD!...A2DBD1是平行四邊形

,

由BD|_LAH..AIBI±A2D

A2C_LA1B1

變式訓練2：如圖，在正三棱柱ABC-AiBiG中，AB=3,AA|=4,M為AAi中點，P是BC上一點,

且由P沿棱柱側面經過棱CG到M的最短路線長病，設這條最短路線與CG交點N,求：

(1)PC和NC的長；Ai

(2)平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)大小.

解：將側面BBCC繞棱CG旋轉120。使其與側面M

AACC在同一平面上，點P運動到點Pi的位置，

連接MP”那么MPi就是由點P沿棱柱側面經過棱CG到點M的最短路線

A

設PC=x,那么PiC=x,在Rt/XMAPi中，由勾股定理得x=2

，PC=PiC=2?.*=空=2ANC=-

MAPtA55

(2)連接PP1,那么PP1就是平面NMP與平面ABC的交線,作NH_LPPi于H,又CC」平面ABC,連

結CH,由三垂線定理得CHJ_PP|

IZNHC就是平面NMP與平面ABC所成的平面角(銳角)

在RtAPHC中,//PCH=-NPCPi=60。

2

.?.CH=/=1

2

在RtAPHC中tanNHC=1

故平面NMP與平面ABC所成二面角大小為arctan1

例3.如圖在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCiDi中，

點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點.

(1)試確定點F的位置，使得DiE，面ABF；

(2)當DiE，面ABF時，求二面角Ci—EF—A大小.

解：(1)連結AiB,那么AiB是DiE在面ABBiAi內的射影

VABilAiB.,.DiELABi

于是D|E_L平面ABiF<=>D,E±AF

連結DE,那么DE是DiE在底面ABCD內的射影

ADiElAFoDE±AF

：ABCD是正方形，E是BC的中點

.?.當且僅當F是CD的中點時，DEJ_AF

即當點F是CD的中點時，DiE上面ABF

(2)當DiE，平面ABF時，由(1)知點F是CD的中點，又點E是BC的中點，連結EF,那么EF〃BD

連AC,設AC與EF交點H,那么CH_LEF,連C|H,那么CH是CiH在底面ABCD內的射影

ACiHlEF

即/CiHC是二面角Ci—EF-C的平面角

在RtaGHC中：CiC=lCH=，AC=①

44

，tan/CiHC=^=2痣

ZCiHC=arctan2拒

ZAHC?=7C—arctan241

變式訓練3：正方體ABCD-AIBIGDI中棱長a,點P在AC上，Q在BG上，AP=BQ=a,

(1)求直線PQ與平面ABCD所成角的正切值；

(2)求證：PQ1AD

(1)解：過Q作QM〃CCi交BC于M那么QM_L面ABCDNQPM就是所求角

.?.BQ=BMntxrJiBM=―=a—?*?CM=42a=—a

BCiBCBCJiaBC6a

CP=而-〃?CM__CP

???PM〃AB

AC-Jia??~BC~~AC

在RtZ\PQM中PM=^1?QM=0〃

V2V2

■Jia

tanZQPM=翌-=—=2——=啦+1

PMV2-1

-T~a

-J2

(2)由(1)可知PMJ_BCPQ在面ABCD內的射影是PM.

APQ1BC又AD〃BCAPQ1AD

例4.如圖，在長方體ABCD—AIBIGDI中，AD=AA|=1,AB=2,點E在棱AB上移動.

(1)證明：D|E_LA|D：

(2)當E為AB的中點時，求點E到面ACD,的距離；

(3)AE等于何值時，二面角Di-EC—D的大小為

4

(1)證明:?「AE_L平面AAiDDi，A)D±ADi，AAiDlDiE.

⑵設點E到面ACDi的距離為h,在aACD]中，AC=CDj=VF,AD[=拒，S皿1c=；?亞?卜

^-ABC=]SAABCDD1=-S^ch

/--xl=-xh,??.h=-

223

(3)過D作DH_LCE于H,連D】H、DE,那么D|H_LCE,，NDHDi為二面角D1一EC—D的平面角.設

AE=x,那么BE=2—x

在Rtz^DiDH中，VZDHDi=-,ADH=1

??,在RtAADE中，DE=71+x2，，在RtADHE中，EH=x,在RtADHC中，CH=6,CE=7x2-4x+5,

那么x+V3=ylx2-4x+5,解得X=2—V3.

即當x=2—V3時，二面角為Di—EC—D的大小為二.

4

變式訓練4：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD=a,PA=PC=拒a.

(1)求證：PDlffiABCD；

(2)求直線PB與AC所成角；於、

(3)求二面角A-PB-D大小./;

證明：(1)；PC=&aPD=DC=a

/.PD2+DC2=PC2j/\/C

...△PDC是直角三角形.*.PD±DCAB

同理PD_LDAXVDACIDC=D

，PD_L平面ABCD

(2)連BD：ABCD是正方形AAC±BD

又PD_L平面ABCDAC_LPB(三垂線定理)

.?.PB與AC所成角為90。

(3)設ACflBD=0作AE_LPB于E,連OE

VAC1BDPDJ_平面ABCDACu面ABCD

；.PD_LAC，AC_L平面PDB

又VOE是AE在平面PDB內的射影

.*.OE±PB

ZAEO就是二面角A-PB-0的平面角

又?.,AB=aPA=^2(iPB=Qa

：PD_L面ABCDDA±ABAPA±AB

在RtAPAB中AEPB=PAAB

.\AE=^?AO=旦

AsinZAEO=旦：.ZAEO=60°

------------------2

小結歸納

1.求直線和平面所成的角的一般步驟是一找（作），二證，三算.尋找直線在平面內的射影是關鍵，根本

原理是將空間幾何問題轉化為平面幾何問題，主要轉化到一個三角形內，通過解三角形來解決.

2.三垂線定理及逆定理，是判定兩條線互相垂直的重要方法，利用它解題時要抓住如下幾個環節：一

抓住斜線，二作出垂線，三確定射影.

3.證明線線垂直的重要方法：三垂線定理及逆定理；線，面=線，線；向量法.

第6課時平面與平面平行

根底過關

1.兩個平面的位置關系：

2.兩個平面平行的判定定理

如果一個平面內有兩條____直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.

（記憶口訣：線面平行，那么面面平行）

3、兩個平面平行的性質定理

如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它所有的平行.

(記憶口訣：面面平行，那么線線平行)

4.兩個平行平面距離

和兩個平行平面同時的直線，叫做兩個平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的局部叫做兩個

平面的，兩個平行面的公垂線段的，叫做兩個平行平面的距離.

典型例題

例1.如圖，正方體ABCD-AIBIGDI中，M、N、E、F分別是棱A|B|、AiD,.BiG、CQi中點.

(1)求證：平面AMN〃平面EFDB；

(2)求異面直線AM、BD所成角的余弦值.

解：(1)易證EF〃BiD|MN〃BQi；.EF〃MN

AN〃BE又MNCAN=NEFClBE=E

.,.面AMN〃面EFDB

(2)易證MN〃BD二ZAMN為AM與BD所成角

易求得cosNAMN=?"

10

變式訓練I:如圖，a//P,AB交。于A、B,

CD交夕于C、D,ABCCD=O,O在兩平面.

AO=5,BO=8,CO=6.求CD.

解：依題意有AC〃DB絲=絲即\

OBOD8OD

：.OD=48???CD=9+6V

T

例2.平面?！ㄆ矫嫦?，AB、CD是夾在平面a和平面月間的兩條線段，點E、F分別在AB、CD上,

且空=空=上求證：EF〃a〃夕.

EBFDn

證明：1°假設AB與CD共面，設AB與CD確定平面Y，那么any=ACpny=BD

Va//B，AC〃BD又丫生=竺

rEBFD

：.EF〃AC〃BD???EF〃a〃p

2。假設AB與CD異面，過A作AA以CD

在AA，截點O,使空=空=又=乂

OA,tEBFDn

...EO〃BA'OF〃A'D

平面EOF〃a〃p；.EF與a、0無公共點

.?.EF〃a〃p

變式訓練2：在正方體ABCD-AIBIGDI中，M、N、P分別是CG、BCi、GDi的中點.

求證：(1)AP_LMN；

⑵平面MNP〃平面AiBD.

證明：⑴連BG易知AP在BCCB內射影是BG

BC」MN；.AP_LMN

⑵?，瑞卜面MNP〃面ABD

例3.a和b是兩條異面直線.

(1)求證：過a和b分別存在平面a和［3,使a〃B；

(2)求證：a、b間的距離等于平面a與p的距離.

(1)在直線a上任取一點P,過P作b，〃b,在直線b上取一點Q

過Q作a，〃a設a,b'確定一個平面a

a',b確定平面Ba'//aaua/.a!//a

同理b〃a又a'、bep.*.a//p

因此，過a和b分別存在兩個平面a、P

(2)設AB是a和b的公垂線，那么AB_Lb,AB±a.,.AB±a,

或和b是。內的相交直線，同理ABLa

因此，a,b間的距離等于a與p間的距離.

變式訓練3：如圖，平面a〃平面仇線段PQ、PF、QC分別交平面a于A、B、C、點，交平面于D、

F、E點，PA=9,AD=12,DQ=16,AABC的面積是72,試^△DEF

的面積.

解：平面a〃平面0,；.AB〃DF,AC〃DE,

，NCAB=NEDF.在4PDF中，AB〃DF,DF=—AB

PA+AD

同理