浙江省浙北名校2023-2024學年高二上學期12月階段性聯考數學試

卷

學校：___________姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.直線y-1=0的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

22

2.雙曲線土-乙=1的漸近線方程是()

43

A.y=+—xB.y=±-xC.y-+^^-xD.y=±-x

一4332

3.已知空間向量a=(—2,2,1),b=(l,Q,m),若。，b,則㈤=()

A.20B.A/7C.A/6D.行

4.已知等比數列｛4｝的前九項和為S“，q+%=30,邑=120,則其公比q=()

A.lB.2C.3D.4

5.在平面直角坐標系x0y中，A(3,0),〃是(x+l)2+/=4上一動點，則直線朋A的

斜率的取值范圍為()

A.[一后行|B.[-l,l]C.岑岑A岑殍

6.正四面體尸-ABC的棱長為4,點V、N分別是棱B4、PC的中點，則點A到平面

加W的距離為()

A寺C.2D.—

113

7.已知直線/與拋物線/=2內交于A,5兩點，且該直線不經過拋物線的焦點，那

么以線段為直徑的圓與該拋物線的準線的位置關系是()

A.相離B.相交C.相切D.與直線/的位置有關

8.正方體ABC。-ABCQI的棱長為1，脛是面3CG片內一動點，且DM，A。，N

是棱CC]上一動點，則△DMN周長的最小值為()

A.2B.A/3+1C.V2+2D.逅+遮

22

二、多項選擇題

9.下列說法正確的是（）

A.兩異面直線所成角的取值范圍是

B.若直線/與平面a相交，則該直線/與平面a所成角的取值范圍是

C.二面角的平面角的取值范圍是

D.若a,b,c是空間向量的一組基底，則存在非零實數x,y,z,使得xa+yZ?+zc=0

10.已知圓G：x2+;/+2x+8y—8=0與圓+4x—4y—12=0交于A、3兩

點，下列說法正確的是（）

A.點G在圓G內

B.直線AB的方程是3x+6y+2=0

C.|AB|=y

D.四邊形AC^G的面積是10港

11.已知平面內一動點與兩定點連線的斜率的乘積為定值時，若該定值為正數，則該

動點軌跡是雙曲線（兩定點除外）；若該定值是負數，則該動點軌跡是圓或橢圓（兩

定點除外）.如圖，給定的矩形ABCD中，|AB|=a,|5。=仇a＞匕＞0）,E、F、G、H

分別是矩形四條邊的中點，M、N分別是直線EG、A5的動點，0M=20G,

BN=RBE,其中“zwO,且直線與直線Nr交于點P.下列說法正確的是（）

A.若;=則P的軌跡是雙曲線的一部分

B.若=則P的軌跡是橢圓的一部分

C.若2=〃，則P的軌跡是雙曲線的一部分

D.若;1+〃=0,則P的軌跡是橢圓的一部分

12.數學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中一類，螺旋線這個名詞源于

希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏繞”.如圖所示，正六邊形44AA4AA的邊長為1，分

別取其各條邊的四等分點，連接得到正六邊形瓦與名反風線，再取其各條邊的四等分

點，連接得到正六邊形GC2c3c4c5c6,依次類推……對于陰影部分，記第一個陰影

△4用線的最大邊長為見,面積為M；第二個陰影△5℃6的最大邊長為的，面積為

邑，第三個陰影三角形的最大邊長為名，面積為其，依次類推……下列說法正確的是

Bi

B.數列｛%｝是以+為公比的等比數列

C.數列｛SJ的前2023項和小于日

D.任意兩個陰影三角形的最大邊都不平行

三、填空題

13.已知圓心在x軸上的圓經過點A(l,2),5(-1,0),則該圓的半徑是.

14.如圖，平行六面體ABC。-A4GR各條棱長均為1，/及里=NDA4=60。，

ZBAD=90°，則線段AC】的長度為.

15.某牧場2015年初牛的存欄數為1200頭，以后每年存欄數的增長率為9%,且在每

年年底賣出90頭牛，那么在2024年初牛的存欄數是多少.(結果保留

整數,參考數據:1.0數“1.99,1.099a2.17,1.091°a2.37）

22

16.已知R是橢圓=+與=1（。〉6〉0）的右焦點，。是坐標原點，點M是。尸的中

ab

點，橢圓上有且只有右頂點30）與點M的距離最近，求該橢圓的離心率的取值范圍

四、解答題

。“

17.已知數列｛4｝滿足：q=2,a2

n+｝4+2

（1）證明：數列,是等差數列;

（2）記包=懸，“eN*,求數列也｝的前幾項和S,.

18.已知圓C:x2+-4x+2^-11=0,直線I:（2根+1）%-（6+2）丁一4m+1=0,meR.

（1）判斷直線/是否過定點，若過定點，請找出該定點；若不過定點，請說明理由.

（2）若直線/與圓C交于A、3兩點，且|A3|=2jI?,求該直線方程.

19.如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，底面是直角梯形，AB=1,AD=CD=2,

PB=舊,ZBAD=ZADC=90。,側面PAD是等邊三角形.

（1）證明：平面平面ABCD；

（2）求二面角3-PC-A的平面角的余弦值.

20.已知拋物線C:/=2x,A（2,0）.

（1）。是拋物線上一個動點，求|出|的最小值；

（2）過點A作直線與該拋物線交于M、N兩點，求的值.

21.已知函數/（x）=-k）g2（-x）的圖象與水平直線y=〃交于點A.，其中〃=1,2,

3,…，記直線44M的斜率為％,與y軸交于點（0也）.

（1）求數列｛4｝的通項公式；

b

(2)記q,=",〃eN+，數列｛g｝的前"項和為S“，求

an

22.如圖，雙曲線《一蕓=1的離心率為幽，實軸長為2月，月，工分別為雙曲線

ab3

的左右焦點，過右焦點工的直線與雙曲線右支交于A,3兩點，其中點A在第一象限.

連接&耳與雙曲線左支交于點C,連接分別與x,y軸交于Q,E兩點.

(1)求該雙曲線的標準方程;

(2)求△ADE面積的最小值.

參考答案

1.答案：B

解析：直線-1=0,

變形為丁=百萬-1，

所以4=6,

設傾斜角為a,

則上=tantz=6，

因為0。＜々＜180。，

所以a=60。，

故選：B.

2.答案：D

221

解析：根據雙曲線3-與=1的漸近線方程：y=+-x,知:

aba

J—：=1的漸近線方程為y=+^x.

故選：D.

3.答案：D

解析：因為所以a%=(-2,2,l>(l,0,m)=-2+m=0,

解得m=2,

故[b|=V1+0+4=下.

故選：D.

4.答案：C

解析：注意到4+%=30,$4=120,首先qwl,（否則q+%=2%=30,

$4=44=120矛盾),

其次a1+/=q(l+q?)=30,54=—--"■=120,

,、'l—q

l-q4_l-q2

兩式相比得=1+<7=4,解得q=3.

乂i+《）i-q

故選：c.

5.答案：D

解析：由圖形可知，直線題4的斜率一定存在,

設出直線以4的方程為丁=左(1-3),

圓心(-1,0)到直線MA的距離［魯<2,

解得左e

3O-3-'

6.答案：B

解析：正四面體P-ABC中，取ZVLBC的中心為H,則平面A4B,

i^AM=PM=2,BM=26,

其中苧，由勾股定理得CH=F［理=乎，

故點N到平面A鉆的距離為工x生色=2四，

233

又S&ABM=^SAABP=萬義與乂4。=2g，

痂17-1C2^6_1O/?2A/6_472

故%=_S^ABM==-^―,

又BM=BN=26，MN=-AC=2,

2

取MN的中點T,連接3T,則BTLMN,

則忸刀=^BN--NT-=<12-1=A/T1,

故S讖MN=TMN|?忸T|=g><2xjn=&L

設點A到平面BMN的距離為d,

痂10—而40

故，即飛-'"二三-，

解得d=\p.

故選：B.

7.答案：A

解析：設AB中點為M,過A,M,3作準線的垂線，垂足分別為A,M',B',

又該直線不經過拋物線的焦點，則睦以=3（4￥+54）=；（4歹+5/）>；45,

所以線段AB為直徑的圓與該拋物線的準線的位置關系是相離.

故選：A.

8.答案：B

解析：點M在線段Bq上運動，即動線段DM在△3G。內運動，

動線段DN在△DCG內運動，動線段在△BCG內運動，

以△BCq為基準，將△BQ。和△DCG翻折使其與△BC￡共面，如圖所示：

H,

其中ABCiD翻折至，△DCG翻折至△CCA，

ADMN的周長等于D2M+MN+ND.，最小值等于D^D3,

在四邊形CXD2=QD3=V2,ND2CR=150°,

由余弦定理可求得。2。3?=2+2—2x0x&x—:]=4+2百，

所以。/3=1+6，

故△DAW的周長最小值等于1+6，

故選：B.

—IV

9.答案：AB

解析：A選項，根據異面直線的定義可知，兩異面直線所成角的取值范圍是[。:],A

正確；

B選項，直線與平面的夾角范圍為[03],但直線/與平面c相交，夾角不為0,

則該直線/與平面。所成角的取值范圍是0:，B正確;

C選項，二面角的平面角可以是鈍角，C錯誤；

D選項，若a,b,c是空間向量的一組基底，則a,b,c不共面,

不存在非零實數x,y,z,使得為。+皿+2°=0,,D錯誤.

故選：AB.

10.答案：BCD

解析：A選項,G：/+y2+2x+8y-8=0變形為（尤+1）2+（丁+4）2=25,

故圓心為G（-L-4）,半徑為5,

2222

C2:x+y-4x-4y-12=0^^J（x-2）+（y-2）=20,

故圓心為。2（2,2）,半徑為2石，

因為22+2?+4+16-8>0,所以點G在圓G外，A錯誤；

B選項，G：/+/+2》+8>-8=0與。2:丁+丁-4x-4y-12=0相減得，

直線AB的方程是6x+12y+4=0,化簡得3x+6y+2=0,B正確；

2

C選項，圓心G（2,2）到直線3x+6y+2=0的距離d=爾.；；1=殍,

故|陰=2、2時-/=2x,20-三=?C正確；

D選項，由題意得其中|CC|=，（2+戶（2+4）2=3石,

故四邊形4。不。2的面積為g|G。2HAD正確.

故選：BCD.

11.答案：CD

解析：由已知可得$o）,G?,陪，。］，E,-。嗚，

則由OM=/lOG=［o,弓］可得，

ab+〃，，0='a(l-〃)b、

由BN="BE可得，ON-OB+/uBE-，-

22、2「5,

’(I-〃)ab'

所以N[2"

a(1一〃”

22

對于A、B項，因為切=-1所以女=顯然ML不是-

個常數，所以此時尸的軌跡既不是雙曲線，也不是橢圓，A、B均錯;

A2,

對于C選項，k-k=—,此時左HM^NF的結果為一個大于0的定值，所以P的軌

HMNFa

跡是雙曲線（頂點除外），C對；

對于D選項，k-k=---,此時右加的結果為一個小于0的定值，所以P的軌

HMNFa

跡為橢圓（頂點除外），D對.

故選：CD.

12.答案：ACD

解析：正六邊形AAAAAA的邊長為1，

正六邊形44AA4AA的每個內角為120。,

1Q

5

由題知，在△?1,月線中，|A4|=z，|A6|=1'

由余弦定理得|4聞=

則％呼，聞?sinl2()o=等373

64

2

II-2--a.?—,-cos120°=-^~an,

易知a=+

n1一1I4"T4"T4”-1

a=史

*4

數列｛%｝是以孚為首項，以孚為公比的等比數列，所以4=

n-\

?1℃。3G23G（13

v_ll3

s〃w「產1-sml20°=—

6416

二數列｛s“｝是以等為首項,以u為公比的等比數列,

16

?3y/31339A/3,,ph品

對于A選項,邑=------=-----,故A正確;

264161024

對于B選項,數列｛4｝是以孚為公比的等比數列，故B錯誤;

對于C選項,｛S〃｝的前2023項和為:

2023

3A/313

1-

野。23

^64（16<￥，故c正確;

S[+S?+?+^20231-

一4

16

對于D選項，記陰影三角形的最小角為e,

22

21

+Cl

1%n-7

由余弦定理得cos6=

、3~2^），

2.44.1

若存在兩條最大邊平行，則無限纏繞后，最終最小角頂點無限重合,

即存在4=2E(其中小左為正整數)，使得cos〃e=l,

23

由cos20=2cos20-1=—,

26

cos36=cos（2e+。）

=cos2^-cos^-sin20-smO

=(2cos20-lj-cos0-2sin20-cos0

=(2cos2^-1)-cos^-2(l-cos20^-cos6

……一3)=京

持續計算-，可知不可能使cos〃e=l,故不存在兩最大邊平行，故D錯誤.

故選：AC.

13.答案：2

解析：設圓心為（M,0）,由題意得—+4=++0,

解得m=l,

故半徑為J（l-l）2+4=2.

故答案為：2.

14.答案：V5

解析：取A3,AD,招為一個基底，ABAD=0,ABAA,=1,ADAA,=1,

222

.,JAC]|="AB+AD+AA『=^AJB+AD+A41+2(AJBAD+ADA41+A41AB)=V5

故答案為：V5.

15.答案：1434

解析：記2015年為第一年，2015年初牛的存欄數為4=1200,則2024年為第10年,

2024年初牛的存欄數為4。，

而第（八+1）年初牛的存欄數。的=1.094-90,

設a；i+1-2=1.09（an-2）,貝U—0.09/1=-90,解得2=1000,

即數列｛4-1000｝是以g-1000=200為首項，1.09為公比的等比數列，

,!-1

所以4—1000=200xI。）-,即an=200.1.09+1000,

9

.-.a10=200-1.09+1000?1434.

故答案為：1434.

16.答案：［og

解析：由題，橢圓上只有右頂點（a,o）到點的距離最小,

設Q（x,y）是橢圓上的點，x^[-a,a],

2*2

+y2-cx+^+b1

H9

2

對稱軸是％=幺，定義域是元￡[-。,例，

2c

:.a<—,解得.

2cI2j

故答案為：（o,；.

17.答案：（1）證明見解析

解析：(1)因為a,=&-，Q=2,顯然q尸0,

4+2

則L=L

%2a”an2

111

所以-L是以_1=工為首項,T為公差的等差數列.

an\%2

(2)由(1)知工=',貝uq=2,

42n

可得以='==^=4-上-

n+1n(n+Y)nn+1

所以S〃=：2_22_22_2222〃

-+-+-+--------------=--------

22334nn+1n+1

18.答案：（1）直線/過定點（3,2）

(2)x=3或4x-3y-6=0.

解析：(1)直線/變形得根(2%-丁-4)+(%-2丁+1)=0,

人f2x-y-4=0

令4，

x-2y+l=0

x=3

解得,

b=2

二直線/過定點(3,2).

(2)圓C:(x—2y+(y+l)2=16,圓心為C(2,—1),半徑為4,

設圓心C到直線I的距離記為d,

r-t,.|(2m+l)-2+(m+2)—4m+l||m+51

則4=------1---=—/,

d(2m+l)2+(m+2)2V5m2+8m+5

由垂徑定理得d=(2_1等：=1,

即舊+51=],

v5m2+8根+5

解得加=-2或m=*,

2

加二-2時，直線I的方程是l二3；

m■時，直線I的方程是4%-3丁一6=0；

綜上，直線/的方程是x=3或4x-3y-6=0.

19.答案：(1)證明見解析

⑵叵

7

解析：(1)取AD中點連接MP,MB

在等邊△PAD中，有AD中點M,AD=2,

所以A/PLAZ),MA=MD=1,

22

則MP=JPE>2_MD2=#),MB=Vw+AB=y/2.

在ARMB中，有MP?+MB?=5=PB?,

因為ADu平面ABC。，MBu平面ABC。，ADMB=M,

.?.VP,平面ABCD

又MPu平面PA。，

所以平面上4D，平面ABCD

(2)取BC中點為N,連接MN,

以點M為坐標原點，分別以MA、MN、MP為x、y、z軸正方向，如圖建立空間直角

坐標系，則4(1,0,0),5(1,1,0),C(-l,2,0),P(0,0,V3),

所以，PA=(l,0,-V3),C4=(2,—2,0),PB=(1,1,-73),Cfi=(2,-l,0).

設平面PCA的一個方向量是4=a，%,zj,

則14,4=玉-島=0

Y\-CA=2xx-2y=0

取4=1,則平面PC4的一個方向量是勺=(后6,1}

設平面PCB的一個方向量是%=(9,%，Z27

貝］1J%，PB=%?+%一后2=°

n2CB=2X2-y2=0

取刀2=1，可得平面PCS的一個方向量是巧=(1,2,6).

月’且二面角j一為銳角，

因為cos(%,%

所以，二面角3—PC—A的余弦值是疸.

20.答案：(1)百

(2)0

解析:(1)設Q(2/2),3|=

當=土與,即以1,土女)時，|。山取得最小值，最小值為百.

（2）當直線MN的斜率為0時，直線與拋物線只有1個交點，不合要求，

設直線的方程是x=@+2（keR）,與拋物線聯立，消x得產―26-4=0,

設N（x2,y2）,

1

貝1%+%=2左，y\y2=-4,故甲2=（%；）=4,

故OM-ON=x1x2+yxy2=4-4=0.

21.答案：（1）%=2向

/C、CC〃+4…

⑵S〃=2-茨丁，neN+.

解析：（1）令一log2（—x）="得，x=-2"",

11

故4—，〃，則4+i,n+l,

T2n+'

匚匚I、【〃+1—〃1

所以4=丁丁=丁丁2n+1.

-----1---------1--

2〃+i2〃2"+i2〃

1

（2）直線AA的方程為y-〃=2*1XH---

nn+l2〃

令％=0得y=2"Mxg+/=2+〃,

n+2

故優=〃+2,g

2"T

345〃+2小

邑c=球+無+吩++/①，

1_345

c+『

1__1_

①-②得白〃=最+以+*攝+1)〃+23+82〃+2〃+2]〃+4

n+l\2*222]2〃+22"+2

1-2

九2

22.答案：（1）-=1

3-

⑵-

7

解析：（1）由已知可得，2a=26,所以a=百.

又e=￡=3叵，所以c=2,b2-c2-a2=1.

a3

所以，雙曲線方程是工-y2=i.

3'

（2）由（1）可知,耳（2,0）,設4（%,乂），5（孫％），

則直線AK的方程為％=%二y+2.

刀一2

x=———y+2

將直線A居的方程與雙曲線方程聯立％,

X22?

-----y=1

13'

消x,整理可得（7-4%）y