2023-2024學年黑龍江省大興安嶺漠河一中高三第二次調研數學試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用一個平面去截正方體，則截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形2．某校8位學生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分，則以該8位學生這兩次的月考成績各自組成樣本，則這兩個樣本不變的數字特征是（）A．方差 B．中位數 C．眾數 D．平均數3．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內為（）A． B． C． D．4．已知定義在上的奇函數和偶函數滿足（且），若，則函數的單調遞增區間為（）A． B． C． D．5．已知集合，，則()A． B． C． D．6．已知雙曲線滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合；②雙曲線E與過點的冪函數的圖象交于點Q，且該冪函數在點Q處的切線過點F關于原點的對稱點．則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．7．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則（）A． B． C． D．8．關于函數有下述四個結論：（）①是偶函數；②在區間上是單調遞增函數；③在上的最大值為2；④在區間上有4個零點.其中所有正確結論的編號是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④9．如圖在直角坐標系中，過原點作曲線的切線，切點為，過點分別作、軸的垂線，垂足分別為、，在矩形中隨機選取一點，則它在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．10．某個命題與自然數有關，且已證得“假設時該命題成立，則時該命題也成立”．現已知當時，該命題不成立，那么（）A．當時，該命題不成立 B．當時，該命題成立C．當時，該命題不成立 D．當時，該命題成立11．已知復數滿足，則的共軛復數是（）A． B． C． D．12．已知函數，則的最小值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是等比數列,若，,且∥,則______.14．定義在上的奇函數滿足，并且當時，則___15．如圖,已知，，為的中點，為以為直徑的圓上一動點，則的最小值是_____．16．已知等差數列的前n項和為，，，則＝_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設直線與平面相交于點，若，求的值．18．（12分）為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核．記表示學生的考核成績，并規定為考核優秀．為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：（Ⅰ）從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據圖中數據，估計這名學生考核優秀的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學生中任取2人，求至少有一人考核優秀的概率；（Ⅲ）記表示學生的考核成績在區間的概率，根據以往培訓數據，規定當時培訓有效．請根據圖中數據，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由．19．（12分）已知函數，曲線在點處的切線方程為.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求證：對于任意，.20．（12分）2019年春節期間，某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動，超市設計了兩種抽獎方案.方案一：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案二：一個不透明的盒子中裝有30個質地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.（1）現有兩位顧客均獲得抽獎機會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；（2）若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數學期望；②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動？21．（12分）已知，.（1）解不等式；（2）若方程有三個解，求實數的取值范圍.22．（10分）已知橢圓的右頂點為，點在軸上，線段與橢圓的交點在第一象限，過點的直線與橢圓相切，且直線交軸于.設過點且平行于直線的直線交軸于點.（Ⅰ）當為線段的中點時，求直線的方程；（Ⅱ）記的面積為，的面積為，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點：平面的基本性質及推論．2、A【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變，中位數、眾數和平均數都發生了改變.【詳解】由題可知，中位數和眾數、平均數都有變化.本次和上次的月考成績相比，成績和平均數都增加了50，所以沒有改變，根據方差公式可知方差不變.故選：A【點睛】本題主要考查樣本的數字特征，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3、C【解析】程序在運行過程中各變量值變化如下表：KS是否繼續循環循環前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環的條件應為k>5?本題選擇C選項.點睛：使用循環結構尋數時，要明確數字的結構特征，決定循環的終止條件與數的結構特征的關系及循環次數．尤其是統計數時，注意要統計的數的出現次數與循環次數的區別．4、D【解析】

根據函數的奇偶性用方程法求出的解析式，進而求出，再根據復合函數的單調性，即可求出結論.【詳解】依題意有，①，②①②得，又因為，所以，在上單調遞增，所以函數的單調遞增區間為.故選:D.【點睛】本題考查求函數的解析式、函數的性質，要熟記復合函數單調性判斷方法，屬于中檔題.5、D【解析】

先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，考查學生的基本運算能力，是一道容易題.6、B【解析】

由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數為,設出切點通過導數求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率．【詳解】依題意可得，拋物線的焦點為，F關于原點的對稱點；，，所以，，設，則，解得，∴，可得，又，，可解得，故雙曲線的離心率是.故選B．【點睛】本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數解析式,直線的斜率公式及導數的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.7、A【解析】

由已知可得，根據二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數定義、二倍角公式，考查計算求解能力，屬于基礎題.8、C【解析】

根據函數的奇偶性、單調性、最值和零點對四個結論逐一分析，由此得出正確結論的編號.【詳解】的定義域為.由于，所以為偶函數，故①正確.由于，，所以在區間上不是單調遞增函數，所以②錯誤.當時，，且存在，使.所以當時，；由于為偶函數，所以時，所以的最大值為，所以③錯誤.依題意，，當時，，所以令，解得，令，解得.所以在區間，有兩個零點.由于為偶函數，所以在區間有兩個零點.故在區間上有4個零點.所以④正確.綜上所述，正確的結論序號為①④.故選：C【點睛】本小題主要考查三角函數的奇偶性、單調性、最值和零點，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.9、A【解析】

設所求切線的方程為，聯立，消去得出關于的方程，可得出，求出的值，進而求得切點的坐標，利用定積分求出陰影部分區域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設所求切線的方程為，則，聯立，消去得①，由，解得，方程①為，解得，則點，所以，陰影部分區域的面積為，矩形的面積為，因此，所求概率為.故選：A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型，同時也涉及了二次函數的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.10、C【解析】

寫出命題“假設時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題，結合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設時該命題成立，則時該命題也成立”的逆否命題為“假設當時該命題不成立，則當時該命題也不成立”，由于當時，該命題不成立，則當時，該命題也不成立，故選：C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應用，解題時要寫出原命題的逆否命題，結合逆否命題的等價性進行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.11、B【解析】

根據復數的除法運算法則和共軛復數的定義直接求解即可.【詳解】由，得，所以．故選：B【點睛】本題考查了復數的除法的運算法則，考查了復數的共軛復數的定義，屬于基礎題.12、C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數為標準正弦型三角函數，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式、輔助角公式化簡三角函數，以及求三角函數的最值，屬綜合基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】若，,且∥,則，由是等比數列,可知公比為..故答案為.14、【解析】

根據所給表達式，結合奇函數性質，即可確定函數對稱軸及周期性，進而由的解析式求得的值.【詳解】滿足，由函數對稱性可知關于對稱，且令，代入可得，由奇函數性質可知，所以令，代入可得，所以是以4為周期的周期函數，則當時，所以，所以，故答案為：.【點睛】本題考查了函數奇偶性與對稱性的綜合應用，周期函數的判斷及應用，屬于中檔題.15、【解析】

建立合適的直角坐標系,求出相關點的坐標,進而可得的坐標表示,利用平面向量數量積的坐標表示求出的表達式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標系如圖所示：則點,,,設點,所以,由平面向量數量積的坐標表示可得,,其中,因為,所以的最小值為.故答案為:【點睛】本題考查平面向量數量積的坐標表示和利用輔助角公式求最值;考查數形結合思想和轉化與化歸能力、運算求解能力;建立直角坐標系,把表示為關于角的三角函數,利用輔助角公式求最值是求解本題的關鍵;屬于中檔題.16、【解析】

利用求出公差，結合等差數列的通項公式可求.【詳解】設公差為，因為，所以，即.所以.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數列通項公式的求解，利用等差數列的基本量是求解這類問題的通性通法，側重考查數學運算的核心素養.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）取中點為,連接,由等邊三角形性質可得,再由面面垂直的性質可得,根據平行直線的性質可得,進而求證；（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,由點在棱上,可設,即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數量積求解；（3）設,,則,求得,,即可求得點的坐標,再由與平面的法向量垂直,進而求解.【詳解】（1）證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內,所以,所以.（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,則,,,,因為在棱上,可設,所以,設平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設直線與平面所成角為,所以,可知當時,取最大值.（3）設,則有,得,設,那么,所以,所以.因為,,所以.又因為,所以,,設平面的法向量為,則,即,,可得,即因為在平面內,所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運算能力與空間想象能力.18、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據莖葉圖求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）結合圖表得到6人中有2個人考核為優，從而求出滿足條件的概率即可；（Ⅲ）求出滿足的成績有16個，求出滿足條件的概率即可．【詳解】解：（Ⅰ）設這名學生考核優秀為事件，由莖葉圖中的數據可以知道，30名同學中，有7名同學考核優秀，所以所求概率約為（Ⅱ）設從圖中考核成績滿足的學生中任取2人，至少有一人考核成績優秀為事件，因為表中成績在的6人中有2個人考核為優，所以基本事件空間包含15個基本事件，事件包含9個基本事件，所以（Ⅲ）根據表格中的數據，滿足的成績有16個，所以所以可以認為此次冰雪培訓活動有效．【點睛】本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉化思想，是一道常規題．19、（Ⅰ），（Ⅱ）見解析【解析】

（1）根據導數的運算法則，求出函數的導數，利用切線方程求出切線的斜率及切點，利用函數在切點處的導數值為曲線切線的斜率及切點也在曲線上，列出方程組，求出，值；（2）首先將不等式轉化為函數，即將不等式右邊式子左移，得，構造函數并判斷其符號，這里應注意的取值范圍，從而證明不等式.【詳解】解：（1）由于直線的斜率為，且過點，故即解得，.（2）由（1）知，所以.考慮函數，，則.而，故當時，，所以，即.【點睛】本題考查了利用導數求切線的斜率，利用函數的導數研究函數的單調性、和最值問題，以及不等式證明問題，考查了分析及解決問題的能力，其中，不等式問題中結合構造函數實現正確轉換為最大值和最小值問題是關鍵.20、(1)(2)①②第一種抽獎方案.【解析】

(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金劵的概率為，根據相互獨立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金劵的概率(2)①分別計算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計算即可，方案二根據二項分布計算期望即可②根據①得出結論.【詳解】（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為設“每位顧客獲得180元返金劵”為事件A，則所以兩位顧客均獲得180元返金劵的概率（2）①若選擇抽獎方案一，則每一次摸到紅球的概率為，每一次摸到白球的概率為.設獲得返金劵金額為元，則可能的取值為60，100，140，180.則；；；.所以選擇抽獎方案一，該顧客獲得返金劵金額的數學期望為（元）若選擇抽獎方案二，設三次摸球的過程中，摸到紅球的次數為，最終獲得返金劵的金額為元，則，故所以選擇抽獎方案二，該顧客獲得返金劵金額的數學期望為（元）.②即，所以該超市應選擇第一種抽獎方案【點睛】本題主要考查了古典概型，相互獨立事件的概率，二項分布，期望，及概率知識在實際問題中的應用，屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）對分三種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結果;（2）.作出函數的圖象,當直線與函數的圖