課件園PAGE第十章算法、統計與概率第1課時算法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(對應學生用書（文）145～147頁,（理）151～153頁))考情分析考點新知①算法初步是高中數學新課程標準中新添加的內容，高考對本章的考查主要以填空題的形式出現，單獨命題以考查考生對流程圖的識別能力為主，對算法語言的閱讀理解能力次之，考查用自然語言敘述算法思想的可能性不大.②算法可結合在任何試題中進行隱性考查，因為算法思想在其他數學知識中的滲透是課標的基本要求，常見的與其他知識的結合有分段函數、方程、不等式、數列、統計等知識綜合，以算法為載體，以算法的語言呈出，實質考查其他知識．①了解算法的含義、算法的思想.②理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、選擇、循環.③理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句的含義.1.(必修3P37測試1改編)閱讀程序框圖，若輸入的a，b，c分別為14，6，20，則輸出的a，b，c分別是________．答案：20，14，6解析：該程序框圖的作用是交換a，b，c的值，逐一進行即可．2.(必修3P37測試3改編)某算法的偽代碼如圖所示，若輸出y的值為3，則輸入x的值為________．ReadReadxIfx≤0Theny←x＋2Elsey←log2xEndIfPrinty答案：8解析：所給算法偽代碼的意義是求函數y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,log2x，x>0))的值，當輸出y的值為3，若輸入的x≤0，則x＋2＝3，解得x＝1不合，舍去；若輸入的x>0，則log2x＝3，解得x＝8.綜上所述，輸入x的值為8.3.(2013·連云港期末)下圖是一個算法流程圖，若輸入x的值為－4，則輸出y的值為________．(第3題圖)答案：2解析：算法流程圖的運行過程如下：條件YYYNx－47412輸出故輸出的y的值為2.4.(必修3P25習題7改編)閱讀如圖所示的偽代碼，若使這個算法執行的是－1＋3－5＋7－9的計算結果，則a的初始值x＝________．S←0a←xForIFrom1To9Step2S←S＋a×Ia←a×(－1)EndForPrintS(第4題圖)答案：－1解析：根據算法的循環結構知循環體第一次被執行后的結果應為0＋(－1)，故初始值x＝－1.(第5題圖)5.(2013·南通期末)已知實數x∈[1，9]，執行如右圖所示的流程圖，則輸出的x不小于55的概率為________．答案：eq\f(3,8)解析：由流程圖知，當輸入x時，各次循環輸出的結果分別是2x＋1，2(2x＋1)＋1＝4x＋3，2(4x＋3)＋1＝8x＋7，此時退出循環．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8x＋7≥55，,1≤x≤9，))解得6≤x≤9，故輸出的x不小于55的概率為P＝eq\f(9－6,9－1)＝eq\f(3,8).1.算法一般而言，對一類問題的機械的、統一的求解方法稱為算法．2.流程圖流程圖是由一些圖框和流程線組成的，其中圖框表示各種操作的類型，圖框中的文字和符號表示操作的內容，流程線表示操作的先后次序．3.構成流程圖的圖形符號及其作用(1)起止框用“”表示，是任何流程圖不可缺少的，表明算法的開始或結束；(2)輸入、輸出框用“”表示，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置，需要輸入的字母、符號、數據都填在框內；(3)處理框用“”表示，算法中處理數據需要的算式、公式等可以分別寫在不同的用以處理數據的處理框內；(4)當算法要求你對兩個不同的結構進行判斷時，需要將實現判斷的條件寫在判斷框內，判斷框用“”表示．4.基本的算法結構(1)算法都可以由順序結構、選擇結構、循環結構這三塊“積木”通過組合和嵌套表達出來．(2)流程圖可以方便直觀地表示三種基本的算法結構．5.偽代碼偽代碼是介于自然語言和計算機語言之間的文字和符號，是表達算法的簡單而實用的好方法．6.賦值語句用符號“x←y”表示，將y的值賦給x，其中x是一個變量，y是一個與x同類型的變量或表達式．7.輸入語句、輸出語句(1)輸入語句：“Reada，b”表示輸入的數據依次送給a，b．(2)輸出語句：“Printx”表示輸出運算結果x．8.條件語句條件語句的一般形式是IfAThenBElseCEndIf其中A表示判斷的條件，B表示滿足條件時執行的操作內容，C表示不滿足條件時執行的操作內容，EndIf表示條件語句結束．9.循環語句循環語句一般有三種：“While循環”“Do循環”“For循環”．(1)當型循環一般采用“While循環”描述循環結構．格式：eq\x(\a\al(While條件,循環體,EndWhile))先判斷條件是否成立，當條件成立時，執行循環體，遇到EndWhile語句時，就返回繼續判斷條件，若仍成立，則重復上述過程，若不成立，則退出循環．當型語句的特點是先判斷，后執行．(2)直到型循環可采用“Do循環”描述循環結構．格式：eq\x(\a\al(Do,循環體,Until條件,EndDo))先執行循環體部分，然后再判斷所給條件是否成立．如果條件不成立，那么再次執行循環體部分，如此反復，直到所給條件成立時退出循環．直到型語句的特點是先執行，后判斷．(3)當循環的次數已經確定，可用“For”語句表示．格式：ForIfrom初值to終值step步長循環體Endfor功能：根據For語句中所給定的初值、終值和步長，來確定循環次數，反復執行循環體內各語句．通過For語句進入循環，將初值賦給變量I，當循環變量的值不超過終值時，則順序執行循環體內的各個語句，遇到EndFor，將循環變量增加一個步長的值，再與終值比較，如果仍不超過終值范圍，則再次執行循環體．這樣重復執行，直到循環變量的值超過終值，則跳出循環．注：①只有當循環次數明確時，才能使用本語句；②Step可以省略，此時默認步長為1；③步長可以為正、負，但不能是0，否則會陷入“死循環”．步長為正時，要求終值大于初值，如果終值小于初值，循環將不能執行．步長為負時，要求終值必須小于初值．[備課札記]題型1流程圖的算法功能例1(2013·江蘇)下圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是________．答案：3解析：根據流程圖得，當n＝1時，a取初值2，進入循環體，a＝3×2＋2＝8，n＝1＋1＝2；由a<20進行第二次循環，a＝3×8＋2＝26，n＝2＋1＝3；此時a<20不成立，退出循環，從而最終輸出n＝3.eq\a\vs4\al(變式訓練)(2013·揚州調研)如圖所示的流程圖，若輸出的結果是15，則判斷框中的橫線上可以填入的最大整數為________．答案：49解析：算法流程圖在循環體中運行過程如下：條件YYYYYYYNs0+1=11+3=44+5=99+7=1616+9=2525+11=3636+13=49輸出i1+2=33+2=55+2=77+2=99+2=1111+2=1313+2=1515判斷框中的橫線上可以填入的最大整數為49.題型2算法偽代碼的算法功能例2(2013·南通一模)根據如圖所示的偽代碼，最后輸出的S的值為________．S→0ForIFrom1to28Step3S←S＋IEndForPrintS答案：145解析：由算法偽代碼知，此算法為計算首項為1，公差為3的等差數列的前10項的和，所以S＝1＋4＋…＋28＝eq\f(10（1＋28）,2)＝145.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)(2013蘇州調研)如下一段偽代碼中，Int(x)表示不超過x的最大整數，若輸入m＝6，n＝4，則最終輸出的結果n為________．Readm，nWhileeq\f(m,n)≠Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))c←m－n×Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))m←nn←cEndWhilePrintn答案：2解析：輸入m＝6，n＝4時，eq\f(m,n)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，而Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))＝Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,4)))＝1，顯然eq\f(m,n)≠Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))，進行循環體，執行c＝m－n×Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))＝6－4×1＝2，并將m←4，n←2；從而eq\f(m,n)＝eq\f(4,2)＝2，Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))＝Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))＝2，判斷條件eq\f(m,n)＝Inteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))，退出循環，故輸出n＝2.題型3算法與相關知識的交匯例3如圖是討論三角函數某個性質的程序框圖，若輸入ai＝sineq\f(i,11)π(i∈N*)，則輸出的i的值是________．答案：22解析：根據流程圖所示的算法，可知：該程序的作用是計算：S＝a1＋a2＋…＋an＝sineq\f(π,11)＋sineq\f(2π,11)＋…＋sineq\f(nπ,11)，并判斷滿足條件S≤0的最小整數i－1的值．結合三角函數的正弦線可得：S＝sineq\f(π,11)＋sineq\f(2π,11)＋…＋sineq\f(20π,11)>0，S＝sineq\f(π,11)＋sineq\f(2π,11)＋…＋sineq\f(21π,11)＝0，故滿足條件的i值為22，故答案為22.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)(2013·合肥模擬改)如圖所示，算法流程圖輸出的n為________．答案：13解析：由框圖可知，該程序為求數列an＝eq\f(1,2n－13)的前n項和大于零的n的最小值，由an的形式可知：S12＝0，a13>0，S13>0，所以輸出的n值為13.1.(2013·鹽城二模)如圖，該程序運行后輸出的結果為________．(第1題圖)答案：16解析：由流程圖知，在循環體中執行運算：第一循環：b＝2，a＝2；第二循環：b＝22＝4，a＝3；第三循環：b＝24＝16，a＝4；不滿足條件a<4，退出循環，故輸出b＝16.2.如圖，Ni表示第i個學生的學號，Gi表示第i個學生的成績，已知學號在1～10的學生的成績依次為401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，則打印出的第5組數據是________.(第2題圖)答案：8，361解析：本題流程圖表示的算法功能是篩選成績大于等于360分的學生，打印出他們的學號和成績，所以打印出的第5組數據是8，361.3.(2013·北京(改))執行如圖所示的程序框圖，輸出的S＝________．(第3題圖)答案：eq\f(13,21)解析：執行第一次循環時S＝eq\f(12＋1,2×1＋1)＝eq\f(2,3)，i＝1；第二次循環S＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)＋1,2×\f(2,3)＋1)＝eq\f(13,21)，i＝2，此時退出循環．故輸出S＝eq\f(13,21).4.如圖是一個算法流程圖，則輸出的k＝________．(第4題圖)答案：5解析：根據流程圖所示的順序，程序的運行過程中變量值變化如下表：是否繼續循環kk2－5k＋4循環前00第一圈是10第二圈是2－2第三圈是3－2第四圈是40第五圈是54第六圈否輸出5∴最終輸出結果k＝5.1.(2013·蘇錫常一模)根據下圖所示的偽代碼，輸出的結果T為________．T←1I←3WhileI＜20T←T＋ⅠI←I＋2EndWhilePrintT答案：100解析：圖中偽代碼表示的算法是T＝1＋3＋5＋…＋19＝eq\f(10（1＋19）,2)＝100，所以輸出T＝100.2.定義一種新運算“”：S＝ab，其運算原理為如圖的程序框圖所示，則式子54－36＝________．答案：1解析：由框圖可知S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b（a＋1），a≤b，,a（b＋1），a>b，))從而可得54－36＝5×(4＋1)－(3＋1)×6＝1.3.(2013·西亭期中)如下給出的是一個與定義在R上f(x)＝x3＋sinx相關的算法語言，一個公差不為零的等差數列{an}，使得該程序能正常運行且輸出的結果恰好為0，請寫出一個符合條件的數列{an}的通項公式_______．n←1S←0Whilei≤10x←anS←S＋f(x)n←n＋1EndWhliePrintS答案：an＝n－5.5等(答案不唯一)解析：易見f(x)是奇函數，而由題意，要使f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a10)＝0，可考慮f(ai)＋f(a11－i)＝0(i＝1，2，3，4，5)，由于{an}是等差數列，因而又可考慮ai＋a11－i＝0(i＝1，2，3，4，5)，如an＝2n－11，an＝n－5.5等(答案不唯一)．4.貨物運輸價格P(元)與運輸距離s(km)有關，按下列公式定價(P為每噸貨物每千米的運價)P＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20，s＜100，,17.5，100≤s＜200，,15，200≤s＜300，,12.5，300≤s＜500，,10，s≥500.))現輸入s和貨物的噸數ω，畫出計算總運費的流程圖．解：流程圖如圖所示：1.求解偽代碼問題的基本思路關鍵是理解基本算法語言．在一個賦值語句中，只能給一個變量賦值，同一個變量的多次賦值的結果以算法順序的最后一次為準．對于條件語句要注意準確判斷和語句格式的完整性理解．對于循環語句，要注意是“N”循環，還是“Y”循環，弄清何時退出循環．2.注意算法與其他知識的綜合交匯，特別是用流程圖來設計數列的求和是高考的常考題型．數列的求和計算問題是典型的算法問題，要求能看懂流程圖和偽代碼，能把流程圖或偽代碼轉化為數列問題，體現了化歸的思想方法．eq\a\vs4\al(請使用課時訓練（A）第1課時（見活頁）.)

第2課時統計初步(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(對應學生用書（文）148～149頁,（理）154～155頁))考情分析考點新知統計部分重點考查數據收集、處理的基本能力．抽樣方法在高考中多為基礎題，常以填空題的形式出現，以實際問題為背景，綜合考查學生學習基礎知識、解決實際問題的能力，考查熱點為分層抽樣、系統抽樣．①理解隨機抽樣的必要性和重要性.②會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統抽樣方法.1.(原創)為了抽查某城市汽車尾氣排放執行標準情況，在該城市的主干道上采取抽取車牌末位數字為5的汽車檢查，這種抽樣方法稱為________．答案：系統抽樣解析：由于這種抽樣方法采用抽取車牌末位數字為5的汽車檢查，可以看成是將所有的汽車車牌號分段為若干段(一個車牌末位數字從0到9為一段)，每一段抽取一個個體，因此它符合系統抽樣的特征，故答案為系統抽樣．2.(必修3P47練習1改編)為了解某校一次知識競賽的1252名學生的成績，決定采用系統抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，那么總體中隨機剔除個體的數目是____________．答案：2解析：1252除以50的余數就是總體中需要隨機剔除個體的數目．3.(必修3P49練習3改編)某中學高中一年級有400人，高中二年級有320人，高中三年級有280人，現從中抽取一個容量為200人的樣本，則高中二年級被抽取的人數為________．答案：64解析：由題意，應采用分層抽樣，則高中二年級被抽取的人數為320×eq\f(200,400＋320＋280)＝64.4.(必修3P52習題2改編)某單位有200名職工，現要從中抽取40名職工作樣本，用系統抽樣法，將全體職工隨機按1～200編號，并按編號順序平均分為40組(1～5號，6～10號，…，196～200號)．若第5組抽出的號碼為23，則第8組抽出的號碼應是________．答案：38解析：由題意易見系統抽樣的間隔為5，設第一段中抽取的起始的個體編號為l，由第5組抽出的號碼為23得l＋4×5＝23，所以l＝3，故第8組抽出的號碼是3＋7×5＝38.5.(必修3P50例3改編)某城區有農民、工人、知識分子家庭共計2000家，其中農民家庭1800戶，工人家庭100戶．現要從中抽取容量為40的樣本調查家庭收入情況，則在整個抽樣過程中，可以用到下列抽樣方法的是________．(填序號)①簡單隨機抽樣；②系統抽樣；③分層抽樣．答案：①②③解析：由于各家庭有明顯差異，所以首先應用分層抽樣的方法分別從農民、工人、知識分子這三類家庭中抽出若干戶，即36戶、2戶、2戶．又由于農民家庭戶數較多，那么在農民家庭這一層宜采用系統抽樣；而工人、知識分子家庭戶數較少，宜采用簡單隨機抽樣法．故整個抽樣過程要用到①②③三種方法．1.簡單隨機抽樣(1)定義從個體數為N的總體中逐個不放回地取出n個個體作為樣本(n<N)，如果每個個體都有相同的機會被取到，那么這樣的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣．(2)分類簡單隨機抽樣eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(抽簽法，,隨機數表法Ｗ.))2.系統抽樣的步驟假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，系統抽樣的步驟為：(1)采用隨機的方式將總體中的N個個體編號；(2)將編號按間隔k分段，當eq\f(N,n)是整數時，k＝eq\f(N,n)；當eq\f(N,n)不是整數時，從總體中剔除若干個個體，使剩下的總體中個體的個數N′能被n整除，這時k＝eq\f(N′,n)，并將剩下的總體重新編號；(3)在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號l；(4)按照一定的規則抽取樣本，通常將編號為l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的個體抽出．3.分層抽樣當總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個體按不同的特點分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比例實施抽樣，這種抽樣方法叫分層抽樣．[備課札記]題型1簡單隨機抽樣例1總體編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為________．7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481答案：01解析：依題意，第一次得到的兩個數字為65，由于65>20，將它去掉；第二次得到的兩個數字為72，由于72>20，將它去掉；第三次得到的兩個數字為08，由于08<20，說明號碼08在總體內，將它取出；繼續向右讀，依次可以取出02，14，07，02；但由于02在前面已經選出，故需要繼續選一個．再選一個就是01.故選出來的第5個個體是01.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)現要從20名學生中抽取5名進行問卷調查，請按正確的順序表示抽取樣本的過程：________(填序號)．①編號：將20名學生按1到20進行編號；②裝箱：將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；③抽簽：從箱中依次抽出5個號簽；④制簽：將1到20這20個號碼寫在形狀、大小完全相同的號簽上；⑤取樣：將與號簽號碼相同的5個學生取出．答案：①④②③⑤解析：由題意易知，本題的抽樣方法是抽簽法，根據抽樣步驟知，正確的順序為①④②③⑤.題型2系統抽樣例2下列抽樣中是系統抽樣的有__________．(填序號)①從標有1～15的15個球中，任取3個作為樣本，按從小號到大號排序，隨機選起點i0，以后i0＋5，i0＋10(超過15則從1再數起)號入樣；②在用傳送帶將工廠生產的產品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產品進行檢驗；③搞某一市場調查，規定在商場門口隨機抽一個人進行詢問，直到調查到事先規定的調查人數為止；④電影院調查觀眾的某一指標，通知每排(每排人數相等)座位號為14的觀眾留下來座談．答案：①②④解析：系統抽樣實際上是一種等距抽樣，只要按照一定的規則(事先確定即可以)．因此在本題中，只有③不是系統抽樣，因為事先不知道總體，不能保證每個個體按事先規定的概率入樣．eq\a\vs4\al(變式訓練)將參加夏令營的600名學生編號為：001，002，…，600.采用系統抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003，這600名學生分住在三個營區．從001到300在第Ⅰ營區，從301到495在第Ⅱ營區，從496到600在第Ⅲ營區．三個營區被抽中的人數依次為________．答案：25，17，8解析：根據系統抽樣的特點可知抽取的號碼間隔為eq\f(600,5)＝12，故抽取的號碼構成以3為首項，公差為12的等差數列．在第Ⅰ營區001～300號恰好有25組，故抽取25人，在第Ⅱ營區301～495號有195人，共有16組多3人，因為抽取的第一個數是3，所以Ⅱ營區共抽取17人，剩余50－25－17＝8人需從Ⅲ營區抽取．題型3分層抽樣例3某高級中學共有學生3000名，各年級男、女生人數如下表：高一年級高二年級高三年級女生523xy男生487490z已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.17.若現需對各年級用分層抽樣的方法在全校抽取300名學生，則應在高三年級抽取的學生人數為________．答案：99解析：由題設可知eq\f(x,3000)＝0.17，∴x＝510.∴高三年級人數為y＋z＝3000－(523＋487＋490＋510)＝990，現用分層抽樣的方法在全校抽取300名學生，應在高三年級抽取的人數為eq\f(300,3000)×990＝99.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)(2013·石家莊檢測)某單位200名職工的年齡分布情況如圖，現要從中抽取40名職工作樣本．用系統抽樣法，將全體職工隨機按1～200編號，并按編號順序平均分為40組(1～5號，6～10號，…，196～200號)．若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應是________．若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應抽取________人．答案：3720解析：由系統抽樣知識可知，將總體分成均等的若干部分指的是將總體分段，且分段的間隔相等．在第1段內采用簡單隨機抽樣的方法確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整數倍即為抽樣編號．由題意，第5組抽出的號碼為22，因為2＋(5－1)×5＝22，則第1組抽出的號碼應該為2，第8組抽出的號碼應該為2＋(8－1)×5＝37.由分層抽樣知識可知，40歲以下年齡段的職工占50%，按比例應抽取40×50%＝20(人)．1.某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為3∶3∶4，現用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應從高二年級抽取________名學生．答案：15解析：分層抽樣又稱分類抽樣或類型抽樣．將總體劃分為若干個同質層，再在各層內隨機抽樣或機械抽樣，分層抽樣的特點是將科學分組法與抽樣法結合在一起，分組減小了各抽樣層變異性的影響，抽樣保證了所抽取的樣本具有足夠的代表性．因此，由50×eq\f(3,3＋3＋4)＝15知應從高二年級抽取15名學生．2.(2013·連云港調研)某單位有職工52人，現將所有職工按1、2、3、…、52隨機編號，若采用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知6號、32號、45號職工在樣本中，則樣本中還有一個職工的編號是________．答案：19解析：按系統抽樣方法，分成4段的間隔為eq\f(52,4)＝13，顯然在第一段中抽取的起始個體編號為6，第二段應將編號6＋13＝19的個體抽出．這就是所要求的．3.(2013·湖南(文)改)某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n＝________．答案：13解析：(解法1)由分層抽樣得eq\f(n,120＋80＋60)＝eq\f(3,60)，解得n＝13.(解法2)從甲乙丙三個車間依次抽取a，b，c個樣本，則120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.4.(2013·濰坊模擬)某高中在校學生有2000人．為了響應“光體育運動”號召，學校開展了跑步和登山比賽活動．每人都參與而且只參與其中一項比賽，各年級參與比賽的人數情況如下表：高一年級高二年級高三年級跑步abc登山xyz其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校參與登山的人數占總人數的eq\f(2,5).為了了解學生對本次活動的滿意程度，從中抽取一個200人的樣本進行調查，則從高二年級參與跑步的學生中應抽取________．答案：36人解析：根據題意可知樣本中參與跑步的人數為200×eq\f(3,5)＝120，所以從高二年級參與跑步的學生中應抽取的人數為120×eq\f(3,2＋3＋5)＝36.1.(2013·金湖中學檢測)某工廠生產A、B、C三種不同型號的產品，產品數量之比為3∶4∶7，現用分層抽樣的方法抽取容量為n的樣本，樣本中A型號產品有15件，那么樣本容量n為________．答案：70解析：由題意設A、B、C三種產品的數量分別為3k、4k、7k，則eq\f(15,3k)＝eq\f(n,3k＋4k＋7k)，解得n＝70.2.某中學開學后從高一年級的學生中隨機抽取80名學生進行家庭情況調查，經過一段時間后，再次從這個年級隨機抽取100名學生進行學情調查，發現有20名學生上次被抽到過，估計這個學校高一年級的學生人數為________．答案：400解析：根據抽樣的等可能性，設高一年級共有x人，則eq\f(80,x)＝eq\f(20,100)，∴x＝400.3.采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入區間[1，450]的人做問卷A，編號落入區間[451，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數為________.答案：10解析：系統抽樣也稱等距抽樣，分段間隔為eq\f(960,32)＝30，由于第一組抽到的號碼為9，所以后面各組抽到的號碼成公差為30的等差數列，即第k組抽到的號碼為9＋30(k－1)＝30k－21，做問卷B的編號應滿足451≤30k－21≤750，解得15eq\f(11,15)≤k≤25eq\f(7,10)，由于k∈N，所以k＝16，17，…，25，這10組中每組抽一個個體，共抽到10個，故做問卷B的人數為10.4.下面給出某村委調查本村各戶收入情況所作的抽樣，閱讀并回答問題：①本村人口：1200人；戶數300戶，每戶平均人口數4人②應抽戶數：30③抽樣間隔：eq\f(1200,30)＝40④確定隨機數字：取一張人民幣，后兩位數為12⑤確定第一樣本戶：編號為12的戶為第一樣本戶⑥確定第二樣本戶：12＋40＝52，52號為第二樣本戶⑦……(1)該村委采用了何種抽樣方法？(2)抽樣過程存在哪些問題，試改之；(3)何處用的是簡單隨機抽樣？解：(1)系統抽樣．(2)本題是對某村各戶進行抽樣，而不是對某村人口抽樣．抽樣間隔為eq\f(300,30)＝10，其他步驟相應改為確定隨機數字：取一張人民幣，末位數為2(假設)．確定第一樣本戶：編號為02的住戶為第一樣本戶；確定第二樣本戶：2＋10＝12，12號為第二樣本戶；……(3)確定隨機數字：取一張人民幣，取其末位為2，這是簡單隨機抽樣．1.正確把握三種抽樣方法的適用范圍及特點，能根據具體情況正確選擇抽樣方法：當總體中的個體個數較少時，通常采用簡單隨機抽樣，一般可用從總體中逐個抽取的；當總體中的個體個數較多且均衡時，通常采用系統抽樣，將總體平均分成幾部分，按一定的規則分別在各部分中抽取；當總體是由差異明顯的幾部分組成時，則采用分層抽樣，將總體按差異分成幾層，按分層個體數之比抽取．2.實施簡單隨機抽樣，主要有兩種方法：抽簽法和隨機數表法．3.系統抽樣也叫等距抽樣，如果總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為k＝eq\f(N,n)，否則需隨機地從總體中剔除余數，然后重新分段進行系統抽樣．4.分層抽樣的關鍵是按“比例”，每層抽取的個體可以不一樣多，按各層個體數占總體的個體數的比確定各層應抽取的樣本容量，若按比例計算所得的個數不是整數，可作適當的近似處理．5.注意三種抽樣方法的比較．無論采用何種抽樣方法，必須保證在整個抽樣過程中每個個體被抽到的機會相等．eq\a\vs4\al(請使用課時訓練（B）第2課時（見活頁）.)[備課札記]

第3課時統計初步(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(對應學生用書（文）150～152頁,（理）156～158頁))考情分析考點新知用樣本的頻率分布、特征數來估計總體的分布，在高考中常以填空題的形式出現，以實際問題為背景，綜合考查學生對基礎知識的掌握程度以及一定的讀圖能力．熱點問題是頻率分布直方圖和用樣本的數字特征估計總體的數字特征．①了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點.②理解樣本平均數的意義和作用，會計算樣本平均數、方差和標準差.③會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，理解用樣本估計總體的思想.④會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題.1.(必修3P55練習2改編)一個容量為20的樣本數據，分組后，組別與頻數如下：組別[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數234542則樣本在(20，50]上的頻率為________．答案：0.6解析：本題考查樣本的頻率運算．據表知樣本分布在(20，50]的頻數3＋4＋5＝12，故其頻率為eq\f(12,20)＝0.6.2.(必修3P61練習2改編)某籃球運動員在7天中進行投籃訓練的時間(單位：min)用莖葉圖表示(如圖)，圖中左列表示訓練時間的十位數，右列表示訓練時間的個位數，則該運動員這7天的平均訓練時間為________min.6457725801答案：72解析：由莖葉圖知平均訓練時間為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(64＋65＋67＋72＋75＋80＋81)＝72.3.(必修3P68練習4改編)下表是一個容量為20的樣本數據分組后的頻數分布，若利用組中值計算本組數據的平均值eq\o(a,\s\up6(－))，則eq\o(a,\s\up6(－))＝________．數據[10.5，13.5)[13.5，16.5)[16.5，19.5)[19.5，22.5)頻數4664答案：16.5解析：eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(12×4＋15×6＋18×6＋21×4)＝eq\f(1,20)×330＝16.5.4.(必修3P71練習1改編)某射擊選手連續射擊5槍命中的環數分別為：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，則這組數據的方差為________．答案：0.032解析：數據9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均數＝eq\f(9.7＋9.9＋10.1＋10.2＋10.1,5)＝10，方差＝eq\f(1,5)(0.09＋0.01＋0.01＋0.04＋0.01)＝0.032.故答案為0.032.5.小波一星期的總開支分布圖如圖①所示，一星期的食品開支如圖②所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為________．答案：3%解析：由圖②可知，雞蛋占食品開支的比例為eq\f(30,30＋40＋100＋80＋50)＝10%，結合圖①可知小波在一個星期的雞蛋開支占總開支的比例為30%×10%＝3%.1.繪制頻率分布表的步驟(1)求全距，決定組距和組數，組距＝eq\f(全距,組數)．(2)分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間．(3)登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表．2.作頻率分布直方圖的方法(1)先制作頻率分布表，然后作直角坐標系；(2)把橫軸分成若干段，每一線段對應一個組的組距，然后以此線段為底作一矩形，它的高等于該組的eq\f(頻率,組距)，這樣得出一系列的矩形．(3)每個矩形的面積恰好是該組的頻率，這些矩形就構成了頻率分布直方圖．3.莖葉圖莖相同者共用一個莖(如兩位數中的十位數)，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉(如兩位數中的個位數)，一般按從小到大(或從大到小)的順序同行列出．這樣將樣本數據有條理地列出來的圖形叫做莖葉圖．其優點是要樣本數據較少時，莖葉圖可以保留樣本數據的所有信息，直觀反映出數據的水平狀況、穩定程度，且便于記錄和表示；缺點是對差異不大的兩組數據不易分析，且樣本數據很多時效果不好．4.平均數、標準差和方差設一組樣本數據x1，x2，…，xn，其平均數為x－，則x－＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，稱s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1（xi－x－,n,))2為這個樣本的方差，稱其算術平方根s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1（xi－x－,n,)）2)為這個樣本的標準差．[備課札記]

題型1頻率分布直方圖及其應用例1(2013·南京二模)根據2012年初我國發布的《環境空氣質量指數AQI技術規定(試行)》，AQI共分為六級：(0，50]為優，(50，100]為良，(100，150]為輕度污染，(150，200]為中度污染，(200，300]為重度污染，300以上為嚴重污染.2012年12月1日出版的《A市早報》對A市2012年11月份中30天的AQI進行了統計，頻率分布直方圖如圖所示．根據頻率分布直方圖，可以看出A市該月環境空氣質量優、良的總天數為________．答案：12解析：空氣質量優、良的AQI指數小于等于100，由頻率分布直方圖知，其頻率為(0.002＋0.006)×50＝0.4，所以該市11月份中30天的空氣質量優、良的總天數為0.4×30＝12.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)(2013·常州高級中學模擬)根據國家質量監督檢驗檢疫局發布的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》(GB19522—2004)中規定車輛駕駛人員血液酒精含量：“飲酒駕車非醉酒駕車”的臨界值為20mg/100mL；“醉酒駕車”的臨界值為80mg/100mL.某地區交通執法部門統計了5月份的執法記錄數據：血液酒精含量(單位：mg/100mL)0～2020～4040～6060～8080～100人數18011522根據此數據，可估計該地區5月份“飲酒駕車非醉酒駕車”發生的頻率為________．答案：0.09解析：由統計表可知，“飲酒駕車非醉酒駕車”發生的頻數為11＋5＋2＝18，所以“飲酒駕車非醉酒駕車”發生的頻率為eq\f(18,200)＝0.09.題型2樣本的數字特征例2(2013·江蘇)抽樣統計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績(單位：環)，結果如下：運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩定(方差較小)的那位運動員成績的方差為________．答案：2解析：易得乙較為穩定，乙的平均值為：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(89＋90＋91＋88＋92,5)＝90.方差為：S2＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]/5＝2.eq\a\vs4\al(變式訓練)已知2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是3，則x1，x2，x3，…，xn的標準差為________．答案：eq\f(\r(3),2)解析：設x1，x2，x3，…，xn的標準差為s，則x1，x2，x3，…，xn的方差是s2，所以2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是4s2，由題意，4s2＝3，所以s＝eq\f(\r(3),2).題型3統計知識的綜合應用例3(2013·遼寧)為了考察某校各班參加課外書法小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數作為樣本數據，已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本數據互不相同，則樣本數據中的最大值為________．答案：10解析：由已知可設5個班級參加的人數分別為x1，x2，x3，x4，x5，又s2＝4，eq\o(x,\s\up6(－))＝7，所以[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]/5＝4，所以(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，即五個完全平方數之和為20，要使其中一個達到最大，這五個數必須是關于0對稱分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，所以五個班級參加的人數分別為4，6，7，8，10，最大數字為10.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)(2013·啟東中學訓練)在樣本的頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若第一個長方形的面積為0.02，前五個與后五個長方形的面積分別成等差數列且公差是互為相反數，若樣本容量為1600，則中間一組(即第五組)的頻數為_______．答案：360解析：設前五個長方形的面積成等差數列的公差為d，則9個小長方形的面積分別為0.02，0.02＋d，0.02＋2d，0.02＋3d，0.02＋4d，0.02＋3d，0.02＋2d，0.02＋d，0.02，而小長方形的面積就是該組數據的頻率，從而有9個小長方形的面積和為1，可得2(4×0.02＋eq\f(4×3,2)d)＋0.02＋4d＝1，解得d＝eq\f(41,800).所以第5組的頻率為0.02＋4×eq\f(41,800)＝eq\f(9,40)，故第5組的頻數為1600×eq\f(9,40)＝360.1.(2013·鹽城三模)下圖是7位評委給某作品打出的分數的莖葉圖，那么這組數據的方差是________．889990112答案：eq\f(12,7)解析：將莖葉圖中的每個數據減去90，得7個數據為－2，－1，－1，0，1，1，2，易得平均數eq\o(x,\s\up6(－))＝－2－1－1＋0＋1＋1＋2＝0，所以它們的方差為s2＝eq\f(1,7)[(－2)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋12＋12＋22]＝eq\f(12,7).這也是原數據的方差．2.某市高三數學抽樣考試中，對90分及其以上的成績情況進行統計，其頻率分布直方圖如右下圖所示，若(130，140]分數段的人數為90人，則(90，100]分數段的人數為________．答案：810解析：根據直方圖，組距為10，在(130，140]內的eq\f(頻率,組距)＝0.005，所以頻率為0.05，因為此區間上的頻數為90，所以這次抽考的總人數為1800人．因為(90，100]內的eq\f(頻率,組距)＝0.045，所以頻率為0.45，設該區間的人數為x，則由eq\f(x,1800)＝0.45，得x＝810，即(90，100]分數段的人數為810.3.某班有48名學生，在一次考試中統計出平均分數為70，方差為75，后來發現有2名同學的成績有誤，甲實得80分卻記為50分，乙實得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是________．答案：70，50解析：易得eq\o(x,\s\up6(－))沒有改變，eq\o(x,\s\up6(－))＝70，而s2＝eq\f(1,48)·[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋502＋1002＋…＋xeq\o\al(2,48))－48eq\o(x,\s\up6(－))2]＝75，s′2＝eq\f(1,48)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋802＋702＋…＋xeq\o\al(2,48))－48eq\o(x,\s\up6(－))2]＝eq\f(1,48)[(75×48＋48eq\o(x,\s\up6(－))2－12500＋11300)－48eq\o(x,\s\up6(－))2]＝75－eq\f(1200,48)＝75－25＝50.4.某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求圖中a的值；(2)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；(3)若這100名學生語文成績某些分數段的人數(x)與數學成績相應分數段的人數(y)之比如下表所示，求數學成績在[50，90)之外的人數.分數段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解：(1)依題意，得10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.(2)這100名學生語文成績的平均分為55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73分．(3)數學成績在[50，60)的人數為100×0.05＝5，數學成績在[60，70)的人數為100×0.4×eq\f(1,2)＝20，數學成績在[70，80)的人數為100×0.3×eq\f(4,3)＝40，數學成績在[80，90)的人數為100×0.2×eq\f(5,4)＝25，所以數學成績在[50，90)之外的人數為100－5－20－40－25＝10.1.(2013·淮安一模)已知某同學五次數學成績分別是：121，127，123，a，125，若其平均成績是124，則這組數據的方差是________．答案：4解析：由題意，eq\f(1,5)(121＋127＋123＋a＋125)＝124，解得a＝124，故方差為s2＝eq\f(1,5)[(－3)2＋32＋(－1)2＋02＋12]＝4.2.(2013·上海文)某學校高一年級男生人數占該年級學生人數的40%.在一次考試中，男、女生平均分數分別為75、80，則這次考試該年級學生平均分數為________．答案：78解析：平均成績＝eq\f(40,100)·75＋eq\f(60,100)·80＝78.3.(2013·山東文)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為91，現場做的9個分數的莖葉圖后來有一個數據模糊，無法辨認，在圖中以x表示：87794010x91則7個剩余分數的方差為________．答案：eq\f(36,7)解析：由題意，0≤x≤9，故去掉的一個最低分為87，最高分為99，則有eq\f(1,7)(87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91)＝91，解得x＝4.所以剩余7個數的方差s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋2(90－91)2＋2(91－91)2＋2(94－91)2]＝eq\f(36,7).4.(2013·新課標全國卷Ⅰ)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)．試驗的觀測結果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：2.93.0服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：2.70.5(1)分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？(2)根據兩組數據完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？A藥B藥.解：(1)設A藥觀測數據的平均數為x，B藥觀測數據的平均數為y.由觀測結果可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上計算結果可得x>y,因此可看出A藥的療效更好．(2)由觀測結果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結果有eq\f(7,10)的葉集中在莖2、3上，而B藥療效的試驗結果有eq\f(7,10)的葉集中在莖0、1上，由此可看出A藥的療效更好．1.總體分布反映的是總體在各個范圍內取值的比例情況，而這種分布一般是不清晰的，所以用樣本的分布估計總體分布，解頻率分布表問題的關鍵是正確理解頻率分布表，注意區分頻數、頻率的意義．2.對于每個個體所取不同數值較少的個體，常用條形圖表示其樣本分布，而對于每個個體所取不同數值較多或無限的總體，常用頻率分布直方圖表示其樣本分布．解頻率分布直方圖問題，識圖掌握信息是解決問題的關鍵，特別要注意縱、橫坐標代表的意義及單位．3.描述數據的數字特征的有平均數、眾數、中位數、方差等，其中平均數、眾數、中位數描述其集中趨勢，方差反映各個數據與其平均數的離散程度．解題時重在理解概念、公式并正確進行計算．eq\a\vs4\al(請使用課時訓練（A）第3課時（見活頁）.)[備課札記]

第4課時古典概型(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(對應學生用書（文）153～154頁,（理）159～160頁))考情分析考點新知概率的考查主要考查古典概型，計數的方法局限于枚舉法，因而命題者更趨向于考查概率的基本概念．①了解隨機事件發生的不確定性與頻率的穩定性，了解概率的意義以及概率與頻率的區別，知道根據概率的統計定義計算概率的方法.②理解古典概型的特點及其概率計算公式.③會計算一些隨機事件上所含的基本事件及事件發生的概率.1.(必修3P94練習3改編)下列事件：①若x∈R，則x2<0；②沒有水分，種子不會發芽；③拋擲一枚均勻的硬幣，正面向上；④若兩平面α∥β，mα且nβ，則m∥n.其中________是必然事件，________是不可能事件，________是隨機事件．答案：②①③④解析：對x∈R，有x2≥0，①是不可能事件；有水分，種子才會發芽，②是必然事件；拋擲一枚均勻的硬幣，“正面向上”既可能發生也可能不發生，③是隨機事件；若兩平面α∥β，mα且nβ，則m∥n或異面，④是隨機事件．2.甲、乙兩人各寫一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是________．答案：eq\f(1,2)解析：(甲送給丙、乙送給丁)、(甲送給丁，乙送給丙)、(甲、乙都送給丙)、(甲、乙都送給丁)共四種情況，其中甲、乙將賀年卡送給同一人的情況有兩種，所以甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3.(必修3P103練習3改編)袋中有1個白球，2個黃球，先從中摸出一球，再從剩下的球中摸出一球，兩次都是黃球的概率為________．答案：eq\f(1,3)解析：將3個球編號，記1個白球1號，2個黃球分別為2號、3號，則先后兩次摸出兩球共有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共6種等可能結果，其中兩次都是黃球的有(2，3)，(3，2)兩種結果，故兩次都是黃球的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4.下圖是某公司10個銷售店某月銷售某產品數量(單位：臺)的莖葉圖，則數據落在區間[22，30)內的概率為________．1892122793003答案：0.4解析：由莖葉圖可知數據落在區間[22，30)的頻數為4，故數據落在[22，30)的頻率為eq\f(4,10)＝0.4，故數據落在區間[22，30)內的概率為0.4.5.(必修3P103練習5改編)已知某拍賣行組織拍賣的6幅名畫中，有2幅是贗品．某人在這次拍賣中隨機買入了兩幅畫，則此人買入的兩幅畫中恰有一幅畫是贗品的概率為________．答案：eq\f(8,15)解析：將6幅名畫編號為1，2，3，…，6，不妨設其中的5，6號是贗品．某人在這次拍賣中隨機買入了兩幅畫有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15個基本事件，其中買入的兩幅畫中恰有一幅畫是贗品有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}等8個基本事件，故所求的概率為eq\f(8,15).1.事件(1)基本事件：在一次隨機試驗中可能出現的每一個基本結果．(2)等可能基本事件：在一次試驗中，每個基本事件發生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件．2.古典概型的特點(1)所有的基本事件只有有限個．(2)每個基本事件的發生都是等可能的．3.古典概型的計算公式如果一次試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發生的概率都是eq\f(1,n)；如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發生的概率P(A)＝eq\f(m,n)，即P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件數,試驗的基本事件總數).[備課札記]題型1隨機事件的頻率與概率例1(必修3P91習題3改編)某射擊運動員在同一條件下進行練習，結果如下表所示：射擊次數n102050100200500擊中10環次數m8194492178452擊中10環頻率(1)計算表中擊中10環的各個頻率；(2)這位射擊運動員射擊一次，擊中10環的概率為多少？解：(1)擊中10環的頻率依次為0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.904.(2)這位射擊運動員射擊一次，擊中10環的概率約是0.9.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)某籃球運動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結果如下：投籃次數n8101291016進球次數m6897712進球頻率m/n(1)計算表中進球的頻率；(2)這位運動員投籃一次，進球的概率是多少？解：(1)由公式可計算出每場比賽該運動員罰球進球的頻率依次為eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)＝0.75，eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)＝0.8，eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)＝0.75，eq\f(7,9)≈0.78，eq\f(7,10)，eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)＝0.75.(2)由(1)知，每場比賽進球的頻率雖然不同，但頻率總是在eq\f(3,4)的附近擺動，故可知該運動員進球的概率為eq\f(3,4).題型2簡單的古典概型問題例2袋內裝有6個球，這些球依次被編號為1，2，3，…，6，設編號為n的球質量為n2－6n＋12(單位：g)，如果從這些球中不放回的任意取出2個球(不受重量、編號的影響)，求取出的兩球質量相等的概率．解：(解法1)不放回的任意取出2個球可理解為先后取出兩球，若記兩次取出的球編號為有序數對(m，n)，其中m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，由于第一次取出的球有6種等可能結果，且對每一種結果，第二次都有5種等可能的結果，故共有6×5＝30個基本事件(可用坐標法表示)．設編號分別為m與n(m，n∈{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)球的重量相等，則有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.滿足m＋n＝6的情形為(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，共4種情形．故所求事件的概率為eq\f(4,30)＝eq\f(2,15).(解法2)不放回的任意取出2個球也可理解為無序地一起取出兩球，則取出的兩球的序號集合為{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15種．設編號分別為m與n(m，n∈{1，2，3，4，5，6}，且m≠n)球的重量相等，則有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.滿足m＋n＝6的情形為(1，5)，(2，4)，共2種情形．故所求事件的概率為eq\f(2,15).eq\a\vs4\al(變式訓練)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較．在試制某種洗滌劑時，需要選用兩種不同的添加劑．現有芳香度分別為1，2，3，4，5，6的六種添加劑可供選用．根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗．用X表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和．求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于6的概率．解：(解法1)(有序模式)設試驗中先取出x，再取出y(x，y＝1，2，3，4，5，6)，試驗結果記為(x，y)，則基本事件列舉有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，共30種結果，事件X結果有(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)，故P(X)＝eq\f(4,30)＝eq\f(2,15).(解法2)(無序模式)設任取兩種添加劑記為(x，y)(x，y＝1，2，…，6)，基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，…，(5，6)共15種．事件X＝6取法有(1，5)，(2，4)，故P(X)＝eq\f(2,15).題型3古典概型與統計的綜合例3(2013·天津)某產品的三個質量指標分別為x，y，z，用綜合指標S＝x＋y＋z評價該產品的等級．若S≤4，則該產品為一等品．先從一批該產品中，隨機抽取10件產品作為樣本，其質量指標列表如下：產品編號A1A2A3A4A5質量指標(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)產品編號A6A7A8A9A10質量指標(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的樣本數據估計該批產品的一等品率；(2)在該樣品的一等品中，隨機抽取兩件產品，①用產品編號列出所有可能的結果；②設事件B為“在取出的2件產品中，每件產品的綜合指標S都等于4”，求事件B發生的概率解：(1)計算10件產品的綜合指標S，如下表：產品編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為eq\f(6,10)，從而可估計該批產品的一等品率為0.6.(2)①在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產品的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種．②在該樣本的一等品中，綜合指標S等于4的產品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發生的可能結果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．所以P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)(2013·廣東文)從一批蘋果中，隨機抽取50個，其重量(單位：g)的頻數分布表如下：分組(重量)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100)頻數(個)5102015(1)根據頻數分布表計算蘋果的重量在[90，95)的頻率；(2)用分層抽樣的方法從重量在[80，85)和[95，100)的蘋果中共抽取4個，其中重量在[80，85)的有幾個？(3)在(2)中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在[80，85)和[95，100)中各有一個的概率．解：(1)重量在[90，95)的頻率＝eq\f(20,50)＝0.4.(2)若采用分層抽樣的方法從重量在[80，85)和[95，100)的蘋果中共抽取4個，則重量在[80，85)的個數＝eq\f(5,5＋15)×4＝1.(3)設在[80，85)中抽取的一個蘋果為x，在[95，100)中抽取的三個蘋果分別為a、b、c，從抽出的4個蘋果中，任取2個共有(x，a)，(x，b)，(x，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)6種情況，其中符合“重量在[80，85)和[95，100)中各有一個”的情況共有(x，a)，(x，b)，(x，c)3種；設“抽出的4個蘋果中，任取2個，重量在[80，85)和[95，100)中各有一個”為事件A，則事件A的概率P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).1.現有10個數，它們能構成一個以1為首項，－3為公比的等比數列，若從這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是________．答案：eq\f(3,5)解析：∵以1為首項，－3為公比的等比數列的10個數為1，－3，9，－27，…，其中有5個負數，1個正數1共6個數小于8，∴從這10個數中隨機抽取一個數，它小于8的概率是eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).2.(2013·連云港調研)在數字1、2、3、4四個數中，任取兩個不同的數，其和大于積的概率是________．答案：eq\f(1,2)解析：在數字1、2、3、4四個數中任取兩個不同的數有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6個基本事件，其中和大于積的有3個，即{1，2}，{1，3}，{1，4}，故其和大于積的概率是eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).3.口袋中有形狀和大小完全相同的四個球，球的編號分別為1，2，3，4.若從袋中隨機抽取兩個球，則取出的兩個球的編號之和大于5的概率為________．答案：eq\f(1,3)解析：在編號為1，2，3，4四個球中任取兩個球有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}共6個基本事件，其中編號之和大于5的有2個，即{2，4}，{3，4}，故兩個球的編號之和大于5的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).4.(2013·江蘇)現有某類病毒記作XmYn，其中正整數m、n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m、n都取到奇數的概率為________．答案：eq\f(20,63)解析：由題意，正整數m有7種等可能的結果，且對于m的每一個值，n都有9種情況，故共有基本事件總數為7×9＝63種，而m取到奇數的有1，3，5，7共4種情況；n取到奇數的有1，3，5，7，9共5種情況，所以滿足m、n都取到奇數的基本事件數為4×5＝20，故m、n都取到奇數的概率為eq\f(20,63).1.判斷下列命題正確與否．(1)先后擲兩枚質地均勻的硬幣，等可能出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”三種結果；(2)某袋中裝有大小均勻的三個紅球、兩個黑球、一個白球，任取一球，那么每種顏色的球被摸到的可能性相同；(3)從－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一數，取到的數小于0與不小于0的可能性相同；(4)分別從3名男同學、4名女同學中各選一名代表，男、女同學當選的可能性相同．解：以上命題均不正確．(1)應為四種結果，還有一種是“一反一正”．(2)摸到紅球的概率為eq\f(1,2)，摸到黑球的概率為eq\f(1,3)，摸到白球的概率為eq\f(1,6).(3)取到小于0的數的概率為eq\f(4,7)，取到不小于0的數的概率為eq\f(3,7).(4)男同學當選的概率為eq\f(1,3)，女同學當選的概率為eq\f(1,4).2.(2013·德州模擬)先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標有點數1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的點數分別為x、y，則滿足log2xy＝1的概率為________．答案：eq\f(1,12)解析：由log2xy＝1得2x＝y.又x∈{1，2，3，4，5，6}，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以滿足題意的有x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3種情況．所以所求的概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).3.(2013·北京西城模擬)下面莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為_________．答案：eq\f(4,5)解析：記其中被污損的數字為x.依題意得甲的五次綜合測評的平均成績是eq\f(1,5)×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次綜合測評的平均成績是eq\f(1,5)×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq\f(1,5)(442＋x)．令90>eq\f(1,5)(442＋x)，由此解得x<8，即x的可能取值是0～7，因此甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).4.(2013·山東文)某小組共有A、B、C、D、E五位同學，他們的身高(單位：m)以及體重指標(單位：kg/m2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標23.320.9(1)從該小組身高低于1.80的同學中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)從該小組同學中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9)中的概率．解：(1)從身高低于1.80的同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6個．由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現是等可能的．其中選到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)共3個．因此選到的2人身高都在1.78以下的概率為P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(2)從該小組同學中任選2人，其一切可能的結果組成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10個．由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現是等可能的．選到的2人身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9)中的概率為P1＝eq\f(3,10).求古典概型問題的基本步驟：(1)明確事件，分清概型．對于古典概型一定要滿足“所有基本事件只有有限個，且每個基本事件的發生都是等可能的”這兩個基本特征．(2)正確計數，套用公式．正確計算基本事件總數n及事件A包含的基本事件數n，再代入公式P(A)＝eq\f(m,n)進行計算．eq\a\vs4\al(請使用課時訓練（B）第4課時（見活頁）.)[備課札記]

第5課時古典概型(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(對應學生用書（文）155～156頁,（理）161～162頁))考情分析考點新知代數中函數、三角、方