立體幾何中的截面問題

、知識點梳理

一、截面問題的理論依據

(1)確定平面的條件

①不在同一平面的三點確定一個平面；②兩條平行線確定一個平面

(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線

(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內

(4)如果一條直線平行于一個平面，且經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行

(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行

二、截面問題的基本思路

1.定義相關要素

①用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面.

②此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線.

③此平面與幾何體的棱(或面)的交集(交點)叫做實截點.

④此平面與幾何體的棱(或面)的延長線的交點叫做虛截點.

⑤截面中能夠確定的一部分平面叫做截小面.

2.作截面的基本邏輯：找截點一連截線一圍截面

3.作裁面的具體步驟

(1)找截點：方式1：延長截小面上的一條直線，與幾何體的棱、面(或其延長部分)相交，交點即截點

方式2：過一截點作另外兩截點連線的平行線，交幾何體的棱于截點

(2)連截線：連接同一平面內的兩個截點，成截線

(3)圍截面：將各截線首尾相連，圍成截面

三、作截面的幾種方法

(1)直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交

線的過程。

(2)延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點。

(3)平行線法：過直線與直線外一點作截面，拖直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線

的平行線找到幾何體的截面的交線。

模型演練：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認為中點，等完全理解了，再改成任意等分點

方法：兩點成線相交法或者平行法

特征：1.三點中，有兩點連線在表面上.本題如下圖是EF(這類型的關鍵)；

2.“第三點”是在外棱上，如Ci,注意：此時合格Ci點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處,

只要在棱上就可以.

方法一：相交法，做法如下圖.

方法二：平行線法，做法如下圖.

菱形矩形任意五邊形任意六邊形正六邊形

(6)⑺⑻⑼(M

二、題型精講精練

【典例1］用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（）

A.直角三角形B.直角梯形C.正五邊形D.正六邊形

【答案】ABC

【分析】

根據正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一與四個答

案中的圖形進行比照，即可判斷選項.

【詳解】

當截面為三角形時，可能出現正三角形，但不可能出現直角三角形；

截面為四邊形時，可能出現矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現直角梯形；

當截面為五邊形時，不可能出現正五邊形；

截面為六邊形時，可能出現正六邊形，

故選：ABC.

【典彳列2】已知正四棱柱ABCD-A4GA中，BE=；BBi=2,4AB=3AA,,則該四棱柱被過點A，C,E

的平面截得的截面面積為.

【答案】12M

【分析】在。。上取點F,使得。尸=2,連接AECF,則四邊形AECF是平行四邊形，

由勾股定理可得AE,CE，AC,再結合余弦定理與面積公式即可求解

【詳解】由題意，正四棱柱ABCD-ASCQ中，BE=\BBi=2,4AB=34A，

4

可得〃=四=CJ=8,BE=2,在。。上取點尸，使得。尸=2,連接則有4尸=小小尸〃CE,

所以四邊形AECF是平行四邊形，由勾股定理可得

\E=>/62+62=6叵,CE=A/22+62=2屈,A.C=762+624-82=2扃.

A6+C6-4C272+40-136_小

所以COSNAEC=，所以sinNAEC=所以四邊形AECF是平

lA^ExCE2x672x2710-10

行四邊形的面積為AExECxsinZ4EC=6&X2A/1UX四=12加，故答案為：12加

【典例3］如圖，在正方體ABCD-ABCQ中，AB=4,E為棱BC的中點，/為棱AQ的四等分點（靠

近點口），過點AE,F作該正方體的截面，則該截面的周長是

[&案]+25+2dl3

3

【分析】首先根據面面平行的性質定理作出過點AE,尸的正方體的截面，從而求截面的周長.

【詳解】如圖，取G。的中點”，取CG上靠近點G的三等分點G,

連接AE,EG,G”,〃F,E4,易證AE//”￡A尸〃EG,則五邊形為所求截面.

84

因為AB=4,所以BE=CE=GH=""=2，AF=3，AF=1,CG=§,C,G=-

則AE=2區EG=2,GH=巫,HF=^,AF=5,故該截面的周長是

33

dkk廠小口〃廠4k9,75+25+2^13痂效寶/9后+25+2\/[^

AE+EG+GH+HF+Ar=---------------------?改合菜為:--------------?

33

【典例4】已知三棱錐A-88的所有棱長均相等，四個頂點在球。的球面上，平面a經過棱AB,AC,

S.

AD的中點，若平面a截三棱錐A-5c。和球。所得的截面面積分別為S2,則寸=（）

A.氈B.氈C.—D.—

8716萬8464乃

【答案】

【分析】根據平面截三棱錐A-38所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面積，即可求解.

【詳解】設平面a截三棱錐A-BCD所得正三角邊長為a,截面圓的半徑為r,則

14

由正弦定理可得廠=——-——=a，S,=兀/=4'"，=~~＞故選：B

sin60033s216萬

【題型訓練-刷模擬】

1.截面蹴問題

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（）

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形

【答案】D

【分析】用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形.

如圖，用平面去截正方體時最多和六個面相交得六邊形，

因此截面的形狀可能有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形,

不可能為七邊形，

故選:D.

2.（2023?全國?高三專題練習）已知在正方體ABC。-A由CQ中，￡,F,G分別是A8,BB、,的中

點，則過這三點的截面圖的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】利用平行畫出截面，進而判斷出正確答案.

【詳解】分別取AG、D、D、AO的中點V、M.N,連接G〃、HM、MN,

在正方體ABC。-46Gp中，E,F,G分別是A8,BB、,的中點,

-,HG//EN,HM//EF,FG//MN,

六邊形EFGHMN是過E,F,G這三點的截面圖,

.??過這三點的截面圖的形狀是六邊形.

故選：D

3.（2023?全國?高三專題練習）已知在長方體ABC。-ABCR中，AB=BB、=2BC,點、P,Q,T分別在棱

BB-CG和AB上，且B/=3BP,CQ=3C,Q,BT=3AT,則平面PQT截長方體所得的截面形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【分析】連接。尸并延長交8的延長線于點￡,連接ET并延長交相?于點S,

過點S作SR//EQ交。。于點/?,連接R。，即可得到截面圖形，從而得解.

【詳解】如圖連接QP并延長交CB的延長線于點E,連接ET并延長交AO于點S,

過點S作SR//EQ交。。于點/?,連接R。，

則五邊形尸QRS7即為平面PQT截該長方體所得的截面多邊形.

其中因為反尸=33尸，CQ=3ClQ,BT=3AT,

所以.EBPsECQ,則卷=襄=:，所以EB=gBC,

ECCQ32

SAAT111

又一SATs.EBT,所以^="=4,所以==

EBTB336

則SO=3A。，

6

顯然SDR^,ECQ,則黑=考，所以￡>R=初OR.

CCCQ91212

E

故選：C

4.（2023秋?江蘇南京?高三統考開學考試）在正方體A8CO-44GA中，過點8的平面a與直線A。垂直，

則&截該正方體所得截面的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】A

【分析】作出輔助線，證明出BO_L平面A4C，所以BOJ.AC，同理可證明BGJ-AC,得到AC_L平面

BCD,故平面a即為平面BG。，得到截面的形狀.

【詳解】連接8D8G，CQ,AC,

因為AA_L平面ABCD,B￡>u平面ABCD,

所以AA_LBD,

又四邊形A8CQ為正方形，所以AC，

又A4,AC=A,A4,,ACu平面44C，

所以3OJ?平面AAC，

因為ACu平面AAXC,

所以8￡>_LAC,

同理可證明BCJA?，

因為BC/BD=B,86,8。￡=平面8。1。，

故4。，平面86。，

故平面a即為平面BCQ,

則a截該正方體所得截面的形狀為三角形.

5.（2023?河南?模擬預測）在正方體A8CO-A4GA中，M,N分別為A。，GR的中點，過M,N,用三

點的平面截正方體A8C。-所得的截面形狀為（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【答案】B

【分析】在A8上取點。，且8Q=3A。，取CD中點為尸，在力口上取點R,且QR=3DR.通過一QA/sPCB,

可得ZAQM=NBPC,進而得出NA3P=ZAQM,QM〃BP.通過證明gN〃BP,得出瓦N〃QW.同理得

出NR〃BQ,即可得出正方體的截面圖形.

在A3上取點Q,且3Q=3AQ,取CO中點為P,連接QM.BP,NP,B、Q.

在。2上取點R,且RR=3DR,連結NR,MR.

因為晉=瞿44AMscB,

所以QAMs-PCB,所以=尸C.

又A8CD,所以乙4BP=ABPC,所以4BP=/AQM,

所以，QM〃BP.

因為MP分別為a。,CO的中點，所以PN〃C3,且PN=CC.

根據正方體的性質，可知BB"CG，且8B1=CG，

所以,PN〃BB、,且PN=明，

所以，四邊形是平行四邊形，

所以，B、N//BP,所以屁N〃QM.

同理可得，NR//B.Q.

所以，五邊形QMRN用即為所求正方體的截面.

故選：B.

6.（2023?全國?高三專題練習）在如圖所示的棱長為20的正方體A8CD-ABCQ中，點M為CD的中點,

點尸在側面ADRA上，且到40的距離為6,到4A的距離為5,則過點戶且與A"垂直的正方體截面的形

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】B

【分析】根據線面垂直的判定與性質，以及正方體的截面的性質、平面的基本性質，即可求解.

【詳解】如圖所示，過點P作EF//AR分別交的,￡>2于點E,F,因為ACJA。，可得E/FAQ,

在正方體AB8-A4GA中，CD,平面A。。圈,所以EF，CD

又CDA。=。,所以所工平面,A。U平面MOA，所以AQ±EF

過P作PK_L4R交于40點K,則PK=6,設KF=x

FKKPx6

則AE=V,所以拓=而,即第=而，則*=6

所以Ab=AK+K/=5+6=11

在正方形4BGA中，取CQ的中點“I，連接4Ml

則VA|MQ與VRGN,則=N2G

所以NNRM+NRMA=NNRM|+/RAM=90。,即AMA.QN

取8c的中點N,過F作FH//DN交B?于點H,連接。N,貝!JAM，尸"

又MM，平面ABIGA，所以M陷，尸〃，由MMcAM=陷

所以“，平面AM|M,所以F”J.4M

又EFcFH=F,所以平面EF〃

連接8G，過“作"G//8C1,由8CJM。，則5G//EE,所以HG//FE（且HG#FE）

連接EG,則四邊形EFHG為梯形，所以A例，平面EFHG

所以截面的形狀為四邊形邊形&HG.

故選：B.

7.（2023?上海?高三統考學業考試）如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFG”為截面，長方

形ABC。為底面，則四邊形EFGH的形狀為（）

A.梯形B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.不確定

【答案】B

【分析】根據長方體的性質，結合面面平行的性質有，G〃E￡EH//FG,即知EFG”的形狀.

【詳解】由長方體的性質：各對面平行，易處HG//EF,EHHFG,

：.EFG”為平行四邊形.

故選：B

2.求截面的面積

一、單選題

1.（2022春?山西朔州?高一校考階段練習）在正方體ABC。-A4GA中，棱長為3,E為棱B片上靠近用的

三等分點，則平面AER截正方體A8C￡>-AMGA的截面面積為（）

A.27nB.4而C.2>/22D.4歷

【答案】C

【分析】根據題意運用基本事實作出截面，根據截面的幾何特征求其面積即可.

【詳解】延長交于點尸，連接。尸交4G于點G,如圖，

在正方體ABCQ-A4G2中，面A。。4〃面BCG耳，

.ffiAFD,面4。。4=42，面4尸2面8。6耳=￡：6

ADJ/GE,又AD、=3RGE;叵

二.四邊形AEGD、是梯形，且為平面AEA截正方體ABCD-\B^D｛的截面.

又RG=AE=?在等腰梯形AEGQ中，過G作G"，A。，

：.GH=JDQ?-RH?=拒

S=g.（A0+EG）.G”=；.（應+3&）?VTT=2后.

故選：C.

2.（2022秋?安徽合肥.高三統考期末）已知正方體ABC。-44cA的棱長為2,M、N分別為4片、耳G的

中點，過M.N的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（）

A.2夜B.2石C.史3D.-

22

【答案】D

【分析】畫出圖形，可得最大面積的截面四邊形為等腰梯形MVCA,根據梯形的面積公式求解即可.

【詳解】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形MNC4,

其中MN=RAC=2yfi,AM=CN=y5,高為〃=

故面積為:、（&+2&b手=|.

故選:D.

3.（2023?安徽蚌埠?統考一模）如圖，正方體A8CD-AMGA的一個截面經過頂點AC及棱4同上一點K,

截面將正方體分成體積比為2:1的兩部分，則務的值為（）

A￡））

C.D

2-￥

【答案】C

【分析】畫出截面，得到截面把正方體分為三棱臺ABC-和另一幾何體，根據棱臺體積公式求出KB、,

進而求出的值.

【詳解】設正方體棱長為1,KB、=X,

如圖所示，該截面把正方體分為幾何體ABC-KB、M和另一幾何體，

由面面平行的性質可知：KMHAC,

延長AK,CM,相交于點0,則Oe平面A84A，且Ow平面BCCg,

又平面ABB4平面BCC1B、=叫，

所以0在直線上，即AK,CM,8月三線共點，

所以幾何體ABC-KgM為三棱臺，

其中三棱臺4BC-KAM上底面積是:f,下底面積為:，高等于1,

2N

所以丫=：；+；X?+J；x；x2Xl=；,解得：x=

J、乙乙V乙乙/J乙

的|、一上1非3-石3-752石-1

所以#=1———-1\K—x-j=-=——

22g2V5-12

故選：C

4.（2023春?全國?高一專題練習）己知三棱錐尸-4?。的所有棱長均為3,球。與棱以，PB,PC都相切,

且平面ABC被球。截得的截面面積為2兀，則球O的半徑為（）.

A.1B.亞C.2A/2D.后或2&

【答案】B

【分析】過點P向底面ABC作垂線，垂足為Q,連接A。，由球O截平面ABC所得的截面面積為2兀，

得截面圓的半徑為正,設球O的半徑為R,得。《=奴-2,過。作PA的垂線，垂足為D,得△PA。

POOD「

S.POD,可得"^7="777，進而求得R=&.

r./I

【詳解】過點P向底面ABC作垂線，垂足為。一連接A。，則球心O在線段PQ或其延長線上，

。1為正一ABC的中心，則Aqugx#ABux/LPO,=^P^-AO-=46.

設球O的半徑為R,因為球O截平面ABC所得的截面面積為2兀,

所以截面圓的半徑為近，所以OQ=JR2-2,R>42.

過O作PA的垂線，垂足為D,則OD=R,

POOD

△APAO|SPOD,所以萬7=777?

i.rl/itz.

①當點O在線段p?上時，機7M二2.=4即，/?2一2=太一舟,

3V3

貝！J/?2-3&R+4=0，且在-瓜28,解得R=6；

r

②當點o在線段p?的延長線上時，底+6萬=4即J/?。—2=扁—太,

3V3

貝！1R2-3折?+4=0，且同-#20,解得R=2&或R=應，

當/?=亞時，點O，。1重合，此時點O不在線段P。,的延長線上，故舍去：當R=2&時，切點D不在棱

PA上，不符合題意.

綜合①②可知，R=O,

故選：B.

5.（2023?吉林通化模擬預測）若球。是正三棱錐A-BCD的外接球,

8C=3,AB=26，點E在線段區4上，BA=3BE,過點E作球。的截面，則所得的截面中面積最小的截面

的面積為（）

A.—B,2兀C.—D.兀

33

【答案】A

【分析】設。是球心，。是等邊三角形BCZ）的中心，在三角形OD。中，^OO'2+DO'2=OD2,可求得

R=OD=2,再利用r2=R2-可得過E且垂直0E的截面圓最小即可.

如圖所示，其中。是球心，O'是等邊三角形BCD的中心，

可得O'B=O'D=BC=-Ji，AO'->/AB2—O'B2=3，

設球的半徑為R,在三角形如。中，由00,2+。0,2=。。2,

即（3-R）2+（6/=R2,解得R=2,即AO=2,

所以O'A=3O'O,

因為在A45O'中，。4=30,0,BA=3BE,

所以，OEHO'B,OE=-O'B=^-,

33

由題知，截面中面積最小時，截面圓與OE垂直，

4Q

設過E且垂直0E的截面圓的半徑為，貝產=六-。爐=4-3=],

R

所以，最小的截面面積為“2=^7r.

故選：A

6.（2023?四川內考模擬預測）已知球。是正三棱錐A-8CD（底面是正三角形，

頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=648=正，點E是線段BC的中點，過點E作球O

的截面，則所得截面面積的最小值是（）

3兀一2兀-兀?兀

A.—B.——C.-D.-

4324

【答案】A

【分析】如圖，。|是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，當截面垂直于OE時

截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.

【詳解】如圖：

。1是A在底面的射影，由正弦定理得，△38的外接圓半徑「=及—x'=l.

sin602

由勾股定理得棱錐的高|AQ卜萬i=1設球。的半徑為R,

則R2=0-R）2+I,解得R=I,

所以|00=0,即Q與。重合，

所以當過點E作球O的截面垂直于OE時，截面面積最小，

此時截面半徑為忸耳=乎，截面面積為年.故選：A.

7.（2023秋?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習）如圖，在棱長為1的正方體AB8-4BCA中，M,N

分別為棱力。的中點，過MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（）

【答案】C

【分析】易得正方體外接球的球心在其中心點。處，要使過MN的平面截該球得到的截面面積最小，則截

面圓的圓心為線段MN的中點。求解.

【詳解】解：如圖，

正方體外接球的球心在其中心點。處，球的半徑R=-1V12+12+12=—，

22

要使過MN的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點Q,

連接。則OM=ON=MN="，

2

所以0Q==乎，

此時截面圓的半徑r=JR2-OQ2=手，

此時，截面面積的最小值5=兀/=?兀.

O

故選：C.

8.(2023?四川成都?校聯考模擬預測)在三棱錐V-A8C中，8丫_1_平面3(7,%=1,AB=AC=y[2,

cos/HAC=E，點F為棱AU上一點，過點F作三棱錐V-ABC的截面，使截面平行于直線和AC,當

2

該截面面積取得最大值時，CF=()

A,巫

3

「V17

L.-------

4

【答案】B

【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表

示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式，結合二次函數性質確定截面面積取得最大值時參數的值，解直

角三角形即可求得答案.

【詳解】根據題意，在平面VAC內，過點F作防〃AC,交VC于點E；

在平面VBC內，過點E作EQ〃VB,交BC于點Q；

在平面VAB內，過點F作正￡>〃VB,交AB于點D,連接DQ,如圖所示，

E

一2

B

因為EAC,則一VC4s△KEF,設其相似比為k,即答=察=箓=%

V/iV(_<AC

貝!1E尸=后；

又因為V71=l,AC=A/2，cosZ-VAC=——，

2

VC=^l+2-2xlxV2x^y=1，貝!JVC'+VA?=AC。gpVC1V<4.

由余弦定理得,

又8V，平面必IC,VC,\Mu平面幺C,所以8VJ_VC,BV1VA.

又AB=C，則3V=1,BC=^2.

A17AnFD

因為則△A/:'Z)sAiAVB,則---=---=---,

AVABVB

EdAFVA-VF,,b,、iFDAF,,?,,

因為---=-------=\—k,所以---=---=\—k,即nFD=1—%,

K4VAVBVA

同理可得QE=1T,^QE=FD,

因為EQ〃VB,FD//VB,則EQ〃尸D,

故四邊形EF。。為平行四邊形；而EQu平面EFZ)。，出0平面后五。。,

故VB〃平面EFDQ,同理AC〃平面E/切。，

即四邊形EF。。為截面圖形；

又小」平面必IC,￡Fu平面VAC,則陰/_LEF,

又用〃VB,所以FD_LEF.

故平行四邊形EFDQ為矩形，則S矩儂住=EF.FD=Ck[1—k)=

所以當4=：時，S矩腔有最大值，1,貝！JW=H<4=?，

242

在RtaCVF中，CF=>/cV?+VFT=.f+^=—,

V42

故選：B

9.(2023?安徽合肥?統考一模)已知正方體A8cO-44GA的棱長為4,M,N分別是側面CR和側面8G的

中心，過點M的平面a與直線ND垂直，平面a截正方體AG所得的截面記為S,則S的面積為()

A.5GB.4>/6C.7x/6D.9m

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量確定截面形狀，再計算截面面積作答.

【詳解】正方體A88-44G。的棱長為4,建立如圖所示的空間直角坐標系，

側面C,的中心”(0,2,2),側面BC的中心N(2,4,2),而。(0,0,0),有。N=(2,4,2),

顯然點M在平面a與平面CDQG的交線上，設尸(0，X，4)為這條交線上任意一點，

MP=(0,y-2,Z1-2),而平面貝lJ”PON=4(y-2)+2(乙—2)=0,

即2乂+4=6,令4=0,得點尸(0,3,0),令4=4,得點G(0,l,4),連尸G,

平面a與平面A8CD必相交，設。(x,y,O)為這條交線上任意一點，FQ=(x,y-3,0),

由尸Q￡W=2x+4(y-3)=0,即x+2y=6,令x=4,得點E(4,l,0),連FE,

因為平面A4CQJ/平面45c。，則平面。與平面A4GR的交線過點G,與直線FE平行，

過G作G"〃尸￡交AA于HQ,0,4),GH=(r,-l,0),F￡=(4,-2,0),

由G”〃尸E得f=2,即4(2,0,4),顯然平面a與平面都相交，

則平面a與直線AA相交，令交點為K(4,0,〃?)，EK=(0,-l,m),由EK-ON=T+2機=0得K(4,0,2),

連接EK,HK得截面五邊形EFGHK,即截面S為五邊形EFGHK,

EF=FG=245,GH=EK=^5,HK=2^/2,取E尸中點心(2,2,0),連接GL,E",則GL=E”=J^T,

龍L〃“rh/”〃EK2+HK2-EH2M./“〃而

任「EHK中，cosZEKH=----------------=-----,sinZEKH=----,

2EK?HK55

一的面積S=-EKHKsinZ￡/C//=-x>/5x2A/2x—=>/6,

225

*”,由…GF2+LF2-GI?1.—276

在」GL甲，cosZ.GFL=----------------------=—,sinZ.GFL------,

2GF-LF55

一FGL邊FL上的高/?=FG.sinNGFL=坐，

V5

=-(G//+F￡)-//=-(V5+2>/5)x^

梯形EFG"面積=6指,

22V5

所以S的面積為S=S印K+SEFGH=7帽.

故選：C

【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾

何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行：延長交線得交點，截面上的點

中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.

10.（2023?遼寧沈陽?東北育才學校校考模擬預測）在三棱錐A-88中，

AB=BC=CD=DA=272,ZADC=ZABC=90，平面ABC/平面ACD,三棱錐A—BCQ的所有頂點都

在球。的球面上，瓦尸分別在線段。8,8上運動（端點除外），8石=&（7尸.當三棱錐片-48的體積最大

時，過點尸作球。的截面，則截面面積的最小值為（）

l3

A.兀B.V3TTC.-itD.27r

【答案】C

【分析】取AC的中點。，證得。為球心，利用二次函數求出三棱錐E-ACP的體積最大時尤的取值，當OF

垂直于截面時，截面圓的面積最小，求得截面圓的半徑.

【詳解】如圖，取AC的中點O,連接OF,OB,OD,

因為ZADC=ZABC=90。,所以。4=OB=OC=O￡>=JAC,即O為球心,

則球0的半徑/?=2,又45=80所以03,47,

又平面平面AC￡>,平面ABCc平面ACD=AC,OBu平面ABC.

所以OBJ?平面AC。，

設CF=x,貝！）BE=&x<2,所以0<x<&，

所以三棱錐E-Ab的體積

V=1sA%xOE=gxgcFxAOxOE=找-2夜（2-歷）=|（缶-巧=_|卜-引+|.

當》=農時W取得最大值?，

23

由于。4=O3=OC=OD,在一COF中，由余弦定理得：

0F=sloC2+CF2-IOC-CFcosZACF=.4+--2x2x—x—=叵.

V2222

根據球的性質可知，當。尸垂直于截面時，截面圓的面積最小,

_A/6

設此時截面圓的半徑為「，所以r

一2

則截面面積的最小值為兀，

故選:C.

11.（2023?江蘇?高一專題練習）已知正四棱錐S-ABC。的底面邊長為2,側棱長為2啦，SC的中點為￡,

過點E做與SC垂直的平面a,則平面a截正四棱錐S-ABCD所得的截面面積為（）

A.拽B.還C.逑D.§

3333

【答案】A

【分析】根據題意垂直關系可得平面4截正四棱錐S-AB8所得的截面面為四邊形AMEN,結合根據相似

求長度，進而根據面積公式即可求解.

【詳解】連接AC,AE,

由題意可得：SA=SC=AC=2>/2,即*SAC為等邊三角形，

且E為SC的中點，可得AE_LSC,AE=卡,

故AEu平面a,

連接B。，設8DcAC=O,連接SO,

可得AC_LBD.SOJ■平面ABCD,

且如u平面A8CD,則5￡>UO,

ACSO=0,4。,5。（=平面%。，所以8￡＞工平面547,

A￡u平面SAC,則8￡>_LA￡,

在直線S3取一點M,連接AM,ME,使得ME_LSC,

SB2+SC2-BC28+8-43

在△S3C中,cosZ.BSC=

2sB?SC2x2-j2x2-j2~4

_SE_&_4夜

因為MEJ_SC,可得一cosNSS。-3,

4

故SM=2Affi,

同理在棱SC取一點N,使得SN=2NC,連接NE,AN,MN,則NE_LSC,

故平面a截正四棱錐S-M8所得的截面面為四邊形AMEN,

因為需="^=2,則MN//8￡）,MN=：BD=￥^,

由皮）J_A￡,可得MNLAE,

所以四邊形AMEN的面積=述.

2233

故選：A.

12.（2023春?湖北武漢?高一武漢市第十一中學校考階段練習）已知正四棱錐P-A8CD的體積為36,底面

MC￡＞的面積為18,點E、尸分別為R4、PC的中點，點G為P8的靠近點8的三等分點，過點E、F、G

的平面將該四棱錐分成上、下兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（）

A處叵B.座C.座D.36

555

【答案】C

【分析】連接AC、BD,設4cBD=O,連接尸O,連接G。并延長交p。于點”，連接GE、GF、HE、

HF,在中，過點8作8M〃GH交PO于點M,交PO于點。2，過點M作MN工BD交BD于點N,

證明出計算出EF、GH的長，進而可求得截面四邊形的面積.

【詳解】連接AC、BD,設ACY8。=。，連接PO,

易知PO為正四棱錐P-A8CD的高，連接EF交PO于點O-

因為點E、尸分別為R4、PC的中點，則打〃4C,

因為E尸PO=O、,所以，。為尸0的中點.

連接G01并延長交尸。于點“，連接GE、GF、HE、HF,

因為四邊形A8CZ）為正方形，則AC180,

因為PO1平面ABC。，ACu平面A5C￡>,所以，AC±PO,

因為尸。BD=O,P0、8￡）u平面PBD,所以，AC1平面P8。，

因為G”i平面?即，所以，ACLGH,則E尸，G”,

四邊形GE/*為所求的截面四邊形，如圖1.

圖1

因為正四棱錐P-4JCD的體積為36,底面A8C。的面積為18,

所以底面A8C。是邊長為3&的正方形，貝|J4C=3D=6,

由匕-。=：5楝8?尸0=gxl8xPO=36,可得P0=6,

在△P8￡>中，過點B作BM//G”交尸￡）于點M,交PO于點和，

過點M作用N_L8D交BO于點N,如圖2.

GHPO.PG2

因為則癡廠花二麗=釬

139

又。1為尸O的中點，。為80的中點，所以尸。|=/尸0=3,PO2=-PO=-9

93

OO.=PO-PO.=6——=-,OB=OD=3,

22

5……MNPO6cMN0.0311

所以tan/MDN=-----=---=—=2,tan/MBD=------=——=—x—=一

DNOD3BNOB232

貝!J￡W」MN,BN=2MN,所以BD=BN+DN=2MN+>MN=)MN=6,

222

故MN*,所以BN=V，則BM二JBN?+MN?二侶J+(￡]=竽，

得GH=2BM=巡.

35

故四邊形GEHF的面積為S四邊形的-=；EF-GH=gx3xW=今叵,

故選：C.

【點睛】方法點睛：用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面，利用平面的

性質確定截面形狀是解決截面問題的關鍵.

(1)平面的四個公理及推論；

(2)直線和平面平行的判定和性質；

(3)兩個平面平行的性質；

(4)球的截面的性質.

二、填空題

13.(2023春?河北保定?高一定州一中校考階段練習)在棱長為2的正方體ABC。-ABC。中，若E為棱BB、

的中點，則平面AEG截正方體A8CO-4ACA的截面面積為.

【答案】276

【分析】作出截面截面AEG尸，尸為。A的中點，則可得截面AEC/是邊長為石的菱形，求出其面積即

可.

【詳解】如圖，在正方體48CO-AMG。中,

,平面ARDA//平面B￡CB,

.?平面AEG與平面AQQA的交線必過A且平行于QE,

故平面AEG經過的中點尸，連接A尸，得截面AEC/,

易知截面AEC/是邊長為石的菱形，其對角線所=8。=2&，

AC；=26，截面面積S=；AGXEF=；X20X2A/5=2?

故答案為：2冊-

14.(2022?廣西桂林?校聯考二模)在三棱錐A8CD中，對棱A8=8=百，AD=BC=-J13,AC=BD=M,

當平面a與三棱錐ABCD的某組對棱均平行時，則三棱錐ABCD被平面a所截得的截面面積最大值

為.

【答案】3

【分析】每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長方體中，設長寬高分別為x,y,z,求出x，y，z,

由線面平行得線線平行，證明當E,F,G,H是所在棱中點時面積最大，按截面與哪對棱平行分類討論求得截

面面積的最大值.

【詳解】因為每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長方體中，設長寬高分別為x,y,z,則

“2+)1=+z2=y/10,yly2+z2=V13,貝！Ix=Ly=2,z=3.

當平面a與三棱錐ABCD的對棱AB,CD均平行時,截而為四邊形EFGH,AB//FGIIEH,CD//EFIIHG,

Ap1717Ap

設0=f(0<f