第02講圖形的旋轉(8類熱點題型講練)1．掌握旋轉的概念，了解旋轉中心，旋轉角，旋轉方向，對應點的概念及其應用；2．掌握旋轉的性質，應用概念及性質解決一些實際問題；(重點，難點)3．能夠根據旋轉的性質進行簡單的旋轉作圖．知識點01旋轉的概念（1）旋轉的概念：把一個平面圖形繞著平面內某一點O轉動一定角度的變換.點O叫作旋轉中心；轉動的角度叫作旋轉角；圖形上點P旋轉后得到點P’，這兩個點叫作對應點.（2）旋轉三要素：=1\*GB3①旋轉方向；=2\*GB3②旋轉中心；=3\*GB3③旋轉角度注：旋轉中心可在任意位置.即可在旋轉圖形上，也可不在旋轉圖形上.知識點02旋轉的性質旋轉的性質：一個圖形和它經過旋轉所得到的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等；兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.知識點03確定旋轉中心確定旋轉中心：由旋轉的性質可得，對應點到旋轉中心的距離相等，所以旋轉中心位于對應點連線的垂直平分線上，即旋轉中心是兩對對應點所連線段的垂直平分線的交點.知識點04旋轉作圖旋轉作圖：在畫旋轉圖形時，首先確定旋轉中心，其次確定圖形的關鍵點，再將這些關鍵點沿指定的方向旋轉指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形.作圖的步驟：（1）連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心；（2）把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉中心旋轉一定的角度（旋轉角）；（3）在角的一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；（4）連接所得到的各對應點.題型01判斷生活中的旋轉現象【例題】（2023上·內蒙古呼和浩特·九年級校考期中）下列運動形式屬于旋轉的是（

）A．足球在地上的滾動 B．電梯的運行 C．熱氣球點火升空 D．鐘擺的擺動【答案】D【分析】本題考查了旋轉的定義，根據“在平面內，將一個圖形繞一點按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉”即可解答．【詳解】解：A、足球在地上的滾動是旋轉加上平移，不符合題意；B、電梯的運行是平移，不符合題意；C、熱氣球點火升空是平移，不符合題意；D、鐘擺的擺動是旋轉，符合題意；故選：D．【變式訓練】1．（2023上·廣西玉林·九年級統考期中）下列現象屬于旋轉的是（

）A．電梯的上下移動 B．飛機起飛后沖向空中的過程C．幸運大轉盤轉動的過程 D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車【答案】C【分析】本題主要考查旋轉，熟練掌握旋轉的定義是解題的關鍵；因此此題可根據旋轉的定義“把一個平面圖形繞著平面內某一點轉動一個角度”進行求解即可．【詳解】解：A、B、D選項都不符合旋轉的定義，而C選項符合旋轉的定義，故C選項屬于旋轉現象；故選C．2．（2023上·福建福州·九年級校考階段練習）下列生活中的實例是旋轉的是（

）A．鐘表的指針的轉動 B．汽車在筆直的公路上行駛C．傳送帶上，瓶裝飲料的移動 D．足球飛入球網中【答案】A【分析】根據旋轉變換和平移變換的定義逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、鐘表的指針的轉動，屬于旋轉變換，故此選項符合題意；B、汽車在筆直的公路上行駛，屬于平移變換，故此選項不符合題意；C、傳送帶上，瓶裝飲料的移動，屬于平移變換，故此選項不符合題意；D、足球飛入球網中，屬于平移變換，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了旋轉和平移的概念，把一個圖形繞著某個點旋轉一定的角度，得到另一個圖形，即為旋轉變換；把一個圖形沿著一定的方向移動一定的距離，即為平移變換；熟練掌握此定義是解題的關鍵．題型02找旋轉中心、旋轉角、對應點【例題】（2023上·天津東麗·九年級校聯考期中）如圖，P為正方形內一點，，將繞點C逆時針旋轉得到，(1)旋轉中心是______．旋轉角為______度．(2)求的長度．【答案】(1)C；90(2)【分析】（1）根據旋轉中心和旋轉角的概念求解即可；（2）根據旋轉的性質可得是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求出．【詳解】（1）解：∵將繞點C逆時針旋轉得到，∴旋轉中心是C，旋轉角是和，∵在正方形中，∴旋轉角為90度，故答案為：C，90；（2）解：由（1）知，旋轉角是，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴．【點睛】本題考查了旋轉圖形的概念和性質，勾股定理，準確識別旋轉角是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023上·遼寧大連·九年級統考期中）如圖，四邊形是正方形，E是上的一點，是的旋轉圖形．

(1)由順時針旋轉到，旋轉中心是________，旋轉角的度數是________；(2)連接，判斷并說明的形狀．【答案】(1)點；(2)是等腰直角三角形，理由見解析【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的判定，正方形的性質，熟練利用旋轉性質是解題關鍵．（1）利用旋轉性質得出旋轉中心，利用旋轉位置得出旋轉角即可；（2）利用旋轉性質可得到，得到，，根據正方形性質求出，即可判定出是等腰直角三角形．【詳解】（1）解：由圖可知，順時針旋轉到，旋轉中心是點，旋轉角是，故答案為：點；；（2）如圖：連接，

是等腰直角三角形，理由如下：旋轉得到，，，，四邊形是正方形，，，，即，是等腰直角三角形．2．（2023上·湖南永州·八年級校考開學考試）如圖，在中，，，，逆時針旋轉一定角度后與重合，且點C恰好成為的中點．

(1)旋轉中心為點，并求出旋轉角=度；(2)求出的度數和的長．【答案】(1)A；130(2)，【分析】（1）由“逆時針旋轉一定角度后與重合”可得旋轉中心點，求出即可得旋轉角；（2）根據旋轉的性質即可求解．【詳解】（1）解：，即，逆時針旋轉一定角度后與重合，∴旋轉中心為點A，旋轉的度數為130；故答案為：A；130（2）解：逆時針旋轉一定角度后與重合，，，，，∵點C恰好成為AD的中點，，．【點睛】本題考查了旋轉的相關知識點．熟記相關結論進行幾何推理是解題關鍵．題型03根據旋轉的性質求解【例題】（2023上·廣東廣州·九年級統考期末）如圖，在Rt△ABC中，，，將△ABC繞點A順時針旋轉得到，則．【答案】【分析】本題考查了旋轉的性質，熟練掌握圖形旋轉不變性的性質是解題的關鍵．先根據直角三角形的性質求出的長，再由旋轉的性質得出，，根據勾股定理即可得出結論.【詳解】在Rt△ABC中，，，，將△ABC繞點A順時針旋轉得到，，，故答案為：【變式訓練】1．（2023上·浙江·九年級專題練習）如圖，將繞點A按逆時針方向旋轉得到，連接，若，則的度數為．【答案】15【分析】本題主要考查了旋轉的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，平行線的性質，先由旋轉的性質得到，進而得到，再由平行線的性質得到，即可得到答案．【詳解】解：∵將繞點A按逆時針方向旋轉，得到∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：15．2．（2024上·廣東肇慶·九年級統考期末）如圖，將繞點A旋轉到的位置，點E在邊上，與交于點G．若，，則．【答案】/65度【分析】根據旋轉的性質可得，，，再根據等腰三角形的性質可得，再利用三角形外角的性質求得，根據三角形內角和定理求得，再根據對頂角相等求解即可．【詳解】解：由旋轉的性質得，，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉的性質、三角形內角和定理、三角形外角的性質及等腰三角形的性質，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．題型04求繞原點旋轉90°點的坐標【例題】（2023上·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）已知點，將點繞原點逆時針方向旋轉得點，則點的坐標為．【答案】【分析】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．作出圖形，連接，過點A作軸于H，過點B作軸于，連接，然后根據點A的坐標求出，再根據旋轉的性質求出，然后寫出點的坐標即可．【詳解】解：如圖，連接，過點A作軸于H，過點B作軸于，連接，∵，，∵將點繞原點逆時針方向旋轉得點，，∴點．故答案為：．【變式訓練】1．（2023上·北京西城·九年級校考期中）如圖，將含有角的直角三角板放置在平面直角坐標索中在x軸上，若，將三角板繞原點O旋轉得到，則點A的對應點的坐標為．【答案】【分析】本題考查坐標與圖形的變化—旋轉，含角的直角三角形的性質和勾股定理．過點A作軸于點C，求出，的長度是解題關鍵．【詳解】解：過點A作軸于點C，則，，∴，即，∴，∴，∴點的坐標為，故答案為：．2．（2023下·江蘇泰州·八年級校聯考階段練習）如圖，B點在第一象限，A點在x軸正半軸上，，點B到x軸的距離是8，將繞點O逆時針旋轉，點B對應點的坐標是．

【答案】【分析】過B作于，過作軸于，構建，利用勾股定理得到，即可得出答案．【詳解】過B作于，過作軸于，

∴，∴，由旋轉可知，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化?旋轉、等腰三角形的性質、勾股定理，全等三角形的性質和判定等知識，掌握這幾個知識點的綜合應用，其中作出輔助線證明三角形全等是解題關鍵．題型05求繞某點（非原點）旋轉90°點的坐標【例題】（2023上·全國·九年級期末）平面直角坐標系中，，，A為x軸上一動點，連接，將繞A點順時針旋轉得到，當點A在x軸上運動，取最小值時，點B的坐標為．【答案】【分析】分三種情況：當點在軸正半軸時；當點在原點時；當點在軸負半軸時，利用三角形全等的判定與性質、旋轉的性質、兩點間的距離公式，分別進行求解即可得到答案．【詳解】解：當點在軸正半軸時，如圖，作軸于，設，則，，

，，，，將繞點順時針旋轉得到，，，，，，，，在和，，，，，，，，，，當點在原點時，如圖所示，

，，，，將繞點順時針旋轉得到，，；當點在軸負半軸時，如圖，作軸于，設，則，，

，，，，將繞點順時針旋轉得到，，，，，，，在和，，，，，，點在第四象限，，，，，綜上所述：當時，取到最小值，為，此時，故答案為：．【點睛】本題考查坐標與圖形的變化—旋轉，勾股定理，全等三角形的判定和性質，兩點間的距離等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質，采用分類討論的思想解題．【變式訓練】1．（2023上·山東東營·八年級校考階段練習）在平面直角坐標系中的位置如圖所示，將其繞點P順時針旋轉得到，則點P的坐標是．【答案】【分析】本題考查了旋轉；根據旋轉的性質，對應點的連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心，據此可求解．【詳解】解：點P位置如圖所示，則點P的坐標是，故答案為：．2．（2023·湖北宜昌·統考模擬預測）如圖，點A的坐標為，點是軸正半軸上的一點，將線段繞點A按逆時針方向旋轉得到線段若點的坐標為，則點的坐標為．

【答案】【分析】過作軸于點，通過證得，得出，，可得點的坐標，【詳解】解：過作軸于點，如圖：

，，，，，，，，，點A的坐標為，點的坐標為，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查坐標與圖形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．題型06平面直角坐標系中旋轉作圖【例題】（2024上·吉林松原·九年級校聯考期中）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平而直角坐標系，的頂點都在格點上，已知點，．(1)將向右平移個單位長度得到，請畫出；(2)將繞點順時針旋轉，畫出所得的．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平移作圖，旋轉作圖；（1）根據題意將向右平移個單位長度得到；（2）根據旋轉的性質畫出．【詳解】（1）如圖，即為所求．（2）如圖，即為所求．【變式訓練】1．（2023上·四川自貢·九年級校考期中）如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點，，均在格點上，(1)畫出將向下平移4個單位長度得到的；(2)畫出繞點C逆時針旋轉后得到的，并寫出點的坐標；【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析，點的坐標【分析】本題主要考查了作圖平移變換，旋轉變換等知識，熟練掌握平移和旋轉的性質是解題的關鍵．（1）根據平移的性質即可畫出圖形；（2）根據旋轉的性質即可畫出圖形，從而得出點的坐標；【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，即為所求；∴點的坐標．2．（2024上·陜西延安·九年級統考期末）如圖，網格中每個小正方形的邊長都是單位1，是格點三角形．(1)畫出將向右平移2個單位得到的；(2)畫出將繞點O順時針方向旋轉得到的，并寫出點的坐標．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析，【分析】（1）分別找到點向右平移2個單位得到的對應點，順次連接即可；（2）分別找到點繞點O順時針方向旋轉得到的對應點，順次連接即可得到所求的，再寫出點的坐標即可；此題考查了平移和旋轉的作圖，熟練掌握作圖方法是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如解圖，即為所求；（2）如圖，即為所求，點的坐標為．題型07坐標與旋轉規律問題【例題】（2023上·山東淄博·八年級校考階段練習）如圖，在直角坐標系中，已知點，，對連續作旋轉變換，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，則三角形（2019）的直角頂點的坐標為．【答案】【分析】本題考查了坐標與圖形變換—旋轉規律型問題，解決本題的關鍵是找到循環節，確定循環的次數．先用勾股定理求出的長，從而得到的周長為12，根據旋轉變換可得的旋轉變換為每3次一個循環，由于，由此可判斷三角形（2019）與三角形（3）的狀態一樣，然后計算即可得到三角形（2019）的直角頂點坐標．【詳解】∵，，，，的周長，觀察發現每連續3次旋轉后與原來狀態一樣，，∴三角形（2019）與三角形（3）的狀態一樣，∴三角形（2019）的直角頂點的橫坐標為，∴三角形（2019）的直角頂點的坐標為，故答案為：．【變式訓練】1．（2023上·遼寧鞍山·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，將繞點順時針旋轉到的位置，點、分別落在點、處，點在軸上，再將繞點順時針旋轉到的位置，點在軸上，將繞點順時針旋轉到的位置，點在軸上，依次進行下去…，若點、，則點的橫坐標為．

【答案】【分析】可求，，，，可得當為偶數時，，當為奇數時，，即可求解．【詳解】解：由題意得，，，，，，，，，，，當為偶數時，，當為奇數時，當時，，，故答案∶【點睛】本題考查了動點坐標規律，找出規律是解題的關鍵你．2．（2023下·廣西·七年級廣西大學附屬中學校考期中）如圖，已知點，將長方形ABOC沿x軸正方向連續翻轉241次，點A依次落在點，，，…，的位置，則的坐標是．【答案】【分析】先求出，，，，，找到規律求解．【詳解】解：由題意得：從A開始翻轉，當旋轉到時，A回到矩形的起始位置，所以為一個循環，故坐標變換規律為次一循環．，，，，，，，，，，，，，，，，，當時，即，解得，橫坐標為，縱坐標為，則的坐標，故答案為：．【點睛】本題主要考查圖形的旋轉變換，解題關鍵是找到圖形在旋轉的過程中，點坐標變化規律進而求解．題型08旋轉綜合題——幾何變換【例題】（2023上·北京朝陽·九年級校考期中）如圖，在中，，點為邊上一點（不與點重合），連接，將繞點逆時針旋轉得到．

(1)若，寫出旋轉角及其度數；(2)當度數變化時，與之間存在某種不變的數量關系．請你寫出結論并證明．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據旋轉的性質得出旋轉角為；（2）根據等腰三角形的性質和三角形內角和得出，，即可求解；【詳解】（1）當時，，∵旋轉得到，其中旋轉到.∴旋轉角為；（2）∵，，∵旋轉得到，，，即，，即，；【點睛】該題主要考查了旋轉的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，解答該題的關鍵是掌握旋轉的性質．【變式訓練】1．（2023上·河南濮陽·八年級統考期中）已知：如圖1，中，，D、E分別是、上的點，不難發現、的關系．(1)將繞A點旋轉到圖2位置時，寫出、的數量關系；(2)當時，將繞A點旋轉到圖3位置．①猜想與有什么數量關系和位置關系?請就圖3的情形進行證明；②當點C、D、E在同一直線上時，直接寫出的度數．【答案】(1)(2)①，，證明見解析，②或【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質．（1）證明，即可作答；（2）①同理先證明，即有，，在和中，根據，，即有，則有，問題得解；②分兩種情況：第一種：當點C、D、E在同一直線上，且點D在線段上時，第二種：當點C、D、E在同一直線上，且點E在線段上時，畫出圖形，結合在等腰中，，以及，即可作答．【詳解】（1）∵，

即，在和中，，，，∴∴；（2）①，，證明：如圖，交于點F，交于點M，∵，∴，

即，在和中，，，，∴∴，，在和中，∵，，∴，∵，∴，∴，因此，；②如圖，當點C、D、E在同一直線上，且點D在線段上時，如圖I所示，在等腰中，，∵，∴，∴；當點C、D、E在同一直線上，且點E在線段上時，如圖II所示，在等腰中，，∵，∴，∴；故的度數為：或．2．（2023上·湖北黃岡·九年級統考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，．(1)【猜想】如圖1，點在上，點在上，線段與的數量關系是______，位置關系是______；(2)【探究】：把繞點旋轉到如圖2的位置，連接，，（1）中的結論還成立嗎？說明理由；(3)【拓展】：把繞點在平面內自由旋轉，若，，當A，，三點在同一直線上時，直接寫出的長．【答案】(1)，(2)（1）中的結論成立，理由見解析(3)或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質得出，得出，再用，即可得出結論；（2）先由旋轉得出，進而判斷出，得出，進而得出，即可得出結論；（3）分兩種情況，①當點E在線段上時，過點C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出結論；②當點E在線段的延長線上時，過點C作于N，求出，再由勾股定理求出根據勾股定理得，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，∴，，，，∵，，故答案為：；（2）解：（1）中結論仍然成立，理由：由旋轉知，，，，，，，，，，，；（3）解：①當點E在線段上時，如圖3，過點C作于M，∵是等腰直角三角形，且，∴，，，在中，，，，在中，，，在中，；②當點D在線段上時，如圖4，過點C作于N，∵是等腰直角三角形，且，∴，，，在中，，，，在中，，，在中，；綜上，的長為或．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，作出輔助線構造出直角三角形是解本題的關鍵．一、單選題1．（2024上·安徽合肥·九年級統考期末）垃圾分類是對垃圾收集處置傳統方式的改革，是對垃圾進行有效處置的一種科學管理方法.你認識垃圾分類的圖標嗎？請選出其中的旋轉對稱圖形（

）A．可回收物

B．有害垃圾

C．廚余垃圾

D．其他垃圾

【答案】A【分析】本題考查了旋轉對稱圖形，正確記憶相關概念是解題關鍵．如果某一個圖形圍繞某一點旋轉一定的角度（小于）后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做旋轉對稱圖形，由此即可判斷．【詳解】解：選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉一定的角度（小于）后能與原圖形重合，所以都是旋轉對稱圖形；選項B、C、D不能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉一定的角度（小于）后能與原圖形重合，所以不是旋轉對稱圖形．故選：A．2．（2024上·河北唐山·七年級統考期末）如圖，繞點O逆時針旋轉，得到，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了旋轉的性質，確定旋轉角以及旋轉前后對應角相等是解題關鍵．【詳解】解：由題意得：，，∴，故選：C3．（2024上·江西上饒·九年級統考期末）如圖，將一塊含有的直角三角板（假定，）繞頂點A逆時針旋轉得到，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．根據題意得到，得到，即可得到答案．【詳解】解：依題意得，，，，．故選B．4．（2024上·廣東肇慶·九年級統考期末）如圖，將線段繞點順時針旋轉，得到線段，那么的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉，全等三角形的性質與判定，由線段繞點順時針旋轉得到線段可以得出，，作軸于，軸于，就可以得出，就可以得出，，由的坐標就可以求出結論．【詳解】解：線段繞點順時針旋轉得到線段，

，．作軸于，軸于，．，，．在和△中，，，∴，．∵，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，點的坐標的運用，正確作出輔助線并證得是解決問題的關鍵．5．（2024上·山東煙臺·八年級統考期末）如圖，已知中，，，將繞點逆時針旋轉得到，以下結論：①，②，③，④，正確的有（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】本題考查了旋轉性質的應用，三角形內角和定理和等邊對等角，根據旋轉的性質可得，，，，再根據旋轉角的度數為，然后利用三角形內角和定理和等邊對等角逐項求解判斷即可．【詳解】①繞點逆時針旋轉得到，，故①正確；②繞點逆時針旋轉，．，．，．∴，故②正確；③在中，，，．．與不垂直，故③不正確；④在中，，，．，故④正確．①②④這三個結論正確．故選：D．二、填空題6．（2023上·山西呂梁·九年級統考期末）如圖，在中，以點A為旋轉中心，將逆時針旋轉，得到，若點D在線段的延長線上，則的大小為．【答案】/39度【分析】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的判定和性質；掌握旋轉的性質，是解題的關鍵．根據旋轉的性質，得到，，利用等邊對等角，進行計算即可．【詳解】解：根據旋轉的性質，可得：，，故答案為：．7．（2023上·安徽淮南·九年級統考期末）如圖將繞點旋轉得到，設點的坐標為，則A的坐標為．【答案】【分析】本題考查了利用旋轉進行坐標與圖形的變化，根據旋轉的性質得出點、關于點成中心對稱是解題的關鍵，還需注意中點公式的利用，也是容易出錯的地方．設點的坐標是，根據旋轉變換的對應點關于旋轉中心對稱，再根據中點公式列式求解即可．【詳解】解：根據題意，點、關于點對稱，設點的坐標是，則，，解得，，點的坐標是．故答案為：．8．（2024上·遼寧大連·九年級統考期末）如圖，將繞點A順時針旋轉一定的角度得到，此時點恰在邊上，若，，則的長為．【答案】3【分析】本題考查了旋轉的性質，由旋轉的性質可得，，即可求解．【詳解】解：∵將繞點A順時針旋轉一定的角度得到，，，，，，故答案為：3．9．（2024上·天津寧河·九年級統考期末）在平面直角坐標系中，點，點，把繞點逆時針旋轉，得，點旋轉后的對應點為，．如圖，當點落在邊上時，旋轉角的大小為，點的坐標為．【答案】/45度【分析】本題考查了坐標與圖形、旋轉的性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質，由點，點得出，從而得出是等腰直角三角形，由勾股定理可得，當點落在邊上時，由旋轉的性質可得：，，求出即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．【詳解】解：點，點，，是等腰直角三角形，，，當點落在邊上時，由旋轉的性質可得：，，旋轉角的大小為，，點的坐標為，故答案為：，．10．（2024上·遼寧盤錦·九年級校考期末）如圖，，，，，點D為的中點，點E在的延長線上，將繞點D順時針旋轉度得到，當是直角三角形時，的長為．【答案】10或【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質，旋轉的性質．根據勾股定理可求出，先根據全等三角形的性質和旋轉的性質，得到，從而得到．再分情況討論：①當時；②當時，利用勾股定理分別求解，即可得到答案．利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵．【詳解】解：，，，由勾股定理得：，，，繞點D順時針旋轉得到，，點D為的中點，，①當時，

，，；②當時，

在中，，在中，，綜上可知，的長為10或．故答案為：10或．三、解答題11．（2023上·重慶忠縣·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，．(1)將繞坐標原點O順時針旋轉為，寫出點、、的坐標，并在圖中作出；(2)求的面積．【答案】(1)圖見解析，，，，(2)【分析】本題考查作圖旋轉變換，在網格圖中求三角形的面積，熟練掌握旋轉的性質是解答本題的關鍵．（1）根據旋轉的性質可得點、、的坐標，畫圖即可．（2）利用割補法求三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．點、、．（2）解：的面積為．12．（2024上·湖北武漢·九年級統考期末）如圖，點E是正方形內一點，連接，將繞點B順時針旋轉90°到的位置（），連接．(1)判斷的形狀為；(2)若，，，求的度數．【答案】(1)等腰直角三角形(2)【分析】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理逆定理．（1）根據旋轉的性質，得到，即可得出結論；（2）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，即可得出結論．掌握旋轉的性質，是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵將繞點B順時針旋轉90°到的位置，∴，∴為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）∵旋轉，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴．13．（2024上·湖北武漢·九年級統考期末）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉得到，延長交于點F．(1)直接寫出的度數；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握旋轉前后對應邊相等，對應角相等，正確畫出輔助線，構造等腰三角形是解題的關鍵．（1）根據旋轉的性質得出，結合得出，即可得出結論；（2）連接，根據旋轉的性質得出，，則，進而得出，則，根據三線合一得出，即可求證．【詳解】（1）解：∵繞點C順時針旋轉得到，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：連接，∵繞點C順時針旋轉得到，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．14．（2023上·陜西渭南·九年級統考期末）如圖，將一個鈍角（其中）繞點順時針旋轉得，使得點落在的延長線上的點處，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了旋轉的性質、平行線的判定與性質、三角形內角和定理、等邊三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）由旋轉的性質可得，，從而得出，為等邊三角形，由等邊三角形的性質可得，即可推出；（2）由平行線的性質結合旋轉的性質可得，再由三角形內角和定理進行計算即可．【詳解】（1）證明：由旋轉的性質可得，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴．15．（2024上·甘肅武威·九年級校聯考期末）如圖，在中，點在邊上，，將線段繞點旋轉到的位置，使得，連接、與交于點．(1)求證：；(2)若，，求的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）證明即可求證；（）由，得到，再根據得到，由三角形的外角性質即可求出的度數；本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理及外角性質，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵將線段繞點旋轉到的位置，∴，在與中，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．16．（2024上·浙江臺州·九年級統考期末）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉得到，旋轉角為，，分別交于點F，G，連接．

(1)求證：；(2)若，，．①求的長；②連接，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)①；②5【分析】（1）根據旋轉