高等代數習題注意：紅色的習題不做，計算題第五章二次型1．二次型為正定二次型的充分必要條件是(A)(B)(C)(D)2．，則下列結論正確的是【】(A)A是正定矩陣(B)A是負定矩陣(C)A是半正定矩陣(D)A不是正定矩陣3.，則二次型()【】(A)(B)(C)(D)5.二次型的規范型是(A)；(B)；(C)；(D)；6.為一個正定的實二次型，矩陣，則【】(A)A是正定矩陣(B)A是可逆矩陣(C)A不是可逆矩陣(D)以上結論都不對7.n階實對稱矩陣A與n階實對稱矩陣B合同的充分必要條件是【】(A)(B)A,B的正慣性指數相等(C)A,B為正定矩陣(D),且A,B的正慣性指數相等8.以下各式中,()是二次型.【】9.已知實二次型經過，可化為化成標準則a=【】(A)(B)2(C)0(D)310．二次型的規范型是【】11.設，以為矩陣的二次型分別為【】(A)，(B)，(C)，(D)，12.已知是階實對稱矩陣，則二次型為正定的充要條件是【】13.，則二次型的規范性是【】14.若二次型的規范型=【】；；；15.下列結論正確的是【】(A)是正定二次型；(B)是負定矩陣(C)是正定矩陣(D)16.二次型經非退化線性變換化成標準型()【】(A)(B)(C)(D)17.，則二次型的秩=【】(A)2(B)3(C)0(D)118.已知矩陣，，則下列結論正確的是【】(A)是負定二次型；(B)是負定二次型(C)存在使得=0；(D)是正定二次型19.是對稱矩陣，，則有【】20.，則存在可逆矩陣C,C=(),使得=（）【】(A)(B)(C)(D)21.二次型為【】(A)正定的；(B)半正定的；(C)負定的；(D)不定的。22.設矩陣A=，可逆矩陣，使為對角形矩陣，則T=()，=()23.設A=，B=，，則與矩陣()合同【】(A)(B)(C)(D)第二題：填空題1．已知正負慣性指數均為1的二次型通過合同變換化為，其中，則（）2．二次型的矩陣是()3.二次型的秩（）4．二次型的規范型是5．已知實二次型經非退化變換可化成標準型，則滿足（）6.已知與合同，則（）7.是n階正定矩陣，則滿足（）8.二次型的規范型（）9.設，與為矩陣二的次型的規范型（）11.實二次型的標準型()第三題：計算題1．求非退化線性變換，化實二次型為標準型，并判斷它是否為正定二次型.2．基礎)設，(1)為何值時，是正定矩陣？(2)為何值時，存在可逆矩陣，使得.3．(本題10分，中)已知二次型，通過非退化線性變換化為標準形，求常數及所用的非退化線性變換.4、（本題10分，基礎）用非退化線性變換，化實二次型為標準型并寫出非退化線性變換，判斷該二次型是否為正定二次型.5、（本題10分，基礎）已知二次型的秩為2，（1）求a的值（2）求非退化線形變換，把化成標準形（3）求方程的解.6、（本題10分，基礎）求非退化線性變換，化實二次型為標準型，并判斷它是否為正定二次型.7、（本題10分，基礎）用非退化線性替換化下列二次型為標準型，把上述二次型進一步化為規范型，分實系數、復系數兩種情形；并寫出所作的非退化線性替換。8、（本題10分，基礎）已知二次型的秩為2,求:參數c和二次型的標準型，并判斷其類型。9、（本題10分，基礎）把二次型化為標準型，并寫出相應的變換,并判斷其類型。10、（本題10分，基礎）二次型的正、負慣性指數都是1，求a。四、證明題1、（本題10分，基礎）設A,B都是實矩陣，且秩r(A+B)=n,證明:是正定矩陣。2、（本題10分，中）為正定矩陣，其中A為m階矩陣,D為n階矩陣，B為階矩陣，證明：A，D與都是正定矩陣。3、（本題10分，難）設為正定矩陣，其中A