.3冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解冪函數(shù)的概念，會(huì)求冪函數(shù)的解析式．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2．結(jié)合冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝xeq\s\up5(\f(1,2))的圖象，掌握它們的性質(zhì)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)冪的大小．(重點(diǎn))1.結(jié)合冪函數(shù)的圖象，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．借助冪函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1．冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2．冪函數(shù)的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up5(\f(1,2))，y＝x－1的圖象如圖所示：3．冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up5(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增函數(shù)x∈[0，＋∞)時(shí)，增函數(shù)x∈(－∞，0]時(shí)，減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)x∈(0，＋∞)時(shí)，減函數(shù)x∈(－∞，0)時(shí)，減函數(shù)1．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝x3C．y＝3x D．y＝x－12．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是冪函數(shù)，則m＝()A．2B．1C．3 D．03．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(2，eq\f(\r(2),2))，則f(4)＝________.冪函數(shù)的概念【例1】已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值．判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xαα為常數(shù)的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿足：1指數(shù)為常數(shù)；2底數(shù)為自變量；3系數(shù)為1.1．(1)在函數(shù)y＝eq\f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3(2)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)＝3f(2)，則f(eq\f(1,2))的值等于________．冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】點(diǎn)(eq\r(2)，2)與點(diǎn)(-2，－eq\f(1,2))分別在冪函數(shù)f(x)，g(x)的圖象上，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．解決冪函數(shù)圖象問(wèn)題應(yīng)把握的兩個(gè)原則1依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在0，1上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸簡(jiǎn)記為指大圖低；在1，＋∞上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸簡(jiǎn)記為指大圖高.2依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象類似于y＝x－1或y＝xeq\s\up5(\f(1,2))或y＝x3來(lái)判斷.2.(1)若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．d>c>b>aB．a(chǎn)>b>c>dC．d>c>a>bD．a(chǎn)>b>d>c(2)函數(shù)y＝xeq\s\up5(\f(1,2))－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象大致是()ABCD冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上的單調(diào)性與α有什么關(guān)系？提示：當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值？二者的大小關(guān)系如何？提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作冪函數(shù)f(x)＝x－0.2的兩個(gè)函數(shù)值，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】比較下列各組中冪值的大小：(1)0.213,0.233；(2)1.2eq\s\up5(\f(1,2))，0.9eq\s\up5(－\f(1,2))，eq\r(1.1).把本例的各組數(shù)據(jù)更換如下，再比較其大小關(guān)系：(1)(eq\f(2,5))0.5與(eq\f(1,3))0.5；(2)(－eq\f(2,3))－1與(－eq\f(3,5))－1.比較冪的大小時(shí)若指數(shù)相同，則利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小；若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”.【例4】若冪函數(shù)y=(m2?2m?2)x?mA．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3【例5】設(shè)a=(34)12，b=(A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a【例6】（1）若函數(shù)y=(m2?3m+3)xm2+2m?4為冪函數(shù)，且在（A．0 B．1或2 C．1 D．2(2)已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則滿足f（a﹣1）＞1的實(shí)數(shù)a的范圍為（）A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）(3)已知f（x）=(m2?2m?7)xm?2A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）1．判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)，其關(guān)鍵是判斷其是否符合y＝xα(α為常數(shù))的形式．2．冪函數(shù)的圖象是冪函數(shù)性質(zhì)的直觀反映，會(huì)用類比的思想分析函數(shù)y＝xα(α為常數(shù))同五個(gè)函數(shù)(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up5(\f(1,2)))圖象與性質(zhì)的關(guān)系．3．冪函數(shù)的單調(diào)性是比較冪值大小關(guān)系的重要依據(jù)，要學(xué)會(huì)用冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)處理冪值大小的比較問(wèn)題.1．思考辨析(1)冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)．()(2)冪函數(shù)的圖象一定不能出現(xiàn)在第四象限．()(3)當(dāng)冪指數(shù)α取1,3，eq\f(1,2)時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是增函數(shù)．()(4)當(dāng)冪指數(shù)α＝－1時(shí)，冪函數(shù)y＝xα在定義域上是減函數(shù)．()2．冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，eq\r(2))，則該冪函數(shù)的解析式是()A．y＝x－1 B．y＝xeq\s\up5(\f(1,2))C．y＝x2 D．y＝x33．函數(shù)y＝xeq\s\up15(\f(5,4))的圖象是()ABCD4．比較下列各組數(shù)的大小：(1)3eq\s\up15(－\f(5,2))與3.1eq\s\up15(－\f(5,2))；(2)4.1eq\s\up5(\f(2,5))，3.8eq\s\up15(－\f(2,3))，(－1.9)eq\s\up15(－\f(3,5)).A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在(－∞，0]上單調(diào)遞增的是()A．y＝x－1 B．y＝x2C．y＝x3 D．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x≥0，,x，x＜0))2．給出下列說(shuō)法：①冪函數(shù)圖象均過(guò)點(diǎn)(1,1)；②冪函數(shù)的圖象均在兩個(gè)象限內(nèi)出現(xiàn)；③冪函數(shù)在第四象限內(nèi)可以有圖象；④任意兩個(gè)冪函數(shù)的圖象最多有兩個(gè)交點(diǎn)．其中說(shuō)法正確的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．下列函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減的是()A．y＝xB．y＝x2C．y＝x3D．y＝x－24．設(shè)a＝(-eq\f(1,6))－2，b＝(eq\f(2,5))－2，c＝(eq\f(3,4))－2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>cB．c>a>bC．a(chǎn)<b<cD．b>c>a5．若冪函數(shù)y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的圖象不過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則()A．m＝－2 B．m＝－1C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1二、填空題6．若冪函數(shù)y＝(m2－m－1)xm2－2m－1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則m＝________.7．冪函數(shù)y＝x－1在[－4，－2]上的最小值為________．8．已知冪函數(shù)f(x)＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))，若f(a＋1)<f(10－2a)，則a的取值范圍是________．三、解答題9．比較下列各組數(shù)的大小：(1)3－1和3.1－1；(2)－8－3和－(eq\f(1,9))3；(3)(-eq\f(2,3))－2和(-eq\f(π,6))－2.10．已知冪函數(shù)f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞