專題08互補型旋轉(zhuǎn)模型【模型說明】【例題精講】例1．（基本模型）如圖，在四邊形中，于，則的長為__________【答案】【詳解】解：過點B作交DC的延長線交于點F，如右圖所示，∵，，，，∴≌，，，即，，故答案為．例2．（模型探究）回答問題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；（2）【靈活運用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由見解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB【詳解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如圖1，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，∴∠B=∠ADG=90°，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF=180°-∠DAB．證明：如圖3，在DC延長線上取一點G，使得DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-∠DAB．例3．（培優(yōu)綜合）如圖，在中，，，點在上，點在上，，連接，，，垂足為．證明：．【答案】見解析【詳解】證明：如圖，延長到點，使，連接、，，，，，，，，，，，，，，，，，．【課后作業(yè)】1．將4個邊長都是2的正方形按如圖所示的樣子擺放，點，，分別是三個正方形的中心，則圖中三塊重疊部分的面積的和為（

）.A．2 B．3 C．6 D．8【答案】B【詳解】解：如圖，連接AP，AN，點A是正方形的對角線的交點，則，，，，≌，四邊形AENF的面積等于的面積，而的面積是正方形的面積的，而正方形的面積為4，四邊形AENF的面積為，三塊陰影面積的和為．故選B．2．Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90°，∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結(jié)論①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個數(shù)是【

】A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90°，∴AD=DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN=90°－∠ADN=∠FDC．∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF=BE+AE=AB．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴結(jié)論①正確．設(shè)AB=AC=a，AE=b，則AF=BE=a－b．∴．∴．∴結(jié)論②正確．如圖，過點E作EI⊥AD于點I，過點F作FG⊥AD于點G，過點F作FH⊥BC于點H，ADEF相交于點O．∵四邊形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，∴EO≥EI（EF⊥AD時取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD時取等于）=AG．∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴結(jié)論④錯誤．∵△EDA≌△FDC，∴．∴結(jié)論③錯誤．又當(dāng)EF是Rt△ABC中位線時，根據(jù)三角形中位線定理知AD與EF互相平分．∴結(jié)論⑤正確．綜上所述，結(jié)論①②⑤正確．故選C．3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A,B兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為_________．【答案】【詳解】解：將△OBC繞O點旋轉(zhuǎn)90°，∵OB=OA∴點B落在A處，點C落在D處且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四邊形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三點在同一條直線上，∴△OCD為等要直角三角形，根據(jù)勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18，解得CD=，即BC+AC=.4．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，則四邊形APBQ的面積為_______．【答案】【詳解】解：連接PQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BP=BQ，又∵∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴PQ=BP，在等邊三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，∴∠ABQ=60°-∠ABP∠CBP=60°-∠ABP∴∠ABQ=∠CBP在△ABQ與△CBP中，∴△ABQ≌△CBP(SAS)，∴AQ=PC，又∵PA=4，PB=5，PC=3，∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，在△APQ中，因為，25=16+9，∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，∴，故答案為：5．問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，，，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長到G，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形中，，，，，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形中，，，，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立．探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立．實際應(yīng)用：210海里．【詳解】解：EF=AE+CF理由：延長到G，使，連接，在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立．理由：延長到G，使，連接，在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立．理由：延長到G，使，連接，∵，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．實際應(yīng)用：連接EF，延長AE，BF相交于點C，∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的條件∴結(jié)論EF=AE+CF仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此時兩艦艇之間的距離為210海里．6．五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．【答案】見解析【詳解】延長DE至F，使得，連接AC.∵，，∴∵，，∴△ABC≌△AEF．∴，∵，∴，∴△ADC≌△ADF，∴即AD平分∠CDE．7．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，把∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）是，2.【詳解】（1）∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，則有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS），BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.8．如圖所示，中，，，把一塊含角的直角三角板的直角頂點放在的中點上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），將三角板繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn).（1）在如圖所見中，交于，交于，證明；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖所見，延長交于，延長交于，證明.【答案】(1)見解析；（2）見解析.【詳解】證明：（1）連接BD,∵AB=BC，∠ABC=90°，點D為AC的中點∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°，∴BD=AD=CD∴∠ABD=∠A=45°，∴∠MBD=∠C=45°∵∠MDB+∠BDN=90°，∠NDC+∠BDN=90°∴∠MDB=∠NDC在△MDB和△NDC中∴△MDB≌△NDC（ASA）∴DM=DN（5分）（2）DM=DN仍然成立．理由如下：連接BD，由（1）知BD⊥AC，BD=CD，∴∠ABD=∠ACB=45°∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°，∴∠MBD=∠NCD∵BD⊥AC，∴∠MDB+∠MDC=90°又∠NDC+∠MDC=90°，∴∠MDB=∠NDC在△MDB和△NDC中∴△MDB≌△NDC（ASA）

∴DM=DN.9．問題：如圖(1)，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖（1）證明上述結(jié)論．【類比引申】如圖(2)，四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時，仍有EF=BE+FD．【探究應(yīng)用】如圖(3)，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）【答案】【發(fā)現(xiàn)證明】證明見解析；【類比引申】∠BAD=2∠EAF；【探究應(yīng)用】109．2米．【分析】【發(fā)現(xiàn)證明】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADG≌△ABE，則GF=BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可．【類比引申】延長CB至M，使BM=DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案；【探究應(yīng)用】利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得到△ABE是等邊三角形，則BE=AB=80米．把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADG≌△ABE，則GF=BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD．【詳解】解：如圖（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．又∵DG=B