絕密★啟用前

2024年高考押題預測卷02【北京卷】

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合-={0,1,2,3},集合3={無l<x<4},則AcB=（）

A.{2,3}B.{0,1,2）

C.{1,2}D.{1,2,3}

2.在復平面內，復數z滿足iz=3-4i,貝”的虛部為（）

A.3iB.-3i

C.3D.-3

3.已知雙曲線C經過點（0,1）,離心率為2,則C的標準方程為（）

A./上=1B.—=1

33

22

C.=1D.--尤2=1

-33

4.下列函數中，既是奇函數又在（0,+8）上單調遞增的是（）

11

A.v=r2B.y=~

y一人V

C.y=tanxD.y=x\x\

5.設a>0,b>0,則“lg(a+b)>0"是“lg(ab)>0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.在,ABC中，/4=120,a=VT9,b-c=1,貝LABC的面積為()

3石3

A.B.-

2

3石D.3

C.

4

7.在,ABC中，AB=4,AC=3,^\AB+AC\=\AB-AC\,則

A.16B.-16C.20D.-20

8.已知等差數列｛4｝的前〃項和為若S3=30,%=4,則89=()

A.54B.63

C.72D.135

9.在平面直角坐標系中，記"為點尸（cos。，sin。）到直線kx-y-3k+4=0的距離，則當0,左變化

時，d的最大值與最小值之差為（）

A.2B.3C.4D.6

10.如圖，正方體ABCD-A4GA中，點P為線段BQ上的動點，則下列結論正確的個數是（）

DxA,

0

CB

（1）三棱錐A-RPC的體積為定值；

（2）直線AP與平面ACR所成的角的大小不變；

（3）直線AP與4。所成的仍的大小不變，

（4）AC±DP.

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.Q-2xj的展開式中常數項為（用數字作答）

12.已知拋物線C：V=4x的焦點為尸，點M在C上，^\MF\=3,貝UM至U直線尤=一2的距離為：.

13.若函數/（x）=2sin^-cos^|+Acosx（A>0）的最大值為則A=,/［裔］=.

14.已知數列｛4｝是各項均為正數的等比數列，S”為其前n項和，q/=16,邑=14,則

?2=;記<=卬a2為（"=1，2,）,若存在小wN*使得T?最大，則n0的值為.

15.設aeR,函數:2「給出下列四個結論：

［X—3ax+2a,x>1

①當4=1時，“X）的最小值為-:；

②存在a>0,使得〃x）只有一個零點；

③存在。>0,使得/'（X）有三個不同零點；

④Vae（F,O）,〃x）在R上是單調遞增函數.

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.（14分）

如圖，直三棱柱AB|G-ABC中，AB=AC=AAi,BC=42AB,點。是BC中點.

（1）求證：40,平面BCC4；

（2）求證：48〃平面4。￡；

（3）求二面角A-A2-D的余弦值.

17.（13分）

記一ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知6cosA=V^asin8.

⑴求sinA；

(2)若a=7L再從條件①，條件②，條件③中選擇一個條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，

并求,ABC的面積.

條件①：b=癡c;條件②：b=R;條件③：sinC=；.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一

個解答計分.

18.(13分)

2021年10月16日，神舟十三號載人飛船與天宮空間站組合體完成自主快速交會對接，航天員翟志剛、

王亞平、葉光富順利進駐天和核心艙，由此中國空間站開啟了有人長期駐留的時代.2022年4月16日，

神舟十三號載人飛船圓滿完成任務，平安返回.為普及航天知識，某市組織中學生參加“探索太空”知識

競賽,競賽分為理論、操作兩個部分，兩部分的得分均為三檔，分別為100分、200分、300分.現從參加

活動的學生中隨機選擇20位，統計其兩部分成績，成績統計人數如下表：

理論

100分200分300分

操作

100分021

200分3b1

300分23a

例如，表中理論成績為200分且操作成績為100分的學生有2人.

(1)若從這20位參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到理論或操作至少一項成績為300分的學生概率為

g.求。,6的值；

(2)在(1)的前提下，用樣本估計總體，從全市理論成績為300分的學生中，隨機抽取2人，求至少有

一個人操作的成績為300分的概率；

(3)若要使參賽學生理論成績的方差最小，寫出匕的值.(直接寫出答案)

19.(15分)

22

已知橢圓C:，+當=l(a>b>0)的一個焦點坐標為(-1,0),A,8分別是橢圓的左、右頂點，點D(x,y)

3

在橢圓C上，且直線AD與皿的斜率之積為-“

(1)求橢圓c的標準方程;

(2)設直線2x+"-3=0與橢圓分別相交于M,N兩點，直線MO(O為坐標原點)與橢圓的另一個交點

為E,求「KVE的面積S的最大值.

20.(15分)

已知函數/(x)=J7,g(x)=aln尤,aeR.

⑴若曲線y=/(x)與曲線y=g(尤)相交，且在交點處有共同的切線，求。的值和該切線方程;

⑵設函數〃(x)=/(x)-g。)，當飄X)存在最小值時，求其最小值例。)的解析式.

21.(15分)

rj

a+d,_gN*

nk

若存在常數MAeN*,左22)、c、d,使得無窮數列｛4｝滿足。用，則稱數列｛風｝為

ca”-&N*

k

“「數列.已知數列也｝為“「數列”.

(1)若數列也｝中，瓦=1,k=3、d=4、c=0,試求%19的值;

(2)若數列也｝中，4=2,左=4、1=2、c=l,記數列出｝的前〃項和為S〃，若不等式見"儲3"對

72WN*恒成立，求實數％的取值范圍;

(3)若也｝為等比數列，且首項為6,試寫出所有滿足條件的也｝,并說明理由

2024年高考押題預測卷02【北京卷】

數學.參考答案

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

12345678910

ADCDBABBDc

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11,-16012.413.1漁14.43或415.②③

2

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.（14分）

【分析】（1）由等腰三角形和直棱柱的性質，得出AD13C和AOLCG，根據線面垂直的判定定理，即可

證出平面BCQBI；

（2）連接AC,交AG于點￡,連接OE,結合三角形的中位線得出根據線面平行的判定定理,

即可證出A\BH平面ADC1；

（3）連4A,交BA于點0,分別取。8、A8中點H、。一連接HO、、。。】，根據線面垂直的判定

定理，可證出平面A5瓦A和03,平面。從而得出/。戶。就是二面角的平面角，最

后利用幾何法求出二面角A-A.B-D的余弦值.

【詳解】解：（1）證明：AB=AC,。是BC中點，.?.ADL3C,

又，在直三棱柱AAG—ABC中，CC]_L平面ABC,ADu平面ABC,

AD1Cq,

又BCcCQ=C,3。匚平面3。7再，CQu平面BCC百，

.?.AD_L平面BCG片.

（2）證明：連接交AG于點E,連接DE,

D、E分別是BC、AC的中點，

:.DE是ABC的中位線，二4^“刀石，

ABcZ平面AE>G，DEu平面ADG，

AB”平面AOG

（3）解：連4A,交BA1于點0,分別取。8、A3中點H、。「連接DH、HO、、DO,,

四邊形AB瓦4是正方形且“、。|分別是。8、A3的中點，故反。，。2,

在ABC中，AB=AC,BC=?AB，

BC~=2AB"=AB"+AC2,：.ABLAC,

又。一。分別是A3,8C中點且

:.O{DVAB,

又在直三棱柱44G-A5C中，M，平面A5C,OQU平面ABC,

/.O]￡)J_朋,

Q4BcA4,=A,ABu平面AB44，44.<=平面45月4,

.?.。0，平面43月4，

03u平面AB4A,HO,u平面ABB^,

:.OtD-LOB,O1D±HO.,

又?.HO,LOB,O\DcHO\=Oi,OXDu平面DHO},HO,u平面DHOt,

.?.08_1平面。目。|,

HDu平面。..08,HD,

又：平面4418c平面ABO=A18

NO|/TO就是二面角A-A.B-D的平面角,

設AB=2,則在上HOQ中，ZHO]D=90°,

OQ=gAC=l,OiH=；OA=：ABi=*

故"￡>=4,

-2'

故cosZO,HD==金=與'

Uri763

2

即二面角A-^B-D的余弦值為史.

3

【點睛】本題考查線面垂直和線面平行的判定定理，以及利用幾何法求解二面角余弦值，還涉及三角形中

位線和勾股定理的逆定理的運用，考查推理證明能力和運算能力.

17.（13分）

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合同角公式計算即得.

（2）選擇條件①，利用余弦定理及三角形面積公式計算求解；選擇條件②，利用正弦定理計算判斷三角形

不唯一；選擇條件③，利用正弦定理計算判斷，再求出三角形面積.

【詳解】(1)由bcosA=J5asinB得：sinBcosA=V2sinAsinB而sin3w。，

Pl!|cosA=5/2sinA>0，A為銳角,又sin?A+cos2A=1,解得sinA=#，

所以sinA=立且A為銳角.

3

(2)若選條件①，由sinA=3，A為銳角，得cosA=逅，

33

由余弦定理得/=/+1-2/?ccosA,又6=太C,貝(J3=6c?+02—4c?,

解得c=l,6=?,ABC唯一確定，所以S'M=46csinA=@.

ABC22

7(A/3

若選條件②，由正弦定理得上=二，則局女網與加

smAsmBsin力=--j=-=—<1

由b=a>a=6，得因此角5有兩解，分別對應兩個三角形，不符合題意.

若選條件③，由sinA=3,A為銳角，得cosA=1,

33

又sinA=>sinC=—,得a>c，A>C,則cosC=,

333

因此sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,ABC唯一確定，

由正弦定理得二=Lesin人也

，所以S^ABC

sinAsinC22

3

18.（13分）

【分析】（1）由題意得，*從而求解“，再結合表格數據與學生總人數求解6；（2）先求解樣本符

合題意的概率，然后由樣本估計總體，得全市學生符合題意的概率，從而利用對立事件的概率公式求解；（3）

表示出參賽學生理論競賽的平均成績與方差，從而得關于6二次函數，由匕的取值范圍與二次函數的性質從

而求解得答案.

【詳解】（1）由題意，理論或操作至少一項成績為300分的學生

共有2+3+a+l+l=7+a人，則7+°=）,

202

得。=3,又3+2+2+6+3+1+1+3=20,

得6=5

（2）由（1）知，從20位理論成績為300分的學生中抽取1人，

操作成績也為300分的概率為:，所以從全市理論成績為300分的學生中，

隨機抽取2人，至少有一個人操作的成績為300分的概率為尸=1-[-=||

(3)由題意，a=8-Z?(O<&<8),

設理論競賽的分數為X,則X取值為｛WO,200,300｝,

對應的人數分別為｛5,6+5,10-耳（0</<8）,所以參賽學生理論競賽的平均成績為

磯X)=100*+200x甯+300x1^=225一56

所以參賽學生理論成績的方差為

￡>(X)=(100-225+56『*+(2。。-225+5心智+(30。-225+54雷―50H6875

因為04W8,所以當6=8時，D（X）最小.

【點睛】求解本題的關鍵是將理論競賽分數對應的人數表示為6的多項式，然后求解均值與方差，從而轉化

為關于6的二次函數的最值問題.

19.（15分）

【分析】（1）根據橢圓的頂點坐標，結合斜率的計算公式，可整理橢圓方程，建立方程，可得答案；

（2）由題意，利用三角形中線性質，分割三角形，整理三角形面積表達式，聯立直線與橢圓方程，寫出韋

達定理，求得面積表達式中的變量，利用基本不等式，可得答案.

【詳解】（1）由已知得4一。,0）,以名⑴且心或原口二-』，即！———=一』，

4x-ax+a4

因此有5=_（y_*=9卜2r2）,得§■=（.

1丫22

因止匕。2=/-/=2=1,得"=4,1=3,所以橢圓的標準方程為三+乙=1.

443

（2）顯然直線肱V經過x軸上的定點設/（HX），&%,%），

則由橢圓的對稱性得S=2Zg=2'；|0。|（聞+昆|）=|。。|（瓦|+昆|）,

2x+Zy-3-0

聯立/>2,消去尤得06+3與y2_i821=0.

---1---=1

143

A=(T8f)2+84(16+3巧>0恒成立，所以

16+3/16+3/

(18/)2+84(16+3r)

\l(yi+y)2-^2=

bJ+l^l=Iyi-y2|=2(16+3/y

令3產+7=機，顯然有機27,于是S—2義&20,當m=9,即|“=當時

取等號.

因此腦VE的面積S的最大值為2—.

20.(15分)

【分析】(1)對Ax),g(x)進行求導，已知在交點處有相同的切線，從而解出。的值及該切線的方程；

(2)由條件知/7(x)=?-alnx(x>0),對/z(x)進行求導，分兩種情況進行討論：①。>0；②4,0,從而

求其最小值以。)的解析式；

【詳解】(1)解：f(x)=-^r，g'(x)=-(x>0),

27XX

由已知得|l_a，解得。=:x=e2,

HI

兩條直線交點的坐標為(e2,e),切線的斜率為k=f'(e2)=；,

切線的方程為V-e=1(x-e2),即切線的方程為y=^-x+"

(2)解：由條件知/i(x)=五一alnx(x>0)

①當a>0時，令"(x)=0,解得了=4儲，

二當0〈尤<4/時，〃(x)<0,/2(x)在(0,4/)上遞減；當尤>44時，加⑺式/⑴在心乙+⑹上遞增,

x=4/是h(x)在(0,+巧上的唯一極值點，從而也是h(x)的最小值點，

最小值點，0(。)=〃(4。2)=2a-aIn4a2=2a(l-Jn2a).

②當aVO時，磯x)=?^>O,/z(x)在(0,+動上遞增，無最小值，故〃⑺的最小值。(。)的解析式為

lx

9(a)=2a(l-ln2a)(a>0).

【點睛】本題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性從而求最值、分類討論思想.屬于難題.

分類討論思想解決高中數學問題的一種重要思想方法，是中學數學四種重要的數學思想之一，尤其在解決

含參數問題發揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣

才能快速找準突破點.充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學們能夠熟

練掌握并應用與解題當中.

21.(15分)

【分析】(1)直接利用信息求出數列的項.

(2)利用恒成立問題和函數的單調性，求出2的取值范圍.

(3)直接利用