2024年新高考聯(lián)考協(xié)作體高三2月收心考試

數(shù)學(xué)

（滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考

證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

x

A=[xeR|log?（x-i）<l\,B-[y\y=2.xEA\An

1.已知I1/HPJ,則AcB等于（）

A.0B.{x[2<%<3}

C.^x|l<x<81D.1x|l<x<3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足忖?z=2G-2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)尸在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)p關(guān)于其準(zhǔn)線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（6,0）,則。的方程為（）

A.y1--8xB.y~--4xC.y~=8xD.y2-4x

4.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2023年全年投入研發(fā)資金160萬(wàn)元，在此基

礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)10%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是

（）（參考數(shù)據(jù)：lgl.b0.04,1g2ao.30）

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

5.已知e是單位向量，且|2e—4=a+2e在。上的投影向量為5e,則。與e的夾角為（）

64312

2Y-8V

6.已知函數(shù)/（%）=（a〉0且a/l）是偶函數(shù)，則。=（）

x-ax

i1

A.-B.-C.2D.4

24

7.已知圓C:一+：/—2x=0,過(guò)圓C外一點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,3,三角形7^45的面積

為昱,則尸C的長(zhǎng)為（）

12

26

DR.--C.由D.2

3

8.已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，貝產(chǎn)存在正整數(shù)左，對(duì)于"eN*,%〉6+,恒成立”是：“｛。”｝為遞減數(shù)列”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形

的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，A4垂直于底面，9=5,底面

7T

扇環(huán)所對(duì)的圓心角為一，弧的長(zhǎng)度是弧5c長(zhǎng)度的3倍，8=2,則下列說(shuō)法正確的是（）

2

Q1

A.弧AT＞長(zhǎng)度為一兀B.曲池的體積為」

23

C.曲池的表面積為20+14兀D.三棱錐A-CQD的體積為5

10.設(shè)函數(shù)“xQog/d—3詞（"0且"I）在區(qū)間［Q）上單調(diào)遞減，則“的取值可以為（）

A.—B.2C.-D.3

223

11.數(shù)列｛4｝共有11項(xiàng)，前11項(xiàng)和為S「且滿(mǎn)足(a"］一為『=3(4+1—4)—2,q=l,則下列說(shuō)法正

確的是()

A.｛4｝可以是等差數(shù)列

B.｛%｝可以不是等差數(shù)列

C.所有符合已知條件的數(shù)列｛%｝中，5口的取值個(gè)數(shù)為55

D.符合已知條件且滿(mǎn)足2%,=4+an的數(shù)列｛%｝的個(gè)數(shù)為252

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a,6是不同的直線(xiàn)，a,尸是不同的平面，則下列四個(gè)結(jié)論：

①若a//a,a//，，則a//月；②若alib,alla,則》//a；

③若a_Ltz,a_L/?,則a//￡；④若夕人/7,?//?,則a_L/7；

以上結(jié)論中，正確的序號(hào)是.

13.如圖，圓和直角梯形A3CZ),其中==且A,C,￡＞三點(diǎn)在

圓上，則圓面積為.

14.將函數(shù)/(x)=2sinx-1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)

度，向左平移°(ee(O,司)個(gè)單位長(zhǎng)度，最后所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的0.5倍，得到函數(shù)

兀7C

g(x)的圖象.若對(duì)任意石e0,-，都存在々e--,0，使得/(xj=g(x2)，則。的取值范圍為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

cosB

15.記A5c的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知-----=tanC

1+siaB

TT

(1)若。二一，求

6

7

(2)若b=—c,求sinC的值.

2

16.已知盒中有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，每次從盒中不放回的隨機(jī)摸取1個(gè)球，直到盒中剩下的球顏色相同就

停止摸球

(1)求摸球兩次后就停止摸球的概率；

(2)記摸球的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和期望.

17.如圖，在四棱錐P—A5CD中，底面A3CD為菱形，上底面A5CD,PA=AB=2,BD=2&E

為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線(xiàn)段PC上(不含端點(diǎn))，再?gòu)南旅嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為

4

己知條件.

①AE、G、尸四點(diǎn)共面②AG,平面PBD③EG〃平面產(chǎn)

(1)求——的值；

PC

(2)求平面AEG與平面APF所成角余弦值.

22

is,已知橢圓°：。+2=1(。〉6〉0)長(zhǎng)軸左右頂點(diǎn)分別為4,4,短軸的上下頂點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo)，四

邊形431A與面積為4,橢圓。的離心率是2

2

(1)求C方程;

(2)過(guò)點(diǎn)T(2,l)的直線(xiàn)交C于P,Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)用P,與Q與直線(xiàn)y=-l的交點(diǎn)分別為證明：線(xiàn)

段"N的中點(diǎn)為定點(diǎn).

19.函數(shù)〃無(wú)）=圖像與X軸兩交點(diǎn)為A（X，O）,B（x2,O）（x2

（1）令/，（x）=/（x）-lnx+x,若/i（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）證明：石/<1；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，以A5為直徑的圓與直線(xiàn)y=￥（x+l）恒有公共點(diǎn).

（參考數(shù)據(jù)：e0-25~1.3,e"土12.2）

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

A=（XGR|log9（x-l）<l],jB=b|y=2=x￡A14n

1.已知122lJ廣[上J,則AcB等于（）

A.0B.1x|2<%<31

C.1x|l<x<81D,|x|l<x<31

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得人={%|1<%<3}和5={y[2<y<8},結(jié)合集合交集

的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由不等式log2（x—1）<1,可得0<x—1<2,解得1<%<3,即4={為由<x<3},

又由集合3={y|y=2",xeA}={y[2<y<8},

根據(jù)集合交集運(yùn)算，可得403={%|2<%<3}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足忖?z=26-2i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,3eR),代入忖?z=2G-2i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷(aSeR),

因忖-[=？4一2i,

所以7?2+b2\a+bi)=ayJa2+b2+by/a2+/i=2也-2i,

a]cr+b"=2.yf3a=s/3r-

可得<______,解得<,所以z=6—i,

b^cr+lr=-2W=T

則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

故選：D.

3.已知拋物線(xiàn)。的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P關(guān)于其準(zhǔn)線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(6,0),則。的方程為()

A.y2=-8xB.>2=-4XC.y~-8xD.y2-4x

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)拋物線(xiàn)的方程為V=—2px(o>0),設(shè)焦點(diǎn)R關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(Xo,O),求得

x0=—>得到2=6,進(jìn)而的拋物線(xiàn)的方程.

22

【詳解】由題意，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為丁=—2加(2>0),

可得焦點(diǎn)坐標(biāo)R(-￡,0),準(zhǔn)線(xiàn)方程為/:%="，

22

設(shè)焦點(diǎn)廠(chǎng)關(guān)于準(zhǔn)線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為&玉”0)，可得天+(—解得/=學(xué)，

因?yàn)辄c(diǎn)廠(chǎng)關(guān)于其準(zhǔn)線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(6,0),可得弓=6,解得。=4,

所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為V=-8x.

故選：A.

4.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2023年全年投入研發(fā)資金160萬(wàn)元，在此基

礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)10%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是

()(參考數(shù)據(jù)：用.1。0.04,32。0.30)

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

【答案】C

【解析】

【分析】假設(shè)經(jīng)過(guò)九年后全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，列不等式求解即可.

【詳解】假設(shè)經(jīng)過(guò)〃年后全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，

l-31g20.1

即160?(1.1)”〉200,所以〃〉，=2.5,

lgl.1oH

因此超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2026年.

故選：C.

5.已知e是單位向量，且|2e—a|="5,a+2e在g上的投影向量為5e,則。與e的夾角為()

717171571

A.-B.-C.-D.—

64312

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量可求得利用|2e-=10可求得同，根據(jù)向量夾角公式可求得結(jié)果.

【詳解】。+助在e上的投影向量為(a-e+2\e=5e,.-.a-e=3,

:.\le-a^=4e2-4?-e+?2=?2-8=10,解得：|?|=3^2,

a-e_3_41

cos(a,e)又依刀e[0,7i],

|?|-|e|-372-2

故選：B.

6.已知函數(shù)/(x)=—^-(a〉0且a/l)是偶函數(shù)，則。=()

i1

A.-B.-C.2D.4

24

【答案】D

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的定義求解參數(shù)即可.

2-8%

【詳解】因?yàn)椤ǎィ?（Q〉0且Qw1）是偶函數(shù),

x-ax

2'—8、2一一8r2-8”-8、+2%

所以---丁x=7―\——，-------=a-----------，

x-a（—%）?〃xax2、8

因此：a2x=2X-Sx,/=16,〃=4（舍負(fù)），

故選：D.

7.已知圓C:3+y2—2%=0,過(guò)圓c外一點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為AB,三角形的面積

為旦,則PC的長(zhǎng)為（）

12

A.2B.冬8C.73D.2

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件設(shè)NAPC=i,得Sp..=』|PA|2sin2a=立，在Rt^APC中，|申|用一^

PAB21211tana

7T

表示，由此得到關(guān)于a的方程，三角恒等變換化簡(jiǎn)解得&=—,即可在RtA4PC中求解PC.

3

【詳解】因?yàn)椤＃罕?/-2x=0可化為（龍一1）2+丁=1,

19

設(shè)ZAPC=a,SPAB=—\PA\^sin2tz,

三角形APC直角三角形，ZPAC=90°,|C4|=1,

所以|PA|=’，所以，Jsin2a=走，

tana2tan”12

即112sintz-cosa_A/3所以1tana_百

2tan2asin26Z+cos2（712tan2。1+tan26Z12

整理可得：tan%+tana—4A/^=0，^tanc^—A/3^tan2cc+A/3tantz+4^=0

tan2or+A/3tanor+4>0,所以tana-6=0,

解得tana=6，aG2'},所以二二三；

因此在RtA4PC中，|PC|=-------=

sina3

故選：B

8.已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，貝『，存在正整數(shù)左，對(duì)于VfeN*,恒成立”是：“｛%｝為遞減數(shù)列”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】取兩種特殊情況說(shuō)明，分％=1和％=4兩次情況討論，將q轉(zhuǎn)化為％(/-1)伍2+])<0,

分生〉0和g<0兩種情況與假設(shè)對(duì)比，據(jù)此即可求解.

【詳解】取兩種特殊情況說(shuō)明充分性，

當(dāng)％=1時(shí)顯然成立；

當(dāng)左=4時(shí)，理由如下：

因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，設(shè)公比為.(9。0),則4。0,

4

當(dāng)V%￡N*,qA*時(shí)，at>atq,即q伍、-1)(7+1)vO,

若見(jiàn)〉0,則一l<q<l,

注意到，當(dāng)“<。時(shí)，at+i=atq<0,與假設(shè)矛盾，舍去，

故0<q<l,此時(shí)4+i=qq<q,則｛4｝為遞減數(shù)列；

若q<0,則“<T或q>1,

注意到，當(dāng)鄉(xiāng)<—1時(shí)，at+l=atq>0,與假設(shè)矛盾，舍去，

故4>1,此時(shí)q+i=%q<%,則｛a.｝為遞減數(shù)列；

綜上：存在左=4,使V/eN*,qA。…時(shí)，｛4｝為遞減數(shù)列，即充分性成立；

當(dāng)｛4｝為遞減數(shù)列時(shí)，at>%>%+2>%+3〉％+4,即VfeN*,q〉q+4成立，即必要性成立.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于取兩種特殊情況說(shuō)明，分左=1和左=4兩次情況討論.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形

的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，A4垂直于底面，M=5,底面

兀

扇環(huán)所對(duì)的圓心角為一，弧AD的長(zhǎng)度是弧5C長(zhǎng)度的3倍，8=2,則下列說(shuō)法正確的是（）

2

3

A.弧AD長(zhǎng)度為一兀B.曲池的體積為——

23

C.曲池的表面積為20+14兀D.三棱錐A—CG。的體積為5

【答案】ACD

【解析】

【分析】設(shè)弧AD所在圓的半徑為R,弧所在圓的半徑為人根據(jù)弧AD的長(zhǎng)度是弧長(zhǎng)度的3倍及

CO=R一r=2求出R、r，再根據(jù)體積、表面積公式計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)弧A。所在圓的半徑為R,弧所在圓的半徑為「，

7T7T

因?yàn)榛D的長(zhǎng)度是弧5c長(zhǎng)度的3倍，-H=3x——，即尺二3尸，

22

CD=R—r=2r=2,/.r=1,R=3,

3

所以弧A￡）的長(zhǎng)度為一兀，故A正確；

2

曲池的體積為V成2—；兀,卜恒=］：7cx32—:兀乂仔卜5=10兀，故B錯(cuò)誤；

（11

曲池的表面積為?卜丁9x2+[—71JR+—7tr|x5+2x5x2

(22)

\X32.1XI2jx2+f^-7cx3+^-7Cxljx5+20=20+1471,故C正確；

44

三棱錐A—CG。的體積為:xgx2x3x5=5,故D正確.

故選：ACD.

10.設(shè)函數(shù)/(x)=log/d—3.(”0且"I)在區(qū)間［白］上單調(diào)遞減，則0的取值可以為()

A.@B.立C.-D.3

223

【答案】AC

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)=%3-3依的單調(diào)性，由此可得，=,一3公|的大致圖象；分別在a>l和

0<。<1的情況下，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可確定,=13-3公|的單調(diào)性，結(jié)合,=k3一3金|的圖象可構(gòu)造不

等式組求得。的范圍.

詳解］令y=|尤3—3依|,g(x)=x3-3ax,

g<x)=3x2-3a=3(x+&)(x-&),

.?.當(dāng)時(shí)，g<x)>0；當(dāng)x4一G,6)時(shí),gf(%)<0；

.,超(力在卜8,-6),(G,+動(dòng)上單調(diào)遞增，在JZ)上單調(diào)遞減；

令g(x)=0,解得：x=0或x=±J§^，

y=卜3—3ax|的大致圖象如下圖所示，

當(dāng)a>l時(shí)，若〃％)在住,21上單調(diào)遞減，則y=,—3詞在上單調(diào)遞減，

l3/—49

/.Va?—<2<q3a,解得：一4a4—；

234

當(dāng)0<"1時(shí)，若”力在弓，2)上單調(diào)遞減，則y=,—3同在仁,2)上單調(diào)遞增,

:.2W&或解得：0<?<|；

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍為[o,：U49，二。可能的取值為也和士.

35423

故選：AC.

11.數(shù)列｛4｝共有11項(xiàng)，前11項(xiàng)和為與，且滿(mǎn)足（a,”]一a,J=3（a“+i—4）-2,弓=1,則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.｛4｝可以是等差數(shù)列

B.｛&｝可以不是等差數(shù)列

所有符合已知條件的數(shù)列｛4｝中，”的取值個(gè)數(shù)為55

D.符合已知條件且滿(mǎn)足2%=4+?n的數(shù)列｛??｝的個(gè)數(shù)為252

【答案】ABD

【解析】

【分析】分解因式得出兩種等差數(shù)列判斷A,B選項(xiàng)；分類(lèi)計(jì)算得出前11項(xiàng)的和判斷C選項(xiàng)；根據(jù)滿(mǎn)足條件

的組合數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于AB,因?yàn)椋╝.+i=3（a“+i-%）-2嗎=1，

所以a“+i=1或%+i“=2,因此A,B是正確的.

對(duì)于C,相鄰兩項(xiàng)的差值最小為1,最大為2,

所以當(dāng)｛%｝是以1為首項(xiàng)，以1為公差時(shí)，S”取最小值為66；

當(dāng)｛4｝是以1為首項(xiàng)，以2為公差時(shí)，X取最大值為121；

且與取值一定是正整數(shù)，所以S”的取值個(gè)數(shù)為121—66+1=56,所以C不對(duì).

對(duì)于D,因?yàn)?。6=4+。11，a6-a1=an-a6

（氏—。5）++（劣—%）=（%]—+（%—4），

所以滿(mǎn)足2%=%+an的數(shù)歹ij｛%｝的個(gè)數(shù)為

C5C5+C5C5+C；C；+C5C5+C5C5+C5C5=252.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a,6是不同的直線(xiàn)，尸是不同的平面，則下列四個(gè)結(jié)論:

①若a//c,a//〃，則a/R；②若a〃仇a〃a,則Z?//a；

③若a_La,a_L/?,則a//〃；④若/7,?//?,則a_!_/?；

以上結(jié)論中，正確的序號(hào)是.

【答案】③

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線(xiàn)面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于①中，設(shè)。分=/,當(dāng)a///,a(Z(z,a(Z〃時(shí)，此時(shí)a//c,a//，所以a與少不一定平行，

所以①不正確；

對(duì)于②中，若a〃4a〃a,則b//e或Z>ua,所以②不正確；

對(duì)于③中，由a。,尸，根據(jù)垂直同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，則尸，所以③正確；

對(duì)于④中，若緘人(3,alla,則。與夕的位置關(guān)系不確定，所以④不正確.

故答案為：③.

13.如圖，圓和直角梯形A3CD,其中=且A,C,Z>三點(diǎn)在

圓上，則圓的面積為.

【答案】兀

9

【解析】

【分析】連接AC，結(jié)合正弦定理求出三角形ACD外接圓直徑，即求三角形ACD的外接圓的面積.

3

【詳解】直角三角形ABC中，AB^6,BC=8,AC=10,所以sin/ACB=m，

3

又AD〃BC,:.sinZZMC二|,

直角梯形A3CD中，DC=136+(8-4/=2而,

CD_2屈

三角形ACD的外接圓直徑為：飛——刀一

5

325

因此三角形ACD的外接圓的面積——71.

9

故答案為：---兀

9

14.將函數(shù)/(x)=2sinx-1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)

度，向左平移。(ee(O,可)個(gè)單位長(zhǎng)度，最后所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的0.5倍，得到函數(shù)

兀7C

g(%)的圖象.若對(duì)任意玉￡0,-，都存在--,0，使得/(再)=8(入2)，則。的取值范圍為

7125

【答案】不彳兀D/兀，兀

_23J|_6_

【解析】

【分析】由題意易得了(%)在0弓上的值域是g(x)在一：,0上值域的子集，再分析g(x)的最值判斷值

域的包含關(guān)系求解即可

【詳解】由已知可知g(x)=2(2sin(2x+°)-1)—1=4sin(2x+9)-3,

兀7C

因?yàn)閷?duì)任意石?0,-,都存在々e--,0,使得/(xj=g(x2)，

jrjr

所以“力在0,-上的值域是g(x)在9￡-了。上值域的子集,

當(dāng)西￡0弓時(shí)，04sinXi〈l,則/(石)=2sinX]-1￡[一1,1],

JT

所以/(%)在0,-上的值域[—1,1],

7T?-7T

且XG,0,2%+夕￡(p---,(p

因?yàn)間(x)值域中一定有1這個(gè)元素，所以■|+2Ee(p-*,(p,kwZ:.(p0~,n(必要條件)

還需要約束g(x)的最小值小于等于-1,所以4sin卜——3<-1或者4sin。-3<-1

]]7T25

因此sin/V—或者COS02——,所以0￡一,一兀.

22236

兀25

故答案為：不彳兀u;兀，兀

_23J|_o_

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

cosB

15.記ABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為Q,hc,已知一；—=tanC

1+sinB

7T

(1)若C=一，求5；

6

7

(2)若/?二一c,求sinC的值.

2

JT

【答案】(1)B=y

6

(2)sinC=—

4

【解析】

【分析】(1)將C代入，由三角恒等變換結(jié)合B的取值范圍求出即可.

(2)先由同角基本關(guān)系式和三角恒等變換得出(8+C)與C的三角關(guān)系，再根據(jù)誘導(dǎo)公式用C表示A和8,

進(jìn)而得到C的取值范圍，最后由正弦定理變形公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)。=四時(shí)，cosB=2H.^cosB-siaB=2cosfB=1,

61+siaB36J

An兀11八/c\八兀（兀7兀17171

所以cosB+—=—,SG（0,K）,5+—G—,--,B+—=—,

V072oo7o3

71

因此8=g

6

【小問(wèn)2詳解】

0°sB-tanC,.*.cosBcosC-sinBsinC=sinC

1+siiiB

化簡(jiǎn)得cos（B+C）=sinC=-cosAsin^A-^=sinC.

7171（71、

因此：A=C+-,B=——2C0<C<-

2214J

7777

因?yàn)閎=—c,則siaB=—sinC,cos2C=—sinC,2sin2C+—sinC-1=0.

2222

所以sinC=—或sinC二一2（舍）

4

因此sinC.

4

16.已知盒中有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，每次從盒中不放回的隨機(jī)摸取1個(gè)球，直到盒中剩下的球顏色相同就

停止摸球

（1）求摸球兩次后就停止摸球的概率；

（2）記摸球次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和期望.

【答案】（1）七

64

（2）分布列見(jiàn)解析，—

【解析】

【分析】（1）摸球兩次停止摸球說(shuō)明前面兩次摸到的是白色球，根據(jù)概率乘法公式求解即可；

（2）X的可能取值為2,3,4,5,求出X的每個(gè)取值的概率可得分布列，由期望公式可得期望.

【小問(wèn)1詳解】

摸球兩次停止摸球說(shuō)明前面兩次摸到的是白色球，記事件4，，=L2為“第i次摸球的顏色是白色”，

211

因此摸球兩次后就停止摸球的概率為P（AA）=7X7=77；

【小問(wèn)2詳解】

X的可能取值為2,3,4,5,

7419

P（X=3）=2x-x-x-=—,

''65415

nlv^432124314

,76543654315

o

p（X=5）=l-P（X=2）-P（X=3）-P（X=4）=—,

X2345

1248

p

15151515

2+6+16+40_64

15一話(huà)，

因此X的期望為后■.

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，八底面ABCD,PA=AB=2,BD=2?E

為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，=點(diǎn)G在線(xiàn)段PC上（不含端點(diǎn)），再?gòu)南旅嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為

①A、E、G、/四點(diǎn)共面②AGL平面尸③EG〃平面尸

PC

（1）求一的值；

PC

（2）求平面AEG與平面APF所成角的余弦值.

APR2pc19

【答案】（1）選擇條件①，—選擇條件②，—選擇條件③，—

PC7PC3PC3

（2）選擇條件①，叵;選擇條件②，叵；選擇條件③，叵；

51313

【解析】

【分析】（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AH、AP所在直線(xiàn)分別為X、丁、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

PG=APC,選擇條件①，利用AG=AP+尸G和=+求解即可；選擇條件②，利用

AG1PB＞求解即可；選擇條件③，利用EGw=O求解即可（"為平面Q4F的法向量）；

〃,n

（2）利用cos〈〃,4〉=/q求解即可（々為平面加G的法向量，〃平面尸的法向量）.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)樯?J_底面A3CD,四邊形A3CD為菱形，取CD中點(diǎn)H,

AB=AD=2,BD=25

NBAD=120°,.?一ACD是等邊三角形，，AH，CD

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AH、AP所在直線(xiàn)分別為不y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0)、5(2,0,0)、C(1,73,0),D(-1,AO),P(0,0,2),E(l,0,l),；,G,0

所以*=2),

T^PG=APC=^2,^32,-22j,其中0<2<l,

則AG=AP+PG=(4,0l,2-24)；

選擇條件①，AE=(L0]),AE=1—

設(shè)AG=mAE+nAF=m—^n,6n,mj,

1,

m—n=z

2

則《y/3n-A/32,解得2=—,

,7

m=2-2A

所以t=2

選擇條件②，AG_L平面尸BD,

所以

又因?yàn)槭?=(2,0,—2),

—.「2PG2

所以AG-P5=64—4=0,所以％=§，即拓=§

選擇條件③，EG〃平面Q4尸,

EG=AG-AE=(A,

因?yàn)锳P=(0,0,2),AF=(-1,A/3,0),

可得平面/^4尸的法向量為：n=(6,V3,0),

所以EG-”=6(2—1)+32=94—6=0,

解得x=—,即一無(wú)=—

3PC3

【小問(wèn)2詳解】

4/-6、

解：選擇條件①，AG=mAE+nAF=yv3,yl,A￡,=(l,0,l),平面AEG的法向量4=(石,％*])

44廠(chǎng)6

ni-AG=-xi+),3%+-z=0

1，貝！|勺=-1,-6'/

%.AE=x1+z1=0

設(shè)平面尸的法向量為〃=(羽，z),AP=(O,O,2),A/=1—；,、/&o],

n-AP=2z=0

則1廠(chǎng)，取x=2,則〃廣3,。）

ri-AF=x+V3.y=0

V13

COS〈〃,〃)=〃

〃|〃1

平面AEG與平面APF所成二面角的余弦值為巫;

5

“22\/32、

選擇條件②，AG=,AE=(l,0,l),平面AEG的法向量勺二(%,%,zj

I333J

’_2262_n

<3331,則4=(—1,0,1),

勺?AE=玉+4=0

設(shè)平面叩'的法向量為〃=（x,y,z）,AP=（0,0,2）,Ab=,百,

n?AP=2z=0,取x=2,則〃=2,^,0,

則

ri,AF-——x+yfiy=0

COS〈〃,〃］〉=〃V78

nWn\IF

平面AEG與平面APF所成角的余弦值為叵；

13

選擇條件③，AG=g,手2、

—,A￡1=(1,0,1),平面AEG的法向量勺=(不，y,zj

3J

'__22_n

H,,AG——X,~\-------y,H—Z.—0,、

3331則“=(—1,0,1)

勺?AE=%+4=0

COS〈凡〃］〉=n|/7'|=V78

IT

平面AEG與平面APF所成角的余弦值為圓.

13

22

18.已知橢圓C:——+=1（。〉人〉0）長(zhǎng)軸的左右頂點(diǎn)分別為4,4,短軸的上下頂點(diǎn)分別為耳,層，四

ab

邊形a用A區(qū)面積為4,橢圓。的離心率是走

2

（1）求C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)T（2,l）的直線(xiàn)交。于P,Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)4P,4。與直線(xiàn)y=-l的交點(diǎn)分別為證明：線(xiàn)

段MV的中點(diǎn)為定點(diǎn).

尤2

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)四邊形面積、離心率和橢圓”,仇c關(guān)系可構(gòu)造方程組求得”,仇c,由此可得橢圓方程;

（2）設(shè)尸。方程，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論；用RQ坐標(biāo)表示出",N坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)

作和可整理得到定值，由此可知線(xiàn)段"N中點(diǎn)為定點(diǎn).

【小問(wèn)1詳解】

5AMzR=1'2a,2Z?=4--'-ab=2,

又離心率6=￡=^^，a2=b2+c2<；.a=2,b=1,c=6，

a2

尤2

，橢圓。的方程為：—+y2=1.

4-

【小問(wèn)2詳解】

由題意知：直線(xiàn)尸。的斜率存在，

可設(shè)。。：7=4（％-2）+1,

v=^（%-2）+1

又《L21

---1-V=1

[4'

貝UA=64左2（I—2k}-64（4公+1）（公—左）=64%>0,rM>0,

8M1—2左）16（lc-k）

…-KTF，.=R7r，

4（0,1）,，直線(xiàn)用P：y=T^x+l,

石

（、

令y=-i,解得：x=-^-9/2、

,即M——^-,-1同理可得：N-----,—1,

%TI%T）I%-1）

2石2X2_2/（%—1）+2%2（%—1）_2%（電-2左）+2%2（/-24）

乂一1%-1（%—1）（%—1）（g-2左）（如一24）

4Axi/一4人（周+/）64左（左2一左）+32k2（1—2k）32k?

—左2石々一2左2（石+%）+4左2—16左2（左2一女）+16左3（1一2人）+4左2（4左2+1）一1^

二線(xiàn)段MV中點(diǎn)為定點(diǎn)（4,-1）.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線(xiàn)與橢圓綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類(lèi)問(wèn)題的基本思路如下:

①假設(shè)直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于尤或y的一元二次方程的形式；

②利用A>0求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；

③利用坐標(biāo)表示出所求量，代入韋達(dá)定理的結(jié)論，化簡(jiǎn)整理可得定點(diǎn).

19.函數(shù)〃尤)=.-。圖像與x軸的兩交點(diǎn)為A(x，0),B(x2,Q)(x2>Xl)

⑴令/z(x)=/(x)-lnx+x,若/i(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：<1；

(3)證明：當(dāng)時(shí)，以A5為直徑的圓與直線(xiàn)y==E(x+l)恒有公共點(diǎn).

（參考數(shù)據(jù)：e0-25~1.3,e"5al2.2）

【答案】(1)(e+1,+8)

(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】⑴求導(dǎo)判斷秋尤）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)趨近值即可得出結(jié)果;

⑵根據(jù)已知得到"貯=比,化簡(jiǎn)可得1^全=1,要證丑<1,即證斥（1^版,即

證明皿^（6一Ji'令"Ji>1,即證：21nZ<Z-p令g⑺=21n/T+L求導(dǎo)得出g（。