燕山地區2023—2024學年第一學期九年級期末考試

數學試卷2024年I月

1.本試卷共8頁，共三道大題，28道小題。滿分100分。考試時間120分鐘。

考

2.在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和考號。

生

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。

須

4.在答題卡上，選擇題、畫圖題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答。

知

5.考試結束，請將本試卷和答題卡一并交回。

一'選擇題（共16分，每題2分）

第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只?有?一?個?.

1.下列圖案是我國國產品牌汽車的標識，其中是中心對稱圖形的是

(BVD)

D.

2.已知點P在半徑為外的。。內，且。尸=3,則r的值可能為

A.1B.2C.3D.4

3.下列函數中，當x>0時，y隨x的增大而減小的是

A.y=xB.y=x+\C.y=x2D.y=—x2

4.一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停留在某塊方磚上.如果每一塊方磚除

顏色外完全相同，則小球最終停留在白磚上的概率是

5.如圖，點48在。。上，點C是劣弧的中點，ZAOC=80°,

則的大小為

A.40°B.45°

C.60°D.80°

九年級數學試卷第1頁（共8頁）

6.電影《志愿軍：雄兵出擊》于國慶檔上映，首周累計票房約3.5億元，第三周累計票房約

6.8億元.若每周累計票房的增長率相同，設增長率為x,根據題意可列方程為

A.3.5x2=6.8B.3.5(1+X)=6.8

C.3.5(1+x)2=6.8D.3.5(1-x)2=6.8

7.如圖，在平面直角坐標系xO歹中，的三個頂點都在格點上,

則△48。外接圓的圓心坐標為

A.(3,2)B.(2,3)~1~I~~

2345%

C.(2,2)D.(3,3)

8.平面直角坐標系x/中，已知二次函數歹=af+bx（aWO）的部分圖象如圖所示，給出下

面三個結論：

①a*b>0;

②二次函數歹="2+反（0W0）有最大值4；?

③關于％的方程af+阮=0有兩個實數根5=-4,%2=。?!，

上述結論中，所有正確結論的序號是/,u

A.①②B.①③f1

C.②③D.①②③!

二'填空題（共16分，每題2分）

9.平面直角坐標系》。歹中，與點口一4,1）關于原點對稱的點的坐標是______.

10.一元二次方程x（x-3）=x-3的解是______.

1,

11.將拋物線歹=2一向左平移1個單位長度，得到拋物線的解析式為.

12.已知某二次函數的圖象開口向上，且頂點坐標為（1,3）,則這個二次函數解析式可以是

13.如圖，PA,總是。。的兩條切線，切點為Z,B,若/次笫=90°,a=3,則。。

的半徑為__.

（第13題）（第14題）

14.如圖，48是。。的直徑，弦CD[AB于點,E,連接力。，若。￡=3,CD=8,貝

的長為.

九年級數學試卷第2頁（共8頁）

15.在一個不透明的盒子中共裝有40個球，其中有。個紅球，這些球除顏色外無其它差別.

為估計。的值，小穎做摸球試驗，她將盒子里面的球充分攪勻，任意摸出1個球記下顏

色再放回，不斷重復上述過程，記錄實驗數據如下：

摸球的次數，2050100200300400500

摸到紅球的次數”133262117181238301

摸到紅球的頻率絲0.650.640.620.5850.6030.5950.602

n

根據以上數據，估計。的值約為.

16.2023年第19屆杭州亞運會的舉辦帶熱了吉祥物“宸宸、琮琮和蓮蓮”的銷售.某網店

經營亞運會吉祥物玩偶禮盒裝，每盒進價為30元.

當地物價部門規定，該禮盒銷售單價最高不能超

過50元/盒.在銷售過程中發現該禮盒每周的銷量

X件）與銷售單價式元）之間近似滿足函數關系：

y=-2x+180（30WxW50）.

（1）設該網店每周銷售該禮盒所獲利潤為以元），則w與x的函數關系式為

（2）該網店每周銷售該禮盒所獲最大利潤為元.

三'解答題（共68分，第17—19題，每題5分，第20題6分，第21—23題，每題5分，第

24—26題，每題6分，第27—28題，每題7分）解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

17.解方程：f+以-12=0.

18.已知2X-5=0,求代數式3x(x-2)+(x-Ip的值.

19.2023年7月31日，北京遭遇140年以來最大的暴雨，房山地區受災嚴重.為了做好防

汛救災工作，某社區特招募志愿工作者，小東和小北積極報名參加，根據社區安排，志

愿者被隨機分到A組（信息登記），B組（物資發放），C組（垃圾清運）的其中一組.

（1）小東被分配到A組是______事件（填“必然”，“隨機”或“不可能”）；

小東被分配到A組的概率是_______.

（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求出小東和小北被分配到同一組的概率.

九年級數學試卷第3頁（共8頁）

20.如圖，將△ZBC繞點B逆時針旋轉得到點。的對應點￡恰好落在26上.

(1)若BC=6,BD=9,求線段4E的長.

(2)連接若NC=U0°,/BAC=40：求N3D4的度數.

21.閱讀下面的材料

一元二次方程及其解法最早出現在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》

中.到了中世紀，阿拉伯數學家阿爾?花拉子米在他的代表作《代數學》中記載了求一

元二次方程正數解的幾何解法，我國三國時期的數學家趙爽在其所著《勾股圓方圖注》

中也給出了類似的解法.

以f+iox=39為例，花拉子米的幾何解法步驟如下：

①如圖1,在邊長為x的正方形的兩個相鄰邊上作邊長分別為x和5的矩形，再補上一

個邊長為5的小正方形，最終把圖形補成一個大正方形；

②一方面大正方形的面積為(x+)\另一方面它又等于圖中各部分面積之和，

因為/+10,=39,可得方程(x+『=39+,則方程的正數解是

圖1圖2

根據上述材料，解答下列問題.

(1)補全花拉子米的解法步驟②；

(2)根據花拉子米的解法，在圖2的兩個構圖①②中，能夠得到方程f—6x=7的正數解

的正確構圖是______(填序號).

九年級數學試卷第4頁(共8頁)

0

22.已知關于x的一元二次方程f-2x+(加-2)=0有兩個不相等的實數根.

求加的取值范圍；

0(1)

(2)若m為正整數，請你寫出一個滿足條件的掰值，并求出此時方程的根.

0

0

23.已知二次函數y=ox2+bx+3(ar0)的圖象經過點4(1,0),5(3,0).

0(1)求該函數的解析式；

(2)當x>3時，對于x的每一個值，函數歹=x+〃的值小于二次函數丁=加+阮+3的值,

0結合函數圖象，直接寫出〃的取值范圍.

c

>

0

024.如圖，在△4BC中，NZC5=90°,點D在AB上,以4D為直徑作。。與BC相切于

點E,連接OE并延長交ZC的延長線于點E

0(1)求證：AF=AD;

⑵若CE=4,CF=2,求。。的半徑.

0

0

0

O

九年級數學試卷第5頁(共8頁)

25.學校組織九年級學生進行跨學科主題學習活動，利用函數的相關知識研究某種化學試劑

的揮發情況.在兩種不同的場景A和場景B下做對比實驗，設實驗過程中，該試劑揮

發時間為x分鐘時，在場景A,B中的剩余質量分別為外，%（單位：克）.

下面是某研究小組的探究過程，請補充完整：

記錄為，必與x的幾組對應值如下：

雙分鐘）05101520???

為（克）2523.52014.57???

%（克）252015105???

（1）在同一平面直角坐標系xOy中，描出上表中各組數值所對應的點（x,y），（%,%）,

并畫出函數為，力的圖象；

25I--------------1--------------1--------------r

20

15

10

5

A

~0510152025x

⑵進一步探究發現，場景A的圖象是拋物線的一部分，為與x之間近似滿足函數關系

2

yi=-0.04x+bx+c.場景B的圖象是直線的一部分，為與x之間近似滿足函數關

系%=ax+c（。并0）.請分別求出場景A,B滿足的函數關系式；

⑶查閱文獻可知，該化學試劑的質量不低于4克時，才能發揮作用.在上述實驗中，

記該化學試劑在場景A,B中發揮作用的時間分別為4,在，則4xB

（填“>”，"=”或“V"）.

26.在平面直角坐標系中，點M（—l,m）,N（3,〃）在拋物線y=af+bx+c（a>0）上,

設拋物線的對稱軸為％=九

（1）若加=”，求/的值；

（2）若cvmV",求才的取值范圍.

九年級數學試卷第6頁（共8頁）

27.如圖，AABC為等邊三角形,點M為Z8邊上一點(不與點4,8重合)，連接CN,過

點4作于點。，將線段4。繞點4順時針旋轉60°得到線段Z&連接

(1)依題意補全圖形，直接寫出//動的大小，并證明；

(2)連接勖并延長交8。于點八用等式表示8/與尸。的數量關系，并證明.

28.在平面直角坐標系xOy中，對于。。和。。外一點P給出如下定義：

連接C尸交。。于點0,作點。關于點。的對稱點尸‘，若點P'在線"'廠次/

段。。上，則稱點？是。。的“關聯點”.例如，右圖中?為0c的\Sj

一個“關聯點”.一A

Ox

(1)。。的半徑為1.

①如圖1,在點4(一后，0),5(2,2),D(0,3)中，。。的“關聯點”是______;

②已知點河在直線V2上，且點〃是。。的“關聯點”，求點〃的橫坐標

m的取值范圍.

(2)直線歹=一百(x-l)與x軸，j，軸分別交于點點死。丁的圓心為0),半徑為2,

若線段印上所有點都是。T的“關聯點”，直接寫出，的取值范圍.

加

-6-5~4~3~2T023456x

-1

-2

-3

-4

-5

備用圖

九年級數學試卷第7頁(共8頁)

燕山地區2023—2024學年第一學期九年級期末考試

數學試卷答案及評分參考2024年1月

閱卷須知：

1.為便于閱卷，本試卷答案中有關解答題的推導步驟寫得較為詳細，閱卷時，只要考

生將主要過程正確寫出即可。

2.若考生的解法與給出的解法不同，正確者可參照評分參考相應給分。

3.評分參考中所注分數,表示考生正確做到此步應得的累加分數。

第一部分選擇題

一、選擇題(共16分，每題2分)

題號12345678

選項BDDBACAD

第二部分非選擇題

二、填空題(共16分，每題2分)

1

9.(4,—1)；10.xi=1,忿=3；11.y=5(x+l)9；

12.答案不唯一，如：y=(X—i)2+3；13.3；14.46；

15.24；16.(l)y=(—2%+180)(%—30),或y=—2/+240%—5400；(2)1600.

三、解答題(共68分，第17—19題，每題5分，第20題6分，第21—23題，每題5分，第

24—26題，每題6分，第27—28題，每題7分)

17.(本題滿分5分)

解：方法一：

Z?=4,c=T2,.................................................1分

A=Z72-4ac=42-4xlx(-12)=64,.................................................2分

.—b±VK—4±V64—4±8八

??%2=-----------=-------------=---------‘.................................................3分

1,22a2x12

?二玉=—6,%=2?.................................................5分

方法二：

移項，得f+44=12,.................................................1分

配方，得f+?+4=12+4

(X+2)2=16.................................................2分

由止匕可得元+2=±4,.................................................3分

二.七=—6,%=2?.................................................5分

九年級數學試卷答案及評分參考第1頁共9頁

18.（本題滿分5分）

解：原式=3/—61+12.2%+1.................................................2分

=4x2-8x+1..................................................3分

VX2-2X-5=0,

x2-2x=5,.................................................4分

4x2-8x=4（x2-2x）=4X5=20,

???原式=20+1=21?.................................................5分

19.（本題滿分5分）

解：⑴隨機；-；........................2分

3

⑵記小東和小北被分配到同一組為事件M.

方法一：用列表法列舉所有可能出現的結果:

ABC

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

由表中可以看出，所有可能的結果有9種,并且這9種結果出現的可能性相等,

所有可能的結果中，滿足事件M的結果有3種，即AA,BB,CC,

31

：.P(M)=-=-..................................................5分

93

方法二：根據題意可以畫出如下的樹狀圖：

ABC

小小小

ABCABCABC

由樹狀圖可以看出，所有可能的結果有9種，并且這9種結果出現的可能性相

等，所有可能的結果中，滿足事件〃的結果有3種，即AA,BB,CC,

31

"(〃)=-=-..................................................5分

93

20.(本題滿分6分)

解：(1)?.,將△ABC繞點2逆時針旋轉得到△D2E,點C的對應點E落在上，

:.BD=BA,BE=BC,

：.AE=AB-BE=BD-BC=9-6=3..................................3分

九年級數學試卷答案及評分參考第2頁共9頁

(2)VZC=110°,ZBAC=40°,

ZABC=180°-ZC-ZBAC=30°,

??,將△ABC繞點8逆時針旋轉得到

:?BD=BA,ZDBA=ZABC=30°,

180—ND3A

：.ZBDA=ZBAD=

2

180-30

6分

2

21.(本題滿分6分)

解：(1)5,5,25,3；4分

(2)①.5分

22.(本題滿分5分)

角星：(1)A=b2-4ac=(-2)2-4xlx(m-2)

=4-4m+8

=12-4m.

..?方程有兩個不相等的實數根,

AA>0,BP12-4m>0,

機的取值范圍是機<3.........................2分

(2)m<?>,且加為正整數，

."=1或2.........................3分

方法一：

取加=2,原方程化為7-2x=0,

解這個方程，得%=0,%2=2.........................5分

方法二：

取，"=1,原方程化為/一2x-1=0,

解這個方程，得Xj=1-72,x2=l+6...................5分

23.(本題滿分5分)

解：(1)：二次函數y=o^+6x+3的圖象經過點/(I,0),3(3,0).

.JO=〃+b+3,

[o=9。+3Z?+3,

解這個方程組，得

[b=-4.

?,?該函數的解析式是y=f_公+3.........................3分

(2)〃W—3.........................5分

九年級數學試卷答案及評分參考第3頁共9頁

24.(本題滿分6分)

(1)證明：如圖，連接0E.

。為。。的切線，

J.OELBC.

'：ZACB=90°,

：.AF1BC,

J.OE//AF,

：.ZF^ZOED.

；OE=OD,

：.ZOED=ZODE,

：./F=NODE,

：.AF=AD.3分

⑵解:方法一：

如圖，連接AE.

為。。直徑，

ZAED=9Q°,即于點E,

又

/.AAEC^AEFC,

.CE_CF

"ACCE；

：.AF=AC+CF=10,

：.AD=AF=IO,

二。。的半徑為5.6分

方法二：

如圖，設/歹與。。相交于點G,連接。G.

由（1）得，OE//AF,

；O為4D中點，

:.E為DF中點.

VAD為。。直徑，

ZAGD=90°,即。G_LN?

y.'：EC±AF,

：.CE//DG,

；.CE為4FGD中位線，

二尸G=2PC=4,DG=2CE=8.

設。。的半徑為r,

在RtZX/G。中，ZAGD=90°,AD=AF=2r,AG=AF~FG=2r~4,Z)G=8,

(2r-4)2+82=(2r)2,

解得r=5,

：.0O的半徑為5.6分

九年級數學試卷答案及評分參考第4頁共9頁

25.（本題滿分6分）

解：（1）描點并畫出函數H，及的圖象如圖;

⑵場景A：

將點(0,25),(10,20)的坐標代入必=-0.04/+bx+c,

得!25=c,

[20=-0.04X102+10Z?+C,

解得產-0」，

[c=25.

場景A滿足的函數關系式為=-0.04x2-O.lx+25.

場景B：

將點(0,25),(5,20)的坐標代入為=iix+c,

得[25=c,

[20=5a+c,

解得

[c=25.

場景B滿足的函數關系式為%=-x+25.....................................5分

（3）>..................................................6分

26.（本題滿分6分）

解：（1）方法一：

?m=",

?,?點M（—1,m）,N（3,幾）關于直線％=/對稱,

即t=l..................................................2分

九年級數學試卷答案及評分參考第5頁共9頁

方法二：

?.?點M(—1,機)，N(3,〃)在拋物線上,

.[m=a-b+c,

[n=9a+3b+c.

?77t=M,

^.a-b+c=9a+3b+c,

b=-2a,

.b

??t----=1,

2a

即方=1.2分

(2)方法一:

拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=f,

b

??t=-----

2a

??b~~2〃/,

拋物線解析式為y=ax2-2atx+c.

???點M(—1,m),N(3,幾)在拋物線上,

.[m=a+2at+c,

[n=9a-6at+c.

■:c〈m〈n,

.[c<a+2at+c,

a+2at+c<9a-6at+c,

Q(1+2t)>0,

整理，得

8〃(1—/)>0.

.+2/>0,

解得-工<t<if

2

的取值范圍是-工</<1.6分

2

方法二:

Vtz>0,

拋物線二加+bx+c開口向上，

.?.當xWf時，y隨x增大而減小，當時，y隨x增大而增大.

九年級數學試卷答案及評分參考第6頁共9頁

設拋物線y=ax2+b犬+。與〉軸交于點C(0,c).

①若后3,點M-l,m),C(0,c),N(3，力都在對稱軸左側，

*.m>c>n,不合題意.

②若—1,點M(—1,m),C(0,c),N(3,幾)都在對稱軸右側，

.\m<c<n,不合題意.

③若一1VZV3,點M(—1,m),N(3,〃)位于對稱軸兩側，

做點M(—1,如關于i」的對稱點心，則M(2/+l,㈤位于對稱軸右側.

A2Z+K3,

i)若岸0,顯然滿足c<"；

ii)若Y0,點C(0,c),AT(2f+l,m)均位于對稱軸右側,

.：c<m,

；.0<2/+1,

綜上，/的取值范圍是..........................6分

2

27.(本題滿分7分)

(1)依題意補全圖形，如圖......................................................1分

ZAEB=90°......................................................2分

證明：

??,將線段4。繞點A順時針旋轉60°得到線段ZE,

：.AE=AD,ZEAD=60°.

?:AABC為等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

???ZEAD=ZBAC,

丁ZEAB=ZEAD-/BAD,

ZDAC=ABAC-/BAD,

:?/EAB=/DAC,

：.AAEB^AADC,

???NAEB=ZADC.

U：ADL