專題13三角形基礎核心知識點精講理解三角形的概念；理解掌握三角形中的主要線段；理解掌握三角形的穩定性并能理解其在生活中的應用；掌握三角形的特性與表示；理解掌握三角形的分類方法；掌握三角形的三邊關系定理及推論；理解掌握三角形的內角和定理及推論；理解掌握三角形面積的計算方法?？键c1三角形中的主要線段（1）三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。（2）三角形中的主要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）?？键c2三角形的穩定性、特性與表示、分類1.三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩定性。三角形的這個性質在生產生活中應用很廣，需要穩定的東西一般都制成三角形的形狀。2.三角形的特性與表示三角形有下面三個特性：（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。3.三角形的分類三角形按邊的關系分類如下：不等邊三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形三角形按角的關系分類如下：直角三角形（有一個角為直角的三角形）三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）斜三角形鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）把邊和角聯系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。考點3三角形的三邊關系定理及推論（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關系?？键c4三角形的內角和定理及推論三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個銳角互余。②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角?？键c5三角形的外角性質（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．考點6三角形的面積三角形的面積=×底×高【題型1：三角形中的主要線段】【典例1】（2022?臺山市模擬）如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為22，AB比AC長3，則△ACD的周長為19．【答案】19．【分析】根據三角形的中線的概念得到BD＝DC，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，∵AB比AC長3，∴AB＝AC+3，∵△ABD的周長為22，∴AB+AD+BD＝22，∴AC+3+AD+DC＝22，∴AC+AD+DC＝19，∴△ACD的周長＝AC+AD+DC＝19，故答案為：19．1．（2023?佛山模擬）如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定【答案】C【分析】根據三角形的高的特點對選項進行一一分析，即可得出答案．【解答】解：A、銳角三角形，三條高線交點在三角形內，故錯誤；B、鈍角三角形，三條高線不會交于一個頂點，故錯誤；C、直角三角形的直角所在的頂點正好是三條高線的交點，可以得出這個三角形是直角三角形，故正確；D、能確定C正確，故錯誤．故選：C．2．（2022?新會區校級三模）如圖所示在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用高線的概念得出答案．【解答】解：在△ABC中，AB邊上的高線畫法正確的是B，故選：B．3．（2022?乳源縣三模）如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的中線，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周長為20，則△ABD的周長為（）A．17 B．23 C．25 D．28【答案】A【分析】根據三角形中線的定義可得AD＝CD，由△BCD的周長為20，BC＝8，求出CD+BD＝12，進而得出△ABD的周長．【解答】解：∵BD是AC邊上的中線，∴AD＝CD，∵△BCD的周長為20，BC＝8，∴CD+BD＝BC+BD+CD﹣BC＝20﹣8＝12，∴CD+BD＝AD+BD＝12，∵AB＝5，∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝5+12＝17．故選：A．4．（2023?潮南區模擬）如果線段AO和線段BO分別是△MNO邊MN上的中線和高，那么下列判斷正確的是（）A．AO＞BO B．AO≥BO C．AO＜BO D．AO≤BO【答案】B【分析】根據三角形的高的概念得到AN⊥BC，根據垂線段最短判斷．【解答】解：∵線段OB是△OMN邊MN上的高，∴OB⊥MN，由垂線段最短可知，OB≤OA，故選：B．【題型2：三角形的穩定性】【典例2】（2022?廣東）下列圖形中有穩定性的是（）A．三角形 B．平行四邊形 C．長方形 D．正方形【答案】A【分析】根據三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性，故選：A．1．（2023?南海區校級三模）下列圖形中有穩定性的是（）A．平行四邊形 B．三角形 C．長方形 D．正方形【答案】B【分析】根據三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性即可得出答案．【解答】解：三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性，故選：B．2．（2023?南海區校級模擬）要使下面的木架不變形，至少需要再釘上幾根木條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據三角形具有穩定性，六邊形轉化成三角形即可得出答案．【解答】解：根據三角形的穩定性可知，要使六邊形木架不變形，至少要再釘上3根木條．故答案選：C．3．（2022?東莞市校級一模）如圖，人字梯中間一般會設計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做蘊含的道理是（）A．兩點之間線段最短 B．三角形具有穩定性 C．經過兩點有且只有一條直線 D．垂線段最短【答案】B【分析】根據三角形具有穩定性解答即可．【解答】解：人字梯中間一般會設計一“拉桿”，以增加使用梯子時的安全性，這樣做的道理是三角形具有穩定性，故選：B．【題型3：三角形的三邊關系定理及推理】【典例4】（2023?禪城區三模）如果一個三角形兩邊的長分別等于一元二次方程x2﹣17x+66＝0的兩個實數根，那么這個三角形的第三邊的長可能是20嗎？不可能．（填“可能”或“不可能”）【答案】不可能．【分析】先解出一元二次方程，再根據三角形的三邊關系解答即可．【解答】解：解一元二次方程x2﹣17x+66＝0，得x1＝11，x2＝6，則11﹣6＜第三邊＜11+6，即5＜第三邊＜17，∴這個三角形的第三邊的長不可能是20，故答案為：不可能．1．（2023?蓬江區校級三模）在下列長度的各組線段中，能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，3，6 D．3，4，5【答案】D【分析】根據三角形的三邊關系進行判斷，兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．【解答】解：A、1+2＝3，不能組成三角形，故此選項不符合題意；B、2+3＜6，不能組成三角形，故此選不項符合題意；C、3+3＝6，不能組成三角形，故此選不項符合題意；D、4+3＞5，能組成三角形，故此選項符合題意．故選：D．2．（2023?茂南區三模）從長度為1、3、5、7的四條線段中，任意取出三條線段，能圍成三角形的是（）A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，5，7 D．3，5，7【答案】D【分析】運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度，即可判定這三條線段能構成一個三角形．【解答】解：A、1+3＜5，三條線段不能圍成三角形，故A不符合題意；B、1+3＜7，三條線段不能圍成三角形，故B不符合題意；C、1+5＜7，三條線段不能圍成三角形，故C不符合題意；D、3+5＞7，三條線段能圍成三角形，故D符合題意．故選：D．3.（2023?增城區一模）已知三角形的兩邊長分別為4和9，則下列數據中能作為第三邊長的是（）A．13 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】首先根據三角形的三邊關系定理，求得第三邊的取值范圍，再進一步找到符合條件的數值．【解答】解：設這個三角形的第三邊為x．根據三角形的三邊關系定理，得：9﹣4＜x＜9+4，解得5＜x＜13．故選：B．【題型4：三角形的內角和定理及推論】【典例4】（2023?南海區校級模擬）如圖所示，能利用圖中作法：過點A作BC的平行線，證明三角形內角和是180°的原理是（）A．兩直線平行，同旁內角互補 B．兩直線平行，內錯角相等 C．內錯角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【答案】B【分析】根據題意得，EF∥BC則∠EAB＝∠CBA，∠FAC＝∠BCA，根據平角的性質得∠EAB+∠BAC+∠CAF＝180°，即可得．【解答】解：根據題意得，EF∥BC，∴∠EAB＝∠CBA，∠FAC＝∠BCA，∵∠EAB+∠BAC+∠CAF＝180°，∴∠CBA+∠BAC+∠BCA＝180°，故選：B．1．（2022?東莞市校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥AB，交BC于點E，若∠BDE＝50°，則∠A的度數是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】首先利用平行線的性質求出∠ABD的度數，接著利用角平分線的性質求出∠ABC，最后利用三角形的內角和求出∠A的度數．【解答】解：∵DE∥AB，∠BDE＝50°，∴∠ABD＝∠BDE＝50°，而BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°．故選：B．2．（2023?廣東模擬）一副三角板按如圖所示放置，∠C＝30°，∠E＝45°，則∠EDC的大小為（）A．80° B．75° C．70° D．60°【答案】B【分析】利用平行線的性質先求出∠EBD，再利用三角形的外角和內角的關系得結論．【解答】解：由三角板擺放位置，可知BE∥AC，∴∠EAC＝∠E＝45°，∴∠EDC＝∠EAC+∠C＝45°+30°＝75°．故選：B．3．（2023?越秀區校級二模）在△ABC中，∠BAC＝70°，∠1＝∠2，則∠ADC＝110°．【答案】110°．【分析】根據三角形內角和定理以及圖形中的各角之間的關系進行計算即可．【解答】解：如圖，∵∠1+∠3＝∠BAC＝70°，∠ADC+∠2+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠ADC+∠1+∠3＝180°，即∠ADC＝180°﹣70°＝110°，故答案為：110°．4．（2023?惠州一模）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥AB，交BC于點E．求∠BDE的度數．【答案】40°．【分析】根據三角形內角和定理求出∠ABC，根據角平分線定義求出∠ABD，根據平行線的性質得出∠BDE＝∠ABD即可．【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC＝∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝40°．【題型5：三角形的外角性質】【典例5】（2023?韶關一模）將一副三角板按如圖方式重疊，則∠1的度數為75°．【答案】75°．【分析】直接利用一副三角板的內角度數，再結合三角形外角的性質得出答案．【解答】解：根據三角板的度數知，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，故答案為：75°．1．（2023?越秀區校級一模）將一副直角三角板按圖放置，使含30°的三角板的短直角邊和含45°的三角板的一條直角邊重合，則∠1度數的為（）A．60° B．70° C．75° D．80°【答案】C【分析】根據三角板可得：∠D＝60°，∠A＝45°，然后根據三角形內角和定理可得∠DGB的度數，進而得到∠AGE的度數，再根據三角形內角與外角的關系可得結論．【解答】解：由題意可得：∠D＝60°，∠A＝45°，∴∠DGB＝90°﹣60°＝30°．∵∠DGB與∠AGE是對頂角，∴∠AGE＝30°．∴∠1＝∠A+∠AGE＝45°+30°＝75°．故選：C．2．（2023?河源一模）如圖，將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠COB的度數是（）A．75° B．105° C．115° D．100°【答案】B【分析】利用三角形的外角的性質解決問題即可．【解答】解：∵∠BOC＝∠BDC+∠OCD，∠BDC＝60°，∠OCD＝45°，∴∠BOC＝105°，故選：B．3．（2023?南山區校級一模）如圖，將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠COB的度數是（）A．75° B．105° C．115° D．100°【答案】B【分析】利用三角形的外角的性質解決問題即可．【解答】解：∵∠BOC＝∠BDC+∠OCD，∠BDC＝60°，∠OCD＝45°，∴∠BOC＝60°+45°＝105°．故選：B．【題型6：三角形的面積】【典例6】（2023?南海區校級模擬）如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為163【答案】163【分析】利用三角形相似的性質和根據三角形同底不同高的性質，求出面積之比，再進行計算即可求出其面積的值．【解答】解：如圖，△AOB∽△DOC，AB＝2，CD＝4，∴S△AOB：S△DOC＝AB2：CD2＝1：4，設S△AOB＝x，則S△DOC＝4x，∵△CDB與△ABD同底，∴S△CDB：S△ABD＝CD：AB＝2：1，令S△OBD＝a，則有，S△ABD＝S△AOB+S△OBD＝x+a，S△CDB＝S△DOC+S△OBD＝4x+a，∵S△CDB：S△ABD＝CD：AB＝2：1，∴（4x+a）：（x+a）＝2：1，解得a＝2x，∴S△CDB＝S△DOC+S△OBD＝4x+a＝4x+2x＝6x，∵S△CDB=12CD?BD=12×4∴6x＝8，解得x=4∵S△DOC＝4x，∴S△DOC＝4x＝4×4∴陰影部分的面積為163故答案為：1631．（2023?梅州一模）如圖，△ABC的面積為30，BD＝2CD，E為AB的中點，則△ADE的面積等于（）A．15 B．12 C．10 D．9【答案】C【分析】根據三角形面積公式，兩三角形同高，則它們的面積比等于對應底邊比，進而求得答案．【解答】解：∵在△ABD和△ACD中，邊BD與CD上的高相同，BD＝2CD，∴根據三角形的面積公式，S△ABD=23S△ABC=23同理，∵在△ADE和△BDE中，邊AE與BE上的高相同，E為AB的中點，∴AE＝BE，根據三角形的面積公式，S△ADE=12S△ABD=12故選：C．2．（2022?中山市一模）如圖，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則△ABC的面積是（）A．3+22 B．1+2 C．22 D【答案】D【分析】如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，先證明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=2AC＝22，再證明AD＝BD，計算AE和BC【解答】解：如圖，過點A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=2AC＝22∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴AE=12CD∴△ABC的面積=12?BC?AE=12×2×故選：D．3．（2023?福田區校級二模）10個全等的小正方形拼成如圖所示的圖形，點P、X、Y是小正方形的頂點，Q是邊XY一點．若線段PQ恰好將這個圖形分成面積相等的兩個部分，則XQQYA．12 B．23 C．25 【答案】B【分析】首先設QY＝x，小正方形的邊長為1，根據題意得到PQ下面的部分的面積為：S△+S正方形=12×5×（1+x）+1＝5【解答】解：設QY＝x，小正方形的邊長為1，根據題意得到PQ下面的部分的面積為：S△+S正方形=12×5×（1+x）+1解得x=3∴XQ＝1-3∴XQQY故選：B．一．選擇題（共10小題）1．用三角板作△ABC的邊BC上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據高線的定義即可得出結論．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的邊BC上的高，故選：A．2．木工師傅要做一個三角形木架，現有兩根長度分別為13和8的木條，則第三根木條的長度可以是（）A．5 B．20 C．21 D．23【答案】B【分析】根據三角形的三邊關系，則第三根木條的取值范圍是大于兩邊之差5，而小于兩邊之和21．【解答】解：由三角形的三邊關系得：13﹣8＜x＜13+8，即5＜x＜21，∴只有20適合．故選：B．3．已知三角形兩邊的長分別是5和9，則此三角形第三邊的長可能是（）A．4 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】先根據三角形的三邊關系求出x的取值范圍，即可判定．【解答】解：此三角形第三邊的長為x，則9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，只有選項B符合題意．故選：B．4．如圖，∠CBD是△ABC的一個外角，∠CBD＝80°，∠A＝45°，則∠C＝（）A．35° B．40° C．45° D．55°【答案】A【分析】利用三角形的外角性質，即可求出∠C的度數．【解答】解：∵∠CBD是△ABC的一個外角，∴∠CBD＝∠A+∠C，∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝80°﹣45°＝35°．故選：A．5．如圖三個完全一樣的梯形中，陰影部分的面積相比（）A．甲的最大 B．乙的最大 C．丙的最大 D．一樣大【答案】D【分析】觀察圖形可知，甲、乙、丙中陰影部分的面積都是梯形的面積減去等底等高的三角形的面積，所以甲、乙、丙中陰影部分的面積相等．【解答】解：根據分析可得，甲、乙、丙中陰影部分的面積相等，故選：D．6．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】已知三角形三個內角的度數之比，可以設三個內角的度數分別為k°，k°，2k°，根據三角形的內角和等于180°，列方程求三個內角的度數，從而確定三角形的形狀．【解答】解：設三個內角的度數分別為k°，k°，2k°，則k°+k°+2k°＝180°，解得k°＝45°，∴2k°＝90°，∴這個三角形是等腰直角三角形，故選：D．7．下列各組線段中，不能組成三角形的是（）A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，10 D．2，3，3【答案】A【分析】根據三角形的三邊關系，兩邊之和大于第三邊，即兩短邊的和大于最長的邊，即可作出判斷．【解答】解：A、6+4＜10，故以這三根木棒不可以構成三角形，符合題意；B、3+6＞7，故以這三根木棒能構成三角形，不符合題意；C、5+6＞10，故以這三根木棒能構成三角形，不符合題意；D、2+3＞3，故以這三根木棒能構成三角形，不符合題意．故選：A．8．若長度分別為x，2，5的三條線段能組成一個三角形，則x的值可能是（）A．1 B．2 C．5 D．7【答案】C【分析】根據三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，再結合選項即可求解．【解答】解：∵3＜a＜7，∴a的可能取值是5，故選：C．9．如圖，兩根竹竿AB和BD斜靠在墻上，量得∠CAB，∠CDB的度數分別為38°和26°，那么∠ABD的度數為（）A．10° B．11° C．12° D．13°【答案】C【分析】根據三角形內角和定理分別求出∠ABC和∠DBC的度數，兩角相減就是∠ABD的度數，也可以直接根據三角形外角的性質直接求解∠ABD的度數．【解答】解：方法一：∠ABC＝90°﹣∠BAC＝52°，∠DBC＝90°﹣∠BDC＝64°，∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝12°；方法二：∠ABD＝∠CAB﹣∠CDB＝12°．故選：C．10．以下列各組線段的長為邊長，能組成三角形的是（）A．2、3、4 B．1、3、2 C．3、4、8 D．5、6、12【答案】A【分析】根據兩條短邊之和大于最長的邊和兩邊之差小于第三邊逐項進行判斷即可．【解答】解：A、2+3＝5＞4，能組成三角形，故A符合題意；B、1+2＝3，不能組成三角形，故B不符合題意；C、3+4＝7＜8，不能組成三角形，故C不符合題意；D、5+6＝11＜12，不能組成三角形，故D不符合題意．故選：A．二．填空題（共5小題）11．如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝64°，∠F＝122°．【答案】122．【分析】由題意直接根據三角形內角和定理和角平分線的定義進行分析，并利用角的等量代換即可得出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝64°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝116°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC在△FBC中，∵∠F+∠FBC+∠FCB＝180°，∴∠F＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）=180°-(1=180°-1=180-1＝122°．故答案為：122．12．西雙版納大橋是云南省境內一座橋梁，位于西雙版納州府景洪市，跨越潤滄江，是西雙版納十大標志性建筑之一，如圖，西雙版納大橋中的斜拉索、索塔和橋面構成了一個三角形，這樣使其更穩固，其中運用的數學原理是三角形具有穩定性．【答案】三角形具有穩定性．【分析】根據三角形具有穩定性解答即可．【解答】解：西雙版納大橋中的斜拉索、索塔和橋面構成了一個三角形，這樣使其更穩固，其中運用的數學原理是：三角形具有穩定性．故答案為：三角形具有穩定性．13．如圖是一個四邊形木架ABCD．（1）加上木條BD后，木架不易變形，其中蘊含的數學道理是三角形具有穩定性．（2）若∠A＝∠C，BD平分∠ABC，且AB＝5，CD＝12，則四邊形木架的周長為34．【答案】（1）三角形具有穩定性；（2）34．【分析】（1）根據三角形的穩定性解答即可；（2）由BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CBD，然后證明△ABD≌△CBD（AAS），再根據全等三角形的性質即可得證．【解答】解：（1）∵四邊形木架ABCD加上木條BD后，則四邊形ABCD由△ABD和△CBD拼接而成，∵三角形具有穩定性，∴此時木架不易變形．故答案為：三角形具有穩定性；（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，∠A=∠C∠ABD=∠CBD∴△ABD≌△CBD（AAS），∴BC＝AB＝5，AD＝CD＝12，∴四邊形木架的周長為5+5+12+12＝34．故答案為：34．14．將一副常規三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則∠1＝75°．【答案】75．【分析】由題意得∠A＝30°，∠DFE＝45°，EF⊥AC，求出∠DFA＝45°，再由三角形的外角性質即可得出答案．【解答】解：如圖，由題意得：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠A＝30°，∠DFE＝45°，EF⊥AC，∴∠EFA＝90°，∴∠DFA＝∠EFA﹣∠DFE＝90°﹣45°＝45°，∴∠1＝∠DFA+∠A＝45°+30°＝75°，故答案為：75．15．如圖，在△ABC中，∠A＝89°，∠B＝40°，則∠ACD＝129°．【答案】見試題解答內容【分析】直接根據三角形外角的性質即可得出結論．【解答】解：∵，△ABC中∠A＝89°，∠B＝40°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝89°+40°＝129°．故答案為：129．三．解答題（共3小題）16．如圖，AD，BE分別是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的長．【答案】154【分析】根據S△ABC=12BC?AD=12AC?BE，將AC＝5，BC＝【解答】解：∵AD，BE分別是△ABC的高，∴S△ABC=1∴BC?AD＝AC?BE，∵AC＝5，BC＝12，BE＝9，∴12AD＝5×9，∴AD=1517．已知某三角形兩條邊的長分別為3和4，第三邊是方程x2﹣10x+25＝0的根，判斷該三角形的形狀，并說明理由．【答案】該三角形是直角三角形，理由見解答過程．【分析】首先解方程x2﹣10x+25＝0得：x1＝x2＝5，由此得該三角形的三邊分別為：3，4，5，然后再由勾股定理的逆定理判定該三角形為直角三角形即可．【解答】解：該三角形是直角三角形，理由如下：由方程x2﹣10x+25＝0解得：x1＝x2＝5，∴該三角形的三邊分別為：3，4，5，又∵32+42＝52，∴該三角形為直角三角形．18．已知，三角形ABC的頂點A在x軸的負半軸上，OA＝a，頂點B在第一象限，且點B到兩坐標軸的距離均為b，頂點C在y軸的正半軸上，OC＝c，其中a，b，c滿足：（a﹣1）2+|b﹣2|+c-a-b=（1）則a＝1，b＝2，c＝3；（2）如圖1，過點B作直線BM∥AC，與x軸交于點D．①求三角形ABC的面積和點D的坐標；②如圖2，點E是線段OD上一點，點F是射線DB上一點，設∠ACO＝α，若∠AEF＝7α，∠EFD＝kα﹣90°，請直接寫出k的值．【答案】（1）1，2，3；（2）72，(43，0)【分析】（1）根據非負數的性質可求出a，b，c的值；（2）先根據a，b，c的值確定點A，B，C的坐標，進而求出直線AB的解析式，再可確定直線AB與y軸的交點N的坐標，然后可分別求出△CAN和△BCN的面積，進而可求出△ABC的面積；先求出直線AC的解析式，再求出直線BM的表達式，進而可求出點D的坐標；（3）先根據BM∥AC可得出∠FDX＝∠CAO＝90°﹣α，再根據∠AEF＝7α求出∠DEF＝180°﹣7α，然后根據三角形的外角定理可列出關于α、k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：（1(a-1)又（a﹣1）2≥0，|b﹣2|≥0，c-a-b≥0∴（a﹣1）2＝0，|b﹣2|＝0，c-a-b=0∴a＝1，b＝2，c＝a+b＝3，故答案為：1，2，3．（2）∵OA＝a＝1，∴點A的坐標為（﹣1，0），∵點B到兩坐標軸的距離均為b，∴點B的坐標為（2，2），∵OC＝c＝3，∴點C的坐標為（0，3），設直線AB的表達式為y＝kx+b（k≠0），將A（﹣1，0），B（2，2）代入y＝kx+b，得：-k+b=02k+b=2，解得：k=∴直線AB的表達式為：y=2對于y=23x+23，當x設直線AB交y軸于點N，過點B作BH⊥y軸于H，則點N的坐標為(0，∴ON=2∴CN=OC-ON=3-2∵點B的坐標為（2，2），∴BH＝2，∴S△ACNS△BCN∴S△ABC設直線AC的表達式為：y＝mx+n（m≠0），將A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：-m+n=0n=3，解得：m=3∴直線AC的表達式為：y＝3x+3，∵BM∥AC，∴可設BM的表達式為：y＝3x+t，將B（2，2）代入y＝3x+t，得：2＝3×2+t，解得：t＝﹣4，∴直線BM的表達式為：y＝3x﹣4，對于y＝3x﹣4，當y＝0時，3x﹣4＝0，解得：x=4∴點D的坐標為(4（3）∵∠ACO＝α，∠AOC＝90°，∴∠CAO＝90°﹣α，∵BM∥AC，∴∠FDX＝∠CAO＝90°﹣α，∵∠AEF＝7α，∴∠DEF＝180°﹣∠AEF＝180°﹣7α，∵∠FDX＝∠DEF+∠EFD，又∵∠EFD＝kα﹣90°，∴90°﹣α＝180°﹣7α+kα﹣90°，解得：k＝6．一．選擇題（共5小題）1．如圖，若CD是△ABC的中線，AB＝20，則BD＝（）A．12 B．10 C．16 D．8【答案】B【分析】根據三角形的中線的定義，即可求解．【解答】解：∵CD是△ABC的中線，AB＝20，∴BD=1故選：B．2．如圖，分別過△ABC的頂點A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數為（）A．65° B．75° C．85° D．95°【答案】B【分析】由平行線的性質可求∠ADC得度數，再利用三角形的內角和定理可求解．【解答】解：∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°，∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，故選：B．3．已知三角形的兩邊長分別為4，6，則第三邊長的取值范圍在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據三角形三邊關系確定出第三條邊長的范圍，表示在數軸上即可．【解答】解：已知三角形的兩邊長分別為4，6，則第三邊長的取值范圍為6﹣4＜x＜4+6，即2＜x＜10，表示在數軸上為：故選：C．4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝36°，∠ACB＝62°，BE平分∠ABC，點D為BE延長線上一點，且DF⊥AC于點F，則∠BDF的度數為（）A．8° B．12° C．13° D．15°【答案】C【分析】先在△ABC中應用內角和定理求出∠ABC的度數，再進一步計算即可求得．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC＝36°，∠ACB＝62°，∴∠ABC＝180°﹣36°﹣62°＝82°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12×82∴∠CEB＝180°﹣41°﹣62°＝77°，∴∠DEF＝77°，∴∠BDF＝90°﹣77°＝13°，故答案為：C．5．如圖，AB∥CD，∠A＝∠BCD，點M是邊AD上一點，連接BM，延長BM、CD交于點P．點N是邊BC上一點，連接MN，使得∠NMC＝∠MCN，作∠NMP的平分線MQ交CP于點Q．若∠CMQ＝α，則∠AMP的度數用含α的式子表示為（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．45°+α D．90°+α【答案】B【分析】證明∠PMD＝2α，可得結論．【解答】解：設∠NMC＝x．∵AB∥CD，∴∠A＝∠ADP，∵∠A＝∠BCD，∴∠APD＝∠BCD，∴AD∥BC，∵NM＝NC，∴∠NMC＝∠NCM＝x，∴∠CMD＝∠NCM＝x，∵MQ平分∠NMP，∴∠QMP＝∠QMN＝x+α，∴∠PMD＝∠PMQ+∠QMD＝x+α+（α﹣x）＝2α，∴∠AMP＝180°﹣∠PMD＝180°﹣2α．故選：B．二．填空題（共3小題）6．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABC的高線．若∠B＝48°，∠C＝70°，則∠DAE＝11°．【答案】11．【分析】在△ABC中，利用三角形內角和定理，可求出∠BAC的度數，結合角平分線的定義，可求出∠CAD的度數，在Rt△ACE中，利用三角形內角和定理，可求出∠CAE的度數，再將其代入∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE中，即可求出結論．【解答】解：在△ABC中，∠B＝48°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣48°﹣70°＝62°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=12∠BAC=12∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝31°﹣20°＝11°．故答案為：11．7．一個三角形的三個內角的度數比是2：5：3，這個三角形是直角三角形．【答案】直角．【分析】根據三個內角度數的比是2：5：3，假設三角形的三個內角分別是2份、5份、3份，則三個內角的總份數是（2+5+3）份，用三角形的內角和除以三個內角的總份數，求出1份數，再進一步求出2份數、5份數、3份數分別是多少度，即可判斷．【解答】解：180°÷（2+5+3）＝180°÷10＝18°，18°×2＝36°，18°×5＝90°18°×3＝54°，可見這個三角形是直角三角形．故答案為：直角．8．如圖中每個小方格的邊長為1個單位長，則格點四邊形ABCD（四個頂點A、B、C、D都在格點上）的面積為21．【答案】21．【分析】利用割補法求四邊形ABCD的面積即可．【解答】解：S四邊形故答案為：21．三．解答題（共3小