2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

2024.01

本試卷共4頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，考試號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本

試卷上無效。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）-l+2i=0,則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合/={xeN卜2-3x<0},集合5==log2》,》eZ},則ZP|3=（）

A.{1}B.{2}C.{0,1}D.0

3.“。=1”是“直線6:ax—y+l=O與直線乙：x+/y—1=0垂直”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

4.已知橢圓E:=+A=1（。〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為公、工，點(diǎn)P為橢圓E上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),

ab

若|「用=3|尸周，］。尸|=|0用（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓￡的離心率為（）

V5V6V2Vio

A.----B.-----C.-----D.------

4424

5.如圖，已知圓錐SO的母線長為2指，48是底面圓。的直徑，且46=4,點(diǎn)C是弧蕊的中點(diǎn)，。是￡4

的中點(diǎn)，則異面直線S。與CD所成角的大小為（）

6.定義在R上的函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且函數(shù)y=/(x-1)+2是奇函數(shù)，則函數(shù)

y=g(x)圖象的對(duì)稱中心為()

A.(l,2)B.(-l,2)C.(l,-2)D.(-l,-2)

(兀、”2,則sina(—in2嘰()

7.右tancc—

14；1cosa-sina

A9336

B.-C.一一D,一一

5555

8.已知正三棱錐尸-48C的底面邊長為2JLE為棱必的中點(diǎn)，若PZLCE,則三棱錐尸-ZCE的外接

球的表面積是()

9TTC一81%,.

A.——B.97rC.---D.367r

24

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列命題中正確的是()

A.若ac2>be2,則a〉b

B.若a>bS.c>d,則

C.若a〉0,b>0,且。+26=1,則工+工的最小值為3+2J5

ab

9

D.若a>0,則4a+----的最小值為4

a+2

10.已知函數(shù)/(x)=sin(s+cp)(①>0,0<°<=)的最小正周期為萬，且函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線

TT

X=—4對(duì)稱，則下列說法正確的是()

12

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

B.函數(shù)/(x)在區(qū)間|o,1|

內(nèi)單調(diào)遞減

C.函數(shù)/(x)在區(qū)間內(nèi)有恰有兩個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)/(X)的圖象向右平移三個(gè)單位長度可以得到函數(shù)g(x)=cos2x的圖象

11.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,且滿足%=1,anan+l=T,b?=--—,數(shù)列也?心1｝的前〃項(xiàng)和

1幅陶

為則下列說法正確的是(

A*=2"TB.4"=2"+1

cG—2<)1012公

。^2024—D,1—DDZ<1

12.已知雙曲線-己-=1的左、右焦點(diǎn)分別為片、鳥，過左焦點(diǎn)片的直線與雙曲線E的左支相交于48

兩點(diǎn)(Z在第二象限)，點(diǎn)。與8關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2百)，則下列結(jié)論正確的是()

A.記直線AB、AC的斜率分別為勺、k2,則左.左2=；

B.若西?西=0,則S^CBF=3

C.|MC|+|CG|的最小值為6

D.AFX-AF2的取值范圍是[一：,+CO]

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,27),則/(21(^2)=.

14.已知平面向量扇B滿足同=1,3=(1,2),al(a-2b),則向量點(diǎn)B夾角的余弦值為.

15.已知圓0:/+J?=4,過點(diǎn)尸(3,1)作兩條與圓。相切的直線，切點(diǎn)分別為43,貝！l|4B|=.

16.若函數(shù)/(》)=/+依1*-1)-恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本題滿分10分)

a

在△4SC中，角Z,8,C的對(duì)邊分別為見“c,已知bcosC+ccosB+------=0.

2cosA

(1)求角A的大小；

(2)若S4/BC=6，求。的最小值.

18.(本題滿分12分)

己知數(shù)列｛4｝為公差大于0的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S),，S5=15,a2.?4=8.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

ajr

(2)設(shè)％=2%?cos々,求數(shù)列也｝的前100項(xiàng)和幾。.

19.(本題滿分12分)

如圖，已知三棱柱4BC-481G各棱長均為2,￡),E分別是線段NC,Z4的中點(diǎn)，平面48c.

(1)求證：平面45G，平而ADE；

(2)求平面片AD與平面8DE夾角的大小.

20.(本題滿分12分)

27r,—、

如圖，點(diǎn)尸是圓心角為——，半徑為1的扇形圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)(與48不重合)，C在線段08上且CPHOA,

3

記/尸。4=6,線段。C,CP及圓弧力的長度之和為/(。).

(1)求函數(shù)/(。)關(guān)于。的解析式;

(2)求6為何值時(shí)，函數(shù)/(6)取得最大值.

21.(本題滿分12分)

已知拋物線C:/=2py(p>0)的焦點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為1.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若經(jīng)過定點(diǎn)。(0,4)的直線/與拋物線。交于45兩點(diǎn)，M為弦48的中點(diǎn)，過M作與x軸垂直的直

線與拋物線C交于點(diǎn)N,當(dāng)/NL8N時(shí)，求直線/的方程.

22.(本題滿分12分)

己知函數(shù)/(x)=1+blX.

X

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

n—77P

(2)若實(shí)數(shù)7%〃滿足7〃<〃<0,證明：———>1;

4ex~2

(3)證明：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<———

x

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說明：（1）此評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)僅供參考：

（2）學(xué)生解法若與此評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中的解法不同，請(qǐng)酌情給分。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

l.C2.A3.A4.D5.B6.C7.C8.B

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.AC10.ABDll.ACD12.BD

12.提示:設(shè)幺（國,％）,,C（-x2,-v2）

由于2,8兩點(diǎn)均在雙曲線的左支上，所以X，<——>xB<——>xc>—

對(duì)于A：設(shè),C（-x2,-v2）

27

則，左?《=%』?人』=『7

苞-x2西+x2x/-x2

（2

X]-k=11

???43均在雙曲線上，.4,，所以Xj—々2=—（NJ—

Y2-^2-13

[2]一1

所以，尢2=3,A錯(cuò)誤.

對(duì)于B：由西?西=0知，CF、工BF]

由對(duì)稱性得，3，5且s△用=s△曄

計(jì)算可得，S“BF\=SACF后=3，B正確

對(duì)于C

：\MC\+\MF^=\MC\+|CF2|+2

當(dāng)M,C,鳥三點(diǎn)共線時(shí)，+|即|=|MC|+|CK|+2=6

此時(shí)，xc=,與北〉：矛盾，故C錯(cuò)誤

對(duì)于刃：/片./工=（%+2,%>（再_2,必）=x」+jJ_4

又，V12=3（%12-1）,所以，麗.麗=4/2_7

結(jié)合，■得，Z片的取值范圍是1一,故D正確.

綜上，正確答案為：BD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

V54V15

13.414.——15.-----16.\^a\a〉0或。=——

105

16.提示:/(x)-X2+OX[QX-l)-a2ex=(x-a)(x+aex)

x

令/(x)=0，則x=a或—a=一

ex

V1—V

記g(x)=二,g'(x)=—々，，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;在(1,+8)上單調(diào)遞減

exex

g(x)最大值為g(l)=

e

當(dāng)。=0時(shí)，/（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，x=0,顯然不合題意

X

要使/（X）恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程-a=」-只有一個(gè)實(shí)根，另一個(gè)零點(diǎn)為x=a.

ex

故。的取值范圍為：（0,+s）U

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

a

解：⑴丁bcosC+ccosB+------=0

2cos/

sin/

由正弦定理得：sin5cosC+sinCcosfi+------=0

2cos/

qin/Iqin/I|

sin(5+C)+------=sin/+------=0,又.「sin/〉。，/.cosA=——,

2cos/2cos/2

27r

AE(0,萬),/.A=—

(2)S^ABC--besinZ=—be---=6，be=4

222

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos/=b2+c2-be>3bc=12

當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2時(shí)等號(hào)成立.

a22G即a的最小值為2G.

18.（12分）

解：（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d（d>0）

因?yàn)镾5=15,%=8

5（a1+2d）=15

所以1V）

Mi+d）（q+3d）=8

,見=1|a=5

解得i或i（舍A去）

d-1[d=-1

所以，%=%+（〃一l）d=1+（72-1）x1,即二〃.

njrA77r

（2）由（1）得〃=2%絲

"22

（4左+1）%=cos12左"+^]=0,所以“

當(dāng)〃=4左+1,左￡N時(shí),cos-------->4左+1=0；

2

4t+2

cos（41；2）乃=asQk兀+〃）=—1,所以d*+2=-2

當(dāng)〃=4左+2,左￡N時(shí),

cos”業(yè)[.7371

當(dāng)〃=4左+3,左￡N時(shí),=cos2左乃+—二0，所以包后+3=0；

2I2

當(dāng)〃=4（左+1）,左eN時(shí)，cos^|^=cos（2左乃+2萬）=1,所以"%+4=2皿+4；

2468100

,?,2T100=-2+2-2+2-??*+2

-4X[1-（-4）50]2102-4

=T"）二^"

19.（12分）

（1）證明：???4。，平面/3C,BDu平面ABC,；.4D_LBD

?:AB=AC=BC=2,。為ZC的中點(diǎn)，BD±AC

2。口4。=￡>,平面ZCG4，---BD±AC,

在平行四邊形ZCG4中，AC=cq=G4=z/=2,

四邊形/CG4為菱形，ACX±4c

又。,E分別為ZC,44］的中點(diǎn)，，DE〃4C

AC,1DE,AC,1平面BDE,AC,c平面ABC,

平面48G，平面ROE

(2)由(1)可知，DB,DC,兩兩相互垂直，故建立以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB,DC,￡叫所在直

線分別為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

由三棱柱的所有棱長均為2得，DB=y/3,DA=1,D&=C

￡>(0,0,0),/(0,—1,0),5(73,0,0),G(0,2,G)

.-.D5=(V3,0,0),函=(G,1,G)，Iq=(0,3,V3)

設(shè)平面51Ao的法向量為成二（x,%z）

m-DB-0也x=0

則《

m-DB1=0+y+mz=0

令z=1,則y=一百，x=0

所以，平面的一個(gè)法向量為成=（0,-百,1）

由（1）知/G，平面

所以，平面的一個(gè)法向量為元二（0,3,e）

設(shè)平面用80與平面ADE的夾角為。

77

所以，平面48。與平面的夾角為

20.（12分）

Jr27r

解：（1）在△尸。。中，由題可知。尸=1,ZCPO=0,ZOCP=-,ZCOP=——3

33

OCCP

由正弦定理得，—

.兀sin。.

sin—sin

3

所以，oc=堊22sin。

.71

sin—

3

在扇形PCM中，記弧尸/的長度為/,貝!]/=。

2sin仔萬

/

G'Z3133.a6A[Z)

所以，f^=oc+cp+e=^--+—sm0+——cos3+3

227

所以，/(6)=2sin,+"+，，，小,g]

(2)由⑴得，/<，)=2cos,+|^+l,de[o，F(xiàn)]

令八6)=2cos,+f+1=0,得6=W

當(dāng)，el。,?]時(shí)，/(^)>0,/但)單調(diào)遞增

當(dāng)，/'⑹/(')單調(diào)遞減

所以，當(dāng)夕=春時(shí)，/(夕)取最大值，且最大值為6+q.

21.(12分)

解：(1)因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為1,

所以，p=l

所以，拋物線C的方程為/=2y.

(2)由題意可得，直線/存在斜率，又直線/過￡>(0,4),

故設(shè)直線/的方程為y=履+4,

\2-2v

由1,消去y并整理得2日—8=0,

y=kx+4

△=4〃+32>0,所以直線/與拋物線。恒有兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)/（項(xiàng)，必），5（x2,y2）,則陽+々=2左，=-8,

所以，%+%=左（占+%）+8=2左2+8，yxy2=---1-=---=16.

因?yàn)椋琈為弦48的中點(diǎn)，過M作x軸垂直的直線與拋物線C交于點(diǎn)N,

所以Y-Y_X1+X2_i_XN

所以，XN~XM-—?，YN--萬

（PA

所以，N的坐標(biāo)為k,——

—(k2ey

所以，AN=k—X],----必，B—N=rk-x?,----y

I2