第一章數與式

（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1?【原創題】《孫子算經》中記載：“凡大數之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆.”說明了大數之間的關系：1億

=1萬xl萬，1兆=1萬xl萬xl億，貝IJ1兆等于（）

A.108B.1012C.IQ16D.1024

【答案】C

【分析】將1萬表示成10,1億表示成108,然后用同底數幕的乘法法則計算即可.

【詳解】兆=1萬xl萬xl億，

??J兆=1（/創04108=1016（

故選：C.

【點睛】本題考查同底數事的乘法法則，科學記數法的表示方法，其中。的范圍是14同＜10,〃是整數，

正確確定〃的值是解答本題的關鍵.

2.不一定相等的一組是（）

A.a+b與b+aB.3a與a+a+a

C./與D.3（〃+Z?）與3。+/?

【答案】D

【分析】分別根據加法交換律、合并同類項、同底數幕的乘法以及去括號法則計算各項后，再進行判斷即

可得到結論.

【詳解】解：A.a+b=b+a,故選項A不符合題意；

B.a+a+a=3a,故選項8不符合題意；

C.a-a-a=a3，故選項C不符合題意；

D.3（a+b）=3a+3Z?H3a+6,故選項。符合題意，

故選：D.

【點睛】此題主要考查了加法交換律、合并同類項、同底數塞的乘法以及去括號法則，熟練掌握相關運算

法則是解答此題的關鍵.

【新考法】數學與實際生活一一生活中的數學原理

3.照相機成像應用了一個重要原理，用公式!=表示，其中7?表示照相機鏡頭的焦距，"表示

/〃U

物體到鏡頭的距離，V表示膠片（像）到鏡頭的距離.已知力V,則"=（）

f-Vv-f

A.-----B.2-―仁春D.-T-

f—v找

【答案】C

【分析】利用分式的基本性質，把等式!=」+,3*/）恒等變形，用含/、V的代數式表示

/〃v

【詳解】解：

111

uV

ufv

u=

v-f

故選：C.

【點睛】本題考查分式的加、減法運算，關鍵是異分母通分，掌握通分法則.

4.與百萬二F結果相同的是（）.

A.3-2+1B.3+2-1

C.3+2+1D.3—2—1

【答案】A

【分析】根據有理數運算和二次根式的性質計算，即可得到答案.

【詳解】732-22-12=79-4-1=2

：3—2+1=2,且選項B、C、D的運算結果分別為：4、6、0

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式、有理數運算的知識；解題的關鍵是熟練掌握二次根式、含乘方的有理數混

合運算的性質，即可得到答案.

5.若我取1.442,計算的-3%-98狗的結果是（）

A.-100B.-144.2

C.144.2D.-0.01442

【答案】B

【分析】類比二次根式的計算，提取公因數，代入求值即可.

【詳解】，-%=1.442

^/3-3^/3-98^3=(1-3-98)^3=-100^/3

.-.-100^3=-144.2

故選B.

【點睛】本題考查了根式的加減運算，類比二次根式的計算，提取系數，正確的計算是解題的關鍵.

6?【原創題】要比較4=2■與B=中的大小(X是正數)，知道的正負就可以判斷，則下列說法

正確的是()

A.A>BB.A>BC.A<BD.A<B

【答案】C

【分析】將A-B進行化簡得到利用》是正數，可得出A-BW0,即可判斷A和2的大

2(x+l)

小，進而可得答案.

【詳解】解：由題意可知：

A_B=4x-(x+l)-=_(1)-

2(x+l)-2(x+l)

?/x>0,

x+lX),(x-1)2>0,

A即

故選：C.

【點睛】本題考查比較分式大小，完全平方公式，解題的關鍵在于正確的通分化簡.

7.已知3*=y,貝！)3用=()

A.yB.1+yC.3+yD.3y

【答案】D

【分析】利用同底數幕的乘法的逆運算可得31=3”3,再代入計算即可.

【詳解】解：..苫、，

3加=3"3=3〃

故選D

【點睛】本題考查的是同底數幕的乘法運算的逆運算，熟記“優5=力.優”是解本題的關鍵.

8.己知：.=,6=(—2)，c=(%—2023)”,貝Ua,b,c大小關系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】C

【分析】首先求出“，b,c的值，然后根據實數大小比較的方法，判斷出“，b,c大小關系即可.

［詳角星］。=8'8=(-2)2=4,c=(^-2023)°=1,

:.c<b<a,

故選：C.

【點睛】此題主要考查了實數大小比較的方法，解答此題的關鍵要明確：正實數>0>負實數，兩個負實數

絕對值大的反而小.

【新考法】數學與規律探究一一乘方類規律

9.我國宋代數學家楊輝發現了S+6)"n=0,1,2,3,...)展開式系數的規律:

(a+5)°=11展開式系數和為1

(a+b^=a+b11展開式系數和為1+1

(<7+Z>)2=a2+2ab+b2121展開式系數和為1+2+1

(<7+Z>)3=a3+3a2b+3ab2+b31331展開式系數和為1+3+3+1

(a+i)4=a4+4a3b+6a2b2+40^+b414641展開式系數和為1+4+6+4+1

以上系數三角表稱為“楊輝三角”，根據上述規律，(”+38展開式的系數和是(

A.64B.128C.256D.612

【答案】C

【分析】由“楊輝三角”的規律可知，(a+b)8所有項的系數和為28,即可得出答案.

【詳解】解：由“楊輝三角”的規律可知，

(a+為°展開式中所有項的系數和為1,

(a+”展開式中所有項的系數和為2,

(a+b)2展開式中所有項的系數和為4,

(a+4展開式中所有項的系數和為g,

S+3"展開式中所有項的系數和為2"，

展開式中所有項的系數和為28=256.

故選：C.

【點睛】本題考查了“楊輝三角”展開式中所有項的系數和的求法，解題關鍵是通過觀察得出系數和的規律.

10.對于多項式a-6-c+d+e,在任意一個字母前加負號，稱為“加負運算”，例如：對匕和d進行“加負運

算”，得到：a-(-b)-c+{-d)+e=a+b-c-d+e.規定甲同學每次對三個字母進行“加負運算”，乙同學每

次對兩個字母進行“加負運算”，下列說法正確的個數為()

①乙同學連續兩次“加負運算”后可以得到a-b-c-d-e；②對于乙同學“加負運算''后得到的任何代數式，

甲同學都可以通過“加負運算”后得到與之相反的代數式；③乙同學通過“加負運算”后可以得到16個不同的

代數式

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】①乙同學第一次對a和乙第二次對a和e進行加負運算，可得①正確；若乙同學對。和6進行加

負運算得：-a-(rb)-c+d+e=-a+b-c+d+e,可得其相反的代數式為a-b+c—d—e,貝U甲同學對c、d、

e進行加負運算，可得與之相反的代數式，同理乙同學可改變字母碇或ad或ae或be或64或加或cd或ce或

de,甲同學都可以通過“加負運算”后得到與之相反的代數式，可得②正確；若固定改變a,乙同學可改變字

母0。或ac或泅或ae；若固定改變6,乙同學可改變字母6c或瓦/或；固定改變c,乙同學可改變字母cd

或ce；固定改變d,乙同學可改變字母de,可得③錯誤，即可.

【詳解】解：①乙同學第一次對。和1進行加負運算得

(一—b—c+(-d)+e——a—b-c—d+e；

第二次對a和e進行加負運算得

—(^—ci^—b—c—d+=a—b—c—d—e,故①正確；

②若乙同學對。和6進行加負運算得：

—a—(—b)—c+d+e=—a+b—c+d+e,

則其相反的代數式為a-6+c-d-e,

:甲同學對c、d、e進行力口負運算得：＜7—c)+(—+e)—a—b+c—d—e,

同理乙同學可改變字母“C或以/或“e或兒或㈤或加或〃或ce或曲，甲同學都可以通過“加負運算”后得到

與之相反的代數式，故②正確；

若固定改變。，乙同學可改變字母而或碇或4d或ae；

若固定改變b,乙同學可改變字母6c或6d或加；

固定改變以乙同學可改變字母〃或ce；

固定改變d,乙同學可改變字母曲，

所以一共有4+3+2+1=10種，故③錯誤.

故選：C

【點睛】本題主要考察邏輯分析，注意甲乙同學可改變字母個數的不同是解題的關鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.【原創題】總的倒數是.12024|的相反數是.-［+（-2024）］=.

【答案】2024,-2024,-2024

12.寫出一個無理數無，使得l<x<4,則x可以是（只要寫出一個滿足條件的尤即可）

【答案】答案不唯一（如夜，萬,1.010010001…等）

【分析】從無理數的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環小數，③含有兀的數，

【詳解】根據無理數的定義寫一個無理數，滿足l<x<4即可；

所以可以寫：

①開方開不盡的數：V2,

②無限不循環小數，1.010010001.......,

③含有兀的數］，等.只要寫出一個滿足條件的X即可.

故答案為：答案不唯一（如加，萬,1.010010001.......等）

【點睛】本題考查了無理數的定義，解答本題的關鍵掌握無理數的三種形式：①開方開不盡的數，②無限

不循環小數，③含有久的數.

【新考法】數學與實際生活—游戲中的數學

13.小明和同學們玩撲克牌游戲.游戲規則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據

牌面上的數字進行混合運算（每張牌上的數字只能用一次），使得運算結果等于24.小明抽到的牌如圖所示，

請幫小明列出一個結果等于24的算式—.

【答案】（5-3+2）x6（答案不唯一）

【分析】根據有理數的加、減、乘、除、乘方運算法則，進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：

（5-3+2）x6=24,

故答案為：（5-3+2）x6（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握有理數的加、減、乘、除、乘方運算法則是解題的關鍵.

1（

14.如果單項式-山"-2y與2/嚴3的和是單項式，那么N=_____

2）

【答案】-1

【分析】由題意推出2y與2小了+3是同類項，即可求解.

【詳解】解：由題意得：-與2x、"+3是同類項，

/.m+2=4,n+3=1,

/.m=2,n=—2,

故答案為：-1.

【點睛】本題考查同類項的定義：如果兩個單項式，他們所含的字母相同，并且相同字母的指數也分別相

同，那么就稱這兩個單項式為同類項.掌握相關定義即可求解.

15.現有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）.

(1)取甲、乙紙片各1塊，其面積和為;

(2)嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片_

塊.

【答案】/+〃4

【分析】(1)直接利用正方形面積公式進行計算即可；

(2)根據已知圖形的面積公式的特征，利用完全平方公式即可判定應增加的項，再對應到圖形上即可.

【詳解】解：(1),?甲、乙都是正方形紙片，其邊長分別為

，取甲、乙紙片各1塊，其面積和為/+〃；

故答案為：a2+b2.

(2)要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則它們的面積和為

a2+4b2,若再加上4"(剛好是4個丙)，貝U〃+462+4a6=(a+26)2,則剛好能組成邊長為a+2b的正方

形，圖形如下所示，所以應取丙紙片4塊.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了正方形的面積公式以及完全平方公式的幾何意義，解決本題的關鍵是牢記公式特點，

靈活運用公式等，本題涉及到的方法為觀察、假設與實踐，涉及到的思想為數形結合的思想.

【新考法】信息題

16.當今大數據時代，“二維碼”具有存儲量大.保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常

生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區區“二維碼”已經展現出無窮威力.看似“碼碼相同”，實則“碼

碼不同”.通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用

途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼.根據相關數學知識，這200個方格可以生成

2200個不同的數據二維碼，現有四名網友對22。。的理解如下：

yyos(永遠的神)：22°°就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數；

DDDD(懂的都懂)：22°°等于2(X)2.

JXND（覺醒年代）：2200的個位數字是6；

QGJW（強國有我）：我知道21°=1024,103=1000,所以我估計220°比1O60大.

其中對2?°°的理解錯誤的網友是（填寫網名字母代號）.

【答案】DDDD

【分析】根據乘方的含義即可判斷1TOS（永遠的神）的理解是正確的；根據積的乘方的逆用，將2?0°化為

（2100）2,再與ZOO?比較，即可判斷0。。。（懂的都懂）的理解是錯誤的；根據2的乘方的個位數字的規律

即可判斷JXND（覺醒年代）的理解是正確的；根據積的乘方的逆用可得22。。=（2|。產』06。=（IO?）?。，即可判

斷。G1W（強國有我）的理解是正確的.

【詳解】2項是200個2相乘，KKDS（永遠的神）的理解是正確的；

2*（2—2002,DDDD（懂的都懂）的理解是錯誤的;

-21=2,22=4,23=8,24=16,25=32?,

2的乘方的個位數字4個一循環，

200+4=50,

22。。的個位數字是6,JXND（覺醒年代）的理解是正確的；

2200=（210）20,10S0=（1O3）20,210=1024,103=1000,且*>103

2200>1060，故QGKW（強國有我）的理解是正確的；

故答案為：DDDD.

【點睛】本題考查了乘方的含義，幕的乘方的逆用等，熟練掌握乘方的含義以及乘方的運算法則是解題的

關鍵.

三.解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分）

【新考法】數學與實際生活一一游戲中的數學

17.如圖，佳佳玩一個摸球計算游戲，在一個密閉的容器中放入五個小球，小球分別標有如圖所示的數（尤

為正整數）；現從容器中摸取小球，規定：若摸取到白色球，就加上球上的數：若摸到灰色球，就減去球上

的數.

(1)若佳佳摸取到如下兩個小球，請計算出結果;

(2)佳佳摸出全部的五個球，若計算結果為3,求出x的值.

【答案】(1)3

(2)x的值為S'+1

【分析】(1)由題意得，-2020°+'1?,計算求解即可；

(2)由題意得，712-2020°+^-|l-^|-x=3,計算求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得，一2020°+[g]=-1+4=3,

,結果為3；

(2)解：由題意得，A/T2-2020°+^一|1一道|一無=3,

.??后+4-x=3,解得了=省+1,

尤的值為石+1.

【點睛】本題考查了根據二次根式的性質化簡，零指數累，負整數指數累，絕對值，解一元一次方程.解

題的關鍵在于根據題意列方程并正確的計算求解.

18?【原創題】根據時2°這條性質，解答下列問題：

(1)當"=時，卜-4|有最小值，此時最小值為；

⑵己知a,6互為相反數，且a<0,b>0,求|a-4+2a+例的值.

【答案】⑴4；0

⑵6/-。

【分析】(1)根據|。|20,可知|。-4白0,即最小值為0,此時”4=0,解出。即可；

(2)根據。，6互為相反數，可知a=-b,再去絕對值計算即可.

【詳解】(1)解：

.?.當1=0時，|a-4|有最小值0,

.'?<7=4,

故答案為：4：0.

(2)解：b互為相反數，

??ci——b，

又b>0,

；Ja-4+2a+網

=|a+o|+2o+|Z?|

——2a+2a+b

=b.

【點睛】本題考查了絕對值的非負性，整式的絕對值的求解，對絕對值性質的理解和掌握是解答本題的關

鍵.

19.發現兩個已知正整數之和與這兩個正整數之差的平方和一定是偶數，且該偶數的一半也可以表示為兩

個正整數的平方和.驗證：如，(2+1)2+(2-1)2=10為偶數，請把10的一半表示為兩個正整數的平方和.探

究：設“發現”中的兩個已知正整數為相，”，請論證“發現”中的結論正確.

【答案】驗證：22+12=5;論證見解析

【分析】通過觀察分析驗證10的一半為5,22+12=5;將加和〃代入發現中驗證即可證明.

【詳解】證明：驗證：10的一半為5,22+12=5；

設“發現”中的兩個已知正整數為加，n,

(m+?)2+(7w-a)2=2(1+n2),其中2(M+")為偶數，

且其一半療+”2正好是兩個正整數加和n的平方和,

“發現”中的結論正確.

【點睛】本題考查列代數式，根據題目要求列出代數式是解答本題的關鍵.

20.(1)計算：A/12+3tan30°-12-+(71-1)°+82021x(-0.125)2021.

/八、zr2Tlm4mn,m1

(2)化簡求值：——+-----+-^~~0其中一==.

m+2n2n—m—mn5

?小/＜、r-/_、2n+m11

【答案】(1)4石—2；(2)-----.

2n-m9

【分析】(1)先化簡二次根式、特殊角的正切三角函數、化簡絕對值、零指數毫、積的乘方的逆用，再計

算實數的混合運算即可得；

(2)先計算分式的加法運算，再根據'得出〃=5租代入求值即可得.

n5

【詳解】解：(1)原式=2芯+3x*(2叫+1+1,

=273+^-2+^+1-1,

=4若一2；

In（in-m）+m（2n+m）+4mn

(2)原式=

（2n+m）（2n-m）

4/-2mn+2mn+m2+4mn

（2n+m）（2n-m）

4M2+4mn+m2

（2n+m）（2n-m）

（2n+mf

（2n+m）（2n-m）

_2n+m

2n—m

..m_1

n5'

n=5m，

lOm+m11

lOm—m9

【點睛】本題考查了化簡二次根式、特殊角的正切三角函數、零指數哥、分式的化簡求值等知識點，熟練

掌握各運算法則是解題關鍵.

21.已知數軸上有兩個點A：-3,B：1.

??????????

-4-3-2-101234

(1)求線段42的長；

⑵若同=2,且加＜0；在點8右側且到點8距離為5的點表示的數為w.

①求m與幾;

②計算2m+n+mn；

【答案】(1)4

(2)?m=-2,n=6；②一10

【分析】(1)根據數軸上兩點間距離計算方法求解；

(2)①先根據加的絕對值及根的取值范圍求出根值，再根據〃與1的距離為5,求出〃值；

②將①中的加、n的值代入代數式求值即可.

【詳解】(1)解：:A點表示的數為一3,3點表示的數為1,

：.AB=1-(-3)=4.

(2)解：①?.1時=2,且根＜0,

m=-2,

??,在點3右側且到點8距離為5的點表示的數為幾,

n=1+5=6.

②當根二-2,九=6時，

原式=2x(-2)+6+(-2)x6

=-4+6—12

=-10.

【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離、絕對值的意義及有理數混合運算等知識，掌握數軸上兩點間距

離計算方法(較大數減去較小數)是解題關鍵.

22.仔細閱讀下列解題過程：

若］2+2〃。+2。2一6。+9=0,求〃、人的值.

解：a2+2ab+2b2-6b+9=0

***a2+lab+b2+b2-6b+9=0

(a+域+e_3)2-Q

a+》=0,Z?-3=0

a=—3,b=3

根據以上解題過程，試探究下列問題：

(1)已矢口f一2孫+2/一2丁+1=0,求x+2y的值；

(2)已矢口/+5"-408—2^+1=0,求〃、b的值；

(3)若m=〃+4,+?—8/+20=0,求〃2“T的值.

【答案】(l)x+2y=3

(2)a=2,b=l

⑶4二i

【分析】(1)首先把第3項2y2裂項，拆成丁+產，再用完全平方公式因式分解，利用非負數的性質求得尤

和H代入求得數值；

2

(2)首先把第2項立2裂項，拆成4。+廿，再用完全平方公式因式分解，利用非負數的性質求得。和6;

(3)先把加=〃+4代入〃次+/_8/+20=0，得到關于〃和r的式子，再仿照(1)(2)題求解.

【詳解】(1)解：,x2-2xy+2y2-2y+1=0,

x2—^xy+y~+y~—2y+l=0,

;.(尤_y)2+(y_l)2=0,

/.x-y=0,y—l=0,

.x=y,y=lf

..%=y=l,

x+2y=3；

(2)解：,-a2+5b2-4ab-2b+l=0,

.-.a2+4b2-4ab+b2-2b+l=0,

二.("26)2+3_I)2=0,

.,.a—2b=0fb—1=0,

..ci2Z?,Z?—1,

a=2,b=l；

(3)角軍：m=n+4,

/.(n+4)n+?-8r+20=0,

"+4〃+4+產―8/+16=0,

(n+2)2+(r-4)2=0,

二.”+2=0,4=0,

n——2,t—4,

:.m-n+4-2,

n2m~,=(-2)2X2-4=(-2)°=1.

【點睛】本題考查因式分解、完全平方公式、非負數的性質、零指數幕等，對于項數較多的多項式因式分

解，掌握分組分解法是解題的關鍵.

【新考法】與實數有關的新定義問題

23.對于一個各數位上的數字均不為0的三位自然數N,若N能被它的各數位上的數字之和“整除，則稱

N是m的“和倍數”.

例如：：247+(2+4+7)=247+13=19,，247是13的“和倍數”.

又如：?.?214+(2+1+4)=214+7=304,；.214不是“和倍數”.

⑴判斷357,441是否是“和倍數”？說明理由；

⑵三位數A是12的“和倍數”，a,b,c分別是數A其中一個數位上的數字，且a>b>c.在a,b,c中任選

兩個組成兩位數，其中最大的兩位數記為尸(A),最小的兩位數記為G(A),若A-：G(A)為整數,求出滿

足條件的所有數4

【答案】⑴357不是15“和倍數”，441是9的“和倍數”；理由見解析

⑵數A可能為732或372或516或156

【分析】(1)根據題目中給出的“和倍數”定義進行判斷即可；

(2)先根據三位數A是12的“和倍數”得出a+b+c=12,根據a>"c,"A)是最大的兩位數，G(A)是最

小的兩位數，得出尸(A)+G(A)=10a+2b+10c,"A)：G(A)=左(左為整數)，結合a+6+c=12得出

16

6=15-2左，根據已知條件得出1V丈6,從而得出6=3或6=5,然后進行分類討論即可得出答案.

【詳解】(1)解：：357+(3+5+7)=357+15=23……12,

，357不是15“和倍數”；

441+(4+4+1)=441+9=49,

???441是9的“和倍數

(2)?..三位數A是12的“和倍數”,

a+Z?+c=12,

*.*a>b>cf

...在a,b,。中任選兩個組成兩位數，其中最大的兩位數尸（4）=10。+。，最小的兩位數G（A）=10c+b,

/.F（A）+G（A）=10a+b+10c+b=Wa+2b+10c,

...為整數,

16

設/⑷+G（A）=左儀為整數），

16

.10（2+2/7+10（77

則n-----------=k,

16

整理得：5a+5c+b=8左，

木艮據a+〃+c=12得：a+c=12-b,

*.*a>b>c,

：.l2-b>b,解得次6,

...“和倍數”是各數位上的數字均不為0的三位自然數，

a>b>。>0,

b>l,

l<b<6,

才巴々+。=12—/?代入5a+5。+/?=8左得：

5（12—3+》=8左，

整理得：b=15—2k,

V1<&<6,女為整數，

???萬=3或〃=5,

當》=3時，a+c=12—3=9,

*/a>b>cX）,

a>3,0<c<3,

.,.a=7,b=3,c=2,或a=8,b=3,c=\,

要使三位數A是12的“和倍數”，數A必須是一個偶數，

當〃=7,b=3,。=2時，組成的三位數為732或372,

,/732+12=61,

，732是12的“和倍數”，

?/372+12=31,

372是12的“和倍數”；

當a=8,b=3,c=l時，組成的三位數為318或138,

318-12=26……6,

...318不是12的“和倍數”，

V1384-12=11……6,

...138不是12的“和倍數”;

當6=5時，a+c=12-5=7,

a>b>cX),

：.5VaV7,

.?.0=6,b=5,c=l,組成的三位數為516或156,

；516+12=43,

,516是12的“和倍數”,

V1564-12=13,

156是12的“和倍數”；

綜上分析可知，數A可能為732或372或516或156.

【點睛】本題主要考查了新定義類問題，數的整除性，列代數式，利用數位上的數字特征和數據的整除性,

是解題的關鍵，分類討論是解答本題的重要方法，本題有一定的難度.

24.在第一階段質量監測的選擇題中，我們發現在三邊長分別為。，h,c(a<b<c)的三角形中，有

-Ja+\[b>y/c■

(1)推導該結論的一種思路可以用如下的框圖表示，請填寫其中的空格.

I________________________________________________________________________________________

(2)推導該結論的其他思路還有:

①利用〃+a==,再配方，

②利用Q+b>C,使用平方差公式，.……

③利用a+b>c,...

上述思路都不完整，請寫出一種完整的推導思路.

【答案】(1)①a+h+,②a+b,③〉，@a+b>c,⑤[a+b>&

(2)見解析

【分析】(1)根據完全平方公式即可得出①；根據二次根式的性質，即可得出②；根據不等式的性質，即

可得出③；根據三角形三邊之間的關系，即可得出④；根據不等式的性質即可得出⑤；

(2)根據題目所給思路，進行推理論證即可.

I=a+b,

??+\fb>y/ci+b，

根據三角形三邊之間的關系可得：a+b>c,

??+y/b>Na+b>\/c9即+y[b>y[c;

2

(2)解：?a=

BP=〃+/?+2y[ab,

G<a<b<c,

**?l^fab>0，

貝!J4a+VF>Vc；

(g)Va+b>c,

a>c-b,

0<a<b<c,

\[a<4b<'Jc,貝!Iyja<y/b+&，

???將（6）>（五+班'）（正-揚）左邊除以&,右邊除以揚+五得：y[a>y/c—yfb）

即4a+\[b>\[c;

a+b>c,

+2y[aba+b

---------->------->1,

??j>j，即+yfb>y/c；

【點睛】本題主要考查了二次根式，三角三邊之間的關系，完全平方公式，平方差公式等，解題的關鍵是

熟練掌握相關內容，并靈活運用在代數推理中.

【新考法】利用數形結合解決計算問題

25.【閱讀理解】數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得

直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們進行推理，獲得結論.初中數學里的一些代數公式，很多

都可以借助幾何圖形進行直觀推導和解釋.例如：求1+2+3+4+…+〃的值（其中“是正整數）.如果采用數

形結合的方法，即用圖形的性質來說明數量關系的事實，那就非常的直觀.現利用圖形的性質來求

1+2+3+4+…+”的值，方案如下：如圖1,斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1,2,3,

n個小圓圈排列組成的.而組成整個三角形小圓圈的個數恰為所求式子1+2+3+4+...+"的值.為求式子的值,

現把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形.此時，組成平行四邊形的小圓圈共有〃

行，每行有（W+1）個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數為〃（〃+1）個，因此，組成一個三角形小

圓圈的個數為即1+2+3+4++

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?--n112

———?

------3

------2

圖3

【問題提出】求"+23+33++〃3的值(其中”是正整數).

【問題解決】為解決上述問題，我們借鑒已有的經驗，采用由特殊到一般，歸納的研究方法，利用數形結

合法，借助圖形進行推理獲得結論.

探究1：如圖2,F可以看成1個1X1的正方形的面積，即13=1X12=12

探究2：如圖3,A表示1個1x1的正方形，其面積為：1x12=F；B表示1個2x2的正方形，其面積為：1x2?;

C,。分別表示1個1x2的長方形，其面積的和為：2x1x2=1x22;3,的面積和為

1X22+1X22=(1+1)X22=23,而恰好可以拼成一個。+2)義(1+2)的大正方形.由此可得:

13+23=(1+2)2=32.

(1)探究3：請你類比上述探究過程，借助圖形探究：F+23+33==.(要求自己構造圖形并寫

出推證過程)

(2)【結論歸納】將上述探究過程發現的規律，推廣到一般情況中去，通過歸納，我們便可以得到：

F+23+33+..+“3==(要求直接寫出結論，不必寫出推證過程)

(3)【結論應用】圖4是由若干個棱長為1的小正方體搭成的大正方體，圖中大小正方體一共有多