第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及運算第四章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景,知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達,體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想,體會極限思想.2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,的導(dǎo)數(shù),能夠利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).強基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)平均變化率:對于函數(shù)y=f(x),我們把比值,即

=

稱為函數(shù)y=f(x)從x0到x0+Δx的平均變化率.

(2)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù):函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是

=

,我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),

導(dǎo)數(shù)是用極限來刻畫的

f'(x0)(3)導(dǎo)函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)x=x0時,f'(x0)是一個唯一確定的數(shù),當(dāng)x變化時,f'(x)就是x的函數(shù),我們稱它為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱為導(dǎo)數(shù)),即f'(x)=y'=

.

微點撥關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的理解

(1)瞬時變化率是平均變化率的極限.(2)導(dǎo)數(shù)就是瞬時變化率.(3)導(dǎo)數(shù)的物理意義:若物體運動的路程與時間的關(guān)系式是s(t),則s'(t)就是速度與時間的關(guān)系式.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),就是曲線y=f(x)在x=x0處的

,即k0=

.

即在點(x0,f(x0))處

切線的斜率k0

f'(x0)微思考“曲線在點P處的切線”與“曲線過點P的切線”有何區(qū)別?提示

“曲線在點P處的切線”與“曲線過點P的切線”含義是不同的,“曲線在點P處的切線”時,點P是曲線上的點,且點P就是切點;而“曲線過點P的切線”時,點P不一定在曲線上,點P不一定是切點.3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=

f(x)=sinxf'(x)=

f(x)=cosxf'(x)=

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=exf'(x)=

f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

0αxα-1cosx

-sinxaxlnaex4.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則(1)[f(x)±g(x)]'=

.

(2)[f(x)g(x)]'=

,特別地,[cf(x)]'=

.

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)cf'(x)5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)的概念:一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成

的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作

.

(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=

,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

xy=f(g(x))y'u·u'x常用結(jié)論1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).3.曲線的切線與曲線不一定只有1個公共點.對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)f'(x0)=[f(x0)]'.(

)(2)曲線y=f(x)的過點(x1,y1)的切線的斜率為f'(x1).(

)×××√A.(3,3) B.(-3,-3)C.(9,1) D.(3,3)或(-3,-3)答案D

3.經(jīng)過點(2,0)且與曲線y=相切的直線方程為

.

答案

x+y-2=0

增素能精準(zhǔn)突破考點一導(dǎo)數(shù)的運算例1.(1)隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、航天等眾多領(lǐng)域,并取得了顯著經(jīng)濟效益.假設(shè)某放射性同位素的衰變過程中,其含量P(單位:貝克)與時間t(單位:天)滿足函數(shù)關(guān)系,其中P0為初始時該放射性同位素的含量,已知當(dāng)t=15時,該放射性同位素的瞬時變化率為,則該放射性同位素含量為9貝克時衰變所需時間為(

)A.20天

B.30天

C.45天

D.60天(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),f(x)=+2f'(1)·x,則f'(1)=

.

名師點析導(dǎo)數(shù)運算注意點(1)函數(shù)在某一點處的瞬時變化率即為函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值.(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,必須明確函數(shù)的構(gòu)成及類型,必要時先對函數(shù)解析式進行化簡變形,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時,應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時可換元.(3)當(dāng)函數(shù)解析式中含有未知的導(dǎo)數(shù)值時,可先求導(dǎo),然后通過賦值構(gòu)建方程組求解.(2)(多選)下列求導(dǎo)運算錯誤的有(

)對點訓(xùn)練1(1)令(x+1)2024=a1+a2x+a3x2+…+a2024x2023+a2025x2024(x∈R),則a2+2a3+…+2023a2024+2024a2025=(

)A.2023×22023

B.2023×22024C.2024×22023

D.2024×22024答案

(1)C

(2)ABD解析(1)對等式(x+1)2

024=a1+a2x+a3x2+…+a2

024x2

023+a2

025x2

024(x∈R)兩邊分別求導(dǎo)可得2

024(1+x)2

023=a2+2a3x+…+2

023a2

024x2

022+2

024a2

025x2

023,令x=1,有2

024×22

023=a2+2a3+…+2

023a2

024+2

024a2

025,故選C.考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用(多考向探究)考向1.求曲線的切線方程典例突破(2)曲線y=ln|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點的兩條切線方程分別為

,

.

方法總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程的方法

(2)已知函數(shù)f(x)=xlnx,若直線l過點(0,-1)且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為

.

對點訓(xùn)練2(1)(2023陜西安康一模)已知函數(shù)f(x)=sin2x-xf'(0),則該函數(shù)的圖象在x=處的切線方程為(

)A.3x+y-π=0 B.3x-y-π=0C.x+3y-π=0 D.3x+y+π=0答案

(1)A

(2)y=x-1

(2)設(shè)直線l與曲線的切點為(x0,y0),因為f'(x)=ln

x+1,所以切線的斜率k=ln

x0+1,于是切線方程為y-x0ln

x0=(ln

x0+1)(x-x0),又因為直線l過點(0,-1),所以-1-x0ln

x0=(ln

x0+1)(0-x0),整理解得x0=1,故切線方程為y=x-1.解析(1)f(x)=sin

2x-xf'(0),f'(x)=2cos

2x-f'(0),∴f'(0)=2cos

0-f'(0),解得f'(0)=1,考向2.求切點坐標(biāo)及參數(shù)值典例突破(2)若曲線f(x)=x3-2x在點P處的切線與直線x-y-2=0平行,則點P的坐標(biāo)為

.

例3.(1)(2023河北邯鄲二模)已知直線y=x是曲線f(x)=lnx+a的切線,則a=(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2答案

(1)B

(2)(-1,1)

點P為(1,-1),則切線方程為y+1=x-1,即x-y-2=0,與所給直線重合,不符合題意;當(dāng)x0=-1時,點P為(-1,1),則切線方程為y-1=x+1,即x-y+2=0,與所給直線平行.故點P的坐標(biāo)為(-1,1).技巧點撥解決曲線切線問題的關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線過某一點的切線方程、已知直線與曲線相切求切點坐標(biāo)及參數(shù)值等問題時,關(guān)鍵是設(shè)出切點坐標(biāo),然后通過導(dǎo)數(shù)就是斜率、點在曲線上、點在切線上等建立方程(組)進行求解.答案

A

對點訓(xùn)練3(2023江西贛州二模)已知曲線y=ex-m在x=2處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為,則m=(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析y=ex-m,y'=ex-m,則y|x=2=e2-m,y'|x=2=e2-m,即切點坐標(biāo)為(2,e2-m),斜率k=e2-m,切線方程為y-e2-m=e2-m(x-2).令x=0,解得y=-e2-m,即該切線與y軸交點坐標(biāo)為(0,-e2-m);令y=0,解得x=1,即切線與x軸交點坐標(biāo)為(1,0).故所求切線與坐標(biāo)考向3.曲線的公切線問題典例突破(2)若曲線y=ln(3x-8)與曲線y=x2-3x在公共點處有相同的切線,則該切線的方程為

.

例4.(1)(2023黑龍江哈爾濱三中模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=ln(e2x),若直線l:y=kx+b為f(x)和g(x)的公切線,則b等于(

)A. B.1-ln2C.2-ln2 D.-ln2答案

(1)B

(2)y=3x-9

方法點撥利用導(dǎo)數(shù)幾何意義解決公切線問題的基本方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決兩條曲線的公切線問題,通常有兩種基本方法:(1)利用其中一條曲線在某點處的切線與另一條曲線相切,列出關(guān)系式求解;(2)分別設(shè)出公切線與兩曲線的切點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則有f'(x1)=g'(x2)=,據(jù)此列式求解.對點訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=ex-1(e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)=lnx+1,則曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線的方程為

.

答案

y=ex-1,y=x解析設(shè)公切線與曲線y=f(x)相切于點(m,em-1),與曲線y=g(x)相切于點(n,ln

n+1).∴(m-1)em+1-m=(m-1)(