山東省師大附中2024屆高一數學第二學期期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數的定義域為（）A． B． C． D．2．函數在上零點的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．53．如圖所示，墻上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．與a的值有關聯4．已知＝4，＝3，，則與的夾角為（）A． B． C． D．5．已知組數據，，…，的平均數為2,方差為5,則數據2+1，2+1，…，2+1的平均數與方差分別為()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=216．已知等差數列中，,則（）A． B．C． D．7．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，≤)的圖象如下，則點的坐標是()A．(，) B．(，)C．(，) D．(，)8．在同一直角坐標系中，函數且的圖象可能是（）A． B．C． D．9．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1510．已知向量，，若，則銳角α為()A．45° B．60° C．75° D．30°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知在中，，則____________.12．若點為圓的弦的中點，則弦所在的直線的方程為___________.13．已知，各項均為正數的數列滿足，，若，則的值是.14．某校女子籃球隊7名運動員身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖，已知記錄的平均身高為175cm，但記錄中有一名運動員身高的末位數字不清晰，如果把其末位數字記為x，那么x的值為________.15．在數列中，按此規律，是該數列的第______項16．已知無窮等比數列的首項為，公比為，則其各項的和為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某產品具有一定的時效性，在這個時效期內，由市場調查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件；若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為千元時多賣出件。（1）試寫出銷售量與n的函數關系式；（2）當時，廠家應該生產多少件產品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？18．已知方程，.（1）若是它的一個根，求的值；（2）若，求滿足方程的所有虛數的和.19．已知數列滿足.（1）若，證明：數列是等比數列，求的通項公式；（2）求的前項和．20．如圖，在正中，，.（1）試用，表示；（2）若，，求.21．已知數列的前項和（）；（1）判斷數列是否為等差數列；（2）設，求；（3）設（），，是否存在最小的自然數，使得不等式對一切正整數總成立？如果存在，求出；如果不存在，說明理由；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據對數函數的定義域直接求解即可.【詳解】由題知函數，所以，所以函數的定義域是.故選：A.【點睛】本題考查了對數函數的定義域的求解，屬于基礎題.2、D【解析】

在同一直角坐標系下，分別作出與的圖象，結合函數圖象即可求解.【詳解】解：由題意知：函數在上零點個數，等價于與的圖象在同一直角坐標系下交點的個數，作圖如下：由圖可知：函數在上有個零點.故選：D【點睛】本題考查函數的零點的知識，考查數形結合思想，屬于中檔題.3、C【解析】試題分析：本題考查幾何概型問題，擊中陰影部分的概率為．考點：幾何概型，圓的面積公式．4、C【解析】

由已知中，，，我們可以求出的值，進而根據數量積的夾角公式，求出，，進而得到向量與的夾角；【詳解】，，，，，所以向量與的夾角為.故選C【點睛】本題主要考查平面向量的數量積運算和向量的夾角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、C【解析】

根據題意，利用數據的平均數和方差的性質分析可得答案．【詳解】根據題意，數據，，，的平均數為2，方差為5，則數據，，，的平均數，其方差；故選．【點睛】本題考查數據的平均數、方差的計算，關鍵是掌握數據的平均數、方差的計算公式，屬于基礎題．6、C【解析】

,.故選C.7、C【解析】

由函數f（x）的部分圖象求得A、T、ω和φ的值即可．【詳解】由函數f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象知，A＝2，T＝2×（4﹣1）＝6，∴ω，又x＝1時，y＝2，∴φ2kπ，k∈Z；∴φ2kπ，k∈Z；又0＜φ，∴φ，∴點P（，）．故選C．【點睛】已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.8、D【解析】

本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數函數、對數函數的圖象和，結合選項，判斷得出正確結論.題目不難，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當時，函數過定點且單調遞減，則函數過定點且單調遞增，函數過定點且單調遞減，D選項符合；當時，函數過定點且單調遞增，則函數過定點且單調遞減，函數過定點且單調遞增，各選項均不符合.綜上，選D.【點睛】易出現的錯誤有，一是指數函數、對數函數的圖象和性質掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認識函數的單調性.9、B【解析】

已知三次投籃共有20種，再得到恰有兩次命中的事件的種數，然后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】三次投籃共有20種，恰有兩次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5種∴該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為故選：B【點睛】本題主要考古典概型的概率求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.10、D【解析】

根據向量的平行的坐標表示，列出等式，即可求出．【詳解】因為，所以，又為銳角，因此，即，故選D．【點睛】本題主要考查向量平行的坐標表示．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據可得，根據商數關系和平方關系可解得結果.【詳解】因為，所以且，又，所以，所以，因為，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數的符號法則，考查了同角公式中的商數關系和平方關系式，屬于基礎題.12、；【解析】

利用垂徑定理，即圓心與弦中點連線垂直于弦．【詳解】圓標準方程為，圓心為，，∵是中點，∴，即，∴的方程為，即．故答案為．【點睛】本題考查垂徑定理．圓中弦問題，常常要用垂徑定理，如弦長（其中為圓心到弦所在直線的距離）．13、【解析】

由題意得，依次求得，，，，，∵，且＞0，∴，依次求得======，∴+=+=．考點：數列的遞推公式．14、2【解析】

根據莖葉圖的數據和平均數的計算公式，列出方程，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得，即，解得.【點睛】本題主要考查了莖葉圖的認識和平均數的公式的應用，其中解答中根據莖葉圖，準確的讀取數據，再根據數據的平均數的計算公式，列出方程求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.15、【解析】

分別求出，，，結果構成等比數列，進而推斷數列是首相為2，公比為2的等比數列，進而求得數列的通項公式，再由求得答案．【詳解】，，，依此類推可得，，，即.，解得.故答案為：7.【點睛】本題考查利用數列的遞推關系求數列的通項公式，求解的關鍵在于推斷是等比數列，再用累加法求得數列的通項公式，考查邏輯推理能力和運算求解能力.16、【解析】

根據無窮等比數列求和公式求出等比數列的各項和.【詳解】由題意可知，等比數列的各項和為，故答案為：.【點睛】本題考查等比數列各項和的求解，解題的關鍵就是利用無窮等比數列求和公式進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】試題分析：(1)根據若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為千元時多賣出件，可得，利用疊加法可求得.(2)根據題意在時,利潤,可利用求最值.試題解析：（1）設表示廣告費為0元時的銷售量，由題意知，由疊加法可得即為所求。（2）設當時，獲利為元，由題意知，，欲使最大，則，易知，此時.考點：疊加法求通項,求最值.18、（1）；（2）190.【解析】

（1）先設出的代數形式，把代入所給的方程，化簡后由實部和虛部對應相等進行求值；（2）由方程由虛根的條件，求出的所有的取值，再由方程虛根成對出現的特點，求出所有虛根之和．【詳解】解：（1）設，是的一個根，，，，解得，，，（2）方程有虛根，，解得，，，2，，又虛根是成對出現的，所有的虛根之和為．【點睛】本題是復數的綜合題，考查了復數相等條件的應用，方程有虛根的等價條件，以及方程中虛根的特點，屬于中檔題．19、（1）證明見解析，；（2）.【解析】

（1）由條件可得，即，運用等比數列的定義，即可得到結論；運用等比數列的通項公式可得所求通項。（2）數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，可得所求的和。【詳解】解：（1）證明：由，得，又，，又，所以是首相為1，公比為2的等比數列；，。（2）前項和，，兩式相減可得：化簡可得【點睛】本題考查利用輔助數列求通項公式，以及錯位相減求和，考查學生的計算能力，是一道基礎題。20、（1）；（2）-2【解析】

（1）由，可得，整理可求出答案；（2）用、分別表示和，進而求出即可.【詳解】（1）因為，則，所以.（2）當時，，因為，所以為邊的三等分點，則，故.【點睛】本題考查平面向量的線性運算，考查向量的數量積，考查學生的計算能力與推理能力，屬于基礎題.21、（1）否；（2）；（3）；【解析】

（1）根據數列中與的關系式，即可求解數列的通項公式，再結合等差數列的定義，即可求解；（2）由（1）知，求得當時，，當時，，利用等差數列的前項和公式，分類討論，即可求解.（3）由（1）得到當時，，