5.7

三角函數的應用自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預習·新知導學一、彈簧振子的運動模型1.一個彈簧振子做簡諧振動,在完成一次全振動的過程中,時間t(單位:s)與位移y(單位:mm)之間的關系如圖所示.(1)若用函數y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)來刻畫位移y隨時間t的變化規律,你能寫出y關于t的函數解析式嗎?(2)函數y=Asin(ωt+φ)中的參數A,ω,φ對其圖象有怎樣的影響?提示:A影響函數的最值,ω影響函數的周期,φ決定函數的具體位置.二、擬合函數模型我們可以利用收集到的數據,首先畫出相應的“散點圖”并觀察,然后進行函數擬合獲得具體的函數模型,最后利用這個函數模型來解決相應的實際問題.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)三角函數模型是描述周期變化現象的重要函數模型.(√)(2)在研究具體問題時,我們常常利用搜集到的數據,作出相應的“散點圖”來獲得相應的函數模型.(√)(3)函數y=|cosx|的圖象是以2π為周期的波浪形曲線.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

三角函數模型在物理中的應用分析:確定函數y=Asin(ωx+φ)中的參數A,ω,φ的物理意義.【例1】

已知彈簧上掛著的小球做上下振動時,規定向上為正方向,小球離開平衡位置的位移s(單位:cm)隨時間t(單位:s)的變化規律為

,t∈[0,+∞).作出這個函數的簡圖,并回答下列問題.(1)小球在開始振動(t=0)時的位移是多少?(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少?(3)經過多長時間小球往復振動一次?解:列表如下:描點、連線,圖象如圖所示.反思感悟三角函數模型在物理中的應用主要體現在簡諧運動中,其中對彈簧振子和單擺的運動等有關問題考查最多,解決這類問題時要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.(1)作出該函數的圖象;(2)當單擺開始擺動(t=0)時,離開平衡位置的距離是多少?(3)當單擺擺動到最右邊時,離開平衡位置的距離是多少?(4)單擺來回擺動一次需多長時間?解:(1)利用“五點法”可畫出其圖象,如圖.探究二

數據擬合問題【例2】

某港口的水深y(單位:m)是時間t(0≤t≤24,單位:h)的函數,下面是有關時間t與水深y的數據:(1)在平面直角坐標系中描出上表中的點.(2)根據表中的數據,你能選用一個函數描述時間與水深的關系嗎?并求出選用函數的解析式.分析:(1)先建立平面直角坐標系,再描點;(2)根據散點分布趨勢,尋找函數關系.解:(1)以時間t(單位:h)為橫軸,水深y(單位:m)為縱軸,建立平面直角坐標系.在坐標系中畫出散點圖,如圖所示.反思感悟1.本題中沒有明確函數的類型,可通過畫散點圖來擬合曲線.2.此類問題的一般解法是先由表中數據分析求出待定系數,再轉化為三角不等式對實際問題進行預測判斷.因為實際問題的背景往往比較復雜,所以要注意認真審題,從中抽取基本的數學關系.【變式訓練2】

已知某海濱浴場海浪的高度y(單位:m)是時間t(0≤t≤24,單位:h)的函數,記作:y=f(t),下表是某日各時的浪高數據.(1)根據以上數據,求函數y=f(t)的函數解析式;(2)依據規定,當海浪高度高于1m時才對沖浪愛好者開放,請依據(1)的結論,判斷一天內8:00至20:00之間,有多少時間可供沖浪愛好者進行運動?解:(1)由表中數據描出各點,并把這些點用光滑的曲線連接起來(如圖),所以在8:00至20:00之間,有6個小時的時間可供沖浪愛好者運動,即上午9:00至下午15:00.易

錯

辨

析不能正確認識簡諧運動的過程致錯【典例】

彈簧振子以點O為平衡位置,在B,C兩點間做簡諧運動,B,C兩點相距20cm,初始時刻振子處在點B,經0.5s振子首先到達點C.求:(1)振子振動的振幅、周期和頻率;(2)振子在5s內通過的路程及這時相對平衡位置的距離的大小.錯解:(1)因為B,C兩點相距20cm,所以振幅A=20cm.因為振子從點B經0.5s首次達到點C,所以周期T=0.5s,頻率(2)5s內的路程=距離=5A=100(cm).以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:(1)算錯了振幅,誤認為B,C兩點的距離是振幅,算錯了周期,誤認為由點B到點C是一個周期,實際上是半個周期;(2)混淆了物理上的路程和位移,導致錯解.正解:(1)設振幅為A,則2A=20cm,即A=10cm.設周期為T,則

,T=1s,故頻率f=1Hz.(2)振子在1個周期內通過的路程為4A,當t=5s時,振子振動了5個周期,故路程s=5×4A=20A=20×10=200(cm)=2(m).因為5s