2019-2020學年高二第一學期期末數(shù)學試卷

一、選擇題

1.下列四條直線中，傾斜角最大的是（）

A.x-y-1=0B.A+y-1=0C.Fx-y-l=0D.Fx+y-l=0

2.在空間直角坐標系公yz中，點夕（1,1,1）關(guān)于平面x位對稱的點。的坐標是（）

A.（-1,1,1）B,（1,-1,-1）C.（1,1,-1）D.（1,-1,1）

3.直線x/y-2=0截圓，+/=4所得弦長是（）

A.2MB.2C.愿D.1

22

4.橢圓2_上1上一點P到一個焦點的距離為2,則點"到另一個焦點的距離是（）

259

A.3B.5C.8D.10

5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的

體積是（）

8

C.D.4

3

6.設(shè)xGR,則“0VxV5”是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知m,"是兩條不同的直線，a,BY,是三個不同的平面，下列命題中正確的是

（）

A.若m//a,n//a,則tn//nB.若加〃a,〃〃B,則a//B

C.若a_L丫，B_L丫，則a〃BD.若m_La,"J_a,則m〃"

8.已知正方體四a-48C4,。是平面4仇笫內(nèi)一動點，若“。與AC所成角為三，則動

4

點。的軌跡是（）

5C,

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

9.已知夕為拋物線Y=12y上一個動點，。為圓（x-4）、/=1,則點，到點。的距離與

點。到x軸距離之和的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

10.已知四棱錐S-4仇步的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，￡是線段S4上的點（不含端點），

設(shè)直線儂與曲所成的角為8“直線庭與平面48緲所成的角為久，二面角5-8C-A

的平面角為。3,則（）

B.o2V。“e2Ve3

C.02V91,03<01D.e1ve2,e3Ve2

二、填空題

2,2

11.雙曲線2__2—=1的離心率為；漸近線方程為

169

12.棱長為1的正方體的內(nèi)切球的半徑是,該正方體的外接球的表面積是.

13.已知圓Q:，+/=4與圓a：（x-2）2+（yt-1）2=1相交于48兩點，則兩圓的圓心

Q,口所在直線方程是,兩圓公共弦48的長度是.

14.已知平行六面體項3-4864中，底面483是邊長為1的正方形，必=2,ZAAB=

N4/?60°,則可，正=,I記1=.

15.過雙曲線C：與-J=l的右頂點作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于4,若以C的

azbz

右焦點為圓心、半徑為2的圓經(jīng)過4。兩點(。為坐標原點)，則雙曲線C的標準方程

是.

16.在三棱錐P-48C中，AB=BC=CA=AP='3,PB=4,PC=5,則三棱錐P-48c的體積

是.

17.在△/%中，8(10,0),直線8c與圓X。(y-5>=25相切，切點為線段8c的中點.若

△48C的重心恰好為該圓圓心，則點4的坐標是.

三、解答題

18.已知直線/:/尸2=0分別與x軸，y軸交于4,8兩點，圓C:(x-2)，/=2.

(1)已知平行于/的直線4與圓C相切，求直線4的方程；

(2)已知動點。在圓C上，求△/8P的面積的取值范圍.

19.如圖，在正方體4仇Q-48GD中，附是線段4C上的中點.

(1)證明：4"〃平面CBD；

(2)求異面直線4"與能的所成角的余弦值.

20.設(shè)拋物線G:/=4x的焦點為￡過尸且傾斜角為45°的直線/與C交于4,8兩點.

(1)求|/18|的值；

(2)求過點4,8且與拋物線C的準線相切的圓的方程.

21.如圖，三棱臺/玩?-48見平面4/CCJ"平面37,△AS。和△48G均為等邊三角形,

AB=2AA=2CG=248,。為4?的中點.

(1)證明：OBLAAe,

(2)求直線圈與平面8CCB所成角的正弦值.

22rr

22.如圖，已知橢圓G:三+^^l(a〉b〉O)經(jīng)過點P(2,0),且離心率圓

『2

G以橢圓G的短軸為直徑.過點"作互相垂直的直線/“/2,且直線4交橢圓G于另一

點。，直線A交圓C于4,8兩點

(1)求橢圓G和圓G的標準方程;

(2)求△/劭面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：每小題4分，共40分

1.下列四條直線中，傾斜角最大的是（

A.x-y-1=0B.j(+y-1=0C.近x-y-l=0D.?x+y-l=0

【分析】根據(jù)題意，依次求出選項中直線的傾斜角，比較即可得答案.

解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4x-y-1=0,其斜率4=1,傾斜角為45°,

對于8,>+y-1=0,其斜率火=-1,傾斜角為135°,

對于C,y-1=0,其斜率Ar=傾斜角為60°,

對于〃，J§x+y-1=0,其斜率傾斜角為120°,

則8選項中直線的傾斜角最大；

故選：B.

2.在空間直角坐標系flyyz中，點0（1,1,1）關(guān)于平面x0z對稱的點。的坐標是（）

A.（-1,1,1）B.（1,-1,-1）C.（1,1,-1）D.（1,-1,1）

【分析】根據(jù)空間直角坐標系中點P（x,y,z）關(guān)于平面xflz1對稱的點。的坐標是（x,

-y,z）,寫出即可.

解：空間直角坐標系中，

點戶（1,1,1）關(guān)于平面X0Z對稱的點。的坐標是（1,-1,1）.

故選：D.

3.直線x-ny-2=0截圓〃+/=4所得弦長是（）

A.273B,2C.愿D.1

【分析】由圓的方程找出圓心坐標與半徑r,利用點到直線的距離公式求出圓心到已知

直線的距離d,利用垂徑定理及勾股定理即可求出截得的弦長.

解：由圓1+/=4,得到圓心（0,0）,r=2,

.?.直線被圓截得的弦長為2““2=2愿.

故選：A.

22

4.橢圓—1上一點Q到一個焦點的距離為2,則點P到另一個焦點的距離是（)

259

A.3B.5C.8D.10

【分析】利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解即可.

22

解：橢圓可得2a=10,

259

22

橢圓會比_=1上一點?到一個焦點的距離為2,則點。到另一個焦點的距離是：10-2

=8.

故選：C.

5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的

體積是（）

33

【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進一步利用體積公式的應用求出結(jié)果.

解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：

該幾何體為底面積為直角三角形，高為2的三棱錐體.

請注意：看圖時，變換一下角度：

如圖所示：

故選：A.

6.設(shè)xGR,則“0VxV5”是的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】解出關(guān)于x的不等式，結(jié)合充分必要條件的定義，從而求出答案.

解：V|X-1|<1,：.0<x<2,

V0<x<5推不出0Vx<2,

0<x<2n0<x<5,

.,.0<x<5是0VxV2的必要不充分條件，

即0VxV5是|X-1|V1的必要不充分條件

故選：B.

7.已知例〃是兩條不同的直線，a,。，丫，是三個不同的平面，下列命題中正確的是

()

A.若m//a,n//a,則m//nB.若m//a,n//B,則a〃B

C.若aJ-丫，BJ-Y,則a〃BD.若勿_La,〃J_a,則m〃"

【分析】利用線面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷出正誤.

解：對于/,若，〃a,"〃a,則加〃"或相交或為異面直線，因此不正確.

對于8,若加/a,"〃B,則a〃B或相交，因此不正確.

對于G,若a_LY,0±y,則a〃B或相交，因此不正確；

對于〃，若?La,n±a,利用線面垂直的性質(zhì)定理可知：,〃〃正確.

故選：D.

jr

8.已知正方體四緲-48G4,0是平面48Q?內(nèi)一動點，若4。與DC所成角為一，則動

4

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

【分析】以4為原點，44為x軸，4a為y軸，能為z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正

方體的邊長為1,Q(x,y,1),求出軌跡方程，得出結(jié)論.

解：以，1為原點，44為x軸，4G為/軸，做為z軸建立空間直角坐標系，

設(shè)正方體的邊長為1,0(%,y,1),

則C(0,1,1),用=(O,1,1),而=(x,y,1),

n_D[OD1Q1+11

C°S4|D7CI|DjQIV2'7x2+y2+l歷

得q=2y,

故軌跡為拋物線，

9.已知。為拋物線4=12y上一個動點，。為圓(x-4)，/=1,則點"到點。的距離與

點。到x軸距離之和的最小值是()

A.4B.3C.2D.1

【分析】先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標，根據(jù)圓的方程求得圓心坐標，根據(jù)拋物線的

定義可知P到準線的距離等于點P到焦點的距離，進而問題轉(zhuǎn)化為求點。到點。的距離

與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當化Q,尸三點共線時P到點

。的距離與點戶到拋物線的焦點距離之和的最小，為圓心到焦點廠的距離減去圓的半徑.

解：拋物線f=12y的焦點為尸（0,3）,

（x-4）V=1的圓心為0（4,0）,半徑為1,

根據(jù)拋物線的定義可知點P到準線的距離等于點夕到焦點的距離，如圖：

故問題轉(zhuǎn)化為求a，Q,尸三點共線時夕到點。的距離與點。到拋物線的焦點距離之和的

最小值，

22=

由于焦點到圓心的距離是A./3+45,點P到點。的距離與點夕到拋物線準線的距離之

和的最小值5-3-1=1

10.已知四棱錐S-48緲的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，￡是線段S4上的點（不含端點），

設(shè)直線比■與3所成的角為①，直線比"與平面48微所成的角為。“二面角S-BC-D

的平面角為。3,則（）

S

0.62V91,93V9tD.61V82,63V62

【分析】根據(jù)題意，作出異面直線應■與緲所成的角ei,直線酩與平面4仇步所成的角

92,二面角S-8C-〃所成角的平面角。3,由。“e2,。3均為銳角，再判斷02與。卜

的大小.

解：過點￡■作日LL平面A8CD于.點、M,在平面ABCD內(nèi)過“作31的于點N,作MPLBC

于點P,

在平面SBC內(nèi)作PQLBC與點、P,交S8于點0,連接BM,EN,

則N48E是異面直線BE與微所成的角NEBM建宣線庭與平面48曲所成的角02,

N船峭是二面角S-8C-。所成角的平面角如圖所示，

顯然02,久均為銳角；

FN

在RtZkSfiV中，sin0,=—;

EB

在Rt△酗/中，sin0=—;

2EB

在RtZkfW中，EM<EN,所以sinei>sin02,即。，>。2；

RM

又sine3=±&,且EB>PQ,所以sin。zVsin。3,即。zV。3.

PQ

故選：B.

二、填空題：單空題每題4分，多空題每題6分

22rQ

11.雙曲線=_2_=1的離心率為3；漸近線方程為y=±亙x.

169-4一4一

【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標準方程分析可得a、。的值以及焦點的位置，計算可得

c的值，由離心率公式計算可得e,由漸近線方程計算可得雙曲線的漸近線，即可得答案.

22

解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為2__J=i，

169

其中?=716=4.6=、國=3,

則c=V16+9=5>

其離心率6=￡=5,漸近線方程為：y=i--x；

a44

故答案為：?，y=±3jc.

44

12.棱長為1的正方體的內(nèi)切球的半徑是—，該正方體的外接球的表面積是3n.

~2---------

【分析】根據(jù)內(nèi)切球與正方體各面相切可知其半徑，再根據(jù)長方體外接球的性質(zhì)，即可

求出答案.

解：正方體內(nèi)切球與正方體各個面均相切，，正方體的棱長即為內(nèi)切球的直徑，???內(nèi)切

球半徑為

設(shè)外接球半徑為凡根據(jù)長方體外接于直徑公式，得2R=V1百1T，，R平，

92

,S=4兀R=4兀幾.

4

故答案為：3n.

13.已知圓Q:/+/=4與圓ft:(x-2)2+(尸1)2=1相交于48兩點，則兩圓的圓心

a,一所在直線方程是戶2y=0,兩圓公共弦形的長度是_四5_.

5

【分析】根據(jù)題意，對于第一空：分析兩個圓的圓心坐標，求出直線的斜率，進而

分析可得其方程；

對于第二空：由兩圓的方程分析可得48所在直線的方程，分析圓Q的圓心、半徑，結(jié)

合直線與圓的位置關(guān)系分析可得答案.

解：根據(jù)題意，圓a：/+/=4,其圓心為(0,0),圓詼(x-2)2+(y+1)2=1,

其圓心為(2,-1);

則k0°—―=-—,即直線的方程為尸:-2■*,即x+2y=0；

122-022

則兩圓的圓心4,口所在直線方程戶2尸0;

又由圓。：〃+7=4與圓詼(x-2)2+(y+1)2=1,則四所在直線的方程為2x-y-

4=0,

圓《的圓心為(0,0),半徑r=2,

圓心a到直線48的距離冷堆1=生叵，

V4+15

則|眼=2X7r2-d2=^p->

故答案為：>+2y=0;幺￡.

5

14.已知平行六面體?!盛步-48G4中，底面48⑦是邊長為1的正方形，〃=2,ZAAB=

ZAAD=6Q°,則而［前=3,|Aq|=_Vl0—?

【分析】可畫出圖形，根據(jù)條件知AB=AD=\,M=2,ZAyAB=ZAsAD=6Q°,Z.BAD=

90°,并得出西?正=(而+而)?(靠+而)，然后進行數(shù)量積的運算即可；可得出

AC^2=(ATJ+AD+AB)進行數(shù)量積的運算即可得出記紇]。，從而得出

I記l=Vio-

解：如圖，

'：AB=AD=\,〃=2,N4/5=N/MP=60°,Nft4p=90°,

AAD^-AC=(AT；+AD)>(AB+AD)

.......2

=AAj-AB+AAj-AD+AD*AB+AD

=2XlXy+2XIXj+1

=3,

AC[2=(AA7+AD+AB)2

=AA^2+AD2+AB2+2AAj--iS+2AA^-AB+2AD-AB

=4+l+l+2X2XiXy+2X2Xixy

=10,

IACi|=V10-

故答案為：3,Vio.

15.過雙曲線C：號-2萬=1的右頂點作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于/,若以C的

右焦點為圓心、半徑為2的圓經(jīng)過/、0兩點（0為坐標原點），則雙曲線C的標準方程

2

是/一工_=1.

3

【分析】求出雙曲線的右頂點和右焦點以及漸近線方程，可得4再由圓的性質(zhì)可得|41

=|0F|=C=2,解方程可得a,b,進而得到雙曲線方程.

解：雙曲線的右頂點為（自，0）,右焦點尸為（c,0）,

由x=a和一條漸近線y=2r,可得4（a,6）,

a

以。的右焦點為圓心、半徑為2的圓經(jīng)過40兩點（。為坐標原點），

則\AF\=|陽=c=2,

即有J（a-c）2+b?=2,

c=a+h2=4,

解得a=1,

2

即有雙曲線的方程為4-2_=1,

3

2

故答案為：，-2_=1.

3

16.在三棱錐P-48C中，AB=BC=CA=AP=3,PB=4,PC=5,則三棱錐P-腦的體積是

71L-

【分析】取"C中點0,連結(jié)加，CO,推導出PBA.BC,AOLPC,OC=OP=OC=^,AOA.

OC,從而4U■平面陽C,由此能求出三棱錐夕-48C的體積.

解：取PC中點0,連結(jié)AO,CO,

?.?在三棱錐P-48C中，AB=BC=CA=AP=3,PB=4,PC=5,

5

：.PB±BC,AOA-PC,OC=OP=OC=^,：.AO2.OC,

'：PCDCO=0,：.AOI.平面PBC,

止次嗚產(chǎn)率

:.三棱錐P-MC的體積是:

=-=

VP-ABC=匕-柳=￡xAOXSApBCyx'.LX--X4X3VT1*

故答案為：Vu-

A

17.在中，8（10,0）,直線/與圓4+（y-5）J25相切，切點為線段8c的中點.若

4ABC的重心恰好為該圓圓心，則點A的坐標是（0,15）或（-8,-1）.

【分析】設(shè)為的中點為。，設(shè)點4和C的坐標，根據(jù)圓心「（0,5）到直線48的距離

等于半徑5求出48的斜率4的值.再由斜率公式

以及「〃_L8C,求出C的坐標，再利用三角形的重心公式求得4的坐標.

解：設(shè)8c的中點為〃，設(shè)點4（%,必）、。（如必），則由題意可得「〃_1%,且灰生29,

故有圓心「（0,5）到直線48的距離「〃=廣=5.

_10-5-10k|

設(shè)外的方程為y-0=4(x-10),即kx-y-10^=0.則有-/=5,解得k

Mk0'+l

4

=0或k=---.

3

y

了2-。2~°=4

x-10-

2x2103

?4.

當D時，有絲.5，當-一仔時有y2c

_T-5_3

K4泉正不存在

,-2~-2-

zx=-10fX2=-2

解得42，或4

12=0卜2=16

X|+x2.1。

0=2X[=0Xj=-8

再由三角形的重心公式可得J,由此求得＜或

y1+y2+071=157i=-i

5n

3

故點4的坐標為（0,15）或（-8,-1）,

故答案為(0,15)或(-8,-1).

三、解答題：5小題，共74分

18.已知直線/:戶齊2=0分別與x軸，y軸交于4,B兩點,圓C:(x-2)2+/=2.

(1)已知平行于/的直線人與圓C相切，求直線人的方程；

(2)已知動點?在圓C上，求△/加的面積的取值范圍.

【分析】(1)設(shè)直線A的方程為外■六m=0,利用直線與圓相切求出加，代入即可；

(2)求出|/48|=2&,設(shè)點P到直線/的距離為九圓。的半徑為々求出圓心C到直

線/的距離4求出/?的取值范圍，由S4^BP,|研歷=近匕求出面積的范圍.

解：(1)設(shè)直線h的方程為/八/?=0,

則也例解得OT=0,m=-4,

V2

所以直線/i的方程為A+y=O或者A+y-4=0;

(2)由/(-2,0),B(0,-2),囪=2&,

設(shè)點P到直線/的距離為h,圓，的半徑為r,

又圓心C到直線/的距離Q/刷=2后,

際協(xié)d-rShM小r,即&W〃W3五,

則江幽總網(wǎng)卜=后衣[2,6],

故明的面積的取值范圍為[2,6].

19.如圖，在正方體483-48C4中，制是線段47上的中點.

(1)證明：4附〃平面CBD；

(2)求異面直線4制與曲的所成角的余弦值.

【分析】（1）連結(jié)4G,交84于點小，連結(jié)加，推導出四邊形43V是平行四邊形,

從而A.M//NC,由此能證明4“〃平面笫".

（2）由4"〃力/C,得NM如是異面直線46與辦的所成角（或所成角的補角），由此能

求出異面直線4"與笫的所成角的余弦值.

解：（1）證明：連結(jié)4C,交84于點乂連結(jié)以

在正方體483-48GU中，A、N=CM,旦Mi"CM,

四邊形4做訓是平行四邊形，：.AyM//NC,

,；4枇平面您4,CNCL平面Cg,

.?.4"〃平面CRDy.

（2）解：由（1）可知4"〃"C,

.?.NMM是異面直線4〃與勿的所成角（或所成角的補角），

設(shè)正方體ABCD-48CD中棱長為2,

則笫=2衣，CN=瓜,“仁

CN

在Rt△網(wǎng)中，cosZNCDy=77?-=—,

CD12

...異面直線4"與能的所成角的余弦值為返.

2

20.設(shè)拋物線C:7=4x的焦點為E過尸且傾斜角為45°的直線/與C交于4,B兩點.

（1）求|眼的值；

（2）求過點4,8且與拋物線C的準線相切的圓的方程.

X

【分析】(1)求得拋物線的焦點廠的坐標，可得直線/的方程，聯(lián)立拋物線方程，運用

韋達定理和弦長公式，計算可得所求值；

(2)求得48的垂直平分線方程，設(shè)所求圓的圓心為(a,6),由直線和圓相切的條件：

d=r,可得a,6的方程組，解方程可得a,b,半徑廣，可得所求圓的方程.

解：(1)拋物線C:爐=4x的焦點為尸(1,0),過尸且傾斜角為45°的直線/的方程

為y=x-1,

聯(lián)立拋物線方程/=4x,可得4-6/1=0,

設(shè)4(M,%),B(.x2,%)，可得X+M=6,XM=1,

2-==8

則|AB\=(xj+x2)4XJX2V?V36-4；

(或|明=x^+Xi+2—6+2=8)

(2)由(1)可得48的中點坐標為(3,2),N8的垂直平分線為y-2=-(x-3),

即y=5-x,

設(shè)所求圓的圓心為(a,6),半徑為，，

2

則Kb=5,(>1)2=16+.(b.N_+l)_,解得a=3,6=2,r=4,或a=11,b=-6.r

2

=12,

則所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(尸6)2=144.

21.如圖，三棱臺48C-48G,平面/MGCU平面他?，△48C和△ASiG均為等邊三角形，

AB=2欣=2微=24?,0為47的中點.

(1)證明：OBS-AAy,

(2)求直線比與平面8CC8所成角的正弦值.

1

【分析】(1)推導出08JL/C,從而如平面447%由此能證明的

(2)把三棱臺還原為錐，設(shè)頂點為8則切_L平面48C,作ODLBC于D,由三垂線定理

得PDLBC,連結(jié)陽，BC工斗&POD,平函PBCJL平面POD,作OH'PD于H,則甌L平面

POD,連結(jié)反H,N陽，是直線圈與平面8CG8所成角，由此能求出直線陽與平面BCQR

所成角的正弦值.

解：(1)證明：?.?△/48C為等邊三角形，且0為47的中點，：.OBA-AC,

\?平面/MCGJ?平面ABC,平面4/GGD平面ABC=AC,

.?.必_L平面44紹，

V4仁平面44必，:.OBA.A4,.

(2)解：把三棱臺還原為錐，設(shè)頂