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?^((1))(k+1)=(x^((1))(1)-b/a)e^(-ak)+b/a,k=1,2,…（ppt15）（動畫1）第三步數據還原及預測。為什么要做數據還原呢？我們在做數據預處理的時候，是對數據進行累加了，因此必須還原。（動畫2）具體是對數據模型作逆生成處理，還原x

?^((0))(k)。相應的計算公式:（動畫3）見背板公式。初值取為x

?^((0))(1)=x^((0))(1)；（動畫4）迭代公式為x

?^((0))(k)=x

?^((1))(k)-x

?^((1))(k-1)=(1-e^a)(x^((0))(1)-b/a)e^(-a(k-1)),k=2,3...綜上，通過上述3步我們就可以建立灰色GM（1，1）模型，得到預測的序列x

?^((0))(k)。（ppt16）下面我們看案例分析。（ppt17）以我國1998-2006年全國人口總量作為預測樣本，采用GM(1,1)模型進行數據預測。從樣本數據可看出1998我國人口大約12億多，到2006年，中國人口增長到13億多。（ppt18）整頁見背板公式。（動畫1）建立GM(1,1)模型，x^((0))(k)+az^((1))(k)=b，可以寫出對應的白化方程。（動畫2）對原始數據X^((0))作一次累加得得到X^((1))，X^((1))的人口數據從12億多變化到115億多。（動畫3）作X^((1))的緊鄰均值生成序列Z^((1)),Z^((1))的人口數據從18億多變化到108億多。（ppt19）（動畫1,2）利用最小二乘法對參數進行估計，代入數據可以得到矩陣B，向量Y的值，（動畫3）利用最小二乘法得：P=(B^TB)^(-1)B^TY，（動畫4）解的參數a=-0.0062,參數b=124790.（ppt20）整頁見背板公式。（動畫1）把參數代入灰微分方程。（動畫2,3）類似代入得到白化方程，把參數代入響應方程還原后得到預測值x

?^((0))。（ppt21）（動畫1,2）預測結果的圖像表明GM(1,1)模型做短期預測效果還是比較好的。（ppt22）我們看看模型的具體應用。（ppt23）（動畫