12.平穩(wěn)時間序列3.非平穩(wěn)時間序列4.建模步驟5.案例分析1.基本概念第五章時間序列分析第一節(jié)

基本概念一、了解時間序列二、時間序列的基本概念一、了解時間序列1.1什么是時間序列？時間序列是指按時間順序排列的、隨時間變化且相互關聯(lián)的數(shù)據(jù)序列。1.2什么是時間序列分析？簡單來說，就是對時間序列進行觀察研究，找尋它的發(fā)展規(guī)律，預測它將來的走勢。34時間序列經過合理函數(shù)變換均可認為是三個部分疊加而成。即：趨勢項部分、周期項部分、隨機噪聲項部分時間序列可有不同的分類：

根據(jù)所研究的對象數(shù)量可分為一元時間序列和多元時間序列；根據(jù)時間的連續(xù)性，可分為離散時間序列和連續(xù)時間序列；根據(jù)序列的統(tǒng)計特性，可分為平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列。5二、時間序列的基本概念2.1隨機過程的均值函數(shù)：對于隨機過程,t固定時,是一個隨機變量,設其均值為.當t變動時,是t的函數(shù).2.2隨機過程的方差函數(shù)：對于隨機過程

,t固定時,的方差為;當t變動時,是t的函數(shù)，記為

2.3自協(xié)方差函數(shù)：對于隨機過程

取定定義其自協(xié)方差函數(shù)為62.4自相關函數(shù)：為刻畫在時刻與之間的相關性，將標準化后定義自相關函數(shù)為2.5平穩(wěn)時間序列：隨機序列滿足條件2.6白噪聲序列：隨機序列

是由一個不相關的隨機變量構成的,且其期望和方差都是常數(shù)。即

第二節(jié)

平穩(wěn)時間序列

1.AR(p)模型

2.MA(q)模型

3.ARMA(p,q)模型

78ARMA模型簡介ARMA模型主要包含三種基本模型：AR(p)模型、MA(q)模型、ARMA(p,q)模型.1.AR(p)模型具有如下結構的模型稱為p階自回歸模型，簡記為AR(p)滿足的條件其中：是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲

9引進算子多項式，算子B定義為中心化AR(p)模型又可以簡記為其中：為自回歸參數(shù)向量

稱為回歸系數(shù)*：特別當時，稱為中心化AR(p)模型2.MA(q)模型具有如下結構的模型稱為q階移動平均模型，簡記為MA(q)滿足的條件其中：是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲

為移動平均參數(shù)向量稱為滑動平均系數(shù)*：特別當時，稱為中心化MA(q)模型引進算子多項式，定義后移算子為,中心化MA(q)模型又可以簡記為其中：123.ARMA(p,q)模型具有如下結構的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為ARMA(p,q)滿足條件其中：

是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲

為自回歸移動平均參數(shù)向量

*：特別當時，稱為中心化ARMA（p,q）模型引進算子多項式，中心化ARMA(p,q)模型又可以簡記為其中：4.ARMA模型的平穩(wěn)性和可逆性對于一般的平穩(wěn)序列，設其均值，滿足引進算子多項式后，有假定和無公共因子，且則:

模型的平穩(wěn)性條件—— 的根全在單位圓外

模型的可逆性條件—— 的根全在單位圓外

15注意：

對于時間序列模型來說，只有滿足了平穩(wěn)性與可逆性，才能夠真正有意義的反映動態(tài)系統(tǒng)的實際變化特征。

第三節(jié)

非平穩(wěn)時間序列

1、差分運算

2、ARIMA(p,d,q)模型16171、差分運算1.1差分運算的實質：差分運算的實質是使用自回歸的方式提取確定性信息。d階差分后序列可以表示為1.2差分方式的選擇在實際情況中，常見的差分情況有以下三種：1）序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現(xiàn)趨勢平穩(wěn)。2）序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提取出曲線趨勢的影響。3）對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通常可以較好地提取周期信息。182、ARIMA(p,d,q)模型2.1ARIMA(p,d,q)模型結構具有如下結構的模型稱為ARIMA(p,d,q)模型可簡記為：其中：

192.2對于ARIMA(p,d,q)模型有下列三種形式

當d=0時，ARIMA(p,d,q)模型實際上是ARMA(p,q)模型

當p=0時，ARIMA(p,d,q)模型可以簡記為IMA(d,q)模型

當q=0時，ARIMA(p,d,q)模型可以簡記為ARI(p,d)模型特別地。當d=1,p=q=0時，ARIMA(0,1,0)模型為該模型被稱為隨機游走（RandomWalk）模型。

第四節(jié)

建模步驟

1、時間序列預處理2、模型識別與定階3、參數(shù)確定4、模型的檢驗5、模型的優(yōu)化6、序列預測及結果分析獲得觀測值序列時間序列預處理（平穩(wěn)性檢驗與隨機性檢驗）模型識別與定階參數(shù)確定模型的檢驗模型優(yōu)化序列預測NY差分運算平穩(wěn)性與隨機性Y平穩(wěn)性N結束隨機性NStep1時間序列預處理1、平穩(wěn)性檢驗——檢驗序列的平穩(wěn)性1）時序圖檢驗根據(jù)平穩(wěn)時間序列均值、方差為常數(shù)的性質，平穩(wěn)序列的時序圖應該顯示出該序列始終在一個常數(shù)值附近波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征。2）自相關圖檢驗平穩(wěn)序列通常具有短期相關性，該性質用自相關系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關系數(shù)會很快地衰減為零。3）單位根檢驗

單位根檢驗是指檢驗序列中是否存在單位根，因為存在單位根就是非平穩(wěn)時間序列了。單位根就是指單位根過程，可以證明，序列中存在單位根過程就不平穩(wěn)，會使回歸分析中存在偽回歸。4)建立模型之前，首先要檢驗數(shù)據(jù)平穩(wěn)，如果不平穩(wěn)，該時間序列就屬于ARIMA(p,d,q)模型，就要對原始數(shù)據(jù)序列進行差分，差分后成為平穩(wěn)序列（即轉化為ARMA模型），則稱其為d階單整序列，其中d為差分的次數(shù)。2、純隨機性檢驗（白噪聲檢驗）——檢驗序列是否具有相關性純隨機序列沒有分析價值，為了確定某平穩(wěn)序列值不值得繼續(xù)分析，我們需要對平穩(wěn)序列進行純隨機性檢驗。1）檢驗統(tǒng)計量：

Q-統(tǒng)計量2）判斷原則：

Q-統(tǒng)計量的P值小于時，認為該序列為非白噪聲序列；反之，則為白噪聲序列。Step2模型識別與定階兩個基本概念1）自相關系數(shù)（ACF）：構成時間序列的每個序列值之間的簡單相關關系，用來度量自相關程度，即觀測值序列的樣本自相關系數(shù)的計算公式：其中：2）偏自相關系數(shù)（PACF）：所謂滯后k偏自相關系數(shù)，就是說在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關度量，即觀測值序列的樣本自相關系數(shù)的計算公式：其中：

根據(jù)樣本自相關系數(shù)與偏自相關系數(shù)的性質，選擇恰當?shù)腁RMA(p,q)進行擬合。具體判斷標準為：（1）若為q階截尾,則判斷是MA(q)序列（2）若為p階截尾，則判斷是AR(p)序列（3）若、都不截尾，而僅僅是以負指數(shù)衰減，則可初步判斷是ARMA(p,q)序列

模型特征

AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型方程平穩(wěn)性條件無條件自相關系數(shù)拖尾q步截尾拖尾偏自相關系數(shù)p步截尾拖尾拖尾補充：1）在實際處理中，要使、在某一階之后全部為0幾乎是不可能的，只能在某一階之后圍繞零值上下波動2）拖尾性：呈負指數(shù)衰減

截尾性：若樣本（偏）自相關系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標準差范圍，而后幾乎95%的（偏）自相關系數(shù)都落在2倍標準差的范圍以內，而且通常由非零自相關系數(shù)衰減為小值的波動過程非常突然。這時，通常視為（偏）自相關系數(shù)截尾，截尾階數(shù)為d。28最小信息準則——定階準則1）ARMA(p,q)序列的AIC定階準則為：選取p,q使得其中：n為樣本數(shù)目，為的估計，為對數(shù)似然函數(shù)，使函數(shù)達到最小的p,q即為模型的階2）ARMA(p,q)模型的BIC準則為：

貝葉斯決策理論是主觀貝葉斯派歸納理論的重要組成部分。是在不完全情報下，對部分未知的狀態(tài)用主觀概率估計，然后用貝葉斯公式對發(fā)生概率進行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最優(yōu)決策其中，k為模型參數(shù)個數(shù)，n為樣本數(shù)量，L為似然函數(shù)。Step3模型的參數(shù)確定

對于一個非中心化的ARMA(p,q)模型有

即

其中：該模型有p+q+2個未知參數(shù)：其中的估計值可以用樣本均值估計總體均值得到，其他p+q+1個未知參數(shù)可用矩估計、最大似然估計、最小二乘估計。Step4模型的檢驗1）模型的顯著性檢驗

目的：判斷整個模型對信息的提取是否充分。

模型檢驗的對象為殘差序列，目的是為了檢驗模型的有效性，即對信息的提取是否充分。判定原則：A、一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列B、若殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關信息未被提取，這就說明擬合模型不夠有效

檢驗統(tǒng)計量：

LB統(tǒng)計量：

檢驗原則：當LB檢驗統(tǒng)計量的相伴概率p>顯著性水平0.05時，接受原假設，認為殘差序列為白噪聲序列，擬合模型顯著有效。當LB檢驗統(tǒng)計量的相伴概率p<0.05時，拒絕原假設，說明殘差序列中還殘留著相關信息，擬合模型不顯著。2）參數(shù)的顯著性檢驗參數(shù)的顯著性檢驗就是要檢驗每一個未知參數(shù)是否顯著非零，這個檢驗是使模型最精簡。如果某個參數(shù)不顯著，即表示該參數(shù)所對應的那個自變量對因變量的影響不明顯，該自變量可以從擬合模型中剔除，最終模型將由一系列參數(shù)顯著非零的自變量表示。Step5模型的優(yōu)化

當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列的波動，但這種效果并不是唯一的。當同一個向量可以構造兩個擬合模型，兩個模型都顯著有效，那么到底該選擇哪一個模型用于統(tǒng)計推斷呢？為了解決這個問題，我們用Step2中的最小信息準則——AIC準則，BIC準則確定模型相對最優(yōu)判定原則：AIC、BIC、SC值越小，模型擬合相對最優(yōu)。Step6序列預測及結果分析利用得到的模型，預測下一時間段的值：在軟件中進行相應的預測。依據(jù)題意，分析得到的結果。

第五節(jié)

案例分析

1.ARMA模型(Eviews求解)2.ARIMA模型(Matlab求解)1.ARMA模型(Eviews求解)已知某城市過去63年中每年降雪量數(shù)據(jù)，如下表，試預測該城市下一年降雪量1）時間序列預處理

結果分析：從時序圖（左）可以看出，y序列始終在一個常數(shù)值附近波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期特征，該序列為平穩(wěn)序列。從Q-統(tǒng)計量的Prob值可以看出，大部分小于0.05，該序列為非白噪聲序列。單位根平穩(wěn)性檢驗由單位根檢驗可知，在1%，5%，10%顯著性水平下，ADF檢驗值（t值）均小于顯著水平值，則通過檢驗，即原序列平穩(wěn)2）確定模型類型的和階數(shù)根據(jù)自相關與偏自相關系數(shù)的性質，確定模型類型的和階數(shù)模型自相關系數(shù)（ACF）偏自相關系數(shù)（PACF）AR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾

分別嘗試用ARMA(1,1)、ARMA(1,2)、ARMA(1,3)等模型擬合，并通過誤差分析來選取最優(yōu)模型3）三種模型模型擬合結果分析與比較

ARMA(1,1)結果ARMA(1,2)結果ARMA(1,3)結果結果分析：由AIC、SC準則（AIC、SC越小越好，以及DW檢驗結果（在1.5-2.5范圍內較為合適）。我們選取最優(yōu)的ARMA（1,1）模型，其中AIC為9.143925，SC值為9.279997。4）ARMA(1，1)模型擬合結果根據(jù)該圖，我們得出這一模型形式如下：5）模型檢驗

殘差序列相關圖結果分析：P值均大于0.05，殘差序列為白噪聲序列，建模通過DW檢驗值為2.025609，序列無自相關性。6）序列預測與結果分析基于ARMA（1,1）模型的預測預測結果分析：該城市下一年的降雪量約為93.17。2.ARIMA模型(Matlab求解)1949—2001年中國人口時間序列數(shù)據(jù)見表5.3MATLAB解法算法步驟如下：Step1對原序列進行純隨機性及平穩(wěn)性檢驗與處理Step2模型的識別與定階Step3模型的建立Step4模型的優(yōu)化Step5模型的檢驗Step6模型的預測MATLAB源代碼如下：clc,clearA=textread('例題2.txt');%把原始數(shù)據(jù)去掉年份按照原來的排列格式存放在純文本文件hua.txtN=length(A);H=lbqtest(A)%原始序列純隨機性檢驗D=0;%初始化差分階數(shù)dA=A;ifadftest(A)~=1dA=diff(A);D=1;whileadftest(dA)~=1%判斷一次差分后是否平穩(wěn),如果時間序列不平穩(wěn)就再次進行下一次差分，直到平穩(wěn)為止dA=diff(dA);D=D+1;endenddA;%達到平穩(wěn)后差分的結果；D%輸出最后達到平穩(wěn)所需要經過的差分次數(shù)%畫出自相關和偏相關函數(shù)的圖像，來找到合適的參數(shù)p,q的范圍；subplot(221);autocorr(dA)%畫出自相關圖，圖中上下兩條橫線分別表示自相關系數(shù)的上下界，超出邊界的部分表示存在相關關系。[a,b]=autocorr(dA)%a為各階的相關系數(shù)，b為滯后階數(shù)subplot(222);parcorr(dA)%畫出偏自相關圖[c,d]=parcorr(dA)%c為各階的偏自相關系數(shù)，d為滯后階數(shù)n=length(dA);%差分后的數(shù)據(jù)個數(shù)k=0;%初始化的試探模型的個數(shù)；fori=0:1forj=0:1ifi==0&&j==0continueelseifi==0ToEstMd=arima('MALags',1:j,'Constant',0);%指定模型的結構為MA模型elseifj==0ToEstMd=arima('ARLags',1:i,'Constant',0);%指定模型的結構為AR模型elseToEstMd=arima('ARLags',1:i,'MALags',1:j,'Constant',0);%指定模型的結構為ARMA模型endk=k+1;p(k)=i;q(k)=j;[EstMdl,EstParamCov,logL,info]=estimate(ToEstMd,dA);%模型擬合,將假設的模型和數(shù)據(jù)擬合起來;numParams=sum(any(EstParamCov));%計算擬合參數(shù)的個數(shù)%computeAkaikeandBayesianInformationCriteria[aic(k),bic(k)]=aicbic(logL,numParams,n);%使用aicbic函數(shù)求取每個模型對應的AIC，BIC的值endendfprintf('p,q,AIC,BIC的對應值如下\n%f');%顯示計算結果check=[p',q',aic',bic']r=input('輸入階數(shù)p＝');m=input('輸入階數(shù)q＝');M=armax(dA,[r,m]);%模型擬合dAs=predict(M,dA);%計算殘差向量res=dA-dAs;h=lbqtest(res)%進行模型檢驗ifh==0ifr==0ToEstMd=arima('MALags',1:m,'Constant',0);%指定模型的結構為MA模型elseifm==0ToEstMd=arima('ARLags',1:r,'Cons