2022年上海大學附屬外國語中學高一數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若向量，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B2.已知，若P點是△ABC所在平面內一點，且，則的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21參考答案：A【考點】9R：平面向量數量積的運算．【分析】建系，由向量式的幾何意義易得P的坐標，可化=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4?+t），由基本不等式可得．【解答】解：由題意建立如圖所示的坐標系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣4（﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（4t+）≤17﹣4=13，當且僅當4t=即t=時取等號，∴的最大值為13，故選：A．3.已知向量,.若，則m=(

)A. B. C.2 D.-2參考答案：A，，，故選A.

4.某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調查他們的身體狀況的，需從他們中間抽取一個容量為36樣本，則老年人、中年人、青年人分別各抽取的人數是（

）

A．6，12，18

B．7，11，19

C．6，13，17

D．7，12，17參考答案：A老年人、中年人、青年人分別各抽取的人數是：。5.設集合A={x|y=log2（3﹣x）}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}則A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）參考答案：C【考點】1E：交集及其運算．【分析】先分別求出集合A和B，由此利用交集定義能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|y=log2（3﹣x）}={x|x＜3}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}={x|1≤x≤4}，A∩B={x|1≤x＜3}=[1，3）．故選：C．6.設a，b是非零實數，若a＜b，則下列不等式成立的是（）A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C． D．參考答案：【考點】一元二次不等式的應用；不等關系與不等式．【分析】由不等式的相關性質，對四個選項逐一判斷，由于a，b為非零實數，故可利用特例進行討論得出正確選項【解答】解：A選項不正確，因為a=﹣2，b=1時，不等式就不成立；B選項不正確，因為a=1，b=2時，不等式就不成立；C選項正確，因為?a＜b，故當a＜b時一定有；D選項不正確，因為a=1，b=2時，不等式就不成立；選項正確，因為y=2x是一個增函數，故當a＞b時一定有2a＞2b，故選C．7.如圖，在三棱錐S－ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關系是()A．相交

B．平行C．異面

D．以上都有可能參考答案：B略8.若函數f（x）=5loga（3x﹣8）+1（a＞0，且a≠1），則f（x）過定點（）A．（1，3） B．（1，1） C．（5，1） D．（3，1）參考答案：D【考點】對數函數的圖象與性質．【分析】令真數3x﹣8=1得x=3，代入解析式求出f（3）的值，即可求出f（x）過定點的坐標．【解答】解：由題意得，函數f（x）=5loga（3x﹣8）+1令3x﹣8=1得x=3，所以f（3）=5loga1+1=1，所以f（x）過定點（3，1），故選：D．9.已知定義在[0，+∞）上的函數f（x）滿足f（x）=3f（x+2），當x∈[0，2）時，f（x）=﹣x2+2x．設f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值為an（n∈N*），且{an}的前n項和為Sn，則Sn的取值范圍是（）A．[1，） B．[1，] C．[，2） D．[，2]參考答案：A【考點】數列的求和．【分析】通過函數f（x）滿足f（x）=3f（x+2）可知函數向右平移2個單位時最大值變為原來的，進而可知數列{an}是首項為1、公比為的等比數列，計算即得結論．【解答】解：：∵函數f（x）滿足f（x）=3f（x+2），∴f（x+2）=f（x），即函數向右平移2個單位，最大值變為原來的，又∵當x∈[0，2）時，f（x）=﹣x2+2x，∴a1=f（1）=1，∴數列{an}是首項為1、公比為的等比數列，∴Sn=∈．故選：A．10.若集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|x（x﹣1）=0}，則M∩N=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1}參考答案：D【考點】1E：交集及其運算．【分析】解一元二次方程求出N，再利用兩個集合的交集的定義求出M∩N．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1，2}，N={x|x（x﹣1）=0}={0，1}，∴M∩N={﹣1，0，1，2}∩{0，1}={0，1}，故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知單調遞減數列的前項和為，，且，則_____.參考答案：【分析】根據，再寫出一個等式：，利用兩等式判斷并得到等差數列的通項，然后求值.【詳解】當時，，∴．當時，，①，②①②，得，化簡得，或，∵數列是遞減數列，且，∴舍去．∴數列是等差數列，且，公差，故．【點睛】在數列中，其前項和為，則有：，利用此關系，可將與的遞推公式轉化為關于的等式，從而判斷的特點.12.函數y＝的定義域是______________.參考答案：{x|x≤0，且x≠－}13.設正數列的前項之和是，數列的前項之積是，若+=1，則數列中最接近2004的數是。參考答案：198014.如果函數在R上為奇函數,在上是增函數,且,試比較的大小關系是_________________________.參考答案：15.已知函數f（x）=且f（x0）=8，則x0=

，f（x）的值域為

．參考答案：4，（﹣6，+∞）．【考點】函數的零點與方程根的關系；函數的值域．【分析】當x0≤﹣3時，，當x0＞﹣3時，2x0=8，由此能求出f（x0）=8時，x0的值．當x≤﹣3時，f（x）=x2+2≥11，當x＞﹣3時，f（x）=2x＞﹣6．由此能求出f（x）的值域．【解答】解：∵函數f（x）=，且f（x0）=8，∴當x0≤﹣3時，，解得，不成立；當x0＞﹣3時，2x0=8，解得x0=4，成立．∴f（x0）=8時，x0=4．當x≤﹣3時，f（x）=x2+2≥11，當x＞﹣3時，f（x）=2x＞﹣6．∴f（x）的值域為（﹣6，+∞）．故答案為：4，（﹣6，+∞）．16.給出下列命題：

①存在實數,使；②存在實數，使；③函數是偶函數；④是函數的一條對稱軸方程；⑤若是第二象限的角，且，則；⑥在銳角三角形ABC中，一定有；

其中正確命題的序號是_

____。參考答案：③④⑥略17.已知長方體從同一頂點出發的三條棱的長分別為、、，則這個長方體的外接球的表面積為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x﹣y﹣5=0，∠B的平分線BN所在直線方程為x﹣2y﹣5=0．求：（1）頂點B的坐標；（2）直線BC的方程．參考答案：【考點】待定系數法求直線方程；兩條直線的交點坐標．【分析】（1）設B（x0，y0），由AB中點在2x﹣y﹣5=0上，在直線方程為x﹣2y+5=0，求出B的坐標；（2）求出A關于x﹣2y﹣5=0的對稱點為A′（x′，y′）的坐標，即可求出BC邊所在直線的方程．【解答】解：（1）設B（x0，y0），由AB中點在2x﹣y﹣5=0上，可得2?﹣﹣5=0即2x0﹣y0﹣1=0，聯立x0﹣2y0﹣5=0解得B（﹣1，﹣3）…（2）設A點關于x﹣2y+5=0的對稱點為A′（x′，y′），則有解得A′（，）…∴BC邊所在的直線方程為y+3=（x+1），即18x﹣31y﹣75=0…19.（14分）若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且對一切x，y＞0，滿足f（）=f（x）﹣f（y）（1）求f（1）的值，（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．參考答案：【考點】抽象函數及其應用；函數單調性的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】（1）利用賦值法即可求f（1）的值，（2）若f（6）=1，結合抽象函數將不等式f（x+3）﹣f（）＜2進行轉化，結合函數的單調性解不等式即可．【解答】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，令x=y=1，則有f（1）=f（1）﹣f（1），∴f（1）=0；（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2等價為不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），即f（）＜f（6），∵f（x）是（0，+∞）上的增函數，∴，解得﹣3＜x＜9，即不等式的解集為（﹣3，9）．【點評】本題主要考查抽象函數的應用，根據函數單調性將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．20.某服裝批發商場經營的某種服裝，進貨成本40元/件，對外批發價定為60元/件．該商場為了鼓勵購買者大批量購買，推出優惠政策：一次購買不超過50件時，只享受批發價；一次購買超過50件時，每多購買1件，購買者所購買的所有服裝可在享受批發價的基礎上，再降低0.1元/件，但最低價不低于50元/件．（1）問一次購買多少件時，售價恰好是50元/件？（2）設購買者一次購買件，商場的利潤為元（利潤=銷售總額－成本），試寫出函數的表達式．并說明在售價高于50元/件時，購買者一次購買多少件，商場利潤最大．參考答案：解：（1）設購買者一次購買x件，售價恰好是50元/件．由題知：

所以，購買者一次購買150件，售價恰好是50元/件.------3分（2）ks5u--------------------------7分售價高于50元/件時,ks5u若,則當時利潤最大為元;------8分若,則當時利潤最大為1562.5元.-------9分所以購買者一次購買125件，商場利潤最大．-------10分略21.（本題滿分14分）：已知直線與圓C：相交于兩點，弦的中點為。（1）實數的取值范圍以及直線方程（2）若弦，求圓的方程參考答案：22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）證明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（1）由線面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，進而∠APB是PB與平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由線面垂直得CD⊥PA，由條件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能證明AE⊥平面PCD．（3）過點E作EM⊥PD，AM在平面PCD內的射影是EM，則AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【解答】（1）解：在四棱錐P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB與平面PAD所成的角，在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，∴PB和平面PAD所成的角的大小為45°．（2）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，由條件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂線定理得CD⊥P