課時達標檢測（五十八）合情推理與演繹推理[小題對點練——點點落實]對點練(一)合情推理1．(1)已知a是三角形一邊的長，h是該邊上的高，則三角形的面積是eq\f(1,2)ah，如果把扇形的弧長l，半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為eq\f(1,2)lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，則(1)(2)兩個推理過程分別屬于()A．類比推理、歸納推理 B．類比推理、演繹推理C．歸納推理、類比推理 D．歸納推理、演繹推理解析：選A(1)由三角形的性質得到扇形的性質有相似之處，此種推理為類比推理；(2)由特殊到一般，此種推理為歸納推理，故選A.2．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．121 B．123C．231 D．211解析：選B令an＝an＋bn，則a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，從而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.3．下面圖形由小正方形組成，請觀察圖①至圖④的規律，并依此規律，寫出第n個圖形中小正方形的個數是()A．n(n＋1) B.eq\f(nn－1,2)C.eq\f(nn＋1,2) D．n(n－1)解析：選C由題圖知第1個圖形的小正方形個數為1，第2個圖形的小正方形個數為1＋2，第3個圖形的小正方形個數為1＋2＋3，第4個圖形的小正方形個數為1＋2＋3＋4，…，則第n個圖形的小正方形個數為1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).4．觀察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125，…，則52018的末四位數字為()A．3125 B．5625C．0625 D．8125解析：選B55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125，…，可得59與55的后四位數字相同，由此可歸納出5m＋4k與5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位數字相同，又2018＝4×503＋6，所以52018與55．(2018·山西孝義期末)我們知道：在平面內，點(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，通過類比的方法，可求得：在空間中，點(2,4,1)到直線x＋2y＋2z＋3＝0的距離為()A．3 B．5C.eq\f(5\r(21),7) D．3eq\r(5)解析：選B類比平面內點到直線的距離公式，可得空間中點(x0，y0，z0)到直線Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離公式為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))，則所求距離d＝eq\f(|2＋2×4＋2×1＋3|,\r(12＋22＋22))＝5，故選B.6.如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個小三角形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到7個小三角形，稱為第二次操作；再將其中一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到10個小三角形，稱為第三次操作……根據以上操作，若要得到100個小三角形，則需要操作的次數是________．解析：由題意可知，第一次操作后，三角形共有4個；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7個；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10個……由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1個．當3n＋1＝100時，解得n＝33.答案：337．以下數表的構造思路源于我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中的“楊輝三角形”.12345…3579…81216…2028…20132014201520164027402940318056806016116……該表由若干數字組成，從第二行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，表中最后一行僅有一個數，則這個數為____________．解析：觀察數列，可以發現規律：每一行都是一個等差數列，且第一行的公差為1，第二行的公差為2，第三行的公差為4，第四行的公差為8，…，第2015行的公差為22014，故第一行的第一個數為2×2－1，第二行的第一個數為3×20，第三行的第一個數為4×21，第四行的第一個數為5×22，…，第n行的第一個數為(n＋1)·2n－2，故第2016行(最后一行)僅有一個數為(1＋2016)×22014＝2017×22014.答案：2017×220148.如圖，將平面直角坐標系中的格點(橫、縱坐標均為整數的點)按如下規則標上數字標簽：原點處標0，點(1,0)處標1，點(1，－1)處標2，點(0，－1)處標3，點(－1，－1)處標4，點(－1,0)處標5，點(－1,1)處標6，點(0,1)處標7，依此類推，則標簽為20172的格點的坐標為____________．解析：因為點(1,0)處標1＝12，點(2,1)處標9＝32，點(3,2)處標25＝52，點(4,3)處標49＝72，依此類推得點(1009，1008)處標20172.答案：(1009,1008)對點練(二)演繹推理1．下面四個推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()A．大前提：無限不循環小數是無理數；小前提：π是無理數；結論：π是無限不循環小數B．大前提：無限不循環小數是無理數；小前提：π是無限不循環小數；結論：π是無理數C．大前提：π是無限不循環小數；小前提：無限不循環小數是無理數；結論：π是無理數D．大前提：π是無限不循環小數；小前提：π是無理數；結論：無限不循環小數是無理數解析：選B對于A，小前提與結論互換，錯誤；對于B，符合演繹推理過程且結論正確；對于C和D，大前提均錯誤．故選B.2．某人進行了如下的“三段論”：如果f′(x0)＝0，則x＝x0是函數f(x)的極值點，因為函數f(x)＝x3在x＝0處的導數值f′(0)＝0，所以x＝0是函數f(x)＝x3的極值點．你認為以上推理的()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．結論正確解析：選A若f′(x0)＝0，則x＝x0不一定是函數f(x)的極值點，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點，故大前提錯誤．3．正弦函數是奇函數，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數，以上推理()A．結論正確B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確解析：選C因為f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數，所以小前提不正確.4．(2018·湖北八校聯考)有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測：4號或5號選手得第一名；觀眾乙猜測：3號選手不可能得第一名；觀眾丙猜測：1,2,6號選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測：4,5,6號選手都不可能獲得第一名．比賽后發現沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結果，此人是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：選D若甲猜測正確，則4號或5號得第一名，那么乙猜測也正確，與題意不符，故甲猜測錯誤，即4號和5號均不是第一名；若乙猜測正確，則3號不可能得第一名，即1,2,4,5,6號選手中有一位獲得第一名，那么甲和丙中有一人也猜對比賽結果，與題意不符，故乙猜測錯誤；若丙猜測正確，那么乙猜測也正確，與題意不符，故僅有丁猜測正確，所以選D.5．在一次調查中，甲、乙、丙、丁四名同學的閱讀量有如下關系：甲、丙閱讀量之和與乙、丁閱讀量之和相同，甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和，丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和．那么這四名同學按閱讀量從大到小排序依次為____________．解析：因為甲、丙閱讀量之和等于乙、丁閱讀量之和，甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和，所以乙的閱讀量大于丙的閱讀量，甲的閱讀量大于丁的閱讀量，因為丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和，所以這四名同學按閱讀量從大到小排序依次為甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙[大題綜合練——遷移貫通]1．給出下面的數表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個數是1,3,5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和．寫出表4，驗證表4各行中的數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表n(n≥3)(不要求證明)．解：表4為13574812122032它的第1,2,3,4行中的數的平均數分別是4,8,16,32，它們構成首項為4，公比為2的等比數列．將這一結論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數列．2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于點D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).在四面體ABCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由．解：如圖所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜想，在四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).證明：如圖，連接BE并延長交CD于點F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.∵AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF.∴在Rt△ACD中eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).3．某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．解：(1)選擇②式，計算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下