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文檔簡介
2024屆湖南省安仁一中、資興市立中學高三3月份第一次模擬考試數學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答,超出答題區域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.2.已知復數滿足,則的值為()A. B. C. D.23.設全集集合,則()A. B. C. D.4.已知函數,,若對任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.5.已知,,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.6.已知△ABC中,.點P為BC邊上的動點,則的最小值為()A.2 B. C. D.7.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點,將與分別沿、向上折起,使、重合為點,則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.8.袋中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個小球,從袋子中一次性摸出兩個球,記下號碼并放回,如果兩個號碼的和是3的倍數,則獲獎,若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎的概率是()A. B. C. D.9.若實數、滿足,則的最小值是()A. B. C. D.10.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面,已知這三人都不會違約且無兩人同時到達,則甲第一個到、丙第三個到的概率是()A. B. C. D.11.設F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.12.下列不等式正確的是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數,令,,若,表示不超過實數的最大整數,記數列的前項和為,則_________14.若函數在區間上恰有4個不同的零點,則正數的取值范圍是______.15.在正方體中,已知點在直線上運動,則下列四個命題中:①三棱錐的體積不變;②;③當為中點時,二面角的余弦值為;④若正方體的棱長為2,則的最小值為;其中說法正確的是____________(寫出所有說法正確的編號)16.函數的極大值為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數.(1)求不等式的解集;(2)若存在實數,使得不等式成立,求實數的取值范圍.18.(12分)已知橢圓的左焦點為F,上頂點為A,直線AF與直線垂直,垂足為B,且點A是線段BF的中點.(I)求橢圓C的方程;(II)若M,N分別為橢圓C的左,右頂點,P是橢圓C上位于第一象限的一點,直線MP與直線交于點Q,且,求點P的坐標.19.(12分)已知函數,.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求函數的單調區間;(3)判斷函數的零點個數.20.(12分)已知.(1)當時,求不等式的解集;(2)若時不等式成立,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(1)當時,求不等式的解集;(2)的圖象與兩坐標軸的交點分別為,若三角形的面積大于,求參數的取值范圍.22.(10分)已知函數,.(1)若不等式的解集為,求的值.(2)若當時,,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先由題和拋物線的性質求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值,再利用雙曲線的定義可求得a的值,即可求得離心率.【詳解】由題意知,拋物線焦點F1,0,準線與x軸交點F'(-1,0),雙曲線半焦距c=1,設點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥拋物線的準線,從而PF⊥x軸,所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合,分析題目,畫出圖像,熟悉拋物線性質以及雙曲線的定義是解題的關鍵,屬于中檔題.2、C【解析】
由復數的除法運算整理已知求得復數z,進而求得其模.【詳解】因為,所以故選:C【點睛】本題考查復數的除法運算與求復數的模,屬于基礎題.3、A【解析】
先求出,再與集合N求交集.【詳解】由已知,,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查集合的基本運算,涉及到補集、交集運算,是一道容易題.4、C【解析】
對任意的總有恒成立,因為,對恒成立,可得,令,可得,結合已知,即可求得答案.【詳解】對任意的總有恒成立,對恒成立,令,可得令,得當,當,,故令,得當時,當,當時,故選:C.【點睛】本題主要考查了根據不等式恒成立求最值問題,解題關鍵是掌握不等式恒成立的解法和導數求函數單調性的解法,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.5、D【解析】
構造函數,利用導數求得的單調區間,由此判斷出的大小關系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數在上單調遞增,在上單調遞減.所以,且,即,所以.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用導數求函數的單調區間,考查化歸與轉化的數學思想方法,考查對數式比較大小,屬于中檔題.6、D【解析】
以BC的中點為坐標原點,建立直角坐標系,可得,設,運用向量的坐標表示,求得點A的軌跡,進而得到關于a的二次函數,可得最小值.【詳解】以BC的中點為坐標原點,建立如圖的直角坐標系,可得,設,由,可得,即,則,當時,的最小值為.故選D.【點睛】本題考查向量數量積的坐標表示,考查轉化思想和二次函數的值域解法,考查運算能力,屬于中檔題.7、A【解析】
由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體,設是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點睛】本題考查求球的體積,解題關鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.8、C【解析】
先確定摸一次中獎的概率,5個人摸獎,相當于發生5次試驗,根據每一次發生的概率,利用獨立重復試驗的公式得到結果.【詳解】從6個球中摸出2個,共有種結果,兩個球的號碼之和是3的倍數,共有摸一次中獎的概率是,5個人摸獎,相當于發生5次試驗,且每一次發生的概率是,有5人參與摸獎,恰好有2人獲獎的概率是,故選:.【點睛】本題主要考查了次獨立重復試驗中恰好發生次的概率,考查獨立重復試驗的概率,解題時主要是看清摸獎5次,相當于做了5次獨立重復試驗,利用公式做出結果,屬于中檔題.9、D【解析】
根據約束條件作出可行域,化目標函數為直線方程的斜截式,數形結合得到最優解,求出最優解的坐標,代入目標函數得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯立,得,可得點,由得,平移直線,當該直線經過可行域的頂點時,該直線在軸上的截距最小,此時取最小值,即.故選:D.【點睛】本題考查簡單的線性規劃,考查數形結合的解題思想方法,是基礎題.10、D【解析】
先判斷是一個古典概型,列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數,再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數,利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6種,其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙,共1種,所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選:D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.11、A【解析】
準確畫圖,由圖形對稱性得出P點坐標,代入圓的方程得到c與a關系,可求雙曲線的離心率.【詳解】設與軸交于點,由對稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心.,又點在圓上,,即.,故選A.【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時注意半徑還是直徑,優先考慮幾何法,避免代數法從頭至尾,運算繁瑣,準確率大大降低,雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題,需強化練習,才能在解決此類問題時事半功倍,信手拈來.12、D【解析】
根據,利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項,又由,所以.故選D.【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象與性質,以及對數的比較大小問題,其中解答熟記三角函數與對數函數的性質是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】
根據導數的運算,結合數列的通項公式的求法,求得,,,進而得到,再利用放縮法和取整函數的定義,即可求解.【詳解】由題意,函數,且,,可得,,又由,可得為常數列,且,數列表示首項為4,公差為2的等差數列,所以,其中數列滿足,所以,所以,又由,可得數列的前n項和為,數列的前n項和為,所以數列的前項和為,滿足,所以,即,又由表示不超過實數的最大整數,所以.故答案為:4.【點睛】本題主要考查了函數的導數的計算,以及等差數列的通項公式,累加法求解數列的通項公式,以及裂項法求數列的和的綜合應用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.14、;【解析】
求出函數的零點,讓正數零點從小到大排列,第三個正數零點落在區間上,第四個零點在區間外即可.【詳解】由,得,,,,∵,∴,解得.故答案為:.【點睛】本題考查函數的零點,根據正弦函數性質求出函數零點,然后題意,把正數零點從小到大排列,由于0已經是一個零點,因此只有前3個零點在區間上.由此可得的不等關系,從而得出結論,本題解法屬于中檔題.15、①②④【解析】
①∵,∴平面
,得出上任意一點到平面的距離相等,所以判斷命題①;②由已知得出點P在面上的射影在上,根據線面垂直的判定和性質或三垂線定理,可判斷命題②;③當為中點時,以點D為坐標原點,建立空間直角系,如下圖所示,運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判斷命題③;④過作平面交于點,做點關于面對稱的點,使得點在平面內,根據對稱性和兩點之間線段最短,可求得當點在點時,在一條直線上,取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵,∴平面
,所以上任意一點到平面的距離相等,所以三棱錐的體積不變,所以①正確;
②在直線上運動時,點P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正確;③當為中點時,以點D為坐標原點,建立空間直角系,如下圖所示,設正方體的棱長為2.則:,,所以,設面的法向量為,則,即,令,則,設面的法向量為,,即,,由圖示可知,二面角是銳二面角,所以二面角的余弦值為,所以③不正確;④過作平面交于點,做點關于面對稱的點,使得點在平面內,則,所以,當點在點時,在一條直線上,取得最小值.因為正方體的棱長為2,所以設點的坐標為,,,所以,所以,又所以,所以,,,故④正確.
故答案為:①②④.【點睛】本題考查空間里的線線,線面,面面關系,幾何體的體積,在求解空間里的兩線段的和的最小值,仍可以運用對稱的思想,兩點之間線段最短進行求解,屬于難度題.16、【解析】
對函數求導,根據函數單調性,即可容易求得函數的極大值.【詳解】依題意,得.所以當時,;當時,.所以當時,函數有極大值.故答案為:.【點睛】本題考查利用導數研究函數的性質,考查運算求解能力以及化歸轉化思想,屬基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)將函數的解析式表示為分段函數,然后分、、三段求解不等式,綜合可得出不等式的解集;(2)求出函數的最大值,由題意得出,解此不等式即可得出實數的取值范圍.【詳解】.(1)當時,由,解得,此時;當時,由,解得,此時;當時,由,解得,此時.綜上所述,不等式的解集;(2)當時,函數單調遞增,則;當時,函數單調遞減,則,即;當時,函數單調遞減,則.綜上所述,函數的最大值為,由題知,,解得.因此,實數的取值范圍是.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解,同時也考查了絕對值不等式中的參數問題,考查分類討論思想的應用,考查運算求解能力,屬于中等題.18、(I).(II)【解析】
(I)寫出坐標,利用直線與直線垂直,得到.求出點的坐標代入,可得到的一個關系式,由此求得和的值,進而求得橢圓方程.(II)設出點的坐標,由此寫出直線的方程,從而求得點的坐標,代入,化簡可求得點的坐標.【詳解】(I)∵橢圓的左焦點,上頂點,直線AF與直線垂直∴直線AF的斜率,即①又點A是線段BF的中點∴點的坐標為又點在直線上∴②∴由①②得:∴∴橢圓的方程為.(II)設由(I)易得頂點M、N的坐標為∴直線MP的方程是:由得:又點P在橢圓上,故∴∴∴或(舍)∴∴點P的坐標為【點睛】本小題主要考查直線和圓錐曲線的位置關系,考查兩直線垂直的條件,考查向量數量積的運算.屬于中檔題.在解題過程中,首先閱讀清楚題意,題目所敘述的坐標、所敘述的直線是怎么得到的,向量的數量積對應的坐標都有哪一些,應該怎么得到,這些在讀題的時候需要分析清楚.19、(1)(2)答案見解析(3)答案見解析【解析】
(1)設曲線在點,處的切線的斜率為,可求得,,利用直線的點斜式方程即可求得答案;(2)由(Ⅰ)知,,分時,,三類討論,即可求得各種情況下的的單調區間為;(3)分與兩類討論,即可判斷函數的零點個數.【詳解】(1),,設曲線在點,處的切線的斜率為,則,又,曲線在點,處的切線方程為:,即;(2)由(1)知,,故當時,,所以在上單調遞增;當時,,;,,;的遞減區間為,遞增區間為,;當時,同理可得的遞增區間為,遞減區間為,;綜上所述,時,單調遞增為,無遞減區間;當時,的遞減區間為,遞增區間為,;當時,的遞增區間為,遞減區間為,;(3)當時,恒成立,所以無零點;當時,由,得:,只有一個零點.【點睛】本題考查利用導數研究曲線上某點的切線方程,利用導數研究函數的單調性,考查分類討論思想與推理、運算能力,屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】分析:(1)將代入函數解析式,求得,利用零
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