專題01二次函數幾何定義一、知識導航1．考向分析：我們已經知道二次函數的圖像是拋物線，一種特別的曲線，其本身還具有這樣的性質：拋物線上的任意一點到平面中某個定點和某條定直線的距離始終相等．這個點稱為拋物線的焦點，這條直線稱為拋物線的準線，本專題將討論一些與拋物線的焦點和準線相關的問題．焦點和準線屬于高中內容，高中內容下放也是中考中所常見的．2．定義：二次函數的圖像是拋物線，它也可以這樣定義：若一個動點到定點的距離與它到定直線的距離相等，則動點形成的圖形就叫拋物線．3．模型：（1）已知動點到定點的距離與到定直線的距離相等，請寫出動點形成的拋物線的解析式．解：由題意得：，過點M作MB⊥直線y=-4，垂足記為B點，則MB=，∴MA=MB，即，兩邊平方，化簡得：．故M點形成的拋物線的解析式為．（2）若點的坐標是，在（1）中求得的拋物線上是否存在點，使得最短？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．解：過P點做PQ⊥直線y=-4，則PA=PQ，故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短．過點D作直線y=-4的垂線，與拋物線交點即為P點，垂足為Q，此時PQ+PD最短，PA+PQ=PD+PQ=DQ=8，為最小值，此時P點坐標為．

4．模型總結：結論1：對于拋物線，焦點坐標為，準線為直線．焦點一般會用字母F表示．而且二次項系數很多時候是，只是為了焦點坐標便于計算．至于形如的拋物線可化為頂點式，然后通過由平移來確定焦點和準線．結論2：如下圖，FM⊥FN．證明：設，，則，∴，∴FM⊥FN．結論3：取PQ中點E，作EH⊥x軸交x軸于H點，則PH⊥QH．證明：倍長中線證兩次全等．結論4：記MN與y軸交于點G，則．二、典例精析例一：如圖，點為拋物線上一動點．（1）若拋物線是由拋物線通過圖像平移得到的，請寫出平移的過程；（2）若直線經過軸上一點，且平行于軸，點的坐標為，過點作于．①問題探究：如圖一，在對稱軸上是否存在一定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由．②問題解決：如圖二，若點的坐標為（1，5），求的最小值．【分析】（1）向右平移2個單位，向上平移1個單位；（2）①直線l即為拋物線的準線，所求F點為焦點．考慮特殊位置，當P點在頂點時，可得F點坐標為（0，1）或（0，-1）（舍掉），以下證明P在拋物線任意位置，均滿足PF=PM：設P點坐標為，則，又，∴PF=PM，∴當F點坐標為（0，1）時，PM=PF恒成立．②由①可得PQ+PF=PQ+PM，過點Q作QM⊥x軸，與x軸交點即為M點，與拋物線交點為P點，此時PQ+PM=QM=6，故QP+PF的最小值為6．

三、中考真題演練1．（2023·湖北鄂州·中考真題）某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結論不需要證明）．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，叫做拋物線的準線方程．準線l與y軸的交點為H．其中原點O為的中點，．例如，拋物線，其焦點坐標為，準線方程為l：，其中，．

【基礎訓練】(1)請分別直接寫出拋物線的焦點坐標和準線l的方程：___________，___________；【技能訓練】(2)如圖2，已知拋物線上一點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標；【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線的焦點為F，準線方程為l．直線m：交y軸于點C，拋物線上動點P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請直接寫出的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續探究還發現：若將拋物線平移至．拋物線內有一定點，直線l過點且與x軸平行．當動點P在該拋物線上運動時，點P到直線l的距離始終等于點P到點F的距離（該結論不需要證明）．例如：拋物線上的動點P到點的距離等于點P到直線l：的距離．請閱讀上面的材料，探究下題：(4)如圖4，點是第二象限內一定點，點P是拋物線上一動點，當取最小值時，請求出的面積．【答案】(1)，；(2)；(3)(4)【分析】（1）根據題中所給拋物線的焦點坐標和準線方程的定義求解即可；（2）利用兩點間距離公式結合已知條件列式整理得，然后根據，求出，進而可得，問題得解；（3）過點作直線交于點，過點作準線交于點，結合題意和（1）中結論可知，，根據兩點之間線段最短可得當，，三點共線時，的值最小；待定系數法求直線的解析式，求得點的坐標為，根據點是直線和直線m的交點，求得點的坐標為，即可求得和的值，即可求得；（4）根據題意求得拋物線的焦點坐標為，準線l的方程為，過點作準線交于點，結合題意和（1）中結論可知，則，根據兩點之間線段最短可得當，，三點共線時，的值最小；求得，即可求得的面積．【詳解】（1）解：∵拋物線中，∴，，∴拋物線的焦點坐標為，準線l的方程為，故答案為：，；（2）解：由（1）知拋物線的焦點F的坐標為，∵點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，∴，整理得：，又∵，∴解得：或（舍去），∴，∴點P的坐標為；（3）解：過點作直線交于點，過點作準線交于點，結合題意和（1）中結論可知，，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當，，三點共線時，，即此刻的值最小；∵直線與直線垂直，故設直線的解析式為，將代入解得：，∴直線的解析式為，∵點是直線和拋物線的交點，令，解得：，（舍去），故點的坐標為，∴，∵點是直線和直線m的交點，令，解得：，故點的坐標為，∴，．即的最小值為．（4）解：∵拋物線中，∴，，∴拋物線的焦點坐標為，準線l的方程為，過點作準線交于點，結合題意和（1）中結論可知，則，如圖：

若使得取最小值，即的值最小，故當，，三點共線時，，即此刻的值最小；如圖：

∵點的坐標為，準線，∴點的橫坐標為，代入解得，即，，則的面積為．【點睛】本題考查了兩點間距離公式結合，兩點之間線段最短，三角形的面積，一次函數的交點坐標，一次函數與拋物線的交點坐標等，解決問題的關鍵是充分利用新知識的結論．2．某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．其中原點O為FH的中點，FH=2OF=，例如，拋物線y＝x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．

(1)【基礎訓練】請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程：，．(2)【技能訓練】如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點P到準線l的距離為6，求點P的坐標；(3)【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升華】古希臘數學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：＝＝．后人把這個數稱為“黃金分割”把點C稱為線段AB的黃金分割點．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點F（0，1），準線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側的拋物線上一點．當＝時，請直接寫出△HME的面積值．【答案】(1)（0，），，(2)，4）或（，4）(3)(4)或【分析】（1）根據交點和準線方程的定義求解即可；（2）先求出點P的縱坐標為4，然后代入到拋物線解析式中求解即可；（3）如圖所示，過點B作BD⊥y軸于D，過點A作AE⊥y軸于E，證明△FDB∽△FHC，推出，則，點B的縱坐標為，從而求出，證明△AEF∽△BDF，即可求出點A的坐標為（，），再把點A的坐標代入拋物線解析式中求解即可；（4）如圖，當E為靠近點F的黃金分割點的時候，過點M作MN⊥l于N，則MN=MF，先證明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，設點M的坐標為（m，），則，求出，然后根據黃金分割點的定義求出，則；同理可求當點E是靠近H的黃金分割點時△HME的面積．【詳解】（1）解：由題意得拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程分別為（0，），，故答案為：（0，），，（2）解：由題意得拋物線y＝x2的準線方程為，∵點P到準線l的距離為6，∴點P的縱坐標為4，∴當時，，解得，∴點P的坐標為（，4）或（，4）；（3）解：如圖所示，過點B作BD⊥y軸于D，過點A作AE⊥y軸于E，由題意得點F的坐標為F（0，）直線l的解析式為：y＝﹣，∴，，∴△FDB∽△FHC，∴，∵BC=2BF，∴CF=3BF，∴，∴，∴，∴點B的縱坐標為，∴，解得（負值舍去），∴，∵，∴△AEF∽△BDF，∴，∴，∵，∴，∴EF=2，∴，∴點A的坐標為（，），∴，∴，∴，解得（負值舍去）；（4）解：如圖，當E為靠近點F的黃金分割點的時候，過點M作MN⊥l于N，則MN=MF，∵在Rt△MNH中，，∴∠MHN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴NH=MN，設點M的坐標為（m，），∴，∴，∴HN=2，∵點E是靠近點F的黃金分割點，∴，∴；同理當E時靠近H的黃金分割點點，，∴，∴，綜上所述，或【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，相似三角形的性質與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質與判定，黃金分割等，正確理解題意是解題的關鍵．3．探照燈的內部可以看成是拋物線的一部分經過旋轉得到的拋物曲面．其原理是過某一特殊點的光線，經拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對稱軸，我們稱這個特殊點為拋物線的焦點．若拋物線的表達式為，則拋物線的焦點為．如圖，在平面直角坐標系中，某款探照燈拋物線的表達式為，焦點為F．(1)點F的坐標是___________；(2)過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，已知沿射線FA方向射出的光線，反射后沿射線射出，所在直線與x軸的交點坐標為．①畫出沿射線方向射出的光線的反射光線；②所在直線與x軸的交點坐標為___________．【答案】(1)(2)①見解析，②【分析】（1）根據題意得出，即可確定點F的坐標；（2）①根據題意確定軸，得出，經拋物線反射后所得的光線平行于y軸，軸，據此作出平行線即可；②設直線的解析式為，利用待定系數法確定直線AB的解析式，然后與聯立求解即可得出結果．【詳解】（1）解：根據題意得，，∴，∴，故答案為：；（2）由題意可知拋物線的對稱軸是y軸，∴經拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對稱軸，即經拋物線反射后所得的光線平行于y軸，∴軸∵所在的直線與x軸的交點坐標為，∴A點的橫坐標為4，縱坐標為，∴，①經拋物線反射后所得的光線平行于y軸，∴軸∴畫出沿射線方向射出的光線的反射光線，如下圖所示：②設直線的解析式為，把、代入，得，解得：∴直線的解析式為，由題意可知，直線與拋物線交于A、B兩點，把代入整理得，解得：，，∵點B在y軸的左側，∴B點的橫坐標為，∵軸，∴所在直線與x軸的交點坐標為，故答案為：．【點睛】題目主要考查二次函數的應用及利用待定系數法求一次函數解析式，一次函數與二次函數的綜合問題等，理解題意，綜合運用一次函數與二次函數的性質是解題關鍵．4．已知拋物線方程為，點是拋物線上任意一點．（1）我們稱為拋物線的焦點，直線:為拋物線的準線，連接線段，作于點．求證：；（2）已知拋物線過點．①求拋物線的解析式，并求拋物線的焦點坐標；②將繞焦點順時針旋轉，得到點，求周長的最小值；③直線：與拋物線交于、兩點，點是坐標原點，．求證：直線過定點．【答案】（1）見解析；（2）①，點；②11；③見解析【分析】（1），而，即可求解；（2）①將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得，進而求解；②求出，當、、三點共線時，此時周長最小值，即可求解；③聯立與并整理得：，則；再證明，即，得到，解得，即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，設點，則，則，而，（2）①將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得，故拋物線的表達式為，則點；②如圖2，將圖形向下平移1個單位，此時點，對應點，再將該圖形向上平移1個單位，則此時點的坐標為，即為題干要求點的位置，即點，由（1）知，，而為常數，故當、、三點共線時，為最小，此時周長最小值；③如圖3，聯立與并整理得：，則，過點、分別作軸的垂線，垂足分別為、，，，，，即，則，即，整理得：，解得，故直線的表達式為，當時，，故直線過定點．【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、解直角三角形、圖形的平移和旋轉、新定義等，有一定的綜合性，難度較大．5．如圖，在頂點為P的拋物線的對稱軸l上取，過A作交拋物線于B,C兩點(B在C左側)，點和點A關于點P對稱，過作，又分別過B,C作，垂足為E,D，在這里我們把點A叫拋物線的焦點，BC叫拋物線的直徑，矩形BCDE叫拋物線的焦點矩形．(1)直接寫出拋物線的焦點坐標及其直徑；(2)求拋物線的焦點坐標及其直徑；(3)已知拋物線的直徑為，求a的值；(4)①已知拋物線的焦點矩形的面積為2，求a的值；②直接寫出拋物線的焦點矩形與拋物線有兩個公共點時m的取值范圍．

【答案】(1)(0，1)，4；(2)(3，3)，4；(3)；(4)①；②或【分析】(1)根據題意可以求得拋物線的焦點坐標及其直徑；(2)根據題意可以求得拋物線的焦點坐標及其直徑；(3)根據題意和拋物線的直徑為，列方程即求a的值；(4)①根據題意和拋物線的焦點矩形的面積為2，列方程即求的值；②根據(2)中的結果和圖形可以求得拋物線的焦點矩形與拋物線有兩個公共點時m的取值范圍．【詳解】(1)∵拋物線中，，，，∴此拋物線焦點的橫坐標是，，縱坐標是：，∴拋物線的焦點坐標為(0，1)，將代入得：，∴此拋物線的直徑是：；(2)∵拋物線中，，，，∴此拋物線焦點的橫坐標是，，縱坐標是：，∴拋物線的焦點坐標為(3，3)，將代入得：，∴此拋物線的直徑是：；(3)∵拋物線的焦點為A(，)，∴，解得：，∴此拋物線的直徑是：；解得：，∴的值是；(4)設拋物線解析式為：，①由(3)得，BC，焦點為A(，)，頂點為P(，)，∴，根據題意：，解得：，∴的值是；②當或時，有兩個公共點，理由：由(2)知拋物線的焦點矩形頂點坐標分別為：B(1，3)，C(5，3)，E(1，1)，D(5，1)，當過B(1，3)時，解得：或(舍去)，過C(5，3)時，或(舍去)，由圖可知，公共點個數隨m的變化關系為：當時，無公共點；當時，1個公共點；當時，2個公共點；當時，3個公共點；當時，有2個公共