專題22銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（60題）一、解答題1．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點(diǎn)D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)H．經(jīng)測量，點(diǎn)A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結(jié)果精確到）．2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）渝昆高速鐵路的建成，將會(huì)顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長江公鐵兩用大橋（如圖），橋面采用國內(nèi)首創(chuàng)的公鐵平層設(shè)計(jì)．為測量左橋墩底到橋面的距離，如圖．在橋面上點(diǎn)處，測得到左橋墩的距離米，左橋墩所在塔頂?shù)难鼋牵髽蚨盏椎母┙牵蟮拈L度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，）

3．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達(dá)處，再由處乘坐登山纜車到達(dá)山頂處．已知點(diǎn)A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）

(1)求登山纜車上升的高度；(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達(dá)山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）4．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础保疤m州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)．具體過程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點(diǎn)共線，．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

5．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：．）

6．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

7．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量奇樓的高度，測量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P點(diǎn)，測得奇樓頂端A的俯角為，再將無人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點(diǎn)Q，測得奇樓底端B的俯角為，求奇樓的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，）

8．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖所示是消防員攀爬云梯到小明家的場景．已知，，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的仰角為，則樓的高度為多少？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）

9．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)，當(dāng)兩臂，兩臂夾角時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，)

10．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）我國航天事業(yè)捷報(bào)頻傳，2023年5月30日，被譽(yù)為“神箭”的長征二號(hào)F運(yùn)載火箭托舉神舟十六號(hào)載人飛船躍入蒼穹中國空間站應(yīng)用與發(fā)展階段首次載人發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功，如圖（九），有一枚運(yùn)載火箭從地面處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)處時(shí)，地面處的雷達(dá)站測得距離是，仰角為．，火箭直線到達(dá)處，此時(shí)地面處雷達(dá)站測得處的仰角為．求火箭從到處的平均速度（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）

11．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點(diǎn)，支架交于點(diǎn)，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數(shù)．(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在発子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）12．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）教室里的投影儀投影時(shí)，可以把投影光線，及在黑板上的投影圖像高度抽象成如圖所示的，．黑板上投影圖像的高度，與的夾角，求的長．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）

13．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）為弘揚(yáng)革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學(xué)生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀(jì)念碑的通高（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實(shí)踐小組進(jìn)行測量．他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)用測角儀測得碑頂?shù)难鼋菫椋邳c(diǎn)處測得碑頂?shù)难鼋菫椋阎瑴y角儀的高度是（、、在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的通高．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）

14．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）烽燧即烽火臺(tái)，是古代軍情報(bào)警的一種措施，史冊(cè)記載，夜間舉火稱“烽”，白天放煙稱“燧”．克孜爾尕哈烽燧是古絲綢之路北道上新疆境內(nèi)時(shí)代最早、保存最完好、規(guī)模最大的古代烽燧（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測量該烽燧的高度，如圖2，無人機(jī)飛至距地面高度米的A處，測得烽燧的頂部C處的俯角為，測得烽燧的底部B處的俯角為，試根據(jù)提供的數(shù)據(jù)計(jì)算烽燧的高度．（參數(shù)據(jù)：，，，，，）

15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）某實(shí)踐探究小組想測得湖邊兩處的距離，數(shù)據(jù)勘測組通過勘測，得到了如下記錄表：實(shí)踐探究活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容

測量湖邊A、B兩處的距離成員

組長：×××

組員：××××××××××××測量工具

測角儀，皮尺等測量示意圖

說明：因?yàn)楹匒、B兩處的距離無法直接測量，數(shù)據(jù)勘測組在湖邊找了一處位置C．可測量C處到A、B兩處的距離．通過測角儀可測得的度數(shù)．測量數(shù)據(jù)角的度數(shù)邊的長度米米數(shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認(rèn)真分析．他們發(fā)現(xiàn)不需要勘測組的全部數(shù)據(jù)就可以計(jì)算出A、B之間的距離．于是數(shù)據(jù)處理組寫出了以下過程，請(qǐng)補(bǔ)全內(nèi)容．已知：如圖，在中，．_________．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）

求：線段的長．（為減小結(jié)果的誤差，若有需要，取，取，取進(jìn)行計(jì)算，最后結(jié)果保留整數(shù)．）16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝避陽篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷長為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當(dāng)太陽光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

17．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳為起點(diǎn)，沿途修建、兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂處，中途設(shè)計(jì)了一段與平行的觀光平臺(tái)為．索道與的夾角為，與水平線夾角為，兩處的水平距離為，，垂足為點(diǎn)．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)在同一水平線上）

(1)求索道的長（結(jié)果精確到）；(2)求水平距離的長（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）18．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）鄂州市蓮花山是國家級(jí)風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨(dú)特，是蓮花山風(fēng)景區(qū)的核心景點(diǎn)，深受全國各地旅游愛好者的青睞．今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶祝活動(dòng)．如圖2，景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備從元明塔的點(diǎn)G處掛一條大型豎直條幅到點(diǎn)E處，掛好后，小明進(jìn)行實(shí)地測量，從元明塔底部F點(diǎn)沿水平方向步行30米到達(dá)自動(dòng)扶梯底端A點(diǎn)，在A點(diǎn)用儀器測得條幅下端E的仰角為；接著他沿自動(dòng)扶梯到達(dá)扶梯頂端D點(diǎn)，測得點(diǎn)A和點(diǎn)D的水平距離為15米，且；然后他從D點(diǎn)又沿水平方向行走了45米到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測得條幅上端G的仰角為．（圖上各點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，且G，C，B共線，F(xiàn)，A，B共線，G、E、F共線，，）．

(1)求自動(dòng)扶梯的長度；(2)求大型條幅的長度．（結(jié)果保留根號(hào)）19．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為多少km？20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）超速容易造成交通事故．高速公路管理部門在某隧道內(nèi)的兩處安裝了測速儀，該段隧道的截面示意圖如圖所示，圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，且在同一直線上．點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，且，在處測得點(diǎn)的俯角為，在處測得點(diǎn)的俯角為，小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．

(1)求兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到）；(2)若該隧道限速80千米/小時(shí)，判斷小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)是否超速？并通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）21．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為點(diǎn)和點(diǎn)，行進(jìn)路線為．點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向處，點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東方向，行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．

(1)求行進(jìn)路線和所在直線的夾角的度數(shù)；(2)求檢查點(diǎn)和之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．22．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學(xué)和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時(shí)，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對(duì)這把椅子的好奇心，就想出個(gè)問題考考同學(xué)小余，小陳同學(xué)先測量，根據(jù)測量結(jié)果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時(shí)她問小余同學(xué)，你能算出靠背頂端點(diǎn)距地面（）的高度是多少嗎？請(qǐng)你幫小余同學(xué)算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

23．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）無人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無人機(jī)測最大樓的高度，無人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測得點(diǎn)P距地面上A點(diǎn)80米，點(diǎn)A處俯角為，樓頂C點(diǎn)處的俯角為，已知點(diǎn)A與大樓的距離為70米（點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）

24．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養(yǎng)殖場捕撈海產(chǎn)品，經(jīng)測量，A在燈塔C的南偏西方向，B在燈塔C的南偏東方向，且在A的正東方向，米．

(1)求B養(yǎng)殖場與燈塔C的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；(2)甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米/每分鐘，請(qǐng)計(jì)算說明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達(dá)B處？（參考數(shù)據(jù)：，）25．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠(yuǎn)處的角樓、城門樓、龍堤、南關(guān)橋等景觀遙相呼應(yīng)．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向處，南關(guān)橋C在城門樓B的正南方向處．在明珠大劇院P測得角樓A在北偏東方向，南關(guān)橋C在南偏東方向（點(diǎn)A，B，C，P四點(diǎn)在同一平面內(nèi)）．求明珠大劇院到龍堤的距離（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

26．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測量風(fēng)葉的長度進(jìn)行了實(shí)地測量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干疊合時(shí)，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風(fēng)葉的視角．

(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請(qǐng)利用公式計(jì)算；(2)求風(fēng)葉的長度．27．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）2023年5月30日，“神舟十六號(hào)”航天飛船成功發(fā)射．如圖，飛船在離地球大約的圓形軌道上，當(dāng)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方F點(diǎn)時(shí)，從中直接看到地球表面一個(gè)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是點(diǎn)Q．在中，．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求的值（精確到）；(2)在中，求的長（結(jié)果取整數(shù)）．28．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量古樹的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端在同一水平線上的點(diǎn)A出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再沿水平方向繼續(xù)前進(jìn)一段距離后到達(dá)點(diǎn)．在點(diǎn)處測得古樹的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹的高度（參考數(shù)據(jù)：，，，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）．

29．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動(dòng)河湖名單（2022－2025年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選．在推進(jìn)實(shí)施母親河復(fù)蘇行動(dòng)中，需要砌筑各種駁岸（也叫護(hù)坡）．某校“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動(dòng)報(bào)告．請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)報(bào)告計(jì)算和的長度（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）．課題母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算調(diào)查方式資料查閱、水利部門走訪、實(shí)地查看了解功能駁岸是用來保護(hù)河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構(gòu)筑物駁岸剖面圖

相關(guān)數(shù)據(jù)及說明，圖中，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，與均與地面平行，岸墻于點(diǎn)A，，，，，計(jì)算結(jié)果交流展示30．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在某交叉路口，一貨車在道路①上點(diǎn)A處等候“綠燈”一輛車從被山峰遮擋的道路②上的點(diǎn)B處由南向北行駛．已知，，線段的延長線交直線于點(diǎn)D．(1)求的大小；(2)若在點(diǎn)B處測得點(diǎn)O在北偏西方向上，其中米．問該轎車至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車？（當(dāng)該轎車行駛至點(diǎn)D處時(shí)，正好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車）31．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長度為30米，在坡頂B處測得教學(xué)樓的樓頂C的仰角，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處測得C的仰角，的延長線交水平線于點(diǎn)D，求的長（結(jié)果保留根號(hào)）．

32．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡長米，坡角，小華在C處測得建筑物頂端A的仰角為，在D處測得建筑物頂端A的仰角為．（已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，B，C在同一水平線上）

(1)求點(diǎn)D到地面的距離；(2)求該建筑物的高度．33．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺(tái)，已知，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．

某學(xué)習(xí)小組在觀景臺(tái)C處測得塔頂部B的仰角為，在觀景臺(tái)D處測得塔頂部B的仰角為．(1)求的長；(2)設(shè)塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長（結(jié)果保留根號(hào)）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．34．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，燈塔A周圍9海里內(nèi)有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行6海里后到達(dá)C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：）

35．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）永州市道縣陳樹湘紀(jì)念館中陳列的陳樹湘雕像高2.9米（如圖1所示），寓意陳樹湘為中國革命“斷腸明志”犧牲時(shí)的年齡為29歲．如圖2，以線段代表陳樹湘雕像，一參觀者在水平地面上D處為陳樹湘雕拍照，相機(jī)支架高0.9米，在相機(jī)C處觀測雕像頂端A的仰角為，然后將相機(jī)架移到處拍照，在相機(jī)M處觀測雕像頂端A的仰角為，求D、N兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）36．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）為了滿足市民的需求，我市在一條小河兩側(cè)開辟了兩條長跑鍛煉線路，如圖；①；②．經(jīng)勘測，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正西方千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正南方，點(diǎn)E在點(diǎn)B的南偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：

(1)求AD的長度．（結(jié)果精確到1千米）(2)由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？37．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，為長度固定的支架，支架在處與立柱連接（垂直于，垂足為），在處與籃板連接（所在直線垂直于），是可以調(diào)節(jié)長度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點(diǎn)處的螺栓改變的長度，使得支架繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知，測得時(shí)，點(diǎn)離地面的高度為．調(diào)節(jié)伸縮臂，將由調(diào)節(jié)為，判斷點(diǎn)離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：）

38．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們?cè)诟呖諟y量距離和高度．圓圓要測量教學(xué)樓的高度，借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測得教學(xué)樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．

(1)求教學(xué)樓的高度．(2)若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時(shí)，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線．39．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在一處坡角為的坡地新安裝了一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖1．某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測量，圖2為測量示意圖．已知斜坡長16米，在地面點(diǎn)處測得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，利用無人機(jī)在點(diǎn)的正上方53米的點(diǎn)處測得點(diǎn)的俯角為，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）

40．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，某人的一器官后面處長了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術(shù)，檢測射線可避開器官從側(cè)面測量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離．方案如下：課題檢測新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖

說明如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為．測量數(shù)據(jù)，，請(qǐng)你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）41．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長度為，當(dāng)擺角恰為時(shí)，座板離地面的高度為，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角為，求座板距地面的最大高度為多少？（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

42．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成加如圖2所示的示意圖，已知點(diǎn)，，，均在同一直線上，，測得．（結(jié)果保小數(shù)點(diǎn)后一位）

(1)連接，求證：；(2)求雕塑的高（即點(diǎn)E到直線BC的距離）．（參考數(shù)據(jù)：）43．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）某綜合實(shí)踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡易測角儀，如圖1所示．

(1)如圖2，在點(diǎn)觀察所測物體最高點(diǎn)，當(dāng)量角器零刻度線上兩點(diǎn)均在視線上時(shí)，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式示．(2)如圖3，為了測量廣場上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點(diǎn)分別測得氣球的仰角為，為，地面上點(diǎn)在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）44．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）漁灣是國家“AAAA”級(jí)風(fēng)景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋處出發(fā)，沿著坡角為的山坡向上走了到達(dá)處的三龍?zhí)镀俨迹傺仄陆菫榈纳狡孪蛏献吡说竭_(dá)處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌奶幍木趴讟虻教幍亩執(zhí)镀俨忌仙母叨葹槎嗌倜祝浚ńY(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）

45．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質(zhì)量，市政府在三角形花園邊上修建一個(gè)四邊形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向170米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)都在點(diǎn)的正北方向，長為100米，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向．

(1)求步道的長度．(2)點(diǎn)處有一個(gè)小商店，某人從點(diǎn)出發(fā)沿人行步道去商店購物，可以經(jīng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，也可以經(jīng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，請(qǐng)通過計(jì)算說明他走哪條路較近．結(jié)果精確到個(gè)位）（參考數(shù)據(jù)：）46．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離．

(1)身高的小杜，頭部高度為，他站在離攝像頭水平距離的點(diǎn)C處，請(qǐng)問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別．(2)身高的小若，頭部高度為，踮起腳尖可以增高，但仍無法被識(shí)別．社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為（如圖3），此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說明．（精確到，參考數(shù)據(jù)）47．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是同一水平線上的兩點(diǎn)，無人機(jī)從點(diǎn)豎直上升到點(diǎn)時(shí)，測得到點(diǎn)的距離為點(diǎn)的俯角為，無人機(jī)繼續(xù)豎直上升到點(diǎn)，測得點(diǎn)的俯角為．求無人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，．

48．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設(shè)備上增加一條管道，已知，，求管道的總長．

49．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．測算發(fā)射塔的高度背景素材某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠(yuǎn)處小山坡上發(fā)射塔的高度（如圖1）．他們通過自制的測傾儀（如圖2）在，，三個(gè)位置觀測，測傾儀上的示數(shù)如圖3所示．

經(jīng)討論，只需選擇其中兩個(gè)合適的位置，通過測量、換算就能計(jì)算發(fā)射塔的高度．問題解決任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個(gè)觀測位置：點(diǎn)_________和點(diǎn)_________獲取數(shù)據(jù)寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點(diǎn)之間的圖上距離．任務(wù)2推理計(jì)算計(jì)算發(fā)射塔的圖上高度．任務(wù)3換算高度樓房實(shí)際寬度為米，請(qǐng)通過測量換算發(fā)射塔的實(shí)際高度．注：測量時(shí)，以答題紙上的圖上距離為準(zhǔn)，并精確到1．50．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）為測量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過程如下：

(1)測量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長度可以直接測量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大小．如圖2，同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿與鉛垂線重合時(shí)，測得兩桿夾角的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的度數(shù)．請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．(2)測量山高同學(xué)們測得山坡的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)含角的（如圖3），量得．求山高．（，結(jié)果精確到1米）(3)測量改進(jìn)由于測量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場上，將直桿NP置于的頂端，當(dāng)與鉛垂線重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿，使點(diǎn)N，P，D共線，測得的度數(shù)，從而得到山頂仰角，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測得山頂仰角；畫一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高M(jìn)N為米，求山高．（結(jié)果用不含的字母表示）二、填空題51．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約______m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

52．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，將的∠AOB按圖擺放在一把刻度尺上，頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將的∠AOC放置在該尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為____cm（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：，，）

53．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則______度．

54．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在處用儀器測得賽場一宣傳氣球頂部處的仰角為，儀器與氣球的水平距離為20米，且距地面高度為1.5米，則氣球頂部離地面的高度是_________米（結(jié)果精確到0.1米，）．

55．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對(duì)地和地之間的一處垃圾填埋場進(jìn)行改造，把原來地去往地需要繞行到地的路線，改造成可以直線通行的公路．如圖，經(jīng)勘測，千米，，，則改造后公路的長是___________千米（精確到千米；參考數(shù)據(jù)：，，，）．

56．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測量一建筑物的高度，如圖，他們?cè)诮ㄖ锴暗钠降厣线x擇一點(diǎn)，在點(diǎn)和建筑物之間選擇一點(diǎn)，測得．用高的測角儀在處測得建筑物頂部的仰角為，在處測得仰角為，則該建筑物的高是_________．

57．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，無人機(jī)在空中處測得某校旗桿頂部的仰角為，底部的俯角為，無人機(jī)與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為___________．（，結(jié)果精確到0.1）

58．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實(shí)踐．如圖，無人機(jī)從地面的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，己知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為_____________米．（結(jié)果保留根號(hào)）

59．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，桔棒是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿米，，支架米，可以繞著點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B到水平地面的距離為___________米．（結(jié)果保留根號(hào)）

60．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．

專題22銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（60題）一、解答題1．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點(diǎn)D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)H．經(jīng)測量，點(diǎn)A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結(jié)果精確到）．【答案】樹的高度為【分析】由題意可知，，，易知，可得，進(jìn)而求得，利用即可求解．【詳解】解：由題意可知，，，則，∴，∵，，則，∴，∵，則，∴，∴，答：樹的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，得到是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）渝昆高速鐵路的建成，將會(huì)顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長江公鐵兩用大橋（如圖），橋面采用國內(nèi)首創(chuàng)的公鐵平層設(shè)計(jì)．為測量左橋墩底到橋面的距離，如圖．在橋面上點(diǎn)處，測得到左橋墩的距離米，左橋墩所在塔頂?shù)难鼋牵髽蚨盏椎母┙牵蟮拈L度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】的長度米【分析】上截取，使得，設(shè)，在中，，，則，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，上截取，使得，

∴，∵∴，設(shè)，在中，，∴又∴∴即米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達(dá)處，再由處乘坐登山纜車到達(dá)山頂處．已知點(diǎn)A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）

(1)求登山纜車上升的高度；(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達(dá)山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)登山纜車上升的高度(2)從山底A處到達(dá)山頂處大約需要【分析】（1）過B點(diǎn)作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求得的長，據(jù)此求解即可；（2）在中，求得的長，再計(jì)算得出答案．【詳解】（1）解：如圖，過B點(diǎn)作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，，，∴，∴，答：登山纜車上升的高度；（2）解：在中，，，∴，∴從山底A處到達(dá)山頂處大約需要：，答：從山底A處到達(dá)山頂處大約需要.【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础保疤m州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)．具體過程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點(diǎn)共線，．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】“龍”字雕塑的高度為．【分析】在和中，分別求得和的長，據(jù)此求解即可.【詳解】解：在中，，，∴，在中，，，∴，∴,答：“龍”字雕塑的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：．）

【答案】B處距離燈塔P大約有．【分析】在中，求出的長，再在中，求出即可．【詳解】解：設(shè)與燈塔P的正東方向相交于點(diǎn)C，根據(jù)題意，得，，；在中，∵，∴；在中，，∵，∴，答：B處距離燈塔P大約有．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用－方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．6．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長度為20米，，求斜坡的長．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】斜坡的長約為10米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，利用正弦函數(shù)求得，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的長約為10米．【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量奇樓的高度，測量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P點(diǎn)，測得奇樓頂端A的俯角為，再將無人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點(diǎn)Q，測得奇樓底端B的俯角為，求奇樓的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】【分析】延長，交的延長線于點(diǎn)C，根據(jù)題意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可．【詳解】解：延長，交的延長線于點(diǎn)C，則

由題意得，，，在中，，則∴，在中，，解得，∴奇樓的高度約為．【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．8．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖所示是消防員攀爬云梯到小明家的場景．已知，，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的仰角為，則樓的高度為多少？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）

【答案】樓的高度為【分析】延長交于點(diǎn)，依題意可得，在，根據(jù)，求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交于點(diǎn)，

∵，∴在中，，，∵，∴∴，答：樓的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)，當(dāng)兩臂，兩臂夾角時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，)

【答案】【分析】連接，作作于D，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知，，，在中利用求出，繼而求出即可．【詳解】解：連接，作于D，

∵，，∴是邊邊上的中線，也是的角平分線，∴，，在中，，，∴，∴∴答：A，B兩點(diǎn)間的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）我國航天事業(yè)捷報(bào)頻傳，2023年5月30日，被譽(yù)為“神箭”的長征二號(hào)F運(yùn)載火箭托舉神舟十六號(hào)載人飛船躍入蒼穹中國空間站應(yīng)用與發(fā)展階段首次載人發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功，如圖（九），有一枚運(yùn)載火箭從地面處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)處時(shí)，地面處的雷達(dá)站測得距離是，仰角為．，火箭直線到達(dá)處，此時(shí)地面處雷達(dá)站測得處的仰角為．求火箭從到處的平均速度（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】火箭從到處的平均速度為【分析】根據(jù)題意得出，，，，分別解，，求得，進(jìn)而根據(jù)路程除以時(shí)間即可求解．【詳解】解：依題意，得，，，，在中，，，在中，，∴，∴火箭從到處的平均速度為，答：火箭從到處的平均速度為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點(diǎn)，支架交于點(diǎn)，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數(shù)．(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在発子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解；（2）延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意得出，解，求得，根據(jù)與比較即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴．（2）該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由如下．如圖，延長交于點(diǎn)，

∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）教室里的投影儀投影時(shí)，可以把投影光線，及在黑板上的投影圖像高度抽象成如圖所示的，．黑板上投影圖像的高度，與的夾角，求的長．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】的長約為【分析】在中，由，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：在中，，，，∴．∴的長約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練的利用銳角的正切求解直角三角形的邊長是解本題的關(guān)鍵．13．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）為弘揚(yáng)革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學(xué)生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀(jì)念碑的通高（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實(shí)踐小組進(jìn)行測量．他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)用測角儀測得碑頂?shù)难鼋菫椋邳c(diǎn)處測得碑頂?shù)难鼋菫椋阎瑴y角儀的高度是（、、在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的通高．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）

【答案】烈士紀(jì)念碑的通高約為米【分析】根據(jù)題意，四邊形是矩形，米，米，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，，等角對(duì)等邊得出，進(jìn)而解，求得，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：依題意，四邊形是矩形，米，米，∵∴∴，∴米，在中，∴米∴米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）烽燧即烽火臺(tái)，是古代軍情報(bào)警的一種措施，史冊(cè)記載，夜間舉火稱“烽”，白天放煙稱“燧”．克孜爾尕哈烽燧是古絲綢之路北道上新疆境內(nèi)時(shí)代最早、保存最完好、規(guī)模最大的古代烽燧（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測量該烽燧的高度，如圖2，無人機(jī)飛至距地面高度米的A處，測得烽燧的頂部C處的俯角為，測得烽燧的底部B處的俯角為，試根據(jù)提供的數(shù)據(jù)計(jì)算烽燧的高度．（參數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】米【分析】過點(diǎn)A作的平行線交的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作，根據(jù)題意得出邊形為矩形，，再由正切函數(shù)求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作的平行線交的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作，如圖所示：

根據(jù)題意得：四邊形為矩形，，∴，∴，∵，∴米，∴米．【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）某實(shí)踐探究小組想測得湖邊兩處的距離，數(shù)據(jù)勘測組通過勘測，得到了如下記錄表：實(shí)踐探究活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容

測量湖邊A、B兩處的距離成員

組長：×××

組員：××××××××××××測量工具

測角儀，皮尺等測量示意圖

說明：因?yàn)楹匒、B兩處的距離無法直接測量，數(shù)據(jù)勘測組在湖邊找了一處位置C．可測量C處到A、B兩處的距離．通過測角儀可測得的度數(shù)．測量數(shù)據(jù)角的度數(shù)邊的長度米米數(shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認(rèn)真分析．他們發(fā)現(xiàn)不需要勘測組的全部數(shù)據(jù)就可以計(jì)算出A、B之間的距離．于是數(shù)據(jù)處理組寫出了以下過程，請(qǐng)補(bǔ)全內(nèi)容．已知：如圖，在中，．_________．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）

求：線段的長．（為減小結(jié)果的誤差，若有需要，取，取，取進(jìn)行計(jì)算，最后結(jié)果保留整數(shù)．）【答案】米，線段的約長為77米；米，線段的約長為77米【分析】填入數(shù)據(jù)米．作于點(diǎn)D，在和中，解直角三角形即可求解．【詳解】（1）當(dāng)填入米時(shí)：已知：如圖，在中，．米．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）

求：線段的長．解：作于點(diǎn)D，

在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，∴(米)，答：線段的約長為77米．（2）當(dāng)填入米時(shí)：已知：如圖，在中，．米．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）

求：線段的長．解：作于點(diǎn)D，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴(米)，答：線段的約長為77米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-其他問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝避陽篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷長為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當(dāng)太陽光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

【答案】米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

依題意，，（米）在中，（米），（米），則（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳為起點(diǎn)，沿途修建、兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂處，中途設(shè)計(jì)了一段與平行的觀光平臺(tái)為．索道與的夾角為，與水平線夾角為，兩處的水平距離為，，垂足為點(diǎn)．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)在同一水平線上）

(1)求索道的長（結(jié)果精確到）；(2)求水平距離的長（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的余玄直接求解即可得到答案；（2）根據(jù)、兩段長度相等及與水平線夾角為求出C到的距離即可得到答案；【詳解】（1）解：∵兩處的水平距離為，索道與的夾角為，∴；（2）解：∵、兩段長度相等，與水平線夾角為，∴，，∴；

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形解決實(shí)際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾種三角函數(shù)．18．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）鄂州市蓮花山是國家級(jí)風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨(dú)特，是蓮花山風(fēng)景區(qū)的核心景點(diǎn)，深受全國各地旅游愛好者的青睞．今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶祝活動(dòng)．如圖2，景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備從元明塔的點(diǎn)G處掛一條大型豎直條幅到點(diǎn)E處，掛好后，小明進(jìn)行實(shí)地測量，從元明塔底部F點(diǎn)沿水平方向步行30米到達(dá)自動(dòng)扶梯底端A點(diǎn)，在A點(diǎn)用儀器測得條幅下端E的仰角為；接著他沿自動(dòng)扶梯到達(dá)扶梯頂端D點(diǎn)，測得點(diǎn)A和點(diǎn)D的水平距離為15米，且；然后他從D點(diǎn)又沿水平方向行走了45米到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測得條幅上端G的仰角為．（圖上各點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，且G，C，B共線，F(xiàn)，A，B共線，G、E、F共線，，）．

(1)求自動(dòng)扶梯的長度；(2)求大型條幅的長度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)25米(2)米【分析】（1）過D作于M，由可得，求出的長，利用勾股定理即可求解；（2）過點(diǎn)D作于N，則四邊形是矩形，得，，由已知計(jì)算得出的長度，解直角三角形得出的長度，在中求得的長度，利用線段的和差，即可解決問題．【詳解】（1）解：過D作于M，如圖：

在中，，∵(米)，∴(米)，由勾股定理得(米)（2）如圖，過點(diǎn)D作于N，∵，∴四邊形是矩形，∴(米)，(米)，由題意，(米)，∵，∴，∴(米)，（米），由題意，，(米)，∴，∴(米)，∴米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為多少km？【答案】50【分析】根據(jù)題意畫出圖形，易證是直角三角形，利用勾股定理即可求解．【詳解】如圖，根據(jù)題意，得，，，，

∵∴∴∴在中，即A，C兩港之間的距離為50km．【點(diǎn)睛】本題考查方位角，勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，證明是直角三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）超速容易造成交通事故．高速公路管理部門在某隧道內(nèi)的兩處安裝了測速儀，該段隧道的截面示意圖如圖所示，圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，且在同一直線上．點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，且，在處測得點(diǎn)的俯角為，在處測得點(diǎn)的俯角為，小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．

(1)求兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到）；(2)若該隧道限速80千米/小時(shí)，判斷小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)是否超速？并通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒有超速【分析】（1）證明四邊形為矩形，可得，結(jié)合，，，可得，，再利用線段的和差關(guān)系可得答案；（2）先計(jì)算小型汽車的速度，再統(tǒng)一單位后進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，∴，，而，∴，∴四邊形為矩形，∴，由題意可得：，，，∴，，∴（2）∵小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．∴汽車速度為，∵該隧道限速80千米/小時(shí)，∴，∵，∴小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒有超速．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解俯角的含義，熟練的運(yùn)用銳角三角函數(shù)解題是關(guān)鍵．21．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為點(diǎn)和點(diǎn)，行進(jìn)路線為．點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向處，點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東方向，行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．

(1)求行進(jìn)路線和所在直線的夾角的度數(shù)；(2)求檢查點(diǎn)和之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】(1)行進(jìn)路線和所在直線的夾角為(2)檢查點(diǎn)和之間的距離為【分析】（1）根據(jù)題意得，，，再由各角之間的關(guān)系求解即可；（2）過點(diǎn)A作，垂足為，由等角對(duì)等邊得出，再由正弦函數(shù)及正切函數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：如圖，根據(jù)題意得，，，，．在中，，．答：行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．（2）過點(diǎn)A作，垂足為．

，，．,在中，，．,在中，，，．答：檢查點(diǎn)和之間的距離為．【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．22．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學(xué)和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時(shí)，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對(duì)這把椅子的好奇心，就想出個(gè)問題考考同學(xué)小余，小陳同學(xué)先測量，根據(jù)測量結(jié)果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時(shí)她問小余同學(xué)，你能算出靠背頂端點(diǎn)距地面（）的高度是多少嗎？請(qǐng)你幫小余同學(xué)算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】【分析】方法一：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，過作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一可得，進(jìn)而求得，利用求解即可；方法二：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一可得，進(jìn)而求得，，過作于，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，根據(jù)求解即可．【詳解】解：方法一：過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，

四邊形是平行四邊形，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意知，，，又，，過作于點(diǎn)，，，,，靠背頂端點(diǎn)距地面高度為；方法二：如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，

，，，又，，，，過作于，由題意知，，，又，，靠背頂端點(diǎn)距地面高度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．23．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）無人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無人機(jī)測最大樓的高度，無人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測得點(diǎn)P距地面上A點(diǎn)80米，點(diǎn)A處俯角為，樓頂C點(diǎn)處的俯角為，已知點(diǎn)A與大樓的距離為70米（點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】大樓的高度為．【分析】如圖，過作于，過作于，而，則四邊形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得．【詳解】解：如圖，過作于，過作于，而，

則四邊形是矩形，∴，，由題意可得：，，，，∴，，∴，∴，∴，∴大樓的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義是解本題的關(guān)鍵．24．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養(yǎng)殖場捕撈海產(chǎn)品，經(jīng)測量，A在燈塔C的南偏西方向，B在燈塔C的南偏東方向，且在A的正東方向，米．

(1)求B養(yǎng)殖場與燈塔C的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；(2)甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米/每分鐘，請(qǐng)計(jì)算說明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達(dá)B處？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)2545米(2)能，說明過程見解析【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得米，再解直角三角形即可得；（2）先解直角三角形求出的長，從而可得的長，再根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度即可得．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意得：，，米，米，答：養(yǎng)殖場與燈塔的距離為2545米．（2）解：米，米，則甲組到達(dá)處所需時(shí)間為（分鐘）分鐘，所以甲組能在9分鐘內(nèi)到達(dá)處．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．25．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠(yuǎn)處的角樓、城門樓、龍堤、南關(guān)橋等景觀遙相呼應(yīng)．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向處，南關(guān)橋C在城門樓B的正南方向處．在明珠大劇院P測得角樓A在北偏東方向，南關(guān)橋C在南偏東方向（點(diǎn)A，B，C，P四點(diǎn)在同一平面內(nèi)）．求明珠大劇院到龍堤的距離（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】明珠大劇院到龍堤的距離為．【分析】如圖，首先證明四邊形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，進(jìn)而得出關(guān)于的方程，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，由題意得，，，，，，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∵，∴，即，∵，，∴，解得：，∴，答：明珠大劇院到龍堤的距離為．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．26．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測量風(fēng)葉的長度進(jìn)行了實(shí)地測量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干疊合時(shí)，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風(fēng)葉的視角．

(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請(qǐng)利用公式計(jì)算；(2)求風(fēng)葉的長度．【答案】(1)(2)風(fēng)葉的長度為米【分析】（1）根據(jù)題中公式計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)A作，連接，，先根據(jù)題意求出，再根據(jù)等腰對(duì)等邊證明，結(jié)合第一問的結(jié)論用三角函數(shù)即可求，再證明四邊形是矩形，即可求出．【詳解】（1）解：由題意可得：，∴；（2）解：過點(diǎn)A作，連接，，如圖所示，

由題意得：米，，∴米，，∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，∴，∴，又∵，∴，∴，∴米，∵，，∴，由（1）得：，∴米，∴米，∵，，，∴四邊形是矩形，∴米，∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，且三片風(fēng)葉長度相等，∴，∴米，∴風(fēng)葉的長度為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意和作出輔助線是關(guān)鍵．27．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）2023年5月30日，“神舟十六號(hào)”航天飛船成功發(fā)射．如圖，飛船在離地球大約的圓形軌道上，當(dāng)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方F點(diǎn)時(shí)，從中直接看到地球表面一個(gè)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是點(diǎn)Q．在中，．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求的值（精確到）；(2)在中，求的長（結(jié)果取整數(shù)）．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用余弦函數(shù)即可求解；（2）先求得的度數(shù)，再利用弧長公式即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，，，，在中，；（2）解：，，的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了求余弦函數(shù)的值，弧長公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．28．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量古樹的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端在同一水平線上的點(diǎn)A出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再沿水平方向繼續(xù)前進(jìn)一段距離后到達(dá)點(diǎn)．在點(diǎn)處測得古樹的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹的高度（參考數(shù)據(jù)：，，，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）．

【答案】古樹的高度為【分析】延長，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，根據(jù)斜面的坡度為，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，證明四邊形為矩形，得出，根據(jù)三角函數(shù)求出，，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，如圖所示：

則，∵斜面的坡度為，∴設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，負(fù)值舍去，即，∵為水平方向，為豎直方向，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴在中，，∵，∴在中，，∴．答：古樹的高度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角函數(shù)的定義．29．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動(dòng)河湖名單（2022－2025年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選．在推進(jìn)實(shí)施母親河復(fù)蘇行動(dòng)中，需要砌筑各種駁岸（也叫護(hù)坡）．某校“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動(dòng)報(bào)告．請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)報(bào)告計(jì)算和的長度（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）．課題母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算調(diào)查方式資料查閱、水利部門走訪、實(shí)地查看了解功能駁岸是用來保護(hù)河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構(gòu)筑物駁岸剖面圖

相關(guān)數(shù)據(jù)及說明，圖中，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，與均與地面平行，岸墻于點(diǎn)A，，，，，計(jì)算結(jié)果交流展示【答案】的長約為的長約為【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，首先根據(jù)的三角函數(shù)值求出，，然后得到四邊形是矩形，進(jìn)而得到，然后在中利用的三角函數(shù)值求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，

∴．由題意得，在中，．∴．∴．由題意得，，四邊形是矩形．∴．∵，∴．∴在中，．∵．∴．∴，∴．答：的長約為的長約為．【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是理解坡度的含義，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線便于在直角三角形中求得相關(guān)線段．30．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在某交叉路口，一貨車在道路①上點(diǎn)A處等候“綠燈”一輛車從被山峰遮擋的道路②上的點(diǎn)B處由南向北行駛．已知，，線段的延長線交直線于點(diǎn)D．(1)求的大小；(2)若在點(diǎn)B處測得點(diǎn)O在北偏西方向上，其中米．問該轎車至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車？（當(dāng)該轎車行駛至點(diǎn)D處時(shí)，正好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車）【答案】(1)(2)轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車【分析】（1）由得到，由得到，由得到，即可得到的大小；（2）由得到，在中求得，由勾股定理得到，由得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即的大小為；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，即轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理、垂直定義和平行線的性質(zhì)、方位角的的定義等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和銳角三角形函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．31．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長度為30米，在坡頂B處測得教學(xué)樓的樓頂C的仰角，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處測得C的仰角，的延長線交水平線于點(diǎn)D，求的長（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】的長為米【分析】作于點(diǎn)，首先根據(jù)坡度求出，并通過矩形的判定確定出，然后通過解三角形求出，即可相加得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，作于點(diǎn)，則由題意，四邊形為矩形，

∵在中，，，，∴，∵四邊形為矩形，∴，由題意，，，，，∴為等腰直角三角形，，設(shè)，則，在中，，∴，即：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是上述方程的解，且符合題意，∴，∴，∴的長為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造出直角三角形并求解是解題關(guān)鍵．32．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡長米，坡角，小華在C處測得建筑物頂端A的仰角為，在D處測得建筑物頂端A的仰角為．（已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，B，C在同一水平線上）

(1)求點(diǎn)D到地面的距離；(2)求該建筑物的高度．【答案】(1)5米(2)米【分析】（1）過點(diǎn)D作，根據(jù)坡角的概念及含直角三角形的性質(zhì)分析求解；（2）通過證明，然后解直角三角形分析求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作，

由題意可得，∴在Rt中，，即點(diǎn)D到地面的距離為5米；（2）如圖，

由題意可得，，∴，又∵，∴，∴∴在Rt中，，即，解得，在Rt中，，即，解得，答：該建筑物的高度為15米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．33．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測角儀測量塔的高度．如圖，塔前有一座高為的觀景臺(tái)，已知，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．

某學(xué)習(xí)小組在觀景臺(tái)C處測得塔頂部B的仰角為，在觀景臺(tái)D處測得塔頂部B的仰角為．(1)求的長；(2)設(shè)塔的高度為h（單位：m）．①用含有h的式子表示線段的長（結(jié)果保留根號(hào)）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，進(jìn)而可求解；②過點(diǎn)作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴．即的長為．（2）解：①在中，，∴．在中，由，，，則.∴．即的長為．②如圖，過點(diǎn)作，垂足為．根據(jù)題意，，∴四邊形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題是解答的關(guān)鍵．34．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，燈塔A周圍9海里內(nèi)有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行6海里后到達(dá)C處，測得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】漁船沒有觸礁的危險(xiǎn)【分析】過點(diǎn)作，分別解和，求出的長，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)作，由題意，得：，，，設(shè)，

在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴漁船沒有觸礁的危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．35．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）永州市道縣陳樹湘紀(jì)念館中陳列的陳樹湘雕像高2.9米（如圖1所示），寓意陳樹湘為中國革命“斷腸明志”犧牲時(shí)的年齡為29歲．如圖2，以線段代表陳樹湘雕像，一參觀者在水平地面上D處為陳樹湘雕拍照，相機(jī)支架高0.9米，在相機(jī)C處觀測雕像頂端A的仰角為，然后將相機(jī)架移到處拍照，在相機(jī)M處觀測雕像頂端A的仰角為，求D、N兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】1.5【分析】如圖，，，四邊形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，中，，，，中，，，所以，進(jìn)一步求得，所以．【詳解】如圖，米，米四邊形，四邊形是矩形，四邊形是矩形∴米，∵中，，∴米，∴米∵中，，∴∴米∴米∴米【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，觀察圖形，確定組合圖形中，通過直角三角形、矩形之間的位置關(guān)系確定線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．36．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）為了滿足市民的需求，我市在一條小河兩側(cè)開辟了兩條長跑鍛煉線路，如圖；①；②．經(jīng)勘測，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正西方千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正南方，點(diǎn)E在點(diǎn)B的南偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：

(1)求AD的長度．（結(jié)果精確到1千米）(2)由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？【答案】(1)AD的長度約為千米(2)小明應(yīng)該選擇路線①，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形是矩形，進(jìn)而得出，然后解直角三角形即可；（2）分別求出線路①和線路②的總路程，比較即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意可得：四邊形是矩形，∴千米，∵點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東方向，∴，∴千米，答：AD的長度約為千米；（2）由題意可得：，，∴路線①的路程為：（千米），∵，，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，由題意可得，∴，∴，，所以路線②的路程為：千米，∴路線①的路程路線②的路程，故小明應(yīng)該選擇路線①．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的相關(guān)定義，掌握特殊角三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．37．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，為長度固定的支架，支架在處與立柱連接（垂直于，垂足為），在處與籃板連接（所在直線垂直于），是可以調(diào)節(jié)長度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點(diǎn)處的螺栓改變的長度，使得支架繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知，測得時(shí)，點(diǎn)離地面的高度為．調(diào)節(jié)伸縮臂，將由調(diào)節(jié)為，判斷點(diǎn)離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】點(diǎn)離地面的高度升高了，升高了．【分析】如圖，延長與底面交于點(diǎn)，過作于，則四邊形為矩形，可得，證明四邊形是平行四邊形，可得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，則，，從而可得答案．【詳解】解：如圖，延長與底面交于點(diǎn)，過作于，則四邊形為矩形，∴，

∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，則，∴，而，，∴點(diǎn)離地面的高度升高了，升高了．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．38．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們?cè)诟呖諟y量距離和高度．圓圓要測量教學(xué)樓的高度，借助無人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測得教學(xué)樓的頂部B處的俯角為，長為米．已知目高為米．

(1)求教學(xué)樓的高度．(2)若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時(shí)，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線．【答案】(1)教學(xué)樓的高度為米(2)無人機(jī)剛好離開視線的時(shí)間為12秒【分析】（1）過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：，米，，通過證明四邊形為矩形，得出米，進(jìn)而得出米，最后根據(jù)線段之間的和差關(guān)系可得，即可求解；（2）連接并延長，交于點(diǎn)H，先求出米，進(jìn)而得出，則，則米，即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：，米，，∵，，，∴四邊形為矩形，∴米，∵，，∴，∴，∴米，∵長為米，∴（米），答：教學(xué)樓的高度為米．（2）解：連接并延長，交于點(diǎn)H，∵米，米，∴米，∵米，，∴，∴，米，∴（米），∵無人機(jī)以米/秒的速度飛行，∴離開視線的時(shí)間為：（秒），答：無人機(jī)剛好離開視線的時(shí)間為12秒．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．39．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在一處坡角為的坡地新安裝了一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖1．某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測量，圖2為測量示意圖．已知斜坡長16米，在地面點(diǎn)處測得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，利用無人機(jī)在點(diǎn)的正上方53米的點(diǎn)處測得點(diǎn)的俯角為，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度為32米【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，延長交延長線于點(diǎn)E，先根據(jù)含角直角三角形的性質(zhì)得出，設(shè)米，則米，進(jìn)而得出米，證明四邊形為矩形，則米，米，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系得出米，最后根據(jù)，列出方程求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，延長交延長線于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得：、垂直于水平面，，，，∴，∵米，

∴（米），設(shè)米，則米，∵，，∴米，∵，，，∴四邊形為矩形，∴米，米，∵米，∴米，∵，∴，∴，即，解得：，答：該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度為32米．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．40．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，某人的一器官后面處長了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術(shù)，檢測射線可避開器官從側(cè)面測量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離．方案如下：課題檢測新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖

說明如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為．測量數(shù)據(jù)，，請(qǐng)你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】新生物處到皮膚的距離約為【分析】過點(diǎn)作，垂足為，在，用與的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，聯(lián)立求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為．由題意得，，，在中，．在中，．

∵，∴，∴．答：新生物處到皮膚的距離約為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形，通過三角函數(shù)求解線段是求解本題的關(guān)鍵．41．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長度為，當(dāng)擺角恰為時(shí)，座板離地面的高度為，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角為，求座板距地面的最大高度為多少？（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】座板距地面的最大高度為．【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，利用和的余弦值求出，，然后利用線段的和差和矩形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，

由題意可得，四邊形和四邊形是矩形，∴，，∵秋千鏈子的長度為，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．∴座板距地面的最大高度為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．42．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成加如圖2所示的示意圖，已知點(diǎn)，，，均在同一直線上，，測得．（結(jié)果保小數(shù)點(diǎn)后一位）

(1)連接，求證：；(2)求雕塑的高（即點(diǎn)E到直線BC的距離）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)見解析(2)雕塑的高約為米【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得出，根據(jù)三