第二講參數(shù)方程一、選擇題1.下列點(diǎn)不在直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1－\f(\r(2),2)t,y＝2＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))上的是()A.(－1，2) B.(2，－1)C.(3，－2) D.(－3，2)解析直線l的普通方程為x＋y－1＝0，因此點(diǎn)(－3，2)的坐標(biāo)不適合方程x＋y－1＝0.答案D2.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ，則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為()A.eq\r(14) B.2eq\r(14)C.eq\r(2) D.2eq\r(2)解析由題意得，直線l的普通方程為x－y－4＝0，圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4，則圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2－0－4|,\r(2))＝eq\r(2)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(22－（\r(2)）2)＝2eq\r(2).答案D3.極坐標(biāo)方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的圖形是()A.兩個(gè)圓 B.兩條直線C.一個(gè)圓和一條射線 D.一條直線和一條射線解析∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0).ρ＝1表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓，θ＝π(ρ≥0)表示x軸的負(fù)半軸，是一條射線，故選C.答案C4.在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，則過點(diǎn)P且平行于極軸的直線的方程是()A.ρsinθ＝1 B.ρsinθ＝eq\r(3)C.ρcosθ＝1 D.ρcosθ＝eq\r(3)解析因點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，得x＝ρcosθ＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3)，y＝ρsinθ＝2sineq\f(π,6)＝1，即(eq\r(3)，1)，過點(diǎn)(eq\r(3)，1)且平行于x軸的直線為y＝1，再化為極坐標(biāo)為ρsinθ＝1，選A.答案A5.已知O為原點(diǎn)，當(dāng)θ＝－eq\f(π,6)時(shí)，參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝9sinθ))(θ為參數(shù))上的點(diǎn)為A，則直線OA的傾斜角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析當(dāng)θ＝－eq\f(π,6)時(shí)，x＝eq\f(3\r(3),2)，y＝－eq\f(9,2)，∴kOA＝tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\r(3)，且0≤α＜π，因些α＝eq\f(2,3)π.答案C6.若直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3t，,y＝2－4t))(t為參數(shù))，則直線l的傾斜角的余弦值為()A.－eq\f(4,5) B.－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析由題意知，直線l的普通方程為4x＋3y－10＝0.設(shè)l的傾斜角為θ，則tanθ＝－eq\f(4,3).由eq\f(1,cos2θ)＝1＋tan2θ知cos2θ＝eq\f(9,25).∵eq\f(π,2)<θ<π，∴cosθ＝－eq\f(3,5)，故選B.答案B7.橢圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))的離心率是()A.eq\f(\r(7),4) B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(\r(7),2) D.eq\f(\r(7),5)解析橢圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝4sinθ))的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1，∴e＝eq\f(\r(7),4).故選A.答案A8.若直線y＝x－b與曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosθ，,y＝sinθ))θ∈[0，2π)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A.(2－eq\r(2)，1) B.[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]C.(－∞，2－eq\r(2))∪(2＋eq\r(2)，＋∞) D.(2－eq\r(2)，2＋eq\r(2))解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosθ，,y＝sinθ))消去θ，得(x－2)2＋y2＝1.將y＝x－b代入(*)，化簡(jiǎn)得2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，依題意，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)＞0.解之得2－eq\r(2)＜b＜2＋eq\r(2).答案D9.參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(1＋sinθ),y＝cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(θ,2)))))(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π)所表示的曲線是()A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分，且過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))D.拋物線的一部分，且過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))解析由y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(θ,2)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)),2)＝eq\f(1＋sinθ,2)，可得sinθ＝2y－1，由x＝eq\r(1＋sinθ)得x2－1＝sinθ，∴參數(shù)方程可化為普通方程x2＝2y.又x＝eq\r(1＋sinθ)∈[0，eq\r(2)]，故選D.答案D10.已知直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)t，,y＝2－t))(t為參數(shù))，拋物線C的方程y2＝2x，l與C交于P1，P2，則點(diǎn)A(0，2)到P1，P2兩點(diǎn)距離之和是()A.4＋eq\r(3) B.2(2＋eq\r(3))C.4(2＋eq\r(3)) D.8＋eq\r(3)解析將直線l參數(shù)方程化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),2)t′,y＝2＋\f(1,2)t′))(t′為參數(shù))，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋eq\r(3))t′＋16＝0，設(shè)其兩根為t1′，t2′，則t1′＋t2′＝－4(2＋eq\r(3))，t1′t2′＝16＞0.由此知在l上兩點(diǎn)P1，P2都在A(0，2)的下方，則|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋eq\r(3)).答案C二、填空題11.雙曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tanφ，,y＝secφ))(φ是參數(shù))的漸近線方程為________.解析化參數(shù)方程為普通方程，得y2－x2＝1.故其漸近線為y＝±x，即x±y＝0.答案x±y＝012.在極坐標(biāo)系中，直線過點(diǎn)(1，0)且與直線θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)垂直，則直線極坐標(biāo)方程為________.解析由題意可知在直角坐標(biāo)系中，直線θ＝eq\f(π,3)的斜率是eq\r(3)，所求直線是過點(diǎn)(1，0)，且斜率是－eq\f(1,\r(3))，所以直線方程為y＝－eq\f(1,\r(3))(x－1)，化為極坐標(biāo)方程ρsinθ＝－eq\f(1,\r(3))(ρcosθ－1)化簡(jiǎn)得2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1.答案2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或2ρcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1、))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρcosθ＋\r(3)ρsinθ＝1))13.已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝3＋t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，則直線l與曲線C的公共點(diǎn)的極徑ρ＝________.解析直線l的普通方程為y＝x＋1，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x，聯(lián)立兩方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))所以公共點(diǎn)為(1，2).所以公共點(diǎn)的極徑為ρ＝eq\r(22＋1)＝eq\r(5).答案eq\r(5)14.已知P為橢圓4x2＋y2＝4上的點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則|OP|的取值范圍是________.解析由4x2＋y2＝4，得x2＋eq\f(y2,4)＝1.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))，則|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ.∵0≤sin2φ≤1，∴1≤1＋3sin2φ≤4，∴1≤|OP|≤2.答案[1，2]三、解答題15.已知橢圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，求橢圓上一點(diǎn)P到直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－3t,y＝2＋2t))(t為參數(shù))的最短距離.解由題意，得P(3cosθ，2sinθ)，直線：2x＋3y－10＝0.d＝eq\f(|6cosθ＋6sinθ－10|,\r(13))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－10)),\r(13))，而6eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－10∈[－6eq\r(2)－10，6eq\r(2)－10].∴eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－10)),\r(13))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(10－6\r(2),\r(13))，\f(10＋6\r(2),\r(13)))).∴dmin＝eq\f(10－6\r(2),\r(13)).即橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為eq\f(10－6\r(2),\r(13)).16.已知圓O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝2sinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ＜2π).(1)求圓心和半徑；(2)若圓O上點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)θ＝eq\f(5π,3)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,y＝2sinθ))(0≤θ＜2π)，平方得x2＋y2＝4，∴圓心O(0，0)，半徑r＝2.(2)當(dāng)θ＝eq\f(5,3)π時(shí)，x＝2cosθ＝1，y＝2sinθ＝－eq\r(3).∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，－eq\r(3)).17.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q都在曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝2sint))(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0＜α＜2π)，M為PQ的中點(diǎn).(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).解(1)依題意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α).M的軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα＋cos2α，,y＝sinα＋sin2α))(α為參數(shù)，0＜α＜2π).(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d＝eq\r(x2＋y2)＝2＋2cosα(0＜α＜2π).當(dāng)α＝π時(shí)，d＝0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).18.在直角坐標(biāo)系xOy中，l是過定點(diǎn)P(4，2)且傾斜角為α的直線；在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同單位長(zhǎng)度)中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ.(1)寫出直線l的參數(shù)方程；并將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M，N，求|PM|＋|PN|的取值范圍.解(1)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋tcosα,y＝2＋tsinα))(t為參數(shù)).∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，所以C：x2＋y2＝4x.(2)直線l的參數(shù)方程為eq\