高中數(shù)學高考復習各章要點掃描(7個方面)

函數(shù)

1.函數(shù)的定義

(1)映射的定義:

(2)一一映射的定

上面中是映射的是，是一一映射的是

(3)函數(shù)的定義：(課本第一冊上.P51)

2.函數(shù)的性質(zhì)

(1)定義域：

(2)值域：

(3)奇偶性(在整個定義域內(nèi)考慮)

①定義：

②判斷方法：I.定義法步驟：a.求出定義域；

b.判斷定義域是否關(guān)于原點對稱；

c.求/(-%)；

d.比較/(—x)與“X)或/(—x)與-/(x)

的關(guān)系。

II圖象法

③已知："(x)=/(x)g(x)

若非零函數(shù)/(x),g(x)的奇偶性相同，則在公共定義域內(nèi)“(X)為偶函數(shù)

若非零函數(shù)/(x),g(x)的奇偶性相反，則在公共定義域內(nèi)〃(X)為奇函數(shù)

④常用的結(jié)論：若/(x)是奇函數(shù)，且Oe定義域，則

/(0)=0的(-1)=-川)；

若“X)是偶函數(shù),則/(-1)=/⑴；反之不然。

(4)單調(diào)性(在定義域的某一個子集內(nèi)考慮)

①定義：

②證明函數(shù)單調(diào)性的方法：

I.定義法步驟：

a.設(shè)X]eA且<x2;

b.作差f(Xi)-”%2)；

(一般結(jié)果要分解為若干個因式的乘積，且每一個因式的正或負號能清

楚地判斷出)

C.判斷正負號。

n用導數(shù)證明：若/(幻在某個區(qū)間A內(nèi)有導數(shù)，

則/(x)N0,(xeA)o/(x)在A內(nèi)為增函數(shù)；

y'(x)<0,(xeA)o/(x)在A內(nèi)為減函數(shù)。

③求單調(diào)區(qū)間的方法：

a.定義法：

b.導數(shù)法：

c.圖象法：

d.復合函數(shù)y=/[g(x)]在公共定義域上的單調(diào)性：

若f與g的單調(diào)性相同，則丹g(x)]為增函數(shù)；

若f與g的單調(diào)性相反，則/[g(x)]為減函數(shù)。

注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。

④一些有用的結(jié)論：

a.奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；

b.偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；

c.在公共定義域內(nèi)

增函數(shù)/(x)+增函數(shù)g(x)是增函數(shù)；

減函數(shù)/(x)+減函數(shù)g(x)是減函數(shù)；

增函數(shù)/(x)-減函數(shù)g(x)是增函數(shù);

減函數(shù)/(X)-增函數(shù)g(x)是減函數(shù)。

&函數(shù)y=ax+2(“〉0力>0)在(-8,-而閾瘋,+00)上單調(diào)遞增；在

［-4ab］上是單調(diào)遞減。

(5)函數(shù)的周期性

定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一X,使/(x+T)=/(x)恒

成立

則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期。

例：(1)若函數(shù)/(x)在R上是奇函數(shù)，且在(-1。)上是增函數(shù)，且

/(%+2)=-/(%)

則①/(幻關(guān)于對稱；②/(x)的周期為；

③/(x)在(1,2)是函數(shù)(增、減)；

④若xe(0,D時，/(x)=2*,則/(log：)=。

2

(2)設(shè)/(X)是定義在(-8,+8)上，以2為周期的周期函數(shù)，且/(X)為

偶函數(shù)，在區(qū)間［2,3］上，/(%)=-2(%-3)2+4,511］

xe［0,2］時，/(%)=。

3、函數(shù)的圖象

1、基本函數(shù)的圖象：(1)一次函數(shù)、(2)二次函數(shù)、(3)反比例函數(shù)、

(4)指數(shù)函數(shù)、(5)對數(shù)函數(shù)、(6)三角函數(shù)。

2、圖象的變換

(1)平移變換

①函數(shù)y=/(x+a),(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向左

平移a個單位得到的；

②函數(shù)y=/(%+?),(?<0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向右

平移問個單位得到的；

③函數(shù)y=/(x)+a,(a>0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿y軸向上

平移a個單位得到的；

④函數(shù)y=/(x)+a,(a<0)的圖象是把函數(shù)y=/(x)的圖象沿y軸向下

平移同個單位得到的。

(2)對稱變換

①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱；

函數(shù)y="X)與函數(shù)y=-/(X)的圖象關(guān)于直線y=0對稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-/(-x)的圖象關(guān)于坐標原點對稱；

②如果函數(shù)y=/(x)對于一切xwR,都有f(x+a)=f(x-a),那么

y=fM的圖象關(guān)于直線x=a對稱。

③函數(shù)>,=/(a+x)與函數(shù)y=/(a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱。

④y=/(x)fy=|/(x)|

⑤y=/(x)fy=/(|x|)

⑥〉=/T(x)與y=/(x)關(guān)于直線y=x對稱。

(3)伸縮變換

①y=4(x),(a>0)的圖象，可將y=/(x)的圖象上的每一點的縱坐標伸

長(a>1)或縮短(0<a<1)到原來的a倍。

②卜二/(ax),(a>0)的圖象，可將y=/(x)的圖象上的每一點的橫坐標

伸長(0<a<1)或縮短(a>1)到原來的L倍。

a

例：(1)已知函數(shù)y=/(x)的圖象過點(1,1),則/(4-x)的反函數(shù)

的圖象過點_______o

(2)莊函數(shù)y=(；廠的圖象，通過怎樣的變換得到y(tǒng)=log；的圖象？

4、函數(shù)的反函數(shù)

1、求反函數(shù)的步驟：

①求原函數(shù)y=/(x),(%€田的值域8

②把y=/(x)看作方程，解出x=(p(y)；

③x,y互換的y=/(x)的反函數(shù)為y=/T(x),(xeB)。

2、函數(shù)與反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論：/T(a)=bo/3)=a

3、原函數(shù)〉=/(%)在區(qū)間［-。,4］上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，

且反函數(shù)>=/7(%)也單調(diào)遞增；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)

不一定單調(diào)。

例1：y=310g尸)，(x>0)的反函數(shù)為0

2：已知/(x)=/+2x+3,(x20),求y=/(2x-l)的反函數(shù)。

3：設(shè)/(x)=9'—231則廣|(0)=。

5、函數(shù)、方程與不等式

1、“實系數(shù)一元二次方程內(nèi)2+云+。=0有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為

△=b2-4acN0"，你是否注意到必須"0；當。=0時，”方程有解

不能轉(zhuǎn)化為△=〃-4碇20。若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或

不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形？

2、利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論一元二次方程實根的分布。

設(shè)匹,》2為方程/*)=0,(。〉0)的兩個實根。

貝II=/(〃?)<0；

①若xf<m,x2>m,

②當在區(qū)間(現(xiàn),〃)內(nèi)有且只有一個實根，時,

pl)/(〃z)./(〃)<()

0[(2)考慮端點,驗證端點。

③當在區(qū)間(〃?,〃)內(nèi)有且只有兩個實根時，

A>0

b

m<-----<n

=j2a

./(n)>0

④若m<xt<n<p<x2<4時

=/(Q/(〃)<0

l/(p)?/⑷<0

注意：①根據(jù)要求先畫出拋物線，然后寫出圖象成立的充要條件。

②注意端點，驗證端點。

例：1、對于定義在R上的函數(shù)/(x)=與"，若其所以的函數(shù)值都不

x+1

超過1,則m的取值范圍。

2、已知函數(shù)y=log2"+(i)+/的定義域是一切實數(shù)，則

aGo

3、若關(guān)于x的方程22,+2'+1=0有實根，則

aG。

4、設(shè)集合A=H——4X+3<。｝,B是關(guān)于x的不等式組

x-2x+?<0的解集，試確定。的取值范圍，使Ag8。

x2-2(a+7)x+5<0

5^已知方程/+〃?x+加+1=0的兩個根為一個三角形兩內(nèi)角的

正切值，試求加的取值范圍。

直線、平面、簡單幾何體

一、知識結(jié)構(gòu)

平面平面的概念和性質(zhì)（三條公理及三個推論）

一平行直線一平行直線的傳遞性（公理

空間兩異面直線所成的角

一條直線——一異面直線-

U異面直線間的晅匐

直—相交直線IT等角定理

線

、

平直線在平面內(nèi)

面

直線與平面平行

、-I

簡三垂線定理

單L直線與平面相交

幾直線與平面所成的角

何

-平面與平面平行平面的距離

愕黠面

'廠垂直相交

-平面與平面相交上生

斜交二面角及其平面角

[-棱柱

多面體與

正多面S—

-髓

球的表面積和體積

--------

另注：三余弦公式？其中a為線面角，，為斜線與平面內(nèi)直線所成的角，。為?

二、主要類型及證明方法（主要復習向量法）

1、定性：

（1）直線與平面平行：向量法有幾種證法；非向量法有種證法。

（2）直線與平面垂直：向量法有幾種證法；非向量法有種證法。

（3）平面與平面垂直：向量法有幾種證法；非向量法有種證法。

2、定量：

.?—?(VJ

(1)點P到面的距離d=IPA?cos<PA,〃>1=1r-1

InI

(2)異面直線之間的距離：(同上)

(3)異面直線所成的角6：cos0=cos<PA,n>

(4)直線與平面所成的角6：sin^=cos<PA,n>

(5)銳二面角6：cos^=cos<m,n>

三、例題

1.設(shè)集合A=｛正四面體｝,3=｛正多面體｝,C=｛簡單多面體｝,貝IJA、B、C

之間的關(guān)系為(4)

A.AuBuCBAczCaBC.CuBaADduB

2.集合A=｛正方體｝,3=｛長方體｝,C=｛正四棱柱｝,則A、B、C之間的關(guān)

系為(B)

AJIUBUCB.AUCUBC.CUAU6DBUAUC

3.長方體48co—AEC。中，E、尸、G分別是A3、BC、上的點，則△EFG

的形狀是(C)

A.等邊三角形區(qū)直角三角形C.銳角三角形D鈍角三角形

4.長方體的一條對角線與同一頂點處的三條棱所成角分別為a、6、y,則有

(A)

A.coso'a+cos2p+cos0y=1B.sin'0a^rsin~2p-\-sin2y=1

C.cos%+cos%+cos)=2D.sirTa-\-sin1sirTy=3

5.長方體的一條對角線與同一頂點處的三個面所成角分別為a、夕、y,則有

(8)

A.cos2a+cos2fi+cos2y—1B.sin2a-\-sin2fi+sin2y—1

C.cos2a+cos^p+cos2y=3D.sin2a+sirrp+sirry—2

6.長方體ABC。一A?C7)'中，ZD'BA=45o,ZD'5B'=60°,則N。5c=(C)

4.30°8.45°C.60°D.75°

7.長方體的全面積為11,所有棱長之和為24,則這個長方體的一條體對角線

長為(C)

42審B.V14C.5D.6

8.棱錐的底面積為S,高位h,平行于底面的截面面積為S,,則截面與底面的

距離為()

(VS-VI1)/?電+而)h(S-S'Vi(S+S')〃

y[s鄧SD.S

A

9.三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱長相等，則頂點在底面上的射影是底面三角形的

()

4.內(nèi)心艮外心C.垂心。.重心

B

10.三棱錐p-ABC的三條側(cè)棱與底面所成的角相等，則頂點在底面上的射影是

底面三角形的（）

A.內(nèi)心8.外心C.垂心O.重心

B

11.三棱錐尸一ABC的三個側(cè)面與底面所成的二面角相等，則頂點在底面上的射

影是底面三角形的（）

A.內(nèi)心8.外心C.垂心。.重心

A

12.三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影是底面三角形

的（）

4.內(nèi)心8.外心C.垂心。.重心

C

13.三棱錐V—A8C中，VA=BC,VB=Ac,VC=Ab,側(cè)面與底面ABC所成的二面

角分別為a、6、都是銳角），則cosa+cos￡+cosy=（）

11

AAB.2C，2P.j

A

14.四面體的四個面中，下列說法錯誤的是（）

A.可以都是直角三角形及可以都是等腰三角形

C不能都是頓角三角形D可以都是銳角三角形

C

15.正n棱錐側(cè)棱與底面所成角為a,側(cè)面與底面所成角為則tanatan尸

()

TVit27r27r

A.sin~B.coS-C.sin—D.cos-

nnnn

B

16.一個簡單多面體的各個面都是三角形，且有6個頂點，則這個多面體的面數(shù)

為（）

AA5.6C.8￡>.10

C

17.正八面體的相鄰兩個面所成二面角的大小為（）

117rl1

A.arccos^B.7r—arcco^C.^—arcco^D.—arccos^

B

18.正方體的全面積為小，它的頂點都在一個球面上，這個球的表面積為（）

22

7ta7ra

B.-C.lna9D37ca9

B

19.一個長方體的長、寬、高分別為3、4、5,且它的頂點都在一個球面上，這

個球的表面積為（）

A.20啦兀8.25也無C.50兀D.200TT

C

20.在球面上有四個點P、A、B、C,如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA

=PB=PC=a,那么這個球面的面積是（）

4.2成28.3兀a?CAna2D.hna1

B

21.北緯30。的圓把北半球面積分為兩部分，這兩部分面積的比為（）

AA：1B.2：1C幣：1。仍：1

A

22.地球半徑為R,在北緯30。的圓上有兩點A、B,A點的經(jīng)度為東經(jīng)120。，B

點的經(jīng)度為西經(jīng)60。，則A、B兩點的球面距離為（）

D

23.球面上有三個點，其中任意兩個點的球面距離都等于大圓周長的看經(jīng)過這

三個點的小圓周長為4兀，那么這個球的半徑為（）

A.4小B.2季C.2D市

B

24.球面上有三個點A、B、C,其中AB=18,BC=24,AC=30,月一球心到平面

ABC的距離為球半徑的一半，那么這個球的半徑為（）

A.1055.10C.200.30

A

25.在北緯60。圈上有甲、乙兩地，它們在緯度線上的弧長等于^R,R為地球半

徑，則這兩地的球面距離為（）

A.啦兀RC~^nR

B

填空題：

設(shè)m、n是不重合的兩條直線，/民/是不重合的平面,給出下列命題：請判斷

其是否正確，如錯誤，請舉出反例。

若〃〃a,a_L尸，則〃1.尸

若機_1_L%m_1_,，則a1

若〃_La,a_L（3,mu￡,則加〃〃

AC

若〃J_/?,a_L/?,則〃〃。或及ua

若aJ_y,尸_L2,則a〃夕

若a內(nèi)有不共線的三點到￡的距離相等，則a〃/?

若aua,bu/3,a"0,b"0,貝Ua〃/7

若a、b是異面直線，aua,bu/3,aH0,bH0,則a〃/?

三、解答題

26.如圖：已知正三棱柱ABC—48C的側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M是BC的

中點。

(1)求異面直線4?與5c的夾角；

⑵在直線CC'上求一點N,使得MN_L4夕。

(3)若AB的中點為P,BC的中點Q,求證：PQ//面ABC

(1)解法一：因為用^=初+加，，就，=螳+眈'又因為ABC—AEC是正三棱

柱，，仍二肘」歹(電,眈">=~27^r由題意，I前1=1歹15^1

=2從而得：。”比，=(牯+歐，)(加，+夕0)=

AS?附'+(胡￥+9'.挖,+肘'.比'=I肘/+牯.改’=4+

7

707^^27

協(xié)1187t=石cos<國5',配'>=-----------=W=T7i-*?

2\^'\\Bt'\'I。

77

<A^',Bt'>=arccos~^即異面直線481與8C'的夾角為"rccos正

解法二：以A點為坐標原點，A4為z軸，4C為y軸，建立空間直角坐標系,

老1

以O(shè)}8\8

72-)V3,/2),C'(0,1,2)

(O,/2

坐1

V23小

-(/-11

\22),2?0)=(—^-,2?2)

1

,

2>(一坐，；，2)

f—或戲,2'2'7

cos<A^',泥'>=

222Io

I期I阮'I(^)+(1)+2.ALV^I.K1^

22

77

<A^',泥'>=arccos而即異面直線AB與BC的夾角為arccosy^

(2)解法一：設(shè)CW=x5方由題意可得：就只防

3'=牯+篦，斯=就+而<A^,5Tt'>=弋27r

后」儂，砧際=。也就是(曲+血)(成7+6)=0

???勸?碇+儂?碇+牯CW+儂?CW=O.??

I勸l?IA7tlc。s<肪，A7t>+xl55'F=01?—7+4X=0.*.X=TZ即當IC^I=l時，

4loo

AB」MN.

解法二：同解法一建立空間直角坐標系，

S1S3

有A(0,0,0),8(k，5，0),M(苧，不0)，N(0,1,z)

SiSi

A^'=(2>2,2)，MV=(一丁，z),?*AJ^'MN=0

\51V5I3,1,

(2?2,2)?(一芋4?z)=0??—g+g+2z=0

解得z=1，N=(0,1,1)即CN=1時，AB」MN.

ooo

(3)非向量法略，另向量法：方法一、基向量(待定系數(shù)法)P(走」,1)

44

2(—,-,1),則而=(0」,0)，又因為而=(立」,0)，AC=(0,1,0)

44222

0=^-x+Oy

11—?1—?—

設(shè)尸。=848+?4。得＜-=-x+y得x=0,y=l/2,所以PQ=—AC+0A8所

O^Qx+Qy

以PQ與面ABC共面，又因為PQz面ABC,所以PQ〃面ABC

例2已知/(x)=’一(xw—1).(來源課本第二冊P17、EX9；P23、EX4；P3KEX3)

x+1

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求證：%>y>0,有/(x+y)</(x)+/(y).

(3)若a?>b>U,c=-求證:/(a2)+/(c)>g.

說解：(1)對已知函數(shù)進行降次分項變形，得/(x)=l--1—,

x+1

.?./(外在區(qū)間(-8,-1)和(-1,+00)上分別單調(diào)遞增.

(2)首先證明任意x〉y〉O,有/。+>)</。)+/0).事實

—叱舟…1=f(xy+x+y)

ffi]xy+x+y>x+y,由⑴矢曠(xy+x+y)>/(x+y),

11

f(x)+f(y)>f(x+y)-：c------->---------4->-o

(a-b)b^a—b+bya

:.a'+c>a'+—>4./(a2)+/(c)>f(a~+c)>/(4)=—.

a5

函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中常考常新，是既考知識又

考能力的好題型，在高考備考中有較高的訓練價值.針對本例的求解,

你能夠想SO證明任意X>y>0,有/(x+y)</(x)+/(y).采用逆向分析法，給

出你的想法！

例4對于函數(shù)/(X),若存在％eR,使/1(為)=/成立，則稱為/(x)的不動點。

如果函數(shù)/。)=土上@(》1€')有且只有兩個不動點0,2,且/(-2)<-±

hx-c2

(1)求函數(shù)“X)的解析式;

(2)已知各項不為零的數(shù)列｛明｝滿足4s"?”')=1,求數(shù)列通項％;

a.

(3)如果數(shù)列｛%｝滿足4=4,a〃+]=f(即)，求證：當一22時，恒有a”<3成

立.

2

講解：依題意有土士=x,化簡為(l-b)/+cx+a=0,由違達定理，得

bx-c

2+0=-----,a=02

<li解得一代入表達式/(X)=--—，由

=

20=—a—,[h1—2/(li+t-。)、x-c

I1-b2

-21

f(-2)=----<一一，得c<3,又cGN,bGN,若c=。力=1,則/(x)=x不止有兩個

1+c2

Y2

不動點，c=2,b=2,故fM=------

2a-1)

(2)由題設(shè)得4S“?一?一=1得：2S“=a“—*(*)

2(—-1)

an

且見H1,以〃一1代〃得:2S,I=%T-(**)

由(*)與(**)兩式相減得：

2%=(%-??.|)一⑷一片-i)，即(??+%)(%-%-]+1)=0,

an=-a,-或%-*_i=-L以〃=1代入(*)得：2q=q-。；，

解得/=0(舍去)或為=-1,由%=-1,若%=-*t得。2=L這與。〃工1矛盾,

an-an_x=-1,即｛an｝是以T為首項，-1為公差的等差數(shù)列，/.an=-n；

(3)采用反證法,假設(shè)3(〃22),則由(1)知〃〃+]=/(〃〃)=------

2%-2

也=^~^=〈-(1+-17)<；(1+<)=:<1，即。,向<%(〃之2,〃€"),有

a?2(%-1)2an-1224

a<a)<...<a2,而當n-2時,a,=————=-=-<3;a<3,這與假

I222a「28-23

設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，.?.*<3.

關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上：

2

由4+1=/(%)得%+i=—r，」-=一2(----；)2得知+1〈。或a.+iN2.

2%-2an+lan222

若a””<0,則<0<3,結(jié)論成立；

若all+l>2，m〃22,從而an+l-an=-"-)<0,即數(shù)列｛%｝在〃22時單

7?

調(diào)遞減，由的=2]，可知/=2]<3,在〃22上成立.

比較上述兩種證法，你能找出其中的異同嗎？數(shù)學解題后需要進行必要的

反思，學會反思才能長進.

解析幾何中的基本公式

1、兩點間距離：若A（X1,y）B（X2，y2），則一為尸+（%—%產(chǎn)

特別地:AB〃x軸，貝“AB|

AB〃y軸，貝?AB|=

2、平行線間距離：若L：Ax+By+C,=0,12:Ax+By+C2=0

|c,-c|

貝|J：d2

VA2+B2

注意點:x,y對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)相等。

3、點到直線的距離：P(x0,yJ,1:Ax+By+C=O

則P到I的距離為：八叵巖手

y=kx+b

4、直線與圓錐曲線相交的弦長公式：

F(x,y)=0

消y：ax2+bx+c-0,務(wù)必注意A〉。.

若1與曲線交于A(xl,y1),B(x2,y2)

則：|AB|=J(1+J2)(X2-XJ2

5、若A（X[,）,B（X2,〉2），P（x,y）。P在直線AB上，且P

分有向線段AB所成的比為九，

%!+Xx

X=2

1+九

則＜，特別地：入=1時，P為AB中點且

y=

1+k

x-----

2

y_X+)'2

~2

變形后：九=土二土或九=2二A

》2一%乃一y

6、若直線h的斜率為的,直線12的斜率為k2，則h到12的角為a,ae（O,兀）

k—k

適用范圍：kPk2都存在且k|k2。-1,tana=g」

1+2［攵2

若h與b的夾角為。，則ta田.‘.嗎

注意：（1）11到L的角，指從h按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到12所成的角，范圍（0,兀）

h到12的夾角：指k12相交所成的銳角或直角。

（2）11_112時、夾角、到角=工。

2

（3）當h與12中有一條不存在斜率時，畫圖，求到角或夾角。

7、(1)傾斜角a,ae(O,n)；

(2))工夾角。，0e[O,n]；

(3)直線1與平面a的夾角p,Pe[O,^];

(4)h與12的夾角為。，Oe[O,—],其中1|〃12時夾角6=0;

2

(5)二面角0,ae(0,兀]；

(6)h到12的角力0e(0,兀)

8、直線的傾斜角a與斜率k的關(guān)系

a)每一條直線都有傾斜角a,但不一定有斜率。

b)若直線存在斜率k,而傾斜角為a,則1<=121101。

9、直線h與直線k的的平行與垂直

(1)若L，12均存在斜率且不重合:①I1//I20ki=k2

②lijj2Ok|k2=-1

(2)若L：Atx+B1y+C1=0,/2:A2x+B2y+C,=0

若Ai、A?>BI>B2都不為零

①h//bo&="片9;

A2B2C2

②li±h<=>AiA2+B]B2=0；

③h與b相交oa#殳

4B?

④h與12重合=4~=2=邑；

A2B2C2

注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與的情況。

10、直線方程的五種形式

名稱方程注意點

斜截式：y=kx+b應(yīng)分①斜率不存在

②斜率存在

點斜式:y-y.=%(》一九)(1)斜率不存在：x=x。

(2)斜率存在時為

y-y.=k(x-xj

兩點式：上二江=土衛(wèi)

為一月x2-x,

截距式：-+^=1其中1交X軸于30),交y

ah

軸于(0。)當直線1在坐標軸上，

截距相等時應(yīng)分：

(1)截距=0設(shè)y=kx

(2)截距=。工0設(shè)

x

-----+1----y-_1

aa

即x+y=a

一般式：Ax+By+C=0(其中A、B不同時為零)

10、確定圓需三個獨立的條件

圓的方程(1)標準方程：(x-4)2+(尸與2=「2,

(a,b)—圓心，r—半徑。

(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)

(DE、?、7D2+E2-4F

(---,---)—圓也r=--------------

222

11、直線Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系有三種

...\Aci+Bb4-Cl、

若d=—廣…-,d>r<=>相離=△<()

d—ro相切<=>A=0

d<ro相交o△>0

12、兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為01，。2，半徑分別為口，［2，\0102\=d_y

d>K+G<=>外離u>4條公切線,

d=八+弓=外切<=>3條公切線

r,-r2<d<八+2=相交o2條公切線

d-|rt-r2|o內(nèi)切o1條公切線

o<d<h-弓|=內(nèi)含=無公切線

13、圓錐曲線定義、標準方程及性質(zhì)

（一）橢圓

定義I：若Fi，F(xiàn)2是兩定點,P為動點，且|尸局+歸周=24>陽周“為

常數(shù)）則P點的軌跡是橢圓。

定義H：若B為定點，1為定直線，動點P到B的距離與到定直線1的距

離之比為常數(shù)e（0<e<l）,則P點的軌跡是橢圓。

焦距：2c

a

準線方程：尤=±—

c

22

焦半徑：\PF\=e（x+—）,\PFA=e（---x）,\PF\=2a-\PF^

1cc]

+c等（注意涉及焦半徑①用點P坐標表示，②第一定

義。）

注意：（1）圖中線段的幾何特征：|A闿=%可="。，|A閭=|&4|="+c

|B,F,|=|B|F2|=|B2F2|=|52^|=a,=.當|=Ja？+b’等等。頂

點與準線距離、焦點與準線距離分別與a,》,c有關(guān)。

（2）AF耳工中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式將有關(guān)線段|尸修、

\PF2\>2c,有關(guān)角NF；PB結(jié)合起來，建立|P-+|P周、

等關(guān)系

（3）橢圓上的點有時常用到三角換元：（X=flC°SG；

[y=fesinO

（4）注意題目中橢圓的焦點在x軸上還是在y軸上，請補充當焦點在y軸

上時，其相應(yīng)的性質(zhì)。

二、雙曲線

（-）定義：I若Fi，F(xiàn)2是兩定點，|尸耳一|尸闖=2。<陽尸2I（a為常數(shù)），

則動點P的軌跡是雙曲線。

II若動點P到定點F與定直線1的距離之比是常數(shù)e（e>l）,

則動點P的軌跡是雙曲線。

（二）圖形：

(三)性質(zhì)

2222

方程：一3—=1(<2>0,/?>0)-^-5-----7=1(a>0,b>0)

a~ba~b

定義域：(小24或X44};值域為R；

實軸長=2a,虛軸長=2b

焦距：2c

a2

準線方程：尤=±——

c

22

焦半徑：|PFj=e(x+?)，|尸身=6((-x),仍用-|尸閔|=2。；

注意：(1)圖中線段的幾何特征：|A用=怛引=-4,\AF2\=\BF,\=a+c

22

頂點到準線的距離：a-—^a+—；焦點到準線的距離:

CC

/7/72

兩準線間的距離二

2222

(2)若雙曲線方程為=漸近線方程：0一二=0ny=±Lx

cTb~ab~a

22

若漸近線方程為y=±2x=±±?=0=雙曲線可設(shè)為二—二=九

yaaba2b2

2222

若雙曲線與二-==1有公共漸近線，可設(shè)為二一鼻=九

a2b2a2b2

（k>0,焦點在x軸上，九<0,焦點在y軸上）

（3）特別地當。=〃時。離心率6=血。兩漸近線互相垂直，分別為

y=±x,此時雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為-->2=九；

（4）注意APF,F2中結(jié)合定義歸用-|PF2||=2a與余弦定理cosZF,PF2,

將有關(guān)線段|尸用、|尸心|、怛人|和角結(jié)合起來。

（5）完成當焦點在y軸上時，標準方程及相應(yīng)性質(zhì)。

二、拋物線

（一）定義：到定點F與定直線1的距離相等的點的軌跡是拋物線。

即：到定點F的距離與到定直線1的距離之比是常數(shù)e（e=l）。

（二）圖形：

（三）性質(zhì)：方程：y2=2〃x,（p>0）,p-一焦參數(shù);

焦點：或,0）,通倒AB|=2p；

準線：x=—K；

2

焦半徑：|CF|=x0+",過焦點弦長