2017-2018學年高中數(shù)學人教B版

選修1”全冊同步學案

目錄

1.1.1命題

1.1.2量詞

1.2.1"且”與“或”

1.2.2“非”（否定）

1.3.1推出與充分條件、必要條件

1.3.2命題的四種形式

2.1.1橢圓及其標準方程

2.1.2橢圓的幾何性質（一）

2.1.2橢圓的幾何性質（二）

2.2.1雙曲線及其標準方程

2.2.2雙曲線的幾何性質

2.3.1拋物線及其標準方程

2.3.2拋物線的幾何性質

第二章末復習提升

3.1.1函數(shù)的平均變化率

3.1.2瞬時速度與導數(shù)

3.1.3導數(shù)的幾何意義

3.2.1常數(shù)與基函數(shù)的導數(shù)-322導數(shù)公式表

3.2.3導數(shù)的四則運算法則

3.3.1利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性

3.3.2第1課時利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

332第2課時利用導數(shù)研究函數(shù)的最值

3.3.3導數(shù)的實際應用

第三章末復習提升

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THEFIRSTCHAPTER

第一章常用邏輯用語

1.1命題與量詞

1.1.1命題

［學習目標］1.了解命題的概念2會判斷命題的真假.

聲預習導學工I挑戰(zhàn)自我，點點落實__________________________________________________________

［知識鏈接］

在初中，我們已學過許多數(shù)學命題，當時是如何定義命題的，你能舉出一些例子嗎？

答判斷一件事情的句子叫命題.

如：有兩邊相等的三角形是等腰三角形.

［預習導引］

1.命題的概念

在數(shù)學中，我們常常碰到許多用語言、符號或式子表達的語句，其中能判斷真假的陳述句叫

做命題.

2.命題的真假

判斷為真的語句叫做真命題,

判斷為假的語句叫做假命題.

芝課堂講義=重點難點，個個擊破__________________________________________________________

要點一命題的判斷

例1下列語句是命題的是（）

A.x-l=0B.2+3=8

C.你會說英語嗎？D.這是一棵大樹

答案B

解析A中x不確定，X—1=0的真假無法判斷；B中2+3=8是命題，且是假命題；C不

1

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是陳述句，故不是命題；D中“大”的標準不確定，無法判斷真假.

規(guī)律方法并不是所有的語句都是命題，只有能判斷真假的陳述句才是命題，命題首先是

“陳述句”，其他語句如疑問句、祈使句、感嘆句等一般都不是命題；其次是“能判斷真假”，

不能判斷真假的陳述句不是命題，如“x》2”、“小明的個子很高”等都不能判斷真假，故

都不是命題.因此，判斷一個語句是否為命題，關鍵有兩點：①是否為陳述句；②能否判斷

真假.

跟蹤演練1判斷下列語句是否是命題.

(1)求證于是無理數(shù).

(2)x2+2r+1^0.

(3)你是高二的學生嗎？

(4)并非所有的人都喜歡蘋果.

(5)一個正整數(shù)不是質數(shù)就是合數(shù).

(6)若xGR,則X2+4X+7＞0.

(7)x+3＞0.

解⑴⑶⑺不是命題,(2)(4)(5)(6)是命題.

要點二命題真假的判斷

例2判斷下列命題的真假：

(1)已知a,h,c,JGR,若“Wc,b^d,則“+bWc+d；

⑵如果xWN,則成立;

(3)如果加＞1,則方程幺一級+加=0無實數(shù)根；

(4)存在一個三角形沒有外接圓.

解⑴假命題.反例：1W4,5W2,但l+5=4+2.

(2)假命題.反例：當x=0時，/＞小不成立.

(3)真命題＞10/=4-4加＜0,二方程x2-2x+m=0無實數(shù)根.

(4)假命題.因為不共線的三點確定一個圓，即任何三角形都有外接圓.

規(guī)律方法要判斷一個命題是真命題，一般需要經(jīng)過嚴格的推理論證，在證明時，要有理有

據(jù)，有時應綜合各種情況作出正確的判斷，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即

可.

跟蹤演練2下列命題：

①如果盯=1,則x、y互為倒數(shù)；

2

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②四條邊相等的四邊形是正方形；

③平行四邊形是梯形；

④如果ac2>6c2,貝！Ja>b.

其中真命題的序號是.

答案①④

解析①④是真命題，②四條邊相等的四邊形是菱形，不一定是正方形，③平行四邊形不是

梯形.

芝當堂檢測餐當堂訓練，體驗成功__________________________________________________________

1.下列語句不是命題的有（）

①2<1；②x<l；③如果x<2,則x<l；④函數(shù)加:）=/是R上的偶函數(shù).

A.0個B.14-C.2個D.3個

答案B

解析①③④可以判斷真假，是命題；②不能判斷真假，所以不是命題.

2.下列命題中的真命題是（）

A.互余的兩個角不相等

B.相等的兩個角是同位角

C.如果/=則同=回

D.三角形的一個外角等于和它不相鄰的一個內角

答案C

解析由平面幾何知識可知A、B、D三項都是錯誤的.

3.命題“函數(shù)尸2x+l是增函數(shù)"的條件是，結論是.

答案函數(shù)為y=2x+l該函數(shù)是增函數(shù)

4.下列命題：

①面積相等的三角形是全等三角形；②若孫=0,則|x|+[y|=0；③若心6,則四2>慶2；④矩

形的對角線互相垂直.

其中假命題的個數(shù)是.

答案4

解析①等底等高的三角形都是面積相等的三角形，但不一定全等；②當中一個為零，

另一個不為零時，\x\+\y\^0;③當c=O時不成立；④菱形的對角線互相垂直.矩形的對角

3

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線不一定垂直.

「課堂小結-----------------------------------1

1.根據(jù)命題的意義，能判斷真假的陳述句是命題，命題的條件與結論之間屬于因果關系，真

命題需要給出證明，假命題只需舉出一個反例即可.

2.任何命題都是由條件和結論構成的，可以寫成“如果°,則，'的形式.含有大前提的命

題寫成“如果p,則的形式，大前提應保持不變，且不寫在條件p中.

1.1.2量詞

［學習目標］1.通過生活和數(shù)學中的豐富實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義2能正確的

對含有一個量詞的命題進行否定3知道全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是

全稱命題.

聲預習導學餐挑戰(zhàn)自我，點點落實__________________________________________________________

［知識鏈接］

下列語句是命題嗎？(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關系？

(2)2x+l是整數(shù)；

⑶對所有的xGR,x>3；

(4)至少有一個xGZ,使2x+l是整數(shù).

答：語句(1)、(2)含有變量x,由于不知道變量x代表什么數(shù)，無法判斷它們的真假，因而不

是命題.語句(3)在(1)的基礎上，用短語“對所有的”對變量x進行限定；語句(4)在(2)的基

礎上，用短語“至少有一個”對變量x進行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語句，

因此語句(3)、(4)是命題.

［預習導引］

1.全稱量詞和全稱命題

(1)全稱量詞：短語“所有”在陳述中表示事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符

號“V”表示.

(2)全稱命題：含有全稱量詞的命題叫做全稱命題.即是陳述某集合所有元素都具有某種性

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質的命題.其形式為“對例中的所有x,p(x)”的命題，用符號簡記為Vx旺Hx).

2.存在量詞和存在性命題

(1)存在量詞

短語“有一個”或“有些”或“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分,邏輯中

通常叫做存在量詞,并用符號“m”表示.

(2)存在性命題

含有存在量詞的命題,叫做存在性命題.即是陳述某集合"的有些元素X具有某種性質的

命題，那么存在性命題就是形如“存在集合"中的元素x,q(x)”的命題，用符號簡記為

三。€四，g(x).

聲課堂講義=重點難，京，個個擊破__________________________________________________________

要點一全稱量詞與全稱命題

例1試判斷下列全稱命題的真假：

(l)VxCR,X2+2>0；

(2)VxGN,

(3)對任意角a,都有si/a+cos2a=1.

解(1)由于VxWR,都有x220,因而有f+2>2>0,即f+2>0,所以命題“VXGR,?

+2>0”是真命題.

(2)由于0GN,當x=0時，不成立，

所以命題“WxCN,是假命題.

(3)由于VaCR,sin2a+cos2a=l成立.

所以命題“對任意角a,都有si/a+cos2a=1”是真命題.

規(guī)律方法判斷全稱命題為真時，要看命題是否對給定集合中的所有元素都成立.判斷全稱

命題為假時，可以用反例進行否定.

跟蹤演練1判斷下列全稱命題的真假：

(1)所有的素數(shù)是奇數(shù)；

(2)VxGR,f+i2］；

(3)對每一個無理數(shù)x,W也是無理數(shù).

解(1)2是素數(shù)，但2不是奇數(shù).

所以，全稱命題“所有的素數(shù)是奇數(shù)”是假命題.

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(2)VxGR,總有￥20,因而￥+121.

所以，全稱命題“VxCR,x2+l>lw是真命題.

(3附是無理數(shù)，但(血產(chǎn)=2是有理數(shù).

所以，全稱命題”對每一個無理數(shù)x,x2也是無理數(shù)”是假命題.

要點二存在量詞與存在性命題

例2判斷下列命題的真假：

(l)3xSZ,x3<l；

(2)存在一個四邊形不是平行四邊形；

(3)有一個實數(shù)a,tana無意義.

兀

(4)3x^R,cosx=/.

解⑴?.?一iez,且—

a3xez,x3<1"是真命題.

(2)真命題，如梯形.

,JT

(3)真命題，當a=g時，tana無意義.

TT

(4)；當xGR時，cosxG[-l,l],而]>1,

TI

不存在xGR,使co&r=/,

.,.原命題是假命題.

規(guī)律方法存在性命題是含有存在量詞的命題，判定一個存在性命題為真，只需在指定集合

中找到一個元素滿足命題結論即可.

跟蹤演練2判斷下列存在性命題的真假：

(1)有一個實數(shù)x,使X2+2X+3=0；

(2)存在兩個相交平面垂直于同一條直線；

(3)有些整數(shù)只有兩個正因數(shù).

解(1)由于VxdR,』+2X+3=(X+1)2+2》2,因此使？+2x+3=0的實數(shù)x不存在.所

以，存在性命題”有一個實數(shù)x,使f+2x+3=0”是假命題.

(2)由于垂直于同一條直線的兩個平面是互相平行的，因此不存在兩個相交的平面垂直于同

一條直線.所以，存在性命題“存在兩個相交平面垂直于同一條直線”是假命題.

(3)由于存在整數(shù)3只有兩個正因數(shù)1和3,所以存在性命題“有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)”是

真命題.

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要點三全稱命題、存在性命題的應用

例3(1)對于任意實數(shù)x,不等式sinx+cosx>m恒成立.求實數(shù)機的取值范圍；

(2)存在實數(shù)x,不等式sinx+cosx>/77有解，求實數(shù)m的取值范圍.

解(口☆yusinx+cosx,x^R,

?.?y=sinx+cosx=V^sin(x+分，一啦，

又丁Vx^R,siar+cosx>w恒成立，

???只要〃K—6即可.

，所求機的取值范圍是(一8,一啦).

(2)令歹=sinv+cosx,x^R,

??，=sinx+cosx=啦sin(x+/e[—$，y[2].

又丁3x^R,sinr+cosx>w有解，

??.只要〃「即可，

???所求〃?的取值范圍是(一8,啦).

規(guī)律方法有解和恒成立問題是存在性命題和全稱命題的應用，注意二者的區(qū)別.

跟蹤演練3(1)已知關于x的不等式f+(2a+l)x+a2+2W0的解集非空，求實數(shù)。的取值

范圍；

(2)若命題p：回一sin2x=sinx—cosx是真命題,求實數(shù)x的取值范圍.

解(1)關于x的不等式』+(2a+l)x+a2+2W0的解集非空，?"=(2。+1)2—4(/+2)20,

即4〃—720,

77

解得心4???實數(shù)a的取值范圍為g+8).

(2)由41-sin2x=sinx-cosx,

得y]sin2r+cos2x-2sirtvcosx=sinx-cosx,

y/(siar-cosx)2=sinx-cosx,

即|sinx-cosx|=sinx-cosx,

.*.sinx^co&r.

TT5IT

結合三角函數(shù)圖象，得2E+gxW2E+詈(MZ),

此即為所求x的取值范圍.

即p：Vx￡[2E+j,2E+亨]/WZ),有[1—sin2x=sinx—coax是真命題.

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尋當堂檢測》當堂訓練，體驗成功__________________________________________________________

1.給出四個命題：①末位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在實數(shù)

x,x>0；④對于任意實數(shù)x,2x+l是奇數(shù).下列說法正確的是()

A.四個命題都是真命題

B.①②是全稱命題

C.②③是存在性命題

D.四個命題中有兩個假命題

答案C

解析①④為全稱命題；②③為存在性命題；①②③為真命題；④為假命題.

2.下列命題中，不是全稱命題的是()

A.任何一個實數(shù)乘以0都等于0

B.自然數(shù)都是正整數(shù)

C.每一個向量都有大小

D.一定存在沒有最大值的二次函數(shù)

答案D

解析D選項是存在性命題.

3.下列存在性命題是假命題的是()

A.存在xCQ,使2^一?？=0

B.存在x6R,使x2+x+l=0

C.有的素數(shù)是偶數(shù)

D.有的有理數(shù)沒有倒數(shù)

答案B

解析對于任意的xCR,f+x+l=(x+2)2+j>0恒成立.

4.用量詞符號“V”“三”表述下列命題：

(1)凸〃邊形的外角和等于2兀

(2)有一個有理數(shù)x滿足X2=3.

(3)對任意角a,都有sin%+cos%=1.

解(l)Txe{x|x是凸"邊形},x的外角和是2兀.

(2)X2=3.

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(3)Va￡R,sin2a+cos%=1.

|-課堂小結-----------------------------------1

1.判斷命題是全稱命題還是存在性命題，主要是根據(jù)命題涉及的意義去判斷，命題中有的含

有全稱量詞和存在量詞，有的不含全稱量詞和存在量詞，一定要抓實質，不能看表面.

2.要確定一個全稱命題是真命題，需保證該命題對所有的元素都成立；要確定一個全稱命

題是假命題，舉出'一個反例即可.

3.要確定一個存在性命題是真命題，舉出一個例子說明該命題成立即可；若經(jīng)過邏樣推理

得到命題對所有的元素都不成立，則該存在性命題是假命題.

1.2基本邏輯聯(lián)結詞

1.2.1“且”與“或”

［學習目標］1.理解邏輯聯(lián)結詞“且”、“或”的含義2會用邏輯聯(lián)結詞聯(lián)結兩個命題或改

寫某些數(shù)學命題，并能判斷命題的真假.

尹預習導學J挑戰(zhàn)自我，點點落實__________________________________________________________

［知識鏈接］

1.觀察三個命題：①5是10的約數(shù)；②5是15的約數(shù)；③5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)，

它們之間有什么關系？

答：命題③是將命題①，②用“且”聯(lián)結得到的新命題.“且”與集合運算中交集的定義

A^B^{x\x^A,且xe團中“且”的意義相同，叫邏輯聯(lián)結詞，表示“并且”，“同時”

的意思.

2.觀察三個命題：①3>2；②3=2；③322它們之間有什么關系？

答：命題③是命題①，②用邏輯聯(lián)結詞“或”聯(lián)結得到的新命題.“或”與集合運算中并集

A^B={x\x^A,或xd團中的“或”的意義相同，有“可兼”的含義.

［預習導引］

1.用邏輯聯(lián)結詞構成新命題

(1)一般地，用邏輯聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起

來，就得到一個新命題，記作包細，讀作“p且.

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由“且”的含義，可以用“且”來定義集合4和集合8的交集八(xG8)}.

(2)一般地，用邏輯聯(lián)結詞“或”把命題p,g聯(lián)結起來，就得到一個新命題，記作必，讀

作“p或g”.

由“或”的含義，可以用“或”來定義集合/和集合8的并集/U8="|(xG/)\/ae8)}.

2.含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假判斷

PqP八4

真真*真

真：假真假

假真假

假假微假

,課堂講義金重點難點，個個擊破__________________________________________________________

要點一含邏輯聯(lián)結詞的命題的構成

例1指出下列命題的形式及構成它的簡單命題：

(1)24既是8的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)；

(2)菱形是圓的內接四邊形或是圓的外切四邊形.

解(1)這個命題是"pAq”的形式，其中p：24是8的倍數(shù)，q：24是6的倍數(shù).

(2)這個命題是“p'q”的形式，其中p：菱形是圓的內接四邊形，/菱形是圓的外切四邊

形.

規(guī)律方法(1)正確理解邏輯聯(lián)結詞“且”“或”是解題的關鍵.

(2)有些命題并不一定包含“或”“且”這些邏輯聯(lián)結詞，要結合命題的具體含義正確的判

定命題構成.

跟蹤演練1分別寫出由下列命題構成的“pVq”“pAq”形式的命題：

(l)p：梯形有一組對邊平行，伙梯形有一組對邊相等；

Q)p：一1是方程f+4x+3=0的解，q：一3是方程f+4x+3=0的解.

解(Dp八q：梯形有一組對邊平行且有一組對邊相等.

pVg：梯形有一組對邊平行或有一組對邊相等.

(2)/?Aq：-1與-3是方程/+4》+3=0的解.

p\/q：-1或一3是方程X2+4X+3=0的解.

要點二判斷含邏輯聯(lián)結詞命題的真假

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例2指出下列命題的構成形式并判斷命題的真假：

(I)等腰三角形底邊上的中線既垂直于底邊，又平分頂角；

(2)1是素數(shù)或是方程f+3x-4=0的根.

解(1)是p八q形式,其中p：等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊；外等腰三角形底邊上

的中線平分頂角.因為p真，夕真，所以pAq真.所以該命題是真命題.

(2)這是pVq形式命題，其中p：1是素數(shù)；/1是方程x?+3x-4=0的根，因為p假，q

真，所以pVq真，故該命題是真命題.

規(guī)律方法判斷含邏輯聯(lián)結詞的命題的真假的步躲：

(1)逐一判斷命題p,q的真假.

(2)根據(jù)“且”“或”的含義判斷“pNq”，“pVg”的真假.

p/\q為真Op和q同時為真，pf\q為假Op和q中至少一個為假；

pVg為真Op和q中至少一個為真，p\/q為假0P和q同時為假.

跟蹤演練2分別指出下列各組命題構成的“pAg”和“p7q”形式的命題的真假：

(l)p：6<6,q：6=6；

(2)p：梯形的對角線相等，/梯形的對角線互相平分；

(3)p：函數(shù)y=x?+x+2的圖象與x軸沒有公共點；

q：不等式x2+x+2<0無解；

(4>:函數(shù)^=8&￥是周期函數(shù).

q：函數(shù)y=cosx是奇函數(shù).

解(l)：p為假命題，g為真命題.

；.pA夕為假命題，pVq為真命題.

(2)：p為假命題，q為假命題，

為假命題，pVq為假命題.

(3)：p為真命題，q為真命題，

.'.pA夕為真命題，pVg為真命題.

(4)；p為真命題，q為假命題，

.'.pA夕為假命題，pVg為真命題.

要點三邏輯聯(lián)結詞的應用

例3設有兩個命題.命題p：不等式x2-(a+l)x+lW0的解集是。；命題夕：函數(shù)

+1『在定義域內是增函數(shù).如果0人夕為假命題，pV夕為真命題，求a的取值范圍.

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解對于p:因為不等式

x2-（a+l）x+lW0的解集是0,

所以/=[一（。+1）]2—4<0.

解這個不等式得：-3<a<l.

對于q：兀0=（。+1）、在定義域內是增函數(shù),

則有所以a>0.

又pAq為假命題，pVq為真命題，

所以p、q必是一真一假.

當P真q假時有一3QW0,當P假4真時有生1.

綜上所述，。的取值范圍是（一3,0]U[l,+oo）.

規(guī)律方法正確理解"且''”或”的含義是解此類題的關鍵，由pAq為假知p,g中至少一假，由

pVg為真知p,q至少一真.

跟蹤演練3已知命題曲方程f+2ax+l=0有兩個大于一1的實數(shù)根，命題.關于x的

不等式ax2-ax+1>0的解集為R,若夕為假命題，“pVg”為真命題，求實數(shù)a的取值范

圍.

解命題p：方程/+2依+1=0有兩個大于一1的實數(shù)根，等價于

J=4tz2—420,a2—1>0,

*x\+^2>—2,6—2a>—2,

Xxi+l)(x2+l)>0〔2—2a>0,

解得Q<一1.

命題4：關于x的不等式必2—公+1>0的解集為R,

ft7>0,

等價于a=0或J

I/O.

(7>0,。>0,

由于？解得0VQV4,???0W〃V4.

J<0a—4a<0,

因為9為假命題，“pV/'為真命題，即p真且q假,

—1,

所以解得a<一1.

。<0或

故實數(shù)。的取值范圍是（-8,-1].

芝當堂檢測￥當堂訓練，體驗成功__________________________________________________________

I.命題：“方程W—1=0的解是x=±l"，其使用邏輯聯(lián)結詞的情況是（）.

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A.使用了邏輯聯(lián)結詞“且”

B.使用了邏輯聯(lián)結詞“或”

C.沒有使用邏輯聯(lián)結詞

D.以上選項均不正確

答案B

解析”x=±l"可以寫成“x=l或X=-1"，故選B.

2.已知p-.0a{0},q：{1}€{1,2}.在命題“p”,“q”,upNqn,和“pVq”中，真

命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.0個

答案B

解析容易判斷命題p：00{0}是真命題，命題g：{1}G{1,2}是假命題，所以pAg是假命

題，pVq真命題，

故選B.

3.給出下列命題：

@2>1或1>3；

②方程》2—愛一4=0的判別式大于或等于0；

③25是6或5的倍數(shù)；

④集合/C8是1的子集，且是NU3的子集.

其中真命題的個數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

答案D

解析①由于2>1是真命題，所以“2>1或1>3”是真命題；

②由于方程》2—2x—4=0的/=4+16>0,所以“方程f—2x—4=0的判別式大于或等于0”

是真命題；

③由于25是5的倍數(shù)，所以命題”25是6或5的倍數(shù)”是真命題；

④由于108三%,所以命題“集合/A8是/的子集，且是ZU8的子集”

是真命題.

4.命題p-.方向相同的兩個向量共線，q：方向相反的兩個向量共線，則命題“pV?”為

答案方向相同或相反的兩個向量共線

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2017-2018學年高中數(shù)學人教B版選修1-1學案

解析方向相同的兩個向量共線或方向相反的兩個向量共線，即“方向相同或相反的兩個向

量共線”.

(-課堂小結-----------------------------------1

1.正確理解邏輯聯(lián)結詞是解題的關鍵，日常用語中的“或”是兩個中任選一個，不能都選,

而邏輯聯(lián)結詞中的“或”是兩個中至少選一個.

2.判斷含邏輯聯(lián)結詞命題的真假時，先逐一判斷命題p,q的真假；再根據(jù)“且”“或”的

含義判斷“p/\q”“pVq”的真假.

1.2.2“非”(否定)

［學習目標］1.理解邏輯聯(lián)結詞“非”的含義2掌握存在性命題和全稱命題否定的格式，會

對命題、存在性命題、全稱命題進行否定.

產(chǎn)預習導學/挑戰(zhàn)自我，點點落實__________________________________________________________

［知識鏈接］

你能嘗試寫出下面含有一個量詞的命題的否定嗎？

(1)所有矩形都是平行四邊形；

(2)每一個素數(shù)都是奇數(shù)；

(3)VA-￡R,X2~2X+1^0.

答：(1)存在一個矩形不是平行四邊形；

(2)存在一個素數(shù)不是奇數(shù)；

(3)3xGR,x2—2x+1<0.

［預習導引］

1.概念

一般地，對命題〃加以否定，就得到一個新的命題，記作鰥，讀作“非p”或“p的否定”.

由“非”的含義，可以用“非”來定義集合/在全集U中的補集］〃={xeu|^(xd/)}=

{x￡U\x^-A}.

2.p與^p真值表

p

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3.存在性命題的否定

存在性命題p：3x^A,p(x),

它的否定是㈱P：X/xL,(x).

存在性命題的否定是全稱命題.

4.全稱命題的否定

全稱命題/VxGJ,g(x),

它的否定是^(7：mxd/,睇。(x).

全稱命題的否定是存在性命題.

5.開句

含有變量的語句，通常稱為開句或條件命題.

菱課堂講義=重點難點，個個擊破__________________________________________________________

要點一全稱命題的否定

例1寫出下列全稱命題的否定：

(1)任何一個平行四邊形的對邊都平行；

(2)數(shù)列：1,2,3,4,5,中的每一項都是偶數(shù)；

(3)Va,b《R,方程都有唯一解；

(4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.

解(1)其否定為：存在一個平行四邊形的對邊不都平行.

(2)其否定：數(shù)列：1,2,3,4,5,中至少有一項不是偶數(shù).

(3)其否定：3a,h&R,使方程辦=6的解不唯一或不存在.

(4)其否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.

規(guī)律方法全稱命題的否定是存在性命題，對省略全稱量詞的全稱命題可補上量詞后進行否

定.

跟蹤演練1寫出下列全稱命題的否定：

(l)p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；

(2)p：每一個四邊形的四個頂點共圓；

(3＞：對任意xGZ,/的個位數(shù)字不等于3.

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解(1)存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù).

(2)㈱p：存在一個四邊形，它的四個頂點不共圓.

(3)^p：3xez,x?的個位數(shù)字等于3.

要點二存在性命題的否定

例2寫出下列存在性命題的否定：

(1)p：3xGR,f+x+3W0；

(2均：有的三角形是等邊三角形；

(3>：有一個質數(shù)含有三個正因數(shù).

解⑴㈱p：VxGR,X2+X+3>0.

(2)㈱/所有的三角形都不是等邊三角形.

(3)^r：每一個質數(shù)都不含三個正因數(shù).

規(guī)律方法存在性命題的否定是全稱命題，即“mxe/,p(x)”的否定為“VxG/,^p(x)”.由

以上結論，可知寫一個命題的否定時，首先判斷該命題是“全稱命題”還是“存在性命題”，

要確定相應的量詞，給出命題否定后，要判斷與原命題是否相對應(全稱命題—存在性命題),

進一步判斷它們的真假是否對應.

跟蹤演練2寫出下列存在性命題的否定：

⑴P：有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)：

(2)p：某些平行四邊形是菱形；

(3冰BxGR,x3+l<0.

解(1)㈱p：所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù).

(2)㈱p：每一個平行四邊形都不是菱形.

(3避p：Vx￡R,d+120.

要點三存在性命題、全稱命題的綜合應用

例3已知函數(shù)")=4》2-2仍一2比一202—/?+1在區(qū)間［-1,1］上至少存在一個實數(shù)一使得

/(c)>0.求實數(shù)p的取值范圍.

解在區(qū)間［-L1］中至少存在一個實數(shù)C,使得｛。)>0的否定是在［—1,1］上的所有實數(shù)X,

都有_Ax)wo恒成立.又由二次函數(shù)的圖象特征可知，

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即j4+2（p-2）—2p2—p+l<0,

V（l）W0,U-2（p-2）-2p2-/?+l<0,

〃力或睜一右

3.

{或pW—3.

3

.?.p2］或pW—3.

故在區(qū)間［—1,1］上至少存在一個實數(shù)C且使人c）>0的實數(shù)p的取值范圍是（一3,1）.

規(guī)律方法通常對于“至多”“至少”的命題，應采用逆向思維的方法處理，先考慮命題的

否定，求出相應的集合，再求集合的補集，可避免繁雜的運算.

跟蹤演練3若VxeR,&）=（“2—1『是減函數(shù)，則a的取值范圍是.

答案（一&,-1）U（1,姬）

［a1—1>0,

2

解析依題意有：0<tz-l<lo2

［才一1<1

p/v—1或。>1,

cj廠廣^—yJ2<a<—1或l<a<,\/2.

尹當堂檢測蘭當堂訓練，體驗成功__________________________________________________________

1.命題P："存在實數(shù)小使方程/+,內+1=0有實數(shù)根”，則形式的命題是（）

A.存在實數(shù)加，使方程x2+〃優(yōu)+1=0無實根

B.不存在實數(shù)機，使方程*2+加工+1=0無實根

C.對任意的實數(shù)加，方程x?+機》+1=0無實根

D.至多有一個實數(shù)加，使方程》2+”式+1=0有實根

答案C

解析命題p是存在性命題，其否定形式為全稱命題，即^p：對任意的實數(shù)機，方程f

+/nx+1=0無實根.

2.對下列命題的否定說法錯誤的是（）

A.p-.能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；㈱p：存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)

B.p-.有些矩形是正方形；糠p：所有的矩形都不是正方形

C.p-.有的三角形為正三角形；㈱p：所有的三角形不都是正三角形

D.p：m〃eN,2"W100；㈱p：V〃WN2">100.

答案C

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解析“有的三角形為正三角形”為存在性命題，其否定為全稱命題：“所有的三角形都不

是正三角形”，故選項C錯誤.

3.下列命題中的假命題是()

A.VXGR,2*T>0

B.VxGN*,(x-l)2>0

C.R,lgx<l

D.3xGR,tanx=2

答案B

解析A中命題是全稱命題，易知2*-、0恒成立，故是真命題；B中命題是全稱命題，當x

=1時，(X—1)2=0,故是假命題；C中命題是存在性命題，當x=l時，lgx=0,故是真命

題；D中命題是存在性命題，儂據(jù)正切函數(shù)定義，可知是真命題.

4.命題“零向量與任意向量共線”的否定為.

答案有的向量與零向量不共線

解析命題“零向量與任意向量共線”即“任意向量與零向量共線”，是全稱命題，其否定

為存在性命題：“有的向量與零向量不共線”.

|-課堂小結-----------------------------------1

1.對含有一個量詞的命題的否定要注意以下問題：

(1)確定命題類型，是全稱命題還是存在性命題，無量詞的全稱命題要先補回量詞再否定.

(2)改變量詞：把全稱量詞改為恰當?shù)拇嬖诹吭~；把存在量詞改為恰當?shù)娜Q量詞.

2.同一個全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法，在實際應

用中可以靈活地選擇.

全稱命題特稱命題

命題

p(x)”

①對所有的p(x)成立①存在使p(x)成立

②對一切p(x)成立②至少有一個工￡力，使p(x)成立

表述方法③對每一個p(x)成立③對有些使p(x)成立

④任選一個工￡力，使p(x)成立④對某個工仁力，使p(r)成立

⑤凡都有p(x)成立⑤有一個工仁力，使p(r)成立

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2017-2018學年高中數(shù)學人教B版選修1-1學案

1.3充分條件、必要條件與命題的四種形式

1.3.1推出與充分條件、必要條件

［學習目標］1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義2會求（判定）某些簡單命題的條件

關系.

預習導學一挑戰(zhàn)自我，點點落實__________________________________________________________

［知識鏈接］

判斷下列兩個命題的真假，并思考命題中條件和結論之間的關系：

（1）如果X>J+62,則X>2"；

（2）如果則x=l.

答（1）為真命題，（2）為假命題.

命題⑴中,有XAJ+ZA必有x>2a6,BPx>a2b2=>x>2ab；但由x>206推不出%>/+征.命

題（2）中，由|x|=l,可得x=l或-1.即由博=1推不出x=l；但由元=1能推出W=l.

結論：一般地，“如果p,則夕”為真命題，是指由p通過推理可以得出《.這時，我們就說，

由p可推出4,記作p臺分并且說p是4的充分條件，q是p的必要條件.

［預習導引］

1.命題的結構

在數(shù)學中，我們經(jīng)常遇到“如果P，則（那么切”的形式的命題，其中。稱為命題的條件,q

稱為命題的結論.

2.充分條件與必要條件的定義

當命題“如果p,則經(jīng)過推理證明斷定是真命題時，我們就說由p成立可以推出《成立，

記作〃=>〃,讀作"p推出.

如果p可推出g,則稱〃是〃的充分條件;4是〃的必要條件.

3.p今g的等價命題在邏輯推理中，能表達成以下5種說法：

①“如果p,則q”為真命題;②p是q的充公條件；③q是p的必要條件:④q的充分條件

是p；的必要條件是久

4.充要條件的定義

-一般地，如果且〃一小則稱p是夕的充分且必要條件，簡稱。是。的充要條件,記

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2017-2018學年高中數(shù)學人教B版選修1-1學案

作pOq.

p是q的充要條件，又常說成。當且僅當〃,或“與。等價.

,課堂講義餐重點難點，個個擊破__________________________________________________________

要點一充分條件、必要條件、充要條件的判斷

例1指出下列各題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，

“充要條件”，“既不充分又不必要條件”中選出一種作答)：

(1)在△/8C中，p：N4>NB,q：BOAC；

(2)在△/8C中，p：sitvl>sin5,q：tan?l>tanS；

(3)已知x,yGR,p：(x-l)2+(y—2)2=0,

q：(x—l)(y—2)=0.

解(1)在△/8C中，顯然有所以p是4的充要條件.

(2)取Z=120。，8=30。，p>/q,又取4=30°,8=120°,q*/p,所以p是夕的既不充分也

不必要條件.

(3)因為p：4={(1,2)},

q:B—{(x,y)|x=l或y=2},

AB,所以p是g的充分不必要條件.

規(guī)律方法(1)判斷p是17的什么條件，主要判斷p=>q及q=p兩命題的正確I性，若p今g真，

則p是4的充分條件，若q0p真，則p是q的必要條件.

(2)關于充要條件的判斷問題，當不易判斷。今q真假時，也可從集合角度入手判斷真假，結

合集合關系理解，對解決與邏輯有關的問題是大有益處的.

跟蹤演練1指出下列各組命題中，p是夕的什么條件(在“充分不必要條件，必要不充分條

件，充要條件，既不充分也不必要條件”中選一種作答)？

(l)p：△ABC中，b2>a2+c2,q：△Z8C為鈍角三角形；

(2)夕A/BC有兩個角相等，</：△NBC是正三角形；

a,p：ci~—0rq：a=b=Q.

解(1)在△/BC中，

22,2a2+c2-b2

\"b2>a2+c2,：.cosB=~-----<0,

lac

???8為鈍角，即△48C為鈍角三角形，反之若△48C為鈍角三角形，8可能為銳角，這時

b2<a2+c2.

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2017-2018學年高中數(shù)學人教B版選修1-1學案

:,p0q,q今p,故p是夕的充分不必要條件.

(2)有兩個角相等不一定是等邊三角形，反之一定成立，

:q，q=p，故P是夕的必要不充分條件.

(3)若J+/=o,則a=6=0,故p今q；

若4=6=0,則42+反=0,即夕今p,

所以P是9的充要條件.

要點二充要條件的證明

例2求證：關于X的方程f+s+i=o有兩個負實根的充要條件是加，2.

證明(1)充分性：因為〃?22,所以/=〃?2—4》0,所以方程f+Mx+i=。有實根，設兩根

為X1，孫

由根與系數(shù)的關系知，X1X2=1>O,所以修，X2同號.

又XI+M=—MW—2<0,所以修，M同為負數(shù).

即僅22是x2+wx+1=0有兩個負實根的充分條件.

(2)必要性：因為f+〃7x+l=0有兩個負實根，設其為修，必，且工座2=1,

-420,

所以工

[X]十M=一“<A0,

加22或陽W—2,

即

7?7>0,

所以〃?22,即加22是1=0有兩個負實根的必要條件.

綜上可知，加22是/+加工+1=。有兩個負實根的充要條件.

規(guī)律方法充要條件的證明，關鍵是確定哪是條件，哪是結論，并明確充分性是由條件推結論,

必要性是由結論推條件，也可以理解為證明充分性就是證原命題成立，證必要性就是證原命

題的逆命題成立.

跟蹤演練2求證：方程f+(2左一1)/+必=0的兩個根均大于1的充要條件是“V—2.

證明必要性:

若方程f+(2攵-l)x+F=0有兩個大于1的根，不妨設兩個根為修，X2,則

'/=(2%—1)2—4必20,

(

X1-l)+(x2-1)>0,(xi+.￥2)—2>0,

—

.(Xj—l)(x2l)>0.<XiX2~(X1+%2)+1>0.

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產(chǎn),

即-(2/t-l)-2>0,

1+(2左-1)+1>0,

解得k<—2.

充分性：當ZV—2時，/=(2%—1)2—4必=1-4%>0.

設方程工2+（2攵一l）x+F=0的兩個根為修，X2.

則(X]—1)(工2—1)=工]工2—8+》2)+1=0+2攵-1+1=%(%+2)>0.

又(修一1)+(工2—1)=(獷+工2)—2=—(2攵-1)—2

=一2左一1>0,

?*.%1—1>0,X2~1>0,

1,M>1.

綜上可知，方程f+（2左一l）x+d=0有兩個大于1的根的充要條件為左〈一2.

要點三充分條件和必要條件的應用

例3己知p：2?-3x-2》0,公X2一2（“一l）x+a（a-2）20,若p是q的充分不必要條件.求

實數(shù)。的取值范圍.

解