小題壓軸題專練23—立體幾何（動點問題）一．單選題1．如圖，正方體的棱長為2，點為底面的中心，點在側面的邊界及其內部運動，若，則△面積的最小值為A． B． C． D．2．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為正方體內部及其表面上的一動點，且，則滿足條件的所有點構成的平面圖形的面積是A． B． C．4 D．3．如圖，在正方體中，點在面對角線上運動，下列四個命題中錯誤的是A．平面 B．平面平面 C．三棱錐的體積不變 D．4．如圖，在正方體中，是棱的中點，是側面內的動點，且與平面的垂線垂直，則下列說法不正確的是A．與不可能平行 B．與是異面直線 C．點的軌跡是一條線段 D．三棱錐的體積為定值5．如圖，在正方體中，點在線段上運動，，分別為，的中點，記異面直線與所成的角為，則的取值范圍是A． B． C． D．6．在棱長為2的正方體中，為的中點．當點在平面內運動時，有平面，則線段的最小值為A．1 B． C． D．7．已知長方體中，，，是上任意一點（不是端點），是的中點，則異面直線與所成角的正切值的最小值為A． B． C． D．8．如圖，四邊形，，均為正方形．動點在線段上，，，分別是，，的中點，則下列選項正確的是A． B．平面 C．存在點，使得平面平面 D．存在點，使得平面平面二．多選題9．如圖，邊長為1的正方形所在平面與正方形所在平面互相垂直，動點，分別在正方形對角線和上移動，且．則下列結論中正確的有A．當時，與相交 B．始終與平面平行 C．異面直線與所成的角為 D．當時，的長最小，最小為10．如圖所示，正三棱柱各棱的長度均相等，為的中點，、分別是線段和線段上的動點（含端點），且滿足，當、運動時，下列結論中正確的是A．平面平面 B．在內總存在與平面平行的線段 C．三棱錐的體積是三棱柱的體積的 D．11．如圖，正方體的棱長為，則下列結論正確的是A．若點在線段上，則不存在點滿足 B．若點在線段上，則四面體的體積為定值 C．若點在線段上，則異面直線與所成角的取值范圍是， D．若點是正方體表面上的動點，則滿足的動點軌跡長度為12．如圖，在正方體中，點在線段上運動，則A．直線平面 B．點到平面的距離為定值 C．異面直線與所成角的取值范圍是 D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三．填空題13．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是．①平面平面；②；③的取值范圍是；④三棱錐的體積為定值．14．正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，下列說法正確的是（寫出所有正確說法的編號）（1）；（2）平面；（3）三棱錐的體積為定值；（4）異面直線，所成的角為定值；（5）的面積與的面積之比為定值．15．如圖，在正方體中，點在線段上運動，，分別為，的中點，記異面直線與所成的角為．當點與重合時，；的取值范圍是．16．已知正四面體內接于半徑為的球中，在平面內有一動點，且滿足，則的最小值是；直線與直線所成角的取值范圍為．

小題壓軸題專練23—立體幾何（動點問題）答案1解：如圖所示：當點在處時，，當點在的中點時，，所以，所以，又，所以平面，所以點的軌跡是線段，因為平面，所以△面積最小時，，此時，，故選：．2．解：如圖，正方體中，在平面的射影為，在平面的射影為，分別取中點，中點，利用三垂線定理得，，，所以平面．所以，點在正方體中過、、的截面上．分別取，，的中點、、，連接，，，，平面即為截面．在正方體中求得，所以正六邊形的面積為．故選：．3．解：如圖所示：對于，由正方體，可知，，可得平面平面，又平面，得平面，故正確；對于，連接、，由正方體，可知，，可得平面，又平面，可得，同理，可得平面，又平面，所以可得平面平面，故正確；對于，設點到平面的距離為、正方體棱長為1，可得為定值，故正確；對于，由正方體，可知，假設，則平面，則，可知△是等邊三角形，不與垂直，又，不與垂直，假設不成立，故錯誤；故選：．4．解：設平面與直線交于，連接，則為的中點，分別取，的中點，，連接，，，如圖，，平面，平面，平面，同理可得平面，又、是平面內的兩條相交直線，平面平面，而平面，平面，得點的軌跡為一條線段，故正確；并由此可知，當與重合時，與平行，故錯誤；平面平面，和平面相交，與是異面直線，故正確；，則點到平面的距離為定值，三棱錐的體積為定值，故正確．故選：．5．解：取的中點，連接，則或其補角是異面直線與所成的角．，當點與重合時，連接，，，，平面，則，此時異面直線與所成角最大，即為，；當點由向方向移動時，角不斷減小，當點與點重合時，角最小，連接，，設，可得，，，，，．故選：．6．解：取的中點，的中點，連接、、，，，，，如圖所示：因為、分別為、中點，所以，因為平面，平面，所以平面，同理，、分別為、中點，所以，因為，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，因為平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，又點在平面內運動，所以點在平面和平面的交線上，即，在中，，，，所以，所以，所以點到的最小距離，所以線段的最小值為．故選：．7．解：如圖，取的中點，連接，，，是的中點，且為正方形，，則與所成角即為異面直線與所成角，設為，平面，平面，得，，為定值，要使最小，則最小，當最小時，，，△，，又，，此時，故異面直線與所成角的正切值的最小值為．故選：．8．解：對于，取的中點，連接，因為是的中點，所以，若，則，這與矛盾，故選項錯誤；對于，因為平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以，又，且，，平面，則平面，故選項正確；對于，因為直線與平面有交點，所以不存在點，使得平面平面，故選項錯誤；對于，連接，因為四邊形為正方形，所以，因為平面，平面，所以平面平面，又平面平面，，則平面，記，則平面，且不在平面，所以不存在點，使得平面平面，故選項錯誤．故選：．9．解：由題意，以為坐標原點，，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，由正方形，的邊長1，所以，0，，，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，所以，0，，，，，對于，若與相交，則、、、四點共面，故、、、四點都在平面內，故點為與的交點，此時，故錯誤；對于，，，，平面的法向量為，0，，所以，又平面，所以與平面平行，故正確；對于，，0，，，1，，所以，，所以，，所以異面直線與所成的角為，故錯誤；對于，，故所以當時，的長度最小，最小值為，故正確．故選：．10．解：對于：作，，所以，，整理得：，所以為等腰三角形，取中點為，連接，中點為，連結，，由于，所以為中點，所以可證，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又面平面且，面，所以平面，所以平面，所以平面平面，故正確．對于，由前面可知，由于平面，所以在內總存在與平面垂直的線段，故正確；對于．所以三棱錐的體積是三棱柱的體積的，故錯誤；對于，當、分別為，中點時，等邊三角形，為最大角，當與重合，與重合時，最小，，故正確．故選：．11．解：對于，因為當在上運動時，平面，于是，所以存在點滿足，所以錯誤；對于，因為面，又點在線段上，所以到面，的距離即為到面的距離，所以距離為定值，所以四面體的體積為定值所以對；對于，以為原點，建立以，，所在直線為，，軸的空間直角坐標系，則點，0，，，，，，，，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則，當時，，，當時，，當或是，的值最大為，此時，所以的取值范圍是，，所以錯誤；對于，當點在平面內時，由面，所以有，所以，所以點的軌跡是以為圓心為半徑的圓弧，同理點在面，時，軌跡也是為半徑的圓弧，從而動點軌跡長度為，所以正確．故選：．12．解：如圖，對于，，，，平面，，同理，，，平面，故正確；對于，，平面，平面，平面，點在線段上運動，到平面的距離為定值，故正確；對于，當點與線段的端點重合時，異面直線與所成角取得最小值為，故異面直線與所成角的取值范圍是，，故正確，對于，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖示：設正方體中棱長為1，，1，，則，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，設平面的法向量，，，則，取，得，1，，直線與平面所成角的正弦值為：，當時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故錯誤．故選：．13．解：對于①，因為幾何體是正方體，所以平面，平面，所以平面平面，故①正確；對于②，在正方體中，對角面，對角面，所以，故②正確；對于③，當點為線段的一個四等分點且靠近點時，計算可得，，，由余弦定理可得，此時，故③錯誤；對于④，因為△的面積是定值，點到平面的距離是定值，所以三棱錐的體積為定值，故④正確．故答案為：①②④．14．解：對于①，平面，平面，，故①正確；對于②，，在上，，平面，平面，平面，故②正確；對于③，到平面的距離是定值，是定值，以為頂點的四面體的體積為定值，故③正確；對于④，當點在處，為的中點時，由可知，異面直線，所成的角是；當在上底面的中心時，在的位置，異面直線，所成的角是，兩個角不相等，此時異面直線，所成的角不一定為定值，故④錯誤；對于⑤，到的距離為，到的距離為，，故⑤正確；故選：①②③⑤．15．解：取的中點，連接，則或其補角是異面直線與所成的角當點與重合時，連接，，，，平面，則，此時異面直線與所成角最大，即為，；當點由向方向移動時，角不斷減