2024年高考適應性練習數學注意事項：1．本試題滿分150分，考試時間為120分鐘。2．答卷前，務必將姓名和準考證號填涂在答題紙上。3．使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1．已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若隨機變量，且，則()A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.53．若拋物線的焦點到直線的距離為4，則的值為()A．1 B．2 C．4 D．84．已知，若是的充分不必要條件，則()A． B． C． D．5．展開式中的系數為()A．-840 B．-420 C．420 D．8406．將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，若為圖象的一條對稱軸，則的最小值為()A． B． C． D．7．在中，交于點，則()A． B． C． D．8．歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數，且與互質的正整數的個數，例如．已知，，是數列的前項和，若恒成立，則的最小值為()A． B．1 C． D．2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知函數，則（）A．是奇函數 B．的最小正周期為C．的最小值為 D．在上單調遞增10．已知雙曲線的離心率為，過其右焦點的直線與交于點，下列結論正確的是（）A．若，則B．的最小值為C．若滿足的直線恰有一條，則D．若滿足的直線恰有三條，則11．如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動點，且，，，則A．存在使得B．存在使得平面C．若長度為定值，則時三棱雉體積最大D．當時，直線與所成角的余弦值的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知集合，若，則實數的值為______．13．在中，內角的對邊分別為，，且，則面積的最大值為______．14．當時，，則實數的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知是公差不為0的等差數列，其前4項和為16，且成等比數列。（1）求數列的通項公式：（2）設，求數列的前項和。16．（15分）ChatGPT是AI技術驅動的自然語言處理工具，引領了人工智能的新一輪創新浪潮。某數學興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關系，從某社區使用過該程序的人群中隨機抽取了200名居民進行調查，并依據年齡樣本數據繪制了如下頻率分布直方圖。（1）根據頻率分布直方圖，估計年齡樣本數據的分位數：（2）將年齡不超過（1）中分位數的居民視為青年居民，否則視為非青年居民。（i）完成下列列聯表，并判斷是否有的把握認為年齡與是否喜歡該程序有關聯？青年非青年合計喜歡20不喜歡60合計200（ii）按照等比例分層抽樣的方式從樣本中隨機抽取8名居民。若從選定的這8名居民中隨機抽取4名居民做進一步調查，求這4名居民中至少有3人為青年居民的概率。參考公式：，其中．參考數據：0.1000.0500.0102.7063.8416.63517．（15分）如圖，在三棱錐中，，為的中點，為內部一點且平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值。18．（17分）已知函數．（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求實數的取值范圍。19．（17分）已知橢圓的右焦點為，過點且不垂直于坐標軸的直線交于兩點，在兩點處的切線交于點．（1）求證：點在定直線上，并求出該直線方程；（2）設點為直線上一點，且，求的最小值。2024年高考適應性練習數學參考答案及評分標準一、選擇題DBCA CBCA二、選擇題9．AC 10．ACD 11．BCD三、填空題12．1或2 13． 14．四、解答題15．解：（1）由題意知即，因為，所以，所以．（2）設數列的前項中的奇數項之和為，偶數項之和為，則所以．16．解：（1）由頻率分布直方圖可知，年齡在40歲以下的居民所占比例為，年齡在50歲以下的居民所占比例為，所以分位數位于內，由，所以，樣本數據的分位數為45．（2）（i）由題知，列聯表為：青年非青年合計喜歡9020110不喜歡603090合計15050200根據列聯表中的數據，可得：所以，有的把握認為年齡與是否喜歡該程序有關聯。（ii）按照分層抽樣，青年居民應抽取人，非青年居民應地取2人．設從中隨機抽取的4名居民中為青年居民的人數為，所以，所以，這4名居民中至少有3人為青年居民的概率為．17．解：（1）連接，取中點，連接．因為為的中點，所以。因為平面，平面，所以平面．又因為平面，平面，所以．所以，在直角中，．同理，因為，所以．因為為中點，所以，因為，所以。又因為平面，平面，所以平面．又因為，所以平面平面．因為平面，所以平面．（2）以為坐標原點，分別以以及與垂直向上的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．在直角中，因為，所以．在直角中，．所以．又，所以．設面的一個法向量，則，即，取，則，所以．設面的一個法向量，則，即，取，則，所以．設二面角為，則，所以二面角的余弦值為．18．解：（1）由題可知，當時，恒成立，此時在上單調遞減．當時，，令，則當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增．當，即時，此時在恒成立，單調遞增．綜上，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞增．（2）因為，所以，又，所以．由，可得，令，則，當時，為增函數；當時，為減函數。所以，從而．將兩邊同時取以為底的對數可得整理可得．令，則，且在上單調遞增，因為且，所以在上恒成立，所以恒成立，令，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，所以，又因為，所以．19．解：（1）由題意可知，，所以，所以橢圓方程為，設立線方程為，聯立，消可得，，所以，因為過點的切線為，過點的切線為，由對稱性可得，點處于與軸垂直的直線上。（法一）：