8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與平面垂直第八章立體幾何初步一、線面垂直—直觀感知

二、直線與平面垂直定義—探究ABABABABABABABABABABCABABABABABAB請(qǐng)你給直線與平面垂直下個(gè)定義吧！

直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線．C1B1

平面的垂線垂足直線的垂面三、直線與平面垂直定義圖形表示注意：直線與平面垂直定義的“雙向”作用(1)證明線面垂直：若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都垂直，則該直線與已知平面垂直，即線線垂直?線面垂直．(2)證明線線垂直：若一條直線與一個(gè)平面垂直，則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直，即線面垂直?線線垂直．

問(wèn)題2：我們知道，在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．將這一結(jié)論推廣到空間，過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條？過(guò)一點(diǎn)垂直于已知直線的平面有多少個(gè)？過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條;過(guò)一點(diǎn)垂直于已知直線的平面只有一個(gè)．α

P.O.l垂線段點(diǎn)到平面的距離“點(diǎn)面距”P(pán)ABCO.點(diǎn)到平面的距離

√××2.(多選)下列四個(gè)命題中，其中正確的是 (

)A．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行B．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線C．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直D．過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條思考3：能否通過(guò)證明與有限條直線垂直來(lái)判定線面垂直呢？練習(xí)1CD探究：過(guò)紙片△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸）．（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，即直線AD

與平面α內(nèi)的兩條相交直線BC，AD都垂直三、直線與平面垂直的判定定理AD所在直線與桌面所在平面α垂直

線線垂直線面垂直線不在多，相交則靈例3：求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．

如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.求證：SD⊥平面ABC.證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義．(2)線面垂直的判定定理．(3)如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．(4)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．

[提醒]

要證明兩條直線垂直(無(wú)論它們是異面還是共面)，通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個(gè)平面．

方法總結(jié)問(wèn)題3：我們知道，當(dāng)直線和平面垂直時(shí),該直線叫做平面的垂線。如果直線和平面不垂直,如何給它命名？平面的斜線

四、直線與平面的夾角A

P射影斜線射影——垂直于平面的平行光線照射該斜線

得到的在平面內(nèi)的投影

平面的斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中，斜線與平面所成的角最小．

ＡＰＯ斜線垂線斜線在平面上的射影斜足垂足

(1)作圖．作(或找)出斜線在平面上的射影，將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的銳角)．(2)證明．證明找出的平面角是斜線與平面所成的角．(3)計(jì)算．通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算．[提醒]

在上述步驟中，作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影