概率論與數理統計公式集錦概率論與數理統計公式集錦一、隨機事件與概率公式名稱公式表達式德摩根公式，古典概型幾何概型，其中μ為幾何度量（長度、面積、體積）求逆公式加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)當P(AB)＝0時，P(A∪B)=P(A)+P(B)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，時P(A-B)=P(A)-P(B)條件概率公式與乘法公式全概率公式貝葉斯公式（逆概率公式）兩個事件相互獨立；；；二、隨機變量及其分布1、分布函數2、離散型隨機變量及其分布分布名稱分布律0–1分布二項分布泊松分布3、續型隨機變量及其分布分布名稱密度函數分布函數均勻分布分布名稱密度函數分布函數指數分布正態分布標準正態分布4、隨機變量函數Y=g(X)的分布離散型：，連續型：①分布函數法，②公式法三、多維隨機變量及其分布1、離散型二維隨機變量及其分布分布律：分布函數邊緣分布律：條件分布律：，2、連續型二維隨機變量及其分布①聯合分布函數及性質分布函數：=P（X<=x,Y<=y）性質：②邊緣分布函數與邊緣密度函數分布函數：密度函數：③條件概率密度，3、隨機變量的獨立性隨機變量X、Y相互獨立，離散型：，連續型：4、二維隨機變量和函數的分布離散型：連續型：四、隨機變量的數字特征1、數學期望①定義：離散型，連續型②性質：，，，當X、Y相互獨立時：2、方差①定義：②性質：，，當X、Y相互獨立時：3、協方差與相關系數①協方差：，當X、Y相互獨立時：②相關系數：，當X、Y相互獨立時：(X,Y不相關)③協方差和相關系數的性質：，，4、常見隨機變量分布的數學期望和方差分布數學期望方差0-1分布pp(1-p)二項分布npnp(1-p)泊松分布均勻分布正態分布指數分布五、大數定律與中心極限定理1、切比雪夫不等式若對于任意有2、大數定律：①切比雪夫大數定律：若相互獨立，且，則：②伯努利大數定律：設nA是n次獨立試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則，有：③辛欽大數定律：若獨立同分布，且，則3、中心極限定理①列維—林德伯格中心極限定理：獨立同分布的隨機變量，均值為，方差為，當n充分大時有：②棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理：隨機變量，則對任意x有：③近似計算：概?率?論?與?數?理?統?計?公?式?整?理1、總體和樣本的分布函數設總體，則樣本的聯合分布函數2、統計量樣本均值：，樣本方差：樣本標準差：，樣本階原點距：樣本階中心距：3、三大抽樣分布(1)分布：設隨機變量且相互獨立，則稱統計量服從自由度為的分布，記為性質：①②設且相互獨立，則(2)分布：設隨機變量，且X與Y獨立，則稱統計量：服從自由度為的分布，記為性質：①②(3)分布：設隨機變量，且與獨立，則稱統計量服從第一自由度為m，第二自由度為n的分布，記為，性質：設，則七、參數估計1.參數估計①定義：用估計總體參數，稱為的估計量，相應的為總體的估計值。②當總體是正態分布時，未知參數的矩估計值=未知參數的極大似然估計值2.點估計中的矩估計法：基本思想：用樣本矩來估計相應的總體矩求法步驟：設總體X的分布中包含有未知參數，它的前k階原點矩中包含了未知參數，即；又設為總體X的n個樣本值，用樣本矩代替，在所建立的方程組中解出的k個未知參數即為參數的矩估計量。注意：分布中有幾個未知參數，就求到幾階矩。3.點估計中的極大似然估計設取自的樣本，設或，求法步驟：①似然函數：②取對數：或③解方程：，解得：4.估計量的評價標準估計量的評價標準無偏性設為未知參數的估計量。若E(）=，則稱為的無偏估計量。有效性設和是未知參數的兩個無偏估計量。若，則稱有效。一致性設是的一串估計量，如，有則稱為的一致估計量（或相合估計量）。5.單正態總體參數的置信區間條件估計參數樞軸量樞軸量分布置信水平為的置信區間已知未知已知未知八、假設檢驗1.假設檢驗的基本概念基本思想假設檢驗的統計思想是小概率原理。小概率事件的概率就是顯著性水平α，常取α=0.05，0.01或0.10。基本步驟①提出原假設H0；②選擇檢驗統計量；③對于α查表找分位數λ，使，從而定出拒絕域W；④由樣本觀測值計算統計量實測值；并作出判斷：當實測值落入W時拒絕H0，否則認為接受H0。兩類錯誤第一類錯誤當H0為真時，而樣本值卻落入了拒絕域，應當否定H0。這時，我們把客觀上H0成立判為H0為不成立（即否定了真實的假設），稱這種錯誤為“棄真錯誤”或第一類錯誤，記為犯此類錯誤的概率，即：P{拒絕H0|H0為真}=；第二類錯誤當H1為真時，而樣本值卻落入了接受域，應接受H0。這時，我們把客觀上H0不成立判為H0成立（即接受了不真實的假設），稱這種錯誤為“取偽錯誤”或第二類錯誤，記為犯此類錯誤的概率，即：P{接受H0|H1為真}=。兩類錯誤的關系人們當然希望犯兩類錯