概率論與數理統計總結(同名22548)隨機事件與概率隨機事件及其運算隨機現象：在一定條件下，并不總是出現相同結果的現象樣本空間：隨機現象的一切可能基本結果組成的集合，記為Ω={ω},其中ω表示基本結果，又稱為樣本點。隨機事件：隨機現象的某些樣本點組成的集合常用大寫字母A、B、C等表示，Ω表示必然事件，?表示不可能事件。隨機變量：用來表示隨機現象結果的變量，常用大寫字母X、Y、Z等表示。時間的表示有多種：用集合表示，這是最基本形式用準確的語言表示用等號或不等號把隨機變量于某些實屬聯結起來表示6、事件的關系（1）包含關系：如果屬于A的樣本點必屬于事件B，即事件A發生必然導致事件B發生，則稱A被包含于B，記為A?B;（2）相等關系：若A?B且B?

A，則稱事件A與事件B相等，記為A＝B。（3）互不相容：如果A∩B=?，即A與B不能同時發生，則稱A與B互不相容7、事件運算（1）事件A與B的并：事件A與事件B至少有一個發生，記為A∪B。（2）事件A與B的交：事件A與事件B同時發生，記為A∩B或AB。（3）事件A對B的差：事件A發生而事件B不發生,記為A－B。用交并補可以表示為。（4）對立事件：事件A的對立事件（逆事件），即“A不發生”，記為。對立事件的性質：。8、事件運算性質：設A，B，C為事件，則有（1）交換律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）結合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)、A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC（4）棣莫弗公式（對偶法則）：9、事件域：含有必然事件Ω

，并關于對立運算和可列并運算都封閉的事件類ξ稱為事件域，又稱為σ代數。具體說，事件域ξ滿足：（1）Ω∈ξ;(2)若A∈ξ，則對立事件∈ξ；（3）若An∈ξ，n=1,2，···，則可列并ξ

。10、兩個常用的事件域：（1）離散樣本空間（有限集或可列集）內的一切子集組成的事件域；（2）連續樣本空間（如R、R2等）內的一切博雷爾集（如區間或矩形）逐步擴展而成的事件域。概率的定義及其確定方法1、概率的公理化定義：定義在事件域ξ上的一個實值函數P（A）滿足：（1）非負性公理：若A∈ξ，則P(A)≥0；（2）正則性公理：P(Ω)＝1（3）可列可加性公理：若A,，A2，···，A3互不相容，則有，即，則稱P（A）為時間A的概率，稱三元素（Ω，ξ，P）為概率空間2、確定概率的頻率方法：（是在大量重復試驗中，用頻率的穩定值去獲得頻率的一種方法）它的基本思想是：（1）與考察事件A有關的隨機現象可大量重復進行；在n次重復試驗中，記n(A)為事件A出現的次數，稱fn(A)=，為事件A出現的頻率；頻率的穩定值就是概率；當重復次數n較大時，可用頻率作為概率的估計值。3、確定概率的古典方法：它的基本思想是：所涉及的隨機現象只有有限個樣本點，譬如為n個；每個樣本點發生的可能性相等（等可能性）；若事件A含有k個樣本點，則事件A的概率為P（A）=。4、確定概率的幾何方法：它的基本思想是：如果一個隨機現象的樣本空間充滿某個區域，其度量（長度、面積、體積等）大小可用Sn表示；任意一點落在度量相同的子區域內是等可能的；若事件A為中某個子區域，且其度量為SA,則事件A的概率為P（A）=.5、確定概率的主觀方法：一個事件A的概率P（A）使人們根據經驗，對該事件發生的可能性大小所做出的個人信念。6、概率是定義在事件域ξ上的集合函數，且滿足三條公理。前三種確定概率的方法自動滿足三條公理，而主觀方法確定概率要加驗證，若不滿足三條公理就不能稱為概率。第三節概率的性質：P(Φ)＝0有限可加性：若有限個事件A,，A2，···，A3互不相容，則有，對立事件的概率：對任一事件A，有減法公式（特定場合）：若AB,則P(A－B)＝P(A)－P(B)單調性：若AB，則P（A）P（B）減法公式（一般場合）：對任意兩個事件A、B，有P(A－B)＝P(A)－P(AB)加法公式：對任意兩個事件A、B，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。對任意n個事件A1，A2，···，An，有半可加性：對任意兩個事件A、B，有.事件序列的極限：對ξ

中任一單調不減的事件序列，稱為可列并為極限{Fn}的極限事件，記為。對ξ

中任一單調不增的事件序列，稱為可列交為極限{En}的極限事件，記為。若,則稱概率P是上連續的概率的連續性：若P為事件域ξ

上的概率，則P既是上連續的，又是下連續的若P是ξ上滿足P（Ω）=1的非負集合函數，則P是可列可加性的充要條件是P具有有限可加性和下連續性。第四節條件概率1、條件概率：設A、B是兩個事件，若P(A)>0，則稱P(A|B)=為事件B發生條件下，事件A發生的條件概率。條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合于條件概率。2、乘法公式：（1）若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B)（2）若P(A1A2…An-1)>0…………。3、全概率公式：設事件互不相容，且，如果，則對任一事件A有，i=1,2,···，n。。4、貝葉斯共公式：設事件，，…，互不相容，且，如果P（A）>0，,則，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。，（，，…，），通常叫Bi的先驗概率。，（，，…，），通常稱為Bi的后驗概率。第五節獨立性1、兩個事件的獨立性：如果滿足，則稱事件、是相互獨立的，簡稱A與B獨立。否則稱A與B不獨立或相依。若事件、相互獨立，且，則有2、若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。3、多個事件的獨立性：設有n個事件A1，A2，···，An，如果對任意的1I<j<k<···n，以下等式均成立則稱此n個事件A1，A2，···，An相互獨立。4、若n個事件相互獨立，則其任一部分與另一部分也相互獨立。特別把其中部分換為對立事件后，所得諸事件亦相互獨立。5、試驗的獨立性：假如實驗E1的任一結果（事件）與試驗E2的任一結果（事件）都是相互獨立的事件，則稱這兩個試驗相互獨立。6、n重獨立重復試驗：假如一個試驗重復進行n次，并各次試驗間相互獨立，則稱其為n次獨立重復試驗。假如一個試驗只可能有兩個結果：A與，則稱其為伯努利試驗。假如一個伯努利試驗重復進行n次，并各次試驗間相互獨立，則稱其為n重伯努利試驗。隨機變量及其分布隨機變量及其分布隨機變量：定義在樣本空間Ω上的實值函數X=X(ω)稱為隨機變量。離散隨機變量：僅取有限個或可列個值的隨機變量連續隨機變量:取值充滿某個空間（a，b）的隨機變量。這里a可為-∞，b可為+∞。2、分布函數：設X是一個隨機變量，對任意實數x，稱函數為X的分布函數，記為X~F(x)。分布函數具有如下三條基本性質：單調性：F（x）是單調非減函數，即對任意的x1<x2,有F(x1)F(x2)；右連續性：F（x）是x的右連續函數，即對任意的x0，有，即F(x0+0)=F(x0)；有界性:對任意的x，有0≤F(x)≤1，且F(-∞)==0，F(+∞)==1可以證明：具有上述三條性質的函數F（x）一定是某一個隨機變量的分布函數。如果將X看作數軸上隨機點的坐標，那么分布函數F(x)的值就表示X落在區間內的概率3、離散型隨機變量的概率分布列:若離散型隨機變量的可能取值為xn(n=1,2,…)則稱X取xi的概率為Pi=P(xi=)P(X=xi)，i=1,2,…，則稱上式為離散型隨機變量的概率分布列，簡稱分布列。有時也用列表的形式給出：。分布列具有兩條基本性質：非負性;，（2）正則性:。離散隨機變量X的分布函數，它是有限級或可列有限級階梯函數。離散隨機變量X取值于區間（a，b]上的概率為P(a<X≤b)=F(a)-F(b).常數c可看作僅取一個值的隨機變量X，即P(X=c)=1，它的分布常稱為單點分布或退化分布。4、連續隨機變量的概率密度函數:記連續隨機變量X的分布函數是F(x)，若存在非負可積函數p（x），對任意實數x，有，則稱為連續型隨機變量。p（x）稱為的概率密度函數，簡稱密度函數。密度函數p（x）具有下面2個基本性質：非負性:;正則性：。5、離散分布：分布在離散場合可以是分布列或分布函數；連續分布：分布在連續場合可以是密度函數或分布函數。存在既非離散又非連續的分布。6、設隨機變量X的分布函數F(x)，則可用F(x)表示下列概率：（1）P(X≤a)=F(a)；（2）P(X<a)=F(a-0)；（3）P(X>a)=1-P(X≤a)=1-F(a)；(4)P(X=a)=P(X≤a)-P(X<a)=F(a)-F(a-0);(5)P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a-0);(6)P(|X|<a)=P(-a<X<a)=P(X<a)-P(X≤-a)=F(a-0)-F(-a).第二節隨機變量的數學期望數學期望：設隨機變量X的分布列p（xi）或用密度函數p（x）表示，若，則稱E(X)=為X的數學期望，簡稱期望或均值，且稱X的數學期望存在。否則數學期望不存在。數學期望是有分布決定的，它是分布的位置特征。如果兩個隨機變量同分布，則其數學期望（存在的話）是相等的。期望相當于重心。數學期望的性質：假設數學期望存在，X的某一函數g（X）的數學期望為若C為常數，則E(C)=C對任意常數C，有E(CX)=CE(X)對任意的兩個函數g1（x）和g2（x），E[g1（x）±g2（x）]=E[g1（x）]±E[g2（x）]E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關。第三節隨機變量的方差與標準差方差：隨機變量X對其期望E（X）的偏差平方的數學期望（設其存在）Var（X）=E[X-E(X)]2稱為X的方差，方差的正平方根σ（X）=σX=稱為X的標準差。方差是由分布決定的，它是分布的散布象征，方差越大，分布就越散；方差越小，分布就越集中。標準差與方差的功能相似，只是量綱不同。方差的性質：假設方差存在，Var（X）=E(X2)-[E(X)]2若c是常數，則Var（c）=0Var（aX+b）=a2Var（X）若隨機變量X的方差存在，則Var（X）=0的充要條件是X幾乎處處為某個常數a，即P（X=a）=1若X,Y相互獨立，則D(X±Y)=D(X)+D(Y)切比雪夫不等式:設X的數學期望和方差都存在，則對任意常數ε>0,有,或。切比雪夫不等式給出隨機變量取值的大偏差（指事件{|X-E(X)|≥ε}）發生的概率的上限，該上限于分布的方差成正比。隨機變量的標準化：對任意隨機變量X，如果X的數學期望和方差存在，則稱為X的標準化隨機變量，此時有E(X*)=0，Var（X*）=1。第四節常用離散分布二項分布：設隨機變量X的概率分布列為，，其中，則稱隨機變量服從參數為，的二項分布。記為。背景：重貝努里試驗中成功的次數服從參數為，的二項分布。記為，其中p為一次伯努利試驗中成功發生的概率。n=1時的二項分布B（1，p）稱為二點分布，或0-1分布，（0-1）分布是二項分布的特例。當X～B（1，p）時，X可表示一次伯努利試驗中成功的次數，它只能取0或1。二項分布B（1，p）的數學期望和方差分別是：E(X)=np，Var（X）=np（1-p）。若，則Y=n-X～B（n，1-p），其中Y=n-X是n重伯努利試驗中失敗的次數。泊松分布：設隨機變量的概率分布列為，k=0,1,2，···，則稱隨機變量服從參數為的泊松分布，記為X～P()，其中參數。背景：單位時間（或單位面積、單位產品等）上某稀有事件（這里的稀有事件是指不經常發生的事件）發生的次數服從泊松分布P()，其中為該稀有事件發生的強度。泊松分布P()的數學期望和方差分別是：E(X)=,Var（X）=。二項分布的泊松近似（泊松定理）：在n重伯努利試驗中，記事件A在一次試驗中發生的概率為pn（與試驗次數n有關），如果當n+∞時，有npn，則。超幾何分布若X的概率分布列為，k=0,1，···，r。則稱X服從超幾何分布，記為X～h（n，N,M）,其中r=min{M，n}，且M≤N，n≤N。n，N,M均為正整數。背景：設有N個產品，其中有M個不合格品。若從中不放回的隨機抽取n個，則其中含有的不合格品的個數X服從超幾何分布h（n，N,M）。超幾何分布h（n，N,M）的數學期望和方差分別是:E（X）=,Var（X）=。超幾何分布的二項近似：當n<<N時，超幾何分布h（n，N,M）可用二項分布b（n，M/N）近似，即，其中p=M/N。實際應用中，再不返回抽樣時，常用超幾何分布描述抽搐樣哦泥中不合格品數的分布；在返回抽樣時，常用二項分布b（n，p）描述抽出樣品中不合格聘書的分布；當批量N較大，而抽出樣品數n較小時，不返回抽樣可近似看成返回抽樣。幾何分布：若X的概率分布列為P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1,2，···，則稱為X服從幾何分布，記為X～Ge（p），其中0<p<1.背景：在伯努利試驗序列中，成功事件A首次出現時的試驗次數X服從幾何分布Ge（p），其中p為每次試驗中事件A發生的概率。幾何分布Ge（p）的數學期望和方差分別是;E(X)=,Var(X)=。幾何分布的無記憶性：若X～Ge（p），則對任意正整數m與n有P(X>m+n|X>m)=P(X>n)。負二項分布：若X的概率分布列為，k=r，r+1，···。則稱X服從負二項分布或巴斯卡分布，記為X～Nb（r，p），其中r為正整數，0<p<1。背景：在伯努利試驗序列中，成功事件A第r次出現時的試驗次數X服從負二項分布Nb（r，p），其中p為每次試驗中事件A發生的概率。r=1時的負二項分布為幾何分布，即Nb（r，p）=Ge（p）。負二項分布Nb（r，p）的數學期望和方差分別是:E(X)=r/p,Var(X)=r(1-p)/p2。負二項分布的隨機變量可以表示成r個獨立同分布的幾何分布隨機變量之和，即若X～Nb（r，p），則X=X1+X2+···+Xr，其中X1，X2，···，Xr是相互獨立、服從幾何分布Ge（p）的隨機變量。常用離散分布表分布列pk期望方差0-1分布pk=pk（1-p）1-k，k=0,1p二項分布pk=k=0,1，···，nnp泊松分布pk=k=0,1，···幾何分布pk=P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1,2，···，超幾何分布pk=k=0,1，···，r。r=min{M，n}負二項分布Nb（r，p）pk=k=r，r+1，···。r/pr(1-p)/p2第五節常用連續分布正態分布若X的密度函數和分布函數分別為，-∞<x<+∞;,-∞<x<+∞;則稱X服從正態分布，記作X～N（μ，σ2），其中參數-∞<μ<+∞，σ>0。（2）背景：一個變量若是由大量微小的、獨立的隨機因素的疊加結果，則此變量一定是正態變量（服從正態分布的變量）。測量誤差就是量具偏差、測量環境的影響、測量技術的的影響等因素隨機因素疊加而成的，所以測量誤差常認為服從正態分布。關于參數μ：μ是正態分布的數學期望，即E（X）=μ，稱μ為正態分布的位置參數。μ是正態分布的對稱中心，在μ的左側和p（x）下的面積為0.5；在μ的右側和p（x）下的面積為0.5；所以μ也是正態分布的中位數若X～N（μ，σ2），則X在離μ越近取值的可能性越大，離μ越遠取值的可能性越小關于參數σ：σ2是正態分布的方差，即Var（X）=σ2；σ是正態分布的標準差，σ越小，正太分布越集中；σ越大，正態分布越分散；σ又稱為正態分布的尺度參數若X～N（μ，σ2），則其密度函數p（x）在μ±σ處有兩個拐點標準正態分布：稱μ=0，σ=1時的正態分布N（0,1）；記U為標準正態變量，φ(u)和Φ(u)為標準正態分布的密度函數和分布函數。φ(u)和Φ(u)滿足：φ(-u)=φ(u)Φ(-u)=1-Φ(u)。對u>0,Φ(u)的值有表可查標準化變換：若X～N（μ，σ2），則U=（X-μ）/σ～N（0,1），其中U=（X-μ）/σ稱為X的標準化變換若X～N（μ，σ2），則對任意實數a與b，有P（X≤b）=，P（a<X）=1-,P（a<X≤b）=-。正態分布的3σ原則：設X～N（μ，σ2），則P（|X-μ|<kσ）=Φ(k)—Φ(-k)=均勻分布若X的密度函數和分布函數分別為則稱X服從區間（a，b）上的均勻分布，記作X～U（a，b）。背景：向區間（a，b）隨機投點，落點坐標X一定服從均勻分布U（a，b）。“隨即投點”指：點落在任意相等長度的小區間上的可能性是相等的。均勻分布U（a，b）的數學期望和方差分別是E（X）=，Var（X）=。稱區間（0,1）上的均勻分布U（0,1）為標準均勻分布，它是導出其他分布隨機數的橋梁指數分布若X的密度函數和分布函數分別為則稱為X服從指數分布，記作X～Exp（λ），其中參數λ>0。背景：若一個元器件（或一臺設備、或一個系統）遇到外來沖擊時即告失效，則首次沖擊來到的時間X（壽命）服從指數分布。指數分布Exp（λ）的數學期望和方差分別是E(X)=,Var(X)=。指數分布的無記憶性：若X～Exp（λ），則對任意s>0,t>0,有P（X>s+t|X>s）=P(X>t)。伽瑪分布伽瑪函數：稱（）=為伽瑪函數，其中參數>0。伽瑪函數具有如下性質：（1）=1；（1/2）=；（+1）=（）；（n+1）=n（n）=n！（n為自然數）。伽瑪分布：若X的密度函數為即稱X服從伽瑪分布，記作X～Ga（，λ），其中>0為形狀參數，λ>0為尺度參數。背景：若一個元器件（或一臺設備、或一個系統）能抵擋一些外來沖擊，但遇到第k次沖擊時即告失效，則第k次沖擊來到的時間X（壽命）服從形狀參數為k的伽瑪分布Ga（k，λ）。伽瑪分布Ga（，λ）的數學期望和方差分別為E（X）=，Var（X）=。伽瑪分布的兩個特例:=1時的伽瑪分布就是指數分布，即Ga（1，λ）=Exp（λ）。稱=n/2，λ=1/2時的伽瑪分布為自由度為n的χ2（卡方）分布，記為χ2（n），其密度函數為，χ2（n）分布的期望