2022屆西南四省名校高三下學期第三次大聯考數學（文）試題一、單選題1．已知集合，，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式求得集合，由此求得.【詳解】.所以，由于，所以．故選：B2．已知復數z在復平面內所對應點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后求得，由此求得.【詳解】因為復數z在復平面內所對應的點為，所以，故，故．故選：A3．第24屆冬奧會于2022年2月4日在國家體育場鳥巢舉行了盛大開幕式．在冬奧會的志愿者選拔工作中，某高校承辦了面試工作，面試成績滿分100分，現隨機抽取了80名候選者的面試成績并分為五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是（每組數據以區間的中點值為代表）（

）A．直方圖中bC．在被抽取的學生中，成績在區間之間的學生有30人【答案】C【分析】利用頻率之和為求得，由此判斷A選項的正確性，根據中位數、平均數的求法判斷BD選項的正確性，通過計算成績在區間之間的頻數來判斷C選項的正確性.【詳解】對于A，∵，∴，故A正確；對于B，設候選者面試成績的中位數為x，則，解得，故B正確；對于C，成績在區間的頻率為，故人數有，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選：C4．下列函數在上單調遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據選項的函數性質，逐一判斷即可【詳解】A：由二次函數性質知，圖象開口向上，且在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤﹔B：根據指數函數的單調性知，函數在上單調遞增，將圖象向右平移1個單位長度得出的圖象，其在上單調遞增，故B錯誤；C：由冪函數的單調性知在上單調遞增，其在上單調遞增，故C錯誤；D：根據余弦函數的單調性知，在上單調遞減，當時，，又，所以在上單調遞減，故D正確.故選：D.5．像2，3，5，7這樣只能被1和它自己整除的正整數稱為素數（也稱為質數），設x是正整數，用表示不超過x的素數個數，事實上，數學家們已經證明，當x充分大時，，則利用此公式求出不超過10000的素數約有（）（

）A．1085個 B．1025個 C．980個 D．860個【答案】A【分析】根據進行計算，從而確定正確選項.【詳解】由題知：．故選：A6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據同角三角函數的基本關系和兩角和的余弦公式化簡可得，結合和二倍角的正弦公式即可得出結果.【詳解】，∴，∴，∴.故選：A.7．某四棱錐的三視圖如圖所示（實線部分），圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積為（

）A． B．5 C．2 D．【答案】C【分析】根據三視圖還原原圖，結合錐體體積計算公式求得幾何體的體積.【詳解】根據三視圖，還原后的圖形如圖所示，，，，，平面ABCD，，．故選：C8．已知首項為的數列，對任意的，都有，則（

）A．0 B．1011 C．1011 D．2022【答案】D【分析】利用遞推關系得到數列中項之間的規律，發現該數列時隔項相等的數列，故只需要得到前2項的即可.【詳解】∵①，∴②，又∵，∴，由得，即，又∵，且，∴，∴，∴.故選：D.9．在拋物線上有三點A，B，C，F為其焦點，且，則（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】D【分析】設出的坐標，根據列方程，化簡求得，結合拋物線的定義求得.【詳解】依題意.設，，，，，，，又，故，∴，∴．故選：D10．已知函數的一個極值點為1，若，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．【答案】B【分析】由題意可得，則，所以，化簡后利用基本不等式可求得結果【詳解】對求導得，因為函數的一個極值點為1，所以，所以，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為9.故選：B.11．測量珠穆朗瑪峰的高度一直受到世界關注，2020年12月8日，中國和尼泊爾共同宣布珠穆朗瑪峰的最新高度為8848.86米.某課外興趣小組研究發現，人們曾用三角測量法對珠峰高度進行測量，其方法為：首先在同一水平面上選定兩個點并測量兩點間的距離，然后分別測量其中一個點相對另一點以及珠峰頂點的張角，再在其中一點處測量珠峰頂點的仰角，最后計算得到珠峰高度.該興趣小組運用這一方法測量學校旗桿的高度，已知該旗桿（在水平面）垂直于水平面，水平面上兩點，的距離為，測得，，其中，在點處測得旗桿頂點的仰角為，，則該旗桿的高度為（單位：）（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】作出示意圖，在中解出，在中解出【詳解】在中，，，，∵，∴，在中，.故選：B.12．已知非零函數的定義域為，函數的圖象關于直線對稱，且周期，函數，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據的圖象關于直線對稱，的周期，得到函數是奇函數，再由求解.【詳解】因為的圖象關于直線對稱，所以，又的周期，則有，∴，∴，∴關于對稱，∴，則.故選：C.二、填空題13．若向量，滿足，，，則向量與向量的夾角為__________.【答案】【分析】根據向量模長公式及夾角公式直接計算.【詳解】，即，故，，，∴，又，.故答案為：.14．已知一個圓柱的體積為，底面直徑與母線長相等，圓柱內有一個三棱柱，與圓柱等高，底面是頂點在圓周上的正三角形，則三棱柱的側面積為__________.【答案】【分析】根據圓柱的體積為，底面直徑與母線長相等，求得圓柱的底面半徑，再利用正弦定理，求得三棱柱的底面邊長求解.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則，∴，設三棱柱底面邊長為，則，∴，∴三棱柱的側面積為，故答案為：15．已知函數的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則__________.【答案】1【分析】先根據圖象求出的周期，則可求出的值，再將代入函數中可求出的值，然后由三角函數圖象變換規律可求出，從而可求出【詳解】由題圖可知，周期，，所以，因為在的圖象上，所以，所以，得，因為，所以，所以，所以，故.故答案為：116．雙曲線的左，右焦點分別為、，過點的直線l交雙曲線的右支于A、B兩點，且，，則雙曲線的離心率為______．【答案】【分析】設出雙曲線的焦距，利用雙曲線定義結合三角形余弦定理列式計算作答.【詳解】令，則，依題意，，，等腰中，，而，在中，由余弦定理得：，整理得：，即，而，解得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：三、解答題17．某學校為提升學生身體素質，準備在學校開展籃球體育活動，開展體育活動前從學校中隨機抽取200名學生進行問卷調查，得到以下數據：喜歡籃球不喜歡籃球男生10020女生2060(1)判斷是否有的把握認為喜歡籃球與性別有關？(2)從不喜歡籃球的同學中采用分層抽樣的方式從中抽取4名同學，從這4名同學中隨機抽取2名同學，求恰有一位女生的概率.附：【答案】(1)有的把握認為喜歡籃球與性別有關(2)【分析】（1）計算的值，由此做出判斷.（2）利用列舉法，結合古典概型的概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】(1)，所以有的把握認為喜歡籃球與性別有關.(2)不喜歡籃球的同學中男女生比例為，所以按照分層抽樣方式抽取的男生有1人，女生有3人，

抽取方式有：（男1，女1），（男1，女2），（男1，女3），（女1，女2），（女1，女3），（女2，女3），共6種，

其中恰有一個女生的有：（男1，女1），（男1，女2），（男1，女3），共3種，所以恰有一個女生的概率為.18．已知數列滿足，且．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前2n項的和【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累乘法求得數列的通項公式；（2）利用分組求和法求得.【詳解】(1)∵，，，∴，∴，∴，，，…，，將上述式子左右分別相乘得，∴．∵滿足上式，∴．(2)∵，令，，的前項和為，的前項和為，∴，，∴．19．如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面平面，設平面與平面的交線為.(1)證明：平面；(2)已知，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質可得平面，由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質可得，從而可得結論，（2）作，垂足為，設到平面的距離為，則利用等體積法可求出，在求出，從而可求出直線與平面所成角的正弦值【詳解】(1)∵，平面平面，且平面平面，∴平面.

∵，平面，平面，∴平面.

∵平面平面，平面，∴，∴平面.(2)∵，過作，交延長線于，又∵，∴，，∴.

設到平面的距離為，∴，即.又，，∴.

由平面，，∴平面，∴，∴.設與平面所成角為，則.

20．已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，，在橢圓E上任取一點P，的周長為．(1)求橢圓E的標準方程；(2)設點P關于原點的對稱點為Q，過右焦點F2作與直線PQ垂直的直線交橢圓E于A、B兩點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓E的標準方程；（2）利用弦長公式求得、，結合二次函數的性質來求得的取值范圍．【詳解】(1)由的周長為，得，即．①又．②由①②解得：，．所以．故橢圓E的方程為．(2)設，，，，當直線AB的斜率為0時，得：，，，當直線AB的斜率不為0時，設直線，直線，聯立直線AB和橢圓E的方程，并消去x整理得：，，由韋達定理得：，，，聯立直線PQ和橢圓E的方程，并消去y整理得：，由韋達定理得：，，，所以．令，則，綜上，的取值范圍為.21．已知函數.(1)當時，求的最小值；(2)記，若對任意的，恒有，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，求導，再利用導數與最值求解；

（2）易得，將問題轉化為，對任意的成立，分別求得和的最大值和最小值求解.【詳解】(1)解：當時，，所以，

當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，

所以函數的最小值.(2)由條件可得，所以原不等式即為.因為，所以，即，

可得，令，易知為上的增函數，從而，所以；

令，則，為上的增函數，

又，所以當時，恒有，從而為上的增函數，所以，所以，所以實數的取值范圍為.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數，即將問題轉化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為，（為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；(2)已知點，直線l與曲線C交于A，B兩點，求的值．【答案】(1)曲線C的普通方程為，直線l的直角坐標方程為.(2)【分析】（1）消去參數得到普通方程，利用公式將極坐標方程轉化為直角坐標方程；（2）寫出符合要求的直線參數方程，利用t的幾何意義求解答案.【詳解】(1)已知曲線（為參數），則曲線C的普通方程為．直線l的極坐標方程為，則直線l的直角坐標方程為．(2)由于在直線l上，可設直線l的參數方程的標準形式為（t為參數），代入曲線C