第五章平面向量第一節(jié)向量的概念及線性運算本節(jié)主要包括2個知識點：1.向量的有關(guān)概念；2.向量的線性運算.突破點(一)向量的有關(guān)概念基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”名稱定義備注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0考點貫通抓高考命題的“形”與“神”向量的有關(guān)概念[典例](1)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件的序號為________．①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|.(2)設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數(shù)是________．[解析](1)因為向量eq\f(a,|a|)的方向與向量a相同，向量eq\f(b,|b|)的方向與向量b相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a與向量b方向相同，故可排除①②④.當a＝2b時，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.[答案](1)③(2)3[易錯提醒](1)兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的模可以比較大小；(2)大小與方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征；(3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上．能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1．給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是________．解析：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|且eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→)).又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，因此，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號是②③.答案：②③2．給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；③λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零；④λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯誤的命題的個數(shù)為________．解析：①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點．②正確，因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大小．③錯誤，當a＝0時，不論λ為何值，λa＝0.④錯誤，當λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，此時，a與b可以是任意向量．錯誤的命題有3個．答案：33．如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則圖中與eq\o(OC,\s\up7(→))相等的向量有________．答案：eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(ED,\s\up7(→))，eq\o(FO,\s\up7(→))4．如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的eq\f(1,3)處相交的兩個全等的等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為eq\f(a,3)的若干個向量，則(1)與向量eq\o(GH,\s\up7(→))相等的向量有________；(2)與向量eq\o(GH,\s\up7(→))共線，且模相等的向量有________；(3)與向量eq\o(EA,\s\up7(→))共線，且模相等的向量有________．解析：向量相等?向量方向相同且模相等．向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合．答案：(1)eq\o(LB′,\s\up7(→))，eq\o(HC,\s\up7(→))(2)eq\o(EC′,\s\up7(→))，eq\o(LE,\s\up7(→))，eq\o(LB′,\s\up7(→))，eq\o(GB,\s\up7(→))，eq\o(HC,\s\up7(→))(3)eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(FB,\s\up7(→))，eq\o(HA′,\s\up7(→))，eq\o(HK,\s\up7(→))，eq\o(KB′,\s\up7(→))突破點(二)向量的線性運算基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2.向量共線定理向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”向量的線性運算[例1](1)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝c，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b.若點D滿足eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝________.(用b，c表示)(2)在△ABC中，N是AC邊上一點且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，P是BN上一點，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))，則實數(shù)m的值是________．[解析](1)由題可知eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝b－c，∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(b－c)，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝c＋eq\f(2,3)(b－c)＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)如圖，因為eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up7(→)).因為B，P，N三點共線，所以m＋eq\f(2,3)＝1，則m＝eq\f(1,3).[答案](1)eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c(2)eq\f(1,3)[方法技巧]1．向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解．(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解．2．利用向量的線性運算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．(3)比較，觀察可知所求．向量共線定理的應(yīng)用[例2]設(shè)兩個非零向量a和b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)．求證：A，B，D三點共線．(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．[解](1)證明：因為eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，所以eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共線．又eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BD,\s\up7(→))有公共點B，所以A，B，D三點共線．(2)因為ka＋b與a＋kb共線，所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝λk，))解得k＝±1.即k＝1或－1時，ka＋b與a＋kb共線．[方法技巧]向量共線定理的三個應(yīng)用(1)證明向量共線：對于非零向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))有公共點A，則A，B，C三點共線．(3)求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．[提醒]證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點．能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點一])如圖所示，下列結(jié)論正確的是________．(填序號)①eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－b；③eq\o(PS,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋b.解析：根據(jù)向量的加法法則，得eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，故①正確；根據(jù)向量的減法法則，得eq\o(PT,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，故②錯誤；eq\o(PS,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(QS,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－2b＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，故③正確；eq\o(PR,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(QR,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，故④錯誤．答案：①③2.eq\a\vs4\al([考點二])已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋μb，λ，μ∈R，則A，B，C三點共線的充要條件為λμ＝________.解析：∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝meq\o(AC,\s\up7(→))(m≠0)，則λa＋b＝m(a＋μb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝m，,1＝mμ，))∴λμ＝1.答案：13.eq\a\vs4\al([考點一])在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，DE交AF于H，記eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))分別為a，b，則eq\o(AH,\s\up7(→))＝________.(用a，b表示)解析：如圖，過點F作BC的平行線交DE于G，則G是DE的中點，且eq\o(GF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up7(→))，∴eq\o(GF,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up7(→))，則△AHD∽△FHG，從而HF→＝eq\f(1,4)eq\o(AH,\s\up7(→))，∴eq\o(AH,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝b＋eq\f(1,2)a，∴eq\o(AH,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b.答案：eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b4.eq\a\vs4\al([考點二])已知a，b是兩個不共線的非零向量，且a與b起點相同．若a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點在同一直線上，則t＝________.解析：∵a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點在同一條直線上，且a與b起點相同．∴a－tb與a－eq\f(1,3)(a＋b)共線，即a－tb與eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b共線，∴存在實數(shù)λ，使a－tb＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,3)b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(2,3)λ，,t＝\f(1,3)λ，))解得λ＝eq\f(3,2)，t＝eq\f(1,2)，若a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點在同一條直線上，則t＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)[課時達標檢測]重點保分課時——一練小題夯雙基，二練題點過高考[練基礎(chǔ)小題——強化運算能力]1．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝________.(用一個向量表示)解析：eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(AD,\s\up7(→)).答案：eq\o(AD,\s\up7(→))2．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________.解析：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)3．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是________．解析：由已知得，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up7(→))，故eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→)).又因為eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))不平行，所以四邊形ABCD是梯形．答案：梯形4．已知△ABC和點M滿足eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0.若存在實數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AM,\s\up7(→))成立，則m＝________.解析：由eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0知，點M為△ABC的重心，設(shè)點D為底邊BC的中點，則eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝3eq\o(AM,\s\up7(→))，故m＝3.答案：3[練常考題點——檢驗高考能力]一、填空題1．設(shè)M是△ABC所在平面上的一點，且eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，D是AC的中點，則eq\f(|eq\o(MD,\s\up7(→))|,|eq\o(BM,\s\up7(→))|)的值為________．解析：∵D是AC的中點，如圖，延長MD至E，使得DE＝MD，∴四邊形MAEC為平行四邊形，∴eq\o(MD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ME,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→)))，∴eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝2eq\o(MD,\s\up7(→)).∵eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(MB,\s\up7(→))＝－eq\f(3,2)(eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→)))＝－3eq\o(MD,\s\up7(→))，∴eq\o(BM,\s\up7(→))＝3eq\o(MD,\s\up7(→))，∴eq\f(|eq\o(MD,\s\up7(→))|,|eq\o(BM,\s\up7(→))|)＝eq\f(|eq\o(MD,\s\up7(→))|,|3eq\o(MD,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．在△ABC中，eq\o(BD,\s\up7(→))＝3eq\o(DC,\s\up7(→))，若eq\o(AD,\s\up7(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up7(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up7(→))，則λ1λ2的值為________．解析：由題意得，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴λ1＝eq\f(1,4)，λ2＝eq\f(3,4)，∴λ1λ2＝eq\f(3,16).答案：eq\f(3,16)3．設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝－2eq\o(OB,\s\up7(→))，則△AOB與△AOC的面積之比為________．解析：設(shè)D為AC的中點，連結(jié)OD，則eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OD,\s\up7(→)).又eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝－2eq\o(OB,\s\up7(→))，所以eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OB,\s\up7(→))，即O為BD的中點，從而容易得△AOB與△AOC的面積之比為eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．已知點O為△ABC外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于________．解析：由eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，由O為△ABC外接圓的圓心，可得|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|.設(shè)OC與AB交于點D，如圖，由eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))可知D為AB的中點，所以eq\o(OC,\s\up7(→))＝2eq\o(OD,\s\up7(→))，D為OC的中點．又由|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四邊形OACB為菱形，所以△OAC為等邊三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°.答案：30°5．已知點G是△ABC的重心，過點G作一條直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且eq\o(AM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up7(→))，則eq\f(xy,x＋y)的值為________．解析：由已知得M，G，N三點共線，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(AN,\s\up7(→))＝λxeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－λ)yeq\o(AC,\s\up7(→)).∵點G是△ABC的重心，∴eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λx＝\f(1,3)，,1－λy＝\f(1,3)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,3x)，,1－λ＝\f(1,3y)，))得eq\f(1,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3，通分得eq\f(x＋y,xy)＝3，∴eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．(2018·如皋中學期末)若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足5eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))，則△ABM與△ABC的面積的比值為________．解析：設(shè)AB的中點為D，如圖，連結(jié)MD，MC，由5eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))，得5eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(AD,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))①，即eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up7(→))，即eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)＝1，故C，M，D三點共線，又eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DM,\s\up7(→))②，①②聯(lián)立，得5eq\o(DM,\s\up7(→))＝3eq\o(DC,\s\up7(→))，即在△ABM與△ABC中，邊AB上的高的比值為eq\f(3,5)，所以△ABM與△ABC的面積的比值為eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)7．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝0.其中正確命題的個數(shù)為________．解析：由eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b可得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－b，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－b＋a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＝0，所以①錯，②③④正確．所以正確命題的個數(shù)為3.答案：38．若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，則|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝________.解析：∵|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，∴△ABC是邊長為2的正三角形，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|為△ABC的邊BC上的高的2倍，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2×2sineq\f(π,3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)9．若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－2eq\o(OA,\s\up7(→))|，則△ABC的形狀為________．解析：因為eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－2eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，所以|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|，即eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(AC,\s\up7(→))，△ABC為直角三角形．答案：直角三角形10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點E在線段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，則μ的取值范圍是________．解析：由題意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→)).∵點E在線段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(DC,\s\up7(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))，又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋2μeq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up7(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2)，即μ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))二、解答題11.如圖，以向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b為鄰邊作?OADB，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up7(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up7(→))，eq\o(ON,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→)).解：∵eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.又∵eq\o(OD,\s\up7(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.綜上，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.12.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．解：(1)延長AD到G，使eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))，連結(jié)BG，CG，得到?ABGC，如圖，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)證明：由(1)可知eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up7(→))，又因為eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線．第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示本節(jié)主要包括2個知識點：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐標表示.突破點(一)平面向量基本定理基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．考點貫通抓高考命題的“形”與“神”基底的概念[例1]如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是________．(填序號)①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e1＋2e2；③e1＋e2與e1－e2；④e1＋3e2與6e2＋2e1.[解析]①中，設(shè)e1＋e2＝λe1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0))無解；②中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,－2＝2λ))無解；③中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝－λ))無解；④中，e1＋3e2＝eq\f(1,2)(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底．[答案]④[易錯提醒]某平面內(nèi)所有向量的一組基底必須是兩個不共線的向量，不能含有零向量．平面向量基本定理的應(yīng)用[例2](2017·江蘇南通二模)如圖，在△ABC中，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P，則eq\o(AP,\s\up7(→))＝________.(用a，b表示)[解析]如圖，連結(jié)BP，則eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CP,\s\up7(→))＝b＋eq\o(PR,\s\up7(→))，①eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＝a＋eq\o(RP,\s\up7(→))－eq\o(RB,\s\up7(→))，②①＋②，得2eq\o(AP,\s\up7(→))＝a＋b－eq\o(RB,\s\up7(→))，③又eq\o(RB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(QB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AQ,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)eq\o(AP,\s\up7(→))))，④將④代入③，得2eq\o(AP,\s\up7(→))＝a＋b－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)eq\o(AP,\s\up7(→))))，解得eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(2,7)a＋eq\f(4,7)b.[答案]eq\f(2,7)a＋eq\f(4,7)b[方法技巧]平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點二])(2018·宜興月考)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP＝eq\f(1,3)AB，BQ＝eq\f(1,3)BC，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，則eq\o(PQ,\s\up7(→))＝________.(用a，b表示)解析：由題意知eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.答案：eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b2.eq\a\vs4\al([考點一])(2018·泉州調(diào)研)若向量a，b不共線，則下列各組向量中，可以作為一組基底的是________．(填序號)①a－2b與－a＋2b；②3a－5b與6a－10b；③a－2b與5a＋7b；④2a－3b與eq\f(1,2)a－eq\f(3,4)b.解析：不共線的兩個向量可以作為一組基底．因為a－2b與5a＋7b不共線，故a－2b與5a＋7b可以作為一組基底．答案：③3.eq\a\vs4\al([考點二])(2018·常州月考)如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且BD＝2DC，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋neq\o(AD,\s\up7(→))(m，n∈R)，則m－n＝________.解析：eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，則m＝－eq\f(1,2)，n＝eq\f(3,2)，所以m－n＝－2.答案：－24.eq\a\vs4\al([考點一])(2018·鎮(zhèn)江月考)在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若eq\o(BC,\s\up7(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up7(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up7(→))＝________.(用e1，e2表示)解析：在矩形ABCD中，因為O是對角線的交點，所以eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e2.答案：eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e25.eq\a\vs4\al([考點二])(2018·無錫診斷)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，P是BN上一點，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up7(→))，則實數(shù)m的值為________．解析：∵B，P，N三點共線，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝teq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－t)eq\o(AN,\s\up7(→))＝teq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(1－t)eq\o(AC,\s\up7(→))，又∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,8)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝t，,\f(1,2)1－t＝\f(3,8)，))解得m＝t＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)突破點(二)平面向量的坐標表示基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標運算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)．2．向量平行的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”平面向量的坐標運算[例1]已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(BC,\s\up7(→))＝b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up7(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up7(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標及向量eq\o(MN,\s\up7(→))的坐標．[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))即所求實數(shù)m的值為－1，n的值為－1.(3)設(shè)O為坐標原點，∵eq\o(CM,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，即M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up7(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，即N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝(9，－18)．[方法技巧]平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．向量平行的坐標表示[例2]已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線；(2)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋mb，且A，B，C三點共線，求m的值．[解](1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－eq\f(1,2).(2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝eq\f(3,2).[方法技巧]向量平行的坐標表示中的乘積式和比例式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，這是代數(shù)運算，用它解決平面向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少了未知數(shù)的個數(shù)，而且它使問題的解決具有代數(shù)化的特點和程序化的特征．(2)當x2y2≠0時，a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即兩個向量的相應(yīng)坐標成比例，這種形式不易出現(xiàn)搭配錯誤．(3)公式x1y2－x2y1＝0無條件x2y2≠0的限制，便于記憶；公式eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)有條件x2y2≠0的限制，但不易出錯．所以我們可以記比例式，但在解題時改寫成乘積的形式．能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點一])若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，則c可用向量a，b表示為________．解析：設(shè)c＝xa＋yb，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))＝(2x－y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋2y＝\f(5,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))則c＝eq\f(1,2)a＋b.答案：eq\f(1,2)a＋b2.eq\a\vs4\al([考點一])已知點M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a，則點N的坐標為________．解析：eq\o(MN,\s\up7(→))＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，設(shè)N(x，y)，則eq\o(MN,\s\up7(→))＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))即N(2,0)．答案：(2,0)3.eq\a\vs4\al([考點二])已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點共線，則k的值是________．解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共線，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)4.eq\a\vs4\al([考點二])已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三個頂點A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為________．解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴eq\o(DC,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→)).設(shè)點D的坐標為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up7(→))＝(4－x，2－y)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故點D的坐標為(2,4)．答案：(2,4)5.eq\a\vs4\al([考點二])已知eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，eq\o(OD,\s\up7(→))＝d，eq\o(OE,\s\up7(→))＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時，C，D，E三點共線？解：由題設(shè)知，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝d－c＝2b－3a，eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(OE,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝e－c＝t(a＋b)－3a＝(t－3)a＋tb.C，D，E三點共線的充要條件是存在實數(shù)k，使得eq\o(CE,\s\up7(→))＝keq\o(CD,\s\up7(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.(1)若a，b共線，則t可為任意實數(shù)；(2)若a，b不共線，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,2k－t＝0，))解得t＝eq\f(6,5).綜上，可知a，b共線時，t可為任意實數(shù)；a，b不共線時，t＝eq\f(6,5).[課時達標檢測]重點保分課時——一練小題夯雙基，二練題點過高考[練基礎(chǔ)小題——強化運算能力]1．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值為________．解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．(2018·太湖高級中學模擬)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A，B，C三點滿足eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，則eq\f(|eq\o(AC,\s\up7(→))|,|eq\o(AB,\s\up7(→))|)＝________.解析：∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，∴eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\f(|eq\o(AC,\s\up7(→))|,|eq\o(AB,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，則c＝________.解析：由題意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(23＋x＝0，,12＋y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－23，,y＝－12，))所以c＝(－23，－12)．答案：(－23，－12)4．若AC為平行四邊形ABCD的一條對角線，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(3,5)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,4)，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝________.解析：由題意可得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．答案：(－1，－1)5．若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數(shù)a的值為________．解析：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－1,3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－3,4)，據(jù)題意知eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).答案：－eq\f(5,4)[練常考題點——檢驗高考能力]一、填空題1．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.答案：－62．設(shè)向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是________．解析：因為a與b方向相反，所以b＝ma，m＜0，則有(4，x)＝m(x,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝mx，,x＝m，))解得m＝±2.又m＜0，∴m＝－2，x＝m＝－2.答案：－23．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3.答案：－34．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d＝________.解析：設(shè)d＝(x，y)，由題意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．答案：(－2，－6)5．△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，則角C＝________.解析：因為p∥q，則(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，又0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°6．在平面直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點且∠AOC＝eq\f(π,4)，|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，則λ＋μ＝________.解析：因為|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)7．在△ABC中，點P在BC上，且eq\o(BP,\s\up7(→))＝2eq\o(PC,\s\up7(→))，點Q是AC的中點，若eq\o(PA,\s\up7(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝(1,5)，則eq\o(BC,\s\up7(→))＝________.解析：eq\o(AQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→))＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AQ,\s\up7(→))＝2(－3,2)＝(－6,4)．eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(PC,\s\up7(→))＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：(－6,21)8．設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是________．解析：由題意得eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－b－1,2)，∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)時取等號，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是8.答案：89．(2018·金陵中學模擬)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是兩個向量集合，則P∩Q＝________.解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋m＝1＋2n，,1＋2m＝－2＋3n，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－12，,n＝－7.))此時a＝b＝(－13，－23)．答