試卷類型：A汕頭市2021-2022學(xué)年度下學(xué)期期末測試高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.考生注意：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡交回.第Ⅰ卷選擇題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在給出的四個選項中，只有一項符合題目要求1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)集合的交集運算求解即可.【詳解】解：因為，，所以故選：D2.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B.1 C.2 D.2i【答案】B【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)即得解.【詳解】解：由題得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B3.是直線和平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因為直線和平行，所以，解得或，當(dāng)時，兩直線分別為，兩直線平行，當(dāng)時，兩直線分別為，兩直線平行，所以或，所以是直線和平行的充分不必要條件.故選：A.4.已知向量、、滿足，且，則、夾角為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律和定義得出，由此可求出、的夾角.【詳解】等式兩邊平方得，即，又，所以，，因此，、夾角為，故選：C.【點睛】本題考查平面向量夾角的計算，同時也考查平面向量數(shù)量積的運算律以及平面向量數(shù)量積的定義，考查計算能力，屬于中等題.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，選項CD錯誤；當(dāng)時，，選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．6.把曲線上所有點向右平移個單位長度，再把得到的曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線，則A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于直線對稱C.關(guān)于點對稱 D.關(guān)于點對稱【答案】B【解析】【詳解】由題意可得，曲線的解析式為：，當(dāng)時，，故不是的對稱軸；當(dāng)時，，故是的對稱軸，不是的對稱中心；當(dāng)時，，故不是的對稱中心；本題選擇B選項.7.已知雙曲線（a、b均為正數(shù)）的兩條漸近線與直線圍成的三角形的面積為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】首先得到雙曲線的漸近線方程，再令，即可得到、坐標(biāo)，再根據(jù)面積公式求出，最后由離心率公式計算可得；【詳解】解：雙曲線的漸近線為，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故選：D8.根據(jù)汕頭市氣象災(zāi)害風(fēng)險提示，5月12日～14日我市進入持續(xù)性暴雨模式，城鄉(xiāng)積澇和質(zhì)災(zāi)害風(fēng)險極高，全市范圍內(nèi)降雨天氣易澇點新增至36處.已知有包括甲乙在內(nèi)的5個排水施工隊前往3個指定易澇路口強排水（且每個易澇路口至少安排一個排水施工隊），其中甲、乙施工隊不在同個易澇路口，則不同的安排方法有（）A.86 B.100 C.114 D.136【答案】C【解析】【分析】先將5個施工隊按照3，1，1和2，2，1兩種模式分成3組，注意排除甲、乙兩個施工隊放在一個組的種數(shù)，然后再將分好組的施工隊派往3個不同的易澇路口，即可得出答案.【詳解】解：若將5個施工隊分成3組，則有如下兩種情況，第一種，按照3，1，1模式分組，則有種分組方法，第二種，按照2，2，1模式分組，則有種分組方法，所以將將5個施工隊分成3組，共有種分組方法，其中，如果甲、乙施工隊和另外一個隊構(gòu)成一個組，則有種分組方法，如果甲、乙施工隊單獨構(gòu)成一個組，則有種分組方法，所以將甲、乙兩個施工隊放在一個組，共有種分組方法，所以將5個施工隊分成3組，甲、乙兩個施工隊不在一個組的分組方法有種，現(xiàn)將分好組施工隊派往3個不同的易澇路口，則有種安排方法，所以符合題意的安排方法共有種.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9.已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，得到回歸直線方程為，且，去除兩個歧義點和后，得到新的回歸直線的斜率為3．則下列說法正確的是（）A.相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系B.去除兩個歧義點后的回歸直線方程為C.去除兩個歧義點后，樣本（4，8.9）的殘差為D.去除兩個歧義點后，隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變小【答案】ABC【解析】【分析】回歸直線方程的斜率大小可以判斷A和D；殘差為真實值與估計值之差，進而判斷C；根據(jù)題意算出新的相關(guān)變量的平均值，進一步求出，進而判斷B.【詳解】對A，因為回歸直線斜率大于0，即相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對B，將代入得，則去掉兩個歧義點后，得到新的相關(guān)變量的平均值分別為，，此時的回歸直線方程為，故B正確；對C，x=4時，，殘差為8.9-9=-0.1，故C正確；對D，斜率3>1，此時隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變大，D錯誤.故選：ABC.10.若，，，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，從而，則關(guān)系可判斷；由，則關(guān)系可判斷；取特殊數(shù)字可得的大小不定.【詳解】由，則，即，，即，則，所以,故選項A正確.，所以,故選項C正確.取滿足，，，此時，取滿足，，，此時，所以的大小不定.故選：AC11.設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（）A.不論k如何變化，圓心始終在一條直線上B.存在圓經(jīng)過點（3，0）C.存在定直線始終與圓相切D.若圓上總存在兩點到原點的距離為1，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，考查圓心的橫縱坐標(biāo)關(guān)系即可判斷；對于B，把，代入圓方程，由關(guān)于的方程根的情況作出判斷；對于C，判斷圓心到直線距離與半徑的關(guān)系即可；對于D，圓與以原點為圓心的單位圓相交即可判斷作答．【詳解】解：根據(jù)題意，圓，其圓心為，半徑為2，依次分析選項：對于A，圓心為，其圓心在直線上，A正確；對于B，圓，將代入圓的方程可得，化簡得，，方程無解，所以不存在圓經(jīng)過點，B錯誤；對于C，存在直線，即或，圓心到直線或的距離，這兩條直線始終與圓相切，C正確，對于D，若圓上總存在兩點到原點的距離為1，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個交點，圓心距為，則有，解可得：或，D正確．故選：ACD．12.已知的展開式中的所有項的二項式系數(shù)之和為64，記展開式中的第項的系數(shù)為，二項式系數(shù)為，，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.數(shù)列所有項之和為729C.數(shù)列是等差數(shù)列D.數(shù)列的最大項為20【答案】BD【解析】【分析】先由二項式系數(shù)之和，求出；再由二項展開式的通項公式，得出與，寫出對應(yīng)的數(shù)列中的項，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因為的展開式中的所有項的二項式系數(shù)之和為64，所以，則；即；又展開式中的第項為，因此展開式中的第項的系數(shù)為，二項式系數(shù)為；對于數(shù)列有，，，，，，；所以該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故A錯；，故B正確；對于數(shù)列有，，，，，，；所以該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故C錯；且該數(shù)列的最大項為，故D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于利用二項展開式的通項公式，寫出展開式的通項，得出與，進而即可求解.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分13.曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】【詳解】曲線在點處的斜率為：根據(jù)點斜式寫出直線方程為：.故答案為.14.已知圓錐同時滿足條件：①側(cè)面展開圖為半圓；②底面半徑為4，則圓錐的體積__________【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的高為，母線為，依題意可得，再由勾股定理求出，最后由圓錐的體積公式計算可得；【詳解】解：設(shè)圓錐的高為，母線為，底面半徑，依題意，即，所以，所以圓錐體積；故答案為：15.已知為第三象限角，，則_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)為第三象限角，，平方得到，進而求解，再由即得解.【詳解】解：為第三象限角，，，，，，且，，，，則【點睛】本題考查了三角函數(shù)的二倍角公式，互相轉(zhuǎn)化運算綜合，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.16.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一．香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲、開竅的．因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目．圖1的平行四邊形ABCD由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成．將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊．那么在圖2這個六面體中內(nèi)切球半徑為__________，體積為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由兩個同底且棱長都為1的正三棱錐構(gòu)成的幾何體求解.【詳解】解：如圖所示：易知該幾何體是側(cè)棱長為1，以邊長為1的等邊三角形為底的兩個正三棱錐組成，O為的中心，即內(nèi)切球的球心，M為FB的中點，連接HM，作，則ON為內(nèi)切球的半徑，因為，所以，所以內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的體積為，故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.四邊形的內(nèi)角與互補，，，．（1）求角和長度；（2）求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列方程，化簡求得，由此求得，同時求得.（2）結(jié)合三角形的面積公式求得四邊形的面積.【詳解】（1）由于互補，所以，由余弦定理得，，，所以，由于，所以.（2），.18.為惠普市民，鼓勵市民消費，進一步優(yōu)化消費供給，加快打造區(qū)域消費中心城市，我市開展“2022汕頭歡樂購”系列消費券發(fā)放活動，第一期活動在4月30日啟動，持續(xù)至6月2日，全市市民可通過銀聯(lián)云閃付APP或“汕頭商務(wù)”公眾號“促消費”菜單進入“2022汕頭歡樂購”活動主題界面領(lǐng)取消費券.從平臺發(fā)布統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機選出200人，經(jīng)統(tǒng)計這200人中通過“汕頭商務(wù)”公眾號“促消費”菜單成功領(lǐng)取“歡樂購”消費券的有160人．將這160人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示：

（1）求a的值并估計這160人的平均年齡（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值作為代表）；（2）把年齡在第1，2，3組的居民稱為青少年組，年齡在第4，5組的居民稱為中老年組，選出的200人中通過“銀聯(lián)閃付APP”成功領(lǐng)取“歡樂購”消費券的中老年人有26人，完成下列列聯(lián)表并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷通過銀聯(lián)閃付APP或通過“汕頭商務(wù)”公眾號“促消費”菜單領(lǐng)取“歡樂購”消費券與年齡有關(guān)？通過銀聯(lián)閃付APP成功領(lǐng)券通過“汕頭商務(wù)”公眾號“促消費”菜單成功領(lǐng)券合計青少年中老年合計附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1），平均年齡：；（2）表格見解析，有小概率值的獨立性檢驗判斷通過銀聯(lián)閃付APP或通過“汕頭商務(wù)”公眾號“促消費”菜單領(lǐng)取“歡樂購”消費券與年齡有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)小長方形的面積之和等于可以求出，再根據(jù)題目要求算出平均數(shù)；（2）先填好列聯(lián)表，根據(jù)定義算出，最后根據(jù)表格數(shù)據(jù)確定獨立性檢驗的結(jié)論.【小問1詳解】依題意，，解得，平均年齡為：.【小問2詳解】通過銀聯(lián)閃付APP成功領(lǐng)券通過“汕頭商務(wù)”公眾號“促消費”菜單成功領(lǐng)券合計青少年1496110中老年266490合計40160200根據(jù)定義，，由表格可讀出，有小概率值的獨立性檢驗判斷通過銀聯(lián)閃付APP或通過“汕頭商務(wù)”公眾號“促消費”菜單領(lǐng)取“歡樂購”消費券與年齡有關(guān)..19.已知數(shù)列的相鄰兩項和恰是方程的兩個根，且．（1）求的值；（2）記為數(shù)列的前n項和，求．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，則可得，再由可求出，從而可求出的值，（2）先求出，然后可判斷出數(shù)列是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式求解即可【小問1詳解】因為和恰是方程的兩個根，所以，所以，所以，所以構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以【小問2詳解】因為，，所以，因為，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以20.如圖，在四面體中，，分別是線段，的中點，，，．（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理證明，從而可證平面，然后可得面面垂直；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角．【詳解】（1），分別是線段，的中點，則，，又，所以，，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，因平面，所以平面平面；（2）以為軸，過與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）可得平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，即，所以，所以，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，即，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，，．所以二面角的余弦值為．21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點與橢圓：的右焦點重合．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）記，若拋物線C上存在兩點B，D，使為以P為頂點的等腰三角形，求直線的斜率的取值范圍．【答案】（Ⅰ）方程為，準(zhǔn)線為；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由橢圓方程可得其右焦點為，即可求出，得出拋物線方程和準(zhǔn)線；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，表示出中點，由題可得，由建立關(guān)系可求.【詳解】（Ⅰ）由橢圓方程可得其右焦點為，拋物線與橢圓右焦點重合，，即，故拋物線C的方程為，準(zhǔn)線為；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，則，可得，設(shè)，，設(shè)中點為，則，，為以P為頂點的等腰三角形，則，則，整理可得，，則，解得或，故直線的斜率的取值范圍為.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達定理求解.22.已知函數(shù)（）．（1）若a=1，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在兩個極小值點，，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時，設(shè)，求證：．【答案】（1）單調(diào)遞減；單調(diào)遞增（2）