湖南省衡陽市耒陽第四中學高三數學文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知實數x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A.11 B.9 C.8 D.3參考答案：C【分析】根據約束條件畫出可行域，將問題轉化為求解在軸截距的最小值；通過平移直線可知當直線過時，截距取最小值；求出點坐標后代入即可得到所求結果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：當取最小值時，在軸截距最小由平移可知，當過圖中點時，在軸截距最小由得：

本題正確選項：【點睛】本題考查線性規劃中的最值問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化為求解直線在軸截距的最值，屬于常考題型.2.（07年寧夏、海南卷）甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績如下表甲的成績環數78910頻數5555乙的成績環數78910頻數6446丙的成績環數78910頻數4664

分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的標準差，則有（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．參考答案：答案：B解析：

3.已知數列{an}是等差數列a10=10，其前10項和S10=55，則其公差d=（）A．0 B．1 C．C﹣1 D．參考答案：B【考點】85：等差數列的前n項和．【分析】利用等差數列通項公式和前n項和公式列出方程組，能求出公差．【解答】解：∵數列{an}是等差數列a10=10，其前10項和S10=55，∴，解得a1=1，d=1．故選：B．【點評】本題考查等差數列的公差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．4.函數在定義域R內可導，若，且當時，。設則（

）A

B

C

D

10、參考答案：B5.（多選題）已知函數，則下列結論正確的是（

）A.f(x)是周期為2π的奇函數 B.f(x)在上為增函數C.f(x)在(－10π,10π)內有21個極值點 D.在上恒成立的充要條件是參考答案：BD【分析】根據周期函數的定義判定選項A錯誤；根據導航的符號判斷選項B正確；根據導函數零點判定選項C錯誤；根據恒成立以及對應函數最值確定選項D正確.【詳解】的定義域為R，，是奇函數，但是，不是周期為的函數，故選項A錯誤；當時，，，單調遞增，當時，，，單調遞增，且在連續，故在單調遞增，故選項B正確；當時，，，令得，，當時，，，令得，,因此，在內有20個極值點，故選項C錯誤；當時，，則，當時，，設，，令，，單調遞增，，，在單調遞增，又由洛必達法則知：當時，，故答案D正確.故選：BD.【點睛】本題考查了奇函數、周期函數定義，三角函數的幾何性質，函數的極值，利用導數研究單調性以及利用導數研究恒成立問題，考查綜合分析求解與論證能力，屬較難題.6.等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.把平面圖形M上的所有點在一個平面上的射影構成的圖形M′叫作圖形M在這個平面上的射影．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，將圍成三棱錐的四個三角形的面積從小到大依次記為S1，S2，S3，S4，設面積為S2的三角形所在的平面為α，則面積為S4的三角形在平面α上的射影的面積是（）A．2 B． C．10 D．30參考答案：A【考點】平行投影及平行投影作圖法．【分析】由題意，面積為S4的三角形在平面α上的射影為△OAC，即可得出結論．【解答】解：如圖所示，面積為S4的三角形在平面α上的射影為△OAC，面積為=2，故選A．【點評】本題考查射影的概念，考查三角形面積的計算，比較基礎．8.甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加某一項比賽，決出第一到第五的名次。甲、乙、丙三人去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未得到第一名”；對乙說：“你當然不會是最差的”；對丙說：“你比甲乙都好”；從這個回答分析：5人名次的排列有（

）種不同情況。A、

B、

C、

D、參考答案：答案：C解析：∵當甲為第五名時有種不同的排法；當甲、乙連排，且在中間時有種不同的排法；當甲、乙不連排，且在中間時有種不同的排法；∴共有種不同情況；

故選C

9.已知定義在R上的函數對任意的都滿足，當

時，，若函數至少6個零點，則取值范圍是（A）

（B）（C）

（D）參考答案：10.已知是平面，是直線，下列命題中不正確的是（A）若∥，，則∥（B）若∥，，則（C）若，，則∥（D）若，，則．參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列幾個命題：①函數是偶函數，但不是奇函數；②“”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為R”的充要條件；③設函數定義域為R,則函數與的圖象關于軸對稱；④若函數為奇函數，則；⑤已知x∈（0，π），則y=sinx+的最小值為。其中正確的有___________________。參考答案：②④略12.已知不等式組表示的平面區域的面積為，則

；

若點，則

的最大值為

.參考答案：2；6如圖不等式組對應的平面區域為三角形，由圖象知。其中，所以所以三角形的面積為，所以。由得，平移直線，由圖象可知當直線經過點B時，直線截距最大，此時也最大，把代入得。13.已知，且為第二象限角，則的值為

.參考答案：14.下列命題正確的有___________.①已知A,B是橢圓的左右兩頂點,P是該橢圓上異于A,B的任一點,則.②已知雙曲線的左頂點為,右焦點為，P為雙曲線右支上一點,則的最小值為－2.③若拋物線:的焦點為，拋物線上一點和拋物線內一點，過點作拋物線的切線，直線過點且與垂直，則平分；④已知函數是定義在R上的奇函數,,則不等式的解集是.參考答案：（2）

（3）

（4）15.若曲線在原點處的切線方程是，則實數

。參考答案：216.已知實數x，y滿足：，z=2x﹣2y﹣1，則z的取值范圍是．參考答案：[﹣，5）【考點】簡單線性規劃．【分析】根據畫出不等式組表示的平面區域，利用數形結合結合目標函數的意義，利用平移即可得到結論．【解答】解：不等式對應的平面區域如圖：（陰影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直線y=x﹣，由平移可知當直線y=x﹣，經過點C時，直線y=x﹣的截距最小，此時z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1），此時z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，可知當直線y=x﹣，經過點A時，直線y=y=x﹣的截距最大，此時z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈[﹣，5）．故答案為：[﹣，5）．17.已知復數是純虛數，那么實數a=_______.參考答案：－1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知某工廠每天固定成本是4萬元，每生產一件產品成本增加100元，工廠每件產品的出廠價定為a元時，生產x件產品的銷售收入是（元），P(x)為每天生產x件產品的平均利潤（平均利潤＝）.銷售商從工廠每件a元進貨后又以每件b元銷售，，其中c為最高限價，為銷售樂觀系數，據市場調查，是由當是，的比例中項時來確定.（1）每天生產量x為多少時，平均利潤P(x)取得最大值？并求P(x)的最大值；（2）求樂觀系數的值；（3）若c=600，當廠家平均利潤最大時，求a與b的值.參考答案：（1）依題意總利潤＝＝

此時即，每天生產量為400件時，平均利潤最大，最大值為200元………………6分（2）由得是的比例中項兩邊除以得

解得.

………………8分（3）廠家平均利潤最大，元每件產品的毛利為元（元），元.

………………12分

19.（09年揚州中學2月月考）（15分）某建筑的金屬支架如圖所示，根據要求至少長2.8m，為的中點，到的距離比的長小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的價格一定，問怎樣設計的長，可使建造這個支架的成本最低？參考答案：解析：設連結BD.

則在中，

設

則

等號成立時

答：當時，建造這個支架的成本最低.20.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的方程為，直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求直線l和曲線C的極坐標方程；（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求的值.參考答案：（1）：，：；（2）【分析】（1）直線的參數方程，利用代入法消去參數可得其普通方程，再化為極坐標方程即可；圓的標準方程化為一般方程，再利用，，，可得結果；（2）將代入化簡，可得，結合韋達定理可得結果.【詳解】（1）由得，所以的極坐標方程為，由得，又因為，，，所以曲線的極坐標方程為.（2）將代入，可得，即，所以，，由極坐標幾何意義得.【點睛】本題主要考查參數方程化為普通方程，極坐標方程與直角坐標方程的互化以及極徑的幾何意義，屬于中檔題.參數方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數化為普通方程；利用關系式，等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化。21.已知函數f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）設m＞0，n＞0且m+n=1，求證：．參考答案：【考點】不等式的證明；絕對值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，可得a2﹣2a﹣1≤2，即可求實數a的取值范圍；（Ⅱ）要證：成立，只需證+≤2，利用分析法的證明步驟，結合基本不等式證明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|2x﹣1|+|2x+1≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，∵不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，∴a2﹣2a﹣1≤2，∴a2﹣2a﹣3≤0，∴﹣1≤a≤3；（Ⅱ）要證：成立，只需證+≤2，兩邊平方，整理即證（2m+1）（2n+1）≤4，即證mn≤，又m+n=1，∴mn≤=．故原不等式成立．【點評】本題考查分析法證明不等式的方法，基本不等式的應用，絕對值不等式的性質，考查邏輯推理能力以及計算能力．22.(本題滿分14分)設數列的首項,前項和為，且滿足