考點1、平行線的判定與性質

知識框架

‘余角、補角、對頂角的概念和性質

垂線的概念和性質

同位角、內錯角、同旁內角的概念

基礎知識點■平行線的概念

平行線的判定

平行線的性質

.尺規作圖

余角、補角、對頂角、垂直的相關計算

方程思想

折疊問題中角的計算

識別同位角、內錯角和同旁內角

尺規作圖

重難點題型■

平行線間距離與面積問題

證平行線的技巧

平行線的性質

構造輔助線之添加平行線

平行線的壓軸題

基礎知識點

知識點1-1余角、補角、對頂角的概念和性質

1）余角：/1+/2=90。=/1與/2互為余角；2）補角：/1+/2=180。0/1與/2互為補角.

3）性質：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等.

4）鄰補角的概念：兩個角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線的兩個角互為鄰補角。（兩條相交

線可組成4對鄰補角）

5）對頂角的概念：兩個角只有一個公共頂點，一個角的兩條邊是另一個角兩條邊的反向延長線。（兩條相

交線組成2對對頂角）

6）對頂角的性質：對頂角相等（利用鄰補角的性質可證明）

知識點1-2垂線的概念和性質

1）垂線的概念：當兩條直線相交所形成的四個角中，有一個角為直角時，就稱這兩條直線相互垂直。（實

際上，四個角都為直角）

2）如下圖，兩條垂線的交點M叫作“垂足”，兩條直線用“_L”符號表示，讀作“垂直”，表示為：AB1

CD,讀作：AB垂直于CD

B

D

3）垂線的性質：在同一平面內，過一點（直線內或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直

注：（1）垂線的性質中，有2點需要格外：①必須強調在同一平面內；②點可在直線外，也可在直線上。

（2）同一平面內，兩條直線只有相交和平行兩種關系，其中垂直是特殊的相交。

4）垂線段的性質：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短（簡稱為：垂線段最短）

5）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度

1.（2021?重慶萬州區?七年級期末）下列各組角中，N1與N2是對頂角的是（）

【答案】B

【分析】根據對頂角的定義進行判斷：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向

延長線，這樣的兩個角叫做對頂角.

【詳解】根據兩條直線相交，才能構成對頂角進行判斷，

A、C、D都不是由兩條直線相交構成的圖形，錯誤；B是由兩條直線相交構成的圖形，正確.故選：B.

【點睛】本題考查對頂角的識別，理解對頂角的基本概念是解題關鍵.

2.（2021?山東臨沂市?七年級期末）已知Nl=43.6°,Z2=46°24',則N1與N2的關系為（）

A.相等B.互余C.互補D.以上都不對

【答案】B

【分析】計算出N1+N2的值即可得出結論.

【詳解】解：：Nl=43.6。,N2=46°24',

二/1+/2=43.6°+46。24'=43°36'+46°24'=90°二N1與N2的關系為互余.故選：B.

【點睛】本題考查了互為余角的關系；熟練掌握互余兩角的關系是解決問題的關鍵.

3.（2021?北京海淀區?北大附中七年級期末）將一副三角板按如圖所示位置擺放，其中Na與NP一定互補

的是（）

【答案】D

【分析】根據圖形，結合互補的定義判斷即可.

【詳解】A、Na與相等，不互補，故本選項錯誤；B、/a與Np不互補，故本選項錯誤；

C、Na與/人互余，故本選項錯誤；D、Na和N夕互補，故本選項正確；故選：D.

【點睛】本題考查了對余角和補角的應用，主要考查學生的觀察圖形的能力和理解能力.

4.（2021?安徽合肥市?七年級期末）如果Na和互余，則下列式子中表示Na補角是（）

①180。一Na；②Na+2N夕；③2Ne+NP；④〃+90。

A.①②④B.①②③C.①③④D.②③④

【答案】A

【分析】根據補角和余角的定義逐項判斷即可.

【詳解】?.?（180。一/。）+/。=180。，，180°—Na是Na的補角，故①正確.

???Na,互余,（Na+2N月）+Na=2（Na+//?）=2x90。=180。.

二Na+2/4是Na的補角，故②正確.

VZ.a,/4互余，（2Na+NP）+Na=2Na+90。，

???無法判斷Na的大小，，無法判斷2Na+N4是否為Na的補角，故③無法確定.

VZa,互余，.?.（//7+90。）+Na=Nc+N/?+90。=180。.

.?.//?+90。是Na的補角，故④正確.綜上可知：①②④正確.故選：A.

【點睛】本題考查補角和余角的定義.掌握兩個角互余，那么這兩個角相加等于90°；兩個角互補，那么這

兩個角相加等于1階是解答本題的關鍵.

5.（2021?浙江寧波市?七年級期末）如圖，點。在直線AB上，NCO6=NEQD=90°,那么下列說法錯

誤的是（）

A.N1與N2相等B.NAOE與N2互余C.NA。。與N1互補D.NAOE與NCOO互余

【答案】D

【分析】根據垂直的定義和余角，補角的定義和性質解答，即可.

【詳解】VZEOD=90°,ZCOB=90°,Z1+ZDOC=Z2+ZDOC=90°,

.,.Z1=Z2,?,.ZAOE+Z2=90°,即NAOE與N2互余，

,.?/2+NAOD=180°,.*.N1+NAOQ=180°,即：與N1互補，

VZ1+ZAOE=Z1+ZCOD,/.ZAOE=ZCOD,D選項說法是錯誤的，故選：D.

【點睛】本題考查了垂線的定義，余角和補角的定義和性質，關鍵是掌握平角的度數是180。，余角和補角

的性質.

6.（2021?江蘇揚州市?七年級期末）如圖，直線AB、CD相交于點O,OE平分NBOD,OF±CD,垂足為

O,若NBOF=38。.（1）求/AOC的度數；（2）過點O作射線OG,使/GOE=/BOF,求/FOG的度數.

【答案】⑴52。；（2）圖見解析，26。或102。

【分析】（1）依據OF_LCD,ZBOF=38°,可得/130口=90。-38。=52。，依據對頂角相等得到/AOC=52。；

（2）分兩種情況求解即可.

【詳解】（1）VOF±CD,NBOF=38°,/BOD=90°-38°=52°,.".ZAOC=52°；

（2）由（1）知：ZBOD=52°,；OE平分NBOD,，/BOE=26°,此時NGOE=NBOF=38°,

止匕時ZFOG=ZBOF+ZBOE-ZGOE=38o+26°-38o=26°:

止匕時ZFOG=ZBOF+ZBOE+ZGOE=38°+26°+38°=102°；

綜上：ZFOG的度數為26。或102°.

【點睛】本題考查了對頂角，角平分線定義，角的有關定義的應用，主要考查學生的計算能力，并注意數

形結合.

7.（2021?浙江溫州市?七年級期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點O,射線OE在NA。。內部，OA

平分NEOC.（1）當OE_LCO時，寫出圖中所有與N8O。互補的角.

(2)當NEOC:NEOZ)=2:3時，求N50。的度數.

【答案】（1）NA。。、NBOC、ZBOE；（2）36°.

【分析】（1）根據題意，由角平分線的定義，先求出NAOC=NAOE=N5OO=45。，然后求出

ZAOD=ZBOC=ZBOE=135°,即可得到答案；

（2）根據角的比例，先求出NEOC=72。，由角平分線的定義和對頂角定理，即可得到答案.

【詳解】解：（I）?；OE工CD,：.NCOE=NEOD=90。,

?.?OA平分NEOC,NAOC=NAOE='x90°=45°,ZBOO=45°,

2

/.NAOD=ZBOC=ZBOE=180°-45°=135°,

.?.與NBO。互補的角有NAO。、NBOC、NBOE；

2

（2）根據題意，：ZEOC:NEOD=2:3,又???ZEOC+ZEOD=180°,；.ZEOC=——x180。=72°,

2+3

?.?OA平分NEOC,/.ZAOC=ZAOE=1x72°=36°,/.ZBOD=ZAOC=36°；

2

【點睛】本題考查了角平分線的定義，余角和補角的定義，對頂角相等，以及平角的定義，解題的關鍵是

熟練掌握所學的知識，正確的理解題意，得到角的關系進行解題.

8.（2021?浙江寧波市?七年級期末）（1）如圖，過點A畫直線BC的垂線，并注明垂足為G；過點A畫直線

（2）線段的長度是點A到直線BC的距離.

（3）線段AG、4”的木個關系為AGAH.（用符號＞，＜,=,2,4表示）.理由是

【答案】（1）見解析；（2）AG；（3）＜,垂線段最短

【分析】（1）利用三角板的兩條直角邊畫圖即可；（2）根據點到直線的距離的定義解答即可;

（3）根據垂線段最短解答即可.

（2）：AG是BC的垂線，，線段AG的長度是點A到直線BC的距離，故答案為：AG；

（3）線段4G、4”的大小關系為AG<AH,理由是：垂線段最短，故答案為：<,垂線段最短.

【點睛】本題考查了作垂線，點到直線的距離，以及垂線段最短的性質，熟練掌握各知識點是解答本題的

關鍵.

9.（2021?江蘇淮安市?七年級期末）如圖，△ABC的三個頂點均在格點處.

（1）過點B畫AC的平行線BD；（2）過點A畫BC的垂線AE；（請用黑水筆描清楚）

【答案】（1）畫圖見解析；（2）畫圖見解析.

【分析】（1）利用網格特點，把。點向右平移4格得到點。，畫直線8。即可，

（2）利用網格特點，結合每一個網格都為一個小正方形，利用正方形的性質畫8C的垂線AE即可.

【詳解】解：（1）如圖，直線8。即為所畫的AC平行線，（2）如圖，直線AE即為所畫的垂線,

【點睛】本題考查的是利用網格圖的特點畫直線的平行線與垂線，平移的性質，垂線的定義，掌握網格特

點與畫圖方法是解題的關鍵.

知識點1-3同位角、內錯角、同旁內角的概念

1）同位角概念：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對角。

注：如下圖，位置相同指：①兩個角都在第三條直線C?的同一側；②且兩個角都在兩條直線4、b的上方（或

下方）。例：/I與N5都在c的右側，且都在“、b的上方，則/I與/5為同位角

2）內錯角的概念：兩直線被第三條直線所截，在兩條直線之內，并且分別在第三條直線兩側的一對角（位

置完全錯開的角）

注：如下圖，位置完全錯開指：①兩個角在第三條直線c的不同側；②且兩個角在兩條直線隊〃的上下不

同位置（即都在兩條直線的內側）。例：/2與N8分別在c的左右兩側，且N2在〃的下方，N8在〃的上

方（即/2、N8在心。內側），則N2與N8為內錯角

3）同旁內角：兩直線被第三條直線所截，在第三條直線同側，并且在兩條直線之內的一對角。

注：如下圖，同旁內角指：①兩個角在第三條直線。的同一側；②且兩個角在〃、方兩條直線的內側

例：N2與/5,兩個角都在直線c的右側，且都在〃、b兩條直線的內側，則/2與N5為同旁內角。

注：同位角、內錯角和同旁內角是3條直線直角的位置關系，且無角度間大小關系。

1.（2021?河南周口市?七年級期末）如圖，找出標注角中的同位角、內錯角和同旁內角.

【答案】同位角有N4與N8、N4與N7、/2與N3；內錯角有N1與N3、N7與/6、N6與/8；同旁內

角有N1與N4、N3與N8,N1與N7.

【分析】根據同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條

直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角；

內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩

旁，則這樣一對角叫做內錯角；

同旁內角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中,若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的

同旁,則這樣一對角叫做同旁內角，結合圖形進行分析即可.

【詳解】同位角有N4與N8、/4與N7、N2與/3；內借角有N1與N3、/7與/6、N6與N8；

同旁內角有N1與N4、N3與N8,N1與N7.

【點睛】本題主要考查了三線八角，解題關鍵是掌握同位角的邊構成"F”形，內錯角的邊構成"Z”形，同旁內角

的邊構成形.

2.（2020?長汀縣第四中學七年級月考）如圖所示，下列結論中正確的是（）

A.N1和N2是同位角B.N1和/4是內錯角C.N2和N3是同旁內角D.N3和N4是對頂角

【答案】C

【分析】根據同位角，內錯角，同旁內角以及對頂角的定義進行解答.

【詳解】解：A、N1和N2是同旁內角，故本選項錯誤；B、N1和N4是同位角，故本選項錯誤；

C、N2和N3是同旁內角，故本選項正確；D、/3和N4是鄰補角，故本選項錯誤；故選：C.

【點睛】考查了同位角，內錯角，同旁內角以及對頂角的定義.解答此類題確定三線八角是關鍵，可直接

從截線入手.對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同

的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義.

【答案】D

【分析】兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）

的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角.根據同旁內角的概念可得答案.

【詳解】解：選項A、B、C中，/I與N2在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，是同旁

內角，故不符合題意；選項D中，N1與N2的兩條邊都不在同一條直線上，不是同旁內角，符合題意.

故選：D.

【點睛】此題主要考查了同旁內角，關鍵是掌握同旁內角的邊構成“U”形.

4.（2020?重慶沙坪壩區?七年級期末）如圖，下列說法錯誤的是（）

A.N1與N3是對頂角B.N3與N4是內錯角C.N2與N6是同位角D.N3與/5是同旁內角

【答案】C

【分析】根據對頂角定義、內錯角定義、同位角定義、同旁內角定義進行分析即可.

【詳解】A、N1與/3是對頂角，故4說法正確；B、N3與N4是內錯角，故B說法正確；

C、N2與N6不是同位角，故C說法錯誤；D、N3與/5是同旁內角，故。說法正確；故選：C.

【點睛】本題考查對頂角、內錯角、同位角和同旁內角的定義，掌握其定義是選擇本題答案的關鍵.

5.（2021?全國七年級）如圖，直線4和4被直線4所截，則（）

A.N1和N2是同位角B.N1和N2是內錯角C.N1和N3是同位角D.N1和N3是內錯角

【答案】C

【分析】根據同位角和內錯角的定義進行分析即可.

【詳解】同位角是位于兩直線及截線的同側，內錯角是位于兩直線內側及截線兩側，故N1和N3是同位角;

故選：C.

【點睛】本題考查了同位角和內錯角的判斷，熟練掌握基本概念是解決這類問題的關鍵.

6.（2020?陜西省西安市育才中學七年級月考）如圖，按各組角的位置判斷錯誤的是（）

A.N1與N4是同旁內角B./3與N4是內錯角C.N5與/6是同旁內角D.N2與N5是同位角

【答案】C

【解析】試題分析：A、N1和/A是同旁內角，說法正確；B、/3和N4是內錯角，說法正確；

C、N5和N6不是兩條直線被第三條直線截成的角，說法錯誤；D、/2和N5是同位角，說法正確.

故選C.

考點：1.同位角2.內錯角3.同旁內角.

7.（2020?河南周口市?七年級期中）如圖，直線A8,被直線EF所截，與A2,8分別交于點E,F,

下列描述：

①/I和N2互為同位角②N3和N4互為內錯角③/1=/4?Z4+Z5=180°

其中，正確的是（）

A.①③B.②④C.②③D.③④

【答案】C

【分析】根據同位角，內錯角，同旁內角的定義判斷即可.

【詳解】①N1和/2互為鄰補角，故錯誤；

②N3和N4互為內錯角，故正確；③Z1=N4,故正確；

④：AB不平行于CD,.../4+/5#180。故錯誤，故選：C.

【點睛】本題考查/同位角，內錯角，同旁內角的定義，熟記定義是解題的關鍵.

8.（2020?北京海淀區?清華附中七年級月考）如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.N1和N2是同旁內角B.N1和N3是對頂角C.N3和N4是同位角D.N1和N4是內錯角

【答案】A

【分析】根據對頂角、鄰補角、同位角、內錯角定義判斷即可.

【詳解】A.N1和/2是鄰補角，故此選項錯誤；B.N1和N3是對頂角，此選項正確；

C.N3和/4是同位角，此選項正確；D.N1和/4是內錯角，此選項正確；故選A.

【點睛】此題考查對頂角，鄰補角，同位角，內錯角，同旁內角，解題關鍵在于掌握各性質定義.

知識點1-4平行線的概念

1）同一平面兩條直線間的關系：①平行；②相交

2）平行線概念：在同一平面內，不相交的兩條直線

注：①平行的概念，必須加前提條件“在同一平面內”；②必須是兩條直線間的關系（非“射線”、“線段”）

3）平行公理：經過線外一點，有且僅有一條直線與這條直線平行

注：與垂線性質比較相似，但也存在不同的地方。相同點：過一點都有且僅能作一條線與已知直線平行（垂

直）；不同點：垂直性質中，這個點可以在直線外，也可以在直線上，但在平行公理中，這個點必須在直線

外。

1.（2020?內蒙古海勃灣?初一期末）在同一平面內，兩條直線的位置關系是（）

A.平行和垂直B.平行和相交C.垂直和相交D.平行、垂直和相交

【答案】B

【分析】在同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩種情況，平行或相交.

【解析】解：在同一個平面內，兩條直線只有兩種位置關系，即平行或相交，故選：B.

【點睛】本題主要考查了同一平面內，兩條直線的位置關系，注意垂直是相交的一種特殊情況，不能單獨

作為一類.

2.（2020?曲靖市馬龍區通泉中學初一月考）下列說法中正確的是（）

A.在同一平面內，兩條直線的位置關系有相交、垂直、平行

B.在同一平面內，如果兩條線段不相交,那么這兩條線段平行

C.在同一平面內，不相交的兩條射線是平行線

D.在同一平面內，不相交的兩條直線是平行線

【答案】D

【分析】根據線段、射線、直線、相交和平行的定義逐一判斷即可.

【解析】解：A.在同一平面內，兩條直線的位置關系有相交、平行，故本選項錯誤；

B.在同一平面內，如果兩條線段不相交，那么這兩條線段也不一定平行（如下圖所示），故本選項錯誤;

C.在同一平面內，不相交的兩條射線也不一定是平行線（如下圖所示），故本選項錯誤;

D.在同一平面內，不相交的兩條直線是平行線，故本選項正確.故選D.

【點睛】此題考查的是直線、射線和線段位置關系的判斷，掌握線段、射線、直線、相交和平行的定義是

解決此題的關鍵.

3.（2020?哈爾濱市第一一三中學校初一月考）下列說法正確的是（）

①平面內，不相交的兩條直線是平行線；②平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

③平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④相等的角是對頂角；⑤P是直線。外一點，A、B、

C分別是a上的三點，PA=\,PB=2,PC=3,則點尸到直線a的距離一定是1.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據平行公理及其推理，對頂角的性質，點到直線的距離的概念，即可得出結論.

【解析】①平面內，不相交的兩條直線是平行線，說法正確：

②平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，說法正確；

③平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知宜線平行，故說法錯誤；

④相等的角不一定是對頂角，故說法錯誤；

⑤尸是直線a外一點，A、B、C分別是a上的三點，PA=\,PB=2,PC=3,則點尸到直線。的距離可能是

1,故說法錯誤.故選：B.

【點睛】考查了平行公理及其推理，對頂角的性質，點到宜線的距離的概念，解題時注意平行公理：經過

直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

4.（2020?四川三臺?初一期中）下列說法錯誤的個數是（）

①經過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；

③直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這個點到直線的距離；

④同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據平行公理及其推理、點到直線的距離即可判斷出結果.

【解析】解：①經過直線外的一點有且只有一條直線與已知直線平行，故①錯誤；

②在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故②錯誤；

③直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離，故③錯誤；

④同?平面內不相交的兩條直線叫做平行線，故④正確.故選：C.

【點睛】本題考查了平行公理和點到直線的距離，掌握以上兩個知識點是解題的關鍵.

5.（2020?福建南平?初一期中）如圖，點A8為定點，直線/〃是直線/上一動點.對于下列各值：

①線段的長；②NAPB的度數；③APAB的周長；④△P4B的面積.其中不會隨點P的移動而變化

的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【分析】由4、8為定點可得AB長為定值，進而可判斷①；當尸點移動時，NAP8的度數發生變化，PA+PB

的長也發生變化，于是可判斷②、③：由直線/〃48可得P到A8的距離為定值，于是可判斷④，從而可得

答案.

【解析】解：為定點，,48長為定值，二①線段A8的長不會隨點P的移動而變化：

當P點移動時，N4P8的度數發生變化，.?.②/AP8的度數會隨點P的移動而變化；

當尸點移動時，以+PB的長發生變化，，③△用8的周長會隨點尸的移動而變化；

?.?點A,8為定點，直線/〃A8,到AB的距離為定值，.?.④△APB的面積不會隨點P的移動而變化：

綜上，不會隨點P的移動而變化的是①④.故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的性質、同底等高的三角形的面積相等以及平行線間的距離等知識，熟練掌握

上述基本知識是解題的關鍵.

6.（2020?湖南鶴城?初一期末）已知在同一平面內a//b〃c,a與b的距離是3cm,a與c的距離是1cm,那么

b與c的距離是.

【答案】2cm或4cm

【分析】根據平行線之間的距離進行求解即可；

【解析】當c在a、b中間時，；a〃b//c,.，.b與c的距離是3-1=2cm,

當a在b、c中間時，.*.b與c的距離是3+1=4cm,故答案為2cm或4cm.

【點睛】本題主要考查了平行線間的距離，準確計算是解題的關鍵.

7.（2020?廣西浦北?初一期末）如圖，都是射線，且A8//CO.

（1）按要求畫圖：過A畫CO的垂線，垂足為E,過E畫AC的平行線交A3于尸；

（2）在（1）畫出的圖形中，比較AC與AE的大小，并寫出理由.

【答案】（1）見解析；（2）AC>AE,理由見解析.

【分析】（1）根據描述依次畫垂線和平行線標注字母即可；（2）根據垂線段最短回答即可.

【解析】（1）如圖所示；

（2）AC>AE理由：垂線段最短.

【點睛】本題考查了作圖、垂線的性質，熟練掌握概念和性質是解題的關鍵.

知識點1-5平行線的判定

1）判定方法一：同位角相等，兩直線平行

2）判定方法二：內錯角相等，兩直線平行

3）判定方法三：同旁內角互補，兩直線平行

4）在同一平面內，若兩條直線都垂直于同一條直線，則這兩條直線平行。即：若“，c,且則。〃6

5）平行線的傳遞性：若h//h,則/1〃/2（用共面知識可證明，此處不證）。

1.（2020?河北保定?初一期中）在下列圖形中，由Nl=/2能得到AB〃C。的是（）

【答案】A

【分析】根據平行線的判定判斷即可.

【解析】A、根據N1=N2能推出AB〃CD,故本選項符合題意;

B、根據/1=N2不能推出AB〃CD,故本選項不符合題意；

C、根據/1=/2不能推出AB〃CD,故本選項不符合題意；

D、根據/1=N2不能推出AB〃CD,故本選項不符合題意；故選A.

【點睛】考查了平行線的判定，能靈活運用定理進行推理解此題的關鍵.

2.（2020?上海市培佳雙語學校初一月考）如圖，不能推斷AQ〃3C的是（）

A./1=/5B./2=/4C./3=/4+/5D.ZB+Zl+Z2=180°

【答案】B

［分析］根據平行線的判定方法分別進行分析即可.

【解析】A.N1=N5可根據內錯角相等兩直線平行得AD〃BC,故此選項不合題意；

B.N2=N4可根據內錯角相等兩直線平行得AB〃DC,不能得到AD〃BC,故此選項符合題意；

C.N3=/4+/5可根據同位角相等兩直線平行得AD〃BC,故此選項不合題意；

D./B+N1+N2=18O。可根據同旁內角互補，兩直線平行得AD〃BC,故此選項不合題意；故選B.

【點睛】本題考查平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關鍵.

3.（2020?洛陽市第五十六中學月考）下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內容，則

回答正確的是（）

己知：如圖，ZBEC=ZB+ZC,求證：AB〃

CD

證明：延長BE交—冬—于點F,則NBEC=_A--------yB

?_+ZC上

又,.,/BEC=/B+/C,DFC

AZB=A

???AB〃CD（—□一相等，兩直線平行）

A.。代表NFECB.□代表同位角C.▲代表/EFCD.※代表AB

【答案】C

【分析】延長BE交CD于點F,利用三角形外角的性質可得出NBEC=/EFC+NC,結合NBEC=NB+/

C可得出/B=/EFC,利用“內錯角相等，兩直線平行”可證出AB〃CD,找出各符號代表的含義，再對照

四個選項即可得出結論.

【解析】證明：延長BE交CD于點F,則NBEC=NEFC+NC.

又：NBEC=NB+/C,，NB=/EFC,；.AB〃CD（內錯角相等，兩直線平行）.

二※代表CD,。代表/EFC,▲代表NEFC,□代表內錯角.故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的判定以及三角形外角的性質，利用各角之間的關系，找出NB=/EFC是解題

的關鍵.

4.（2020?山東文登?初一期末）如圖，ACAD=ZADB,下列結論正確的是（）

A.ZBAD=ZADCB.ZACD=ZABDC.AB//CDD.AC//BD

【答案】D

【分析】根據平行線的判定即可得.

【解析】，：4CAD=4ADB.：.ACHBD,故選：D.

【點睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關鍵.

5.（2020?沈陽市第一二七中學初一期中）如圖，下列條件：①N1=N2；②N4=N5；③N2+Z5=K）。；

N1=N3;⑤N6+N4=180。：其中能判斷直線///4的有（）

A.②③④B.②③⑤C.②④⑤D.②④

【答案】D

【分析】根據平行線的判定方法，對每一項進行分析判斷即可解決.

【解析】根據同為角相等兩直線平行可以判斷②N4=N5,④N1=N3正確；

①Nl=N2非同位角非內錯角無法判斷直線平行，錯誤

③22+25=180°,⑤N6+N4=180°非同旁內角，無法判斷兩直線平行.故選D.

【點睛】本題考查了平行線的判定，解決本題的關鍵：正確理解題意能夠從圖形中找到同位角、同旁內角、

內錯角，熟練掌握平行線的判定方法.

6.（2020?山西初一月考）工人師傅在工程施工時，在圖紙上畫了一條管道ABC。的示意圖（如圖所示）,

經測量得到NA5C=30。，NBC￡>=150。，那么（）

A.AB//BCB.BC//CDC.AB//CDD.A8與CO相交

【答案】C

【分析】根據平行線的判定條件判定即可；

【解析】VZABC=30°,ZBC￡>=150°,AZABC+ZBC￡>=180°,

...AB〃CD（同旁內角互補，兩直線平行）.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定，準確分析判斷是解題的關鍵.

7.（2020?湖南邵東?初一期末）如圖，有以下四個條件:①ZB+NBCD=180°,②N3=N4,③N1=N2,

④NB=N5,其中不能判定AB//C。的是（）

【答案】C

【分析】根據平行線的判定定理求解，即可求得答案.

【解析】解：①；NB+/BCD=180。，；.AB〃CD；?VZ3=Z4,；.AB〃CD；

@VZ1=Z2,：.AD〃BC；（4）VZB=Z5,AAB#CD；

.??不能得到AB〃CD的條件是③.故選：C.

【點睛】此題考查了平行線的判定.此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用，弄清截線與被截線.

8.（2020?渠縣崇德實驗學校初三一模）如圖，利用三角尺和直尺可以準確的畫出直線AB〃CD,下面是某

位同學弄亂了順序的操作步驟：①沿三角尺的邊作出直線CD；②用直尺緊靠三角尺的另一條邊；

③作直線AB,并用三角尺的一條邊貼住直線AB；④沿直尺下移三角尺：正確的操作順序應是：.

【答案】③②④①

【分析】根據同位角相等兩直線平行判斷即可.

【解析】解：根據同位角相等兩直線平行則正確的操作步驟是③②④①，故答案我③②④①.

【點睛】此題主要考查了復雜作圖，關鍵是掌握同位角相等，兩直線平行.

知識點1-6平行線的性質

1）兩直線平行，同位角相等；2）兩直線平行，內錯角相等；3）兩直線平行，同旁內角互補

注：①僅當兩直線平行式，3類角才有數量關系；當兩直線不平行是，3類角只有位置關系，沒有大小關系。

②3類角若有大小關系，也可用于證明兩條直線平行。

4）同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段長度，叫作這兩條平行線間的距離。

注：a只有平行線間才存在距離這一說法。（重疊，距離為0）；尻平行線間的距離，處處相等：c.垂直于一

條直線，一定垂直于另一條平行線（易證）

1.（2021?山東濰坊市?八年級期末）一把直尺與30。的直角三角板如圖所示，Nl=50。，則N2=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】直接利用平行線的性質即可得到結論.

【詳解】如圖所示,

??,三角板是含30。角的直角三角板，.../3=60。，

：AB〃CD,/.Z2+Zl+Z3=180°,AZ2=180°-Z1-Z3=180°-50o-60o=70°,故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補.

2.（2020?四川鄲都?期末）如圖，五邊形A2COE中，AE"BC,則NC+ND+NE的度數為（）

A.180°B.270°C.360°D.450°

【答案】C

【分析】首先過點D作DF〃AE,交AB于點F,由AE〃BC,可證得AE〃DF〃BC,然后由兩宜線平行,

同旁內角互補，證得NA+/B=180。，NE+/EDF=180。，ZCDF+ZC=180°,繼而證得結論.

【解析】過點D作DF〃AE,交AB于點F,

VAE/7BC,，AE〃DF〃BC,AZA+ZB=180°,ZE+ZEDF=180°,ZCDF+ZC=180°,

r.ZC+ZCDE+ZE=3600,故選C.

【點睛】本題考查了平行線的性質，解題時掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.

3.（2020?深圳市高級中學初二月考）已知：如圖AB//EF,BCLCD,則/a,/8，/丫之間的關系

A./B=/a+/yB./a+/p+/y=180°C.Na+4一/丫=90°D.+—Na=90°

【答案】C

【分析】分別過C、D作AB的平行線CM和DN,由平行線的性質可得到Na+NB=NC+NY，可求得答案.

【解析】解：如圖，分別過C、D作AB的平行線CM和DN,

?/AB//EF,.-.AB//CM//DN//EF,.,./a=/BCM,/MCD=/NDC,NNDE=/y,

Na+/B="BCM+NCDN+NNDE=/BCM+NMCD+,

又BCLCD,.?./BCD=9O°，.../a+/p=90°+/y，即/a+Q—Ny=90°，故選C.

【點睛】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵，即①兩直線平行=同位角

相等，②兩直線平行=內錯角相等，③兩直線平行O同旁內角互補，④a//b,b//c=a//c.

4.（2020?廣東揭陽?初一期中）如圖一個合格的彎形管道ABCD需要AB邊與CD邊平行，若一個拐角ZABC

=120。，則另一個拐角NBCD=時，這個管道才符合要求.

【答案】60。

【分析】根據平行線的性質得出/ABC+NBCD=180°,代入求出即可.

【解析】解:：AB〃CD,.*.ZABC+ZBCD=180°,

；/ABC=120。，.?.NBCD=60。,故答案為：60°.

【點睛】此題考查的是平行線性質的應用，掌握兩直線平行，同旁內角互補是解決此題的關鍵.

5.（2020?河南鄭州外國語中學初三其他）將一副三角板按照如圖所示的方式擺放，DF//AC,則NAG尸的

A.105°B.90°C.75°D.60°

【答案】A

【分析】直接利用平行線的性質得出NAEG的度數，再利用三角形外角的性質得出答案.

【解析】解：由題意可得：/F=45。，NA=60。，

VDF/7AC,，/AEG=/F=45°,二NAGF=/AEG+/A=45°+60°=105°.故答案為：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，矩形的性質和判定，角平分線

性質等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力.

6.（2020?河南沁陽?初一期末）已知A3〃C￡）,ZEAF--ZEAB,ZECF=-ZECD,若/E=66。，則NF

33

為（）

A.23°B.33°C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如圖（見解析），先根據平行線的性質、角的和差可得NEAB+NECZ）=NAEC=66°,同樣的

22

方法可得NF=NFAB+NFCD,再根據角的倍分可得NFAB=-NEAB/FCD=-ZECD，由此即可

33

得出答案.

【解析】如圖，過點E作EG//AB,則EG//AB〃CD,；.NAEG=NEAB,NCEG=NECD,

；.NEAB+NECD=NAEG+NCEG=ZAEC=66°,同理可得：NF=NFAB+NFCD,

NEAF=-NEAB,NECF=-ZECD,7.NFAB=-NEAB,ZFCD=-NECD,

3333

2222

ZF=ZFAB+ZFCD=-Z.EAB+-ZECD=-(ZEAB+AECD)=-x66°=44°,故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵.

7.（2020?河北霸州?初一期末）如圖，點8在點C北偏東40°方向上，點8在點A北偏西24”方向上，點尸

在點4的正南方向上，點E在CB上，NCEE=64°，則關于點E的位置敘述不正確的是（）

A.點E在點。的北偏東40°方向上B.點E在點尸的北偏西64°方向上

C.點E在點尸的北偏西24°方向上D.點E在點B的南偏西400方向上

【答案】B

【分析】過B點作BM//CD,結合已知條件得出NDCB=NMBC=40°，NNAB=NMBA=2S，從而得

出NCBA=64°，證得EF//AB,得出/芯45=NF=24°，根據角度逐一對各項進行判斷即可；，

【解析】解：過B點作BM//CD,則BM//CD//FN；

ZDCB=NMBC=40"，ZNAB=NMBA=24；ZABC=40"+24°=64,

ZCEF=64°NCEF=NABC：.EF//ABZ./NAB=ZF=24°；

.?.點E在點尸的北偏西24°方向匕選項C正確；選項B不正確；

?.?點E在CB上，，點E在點C的北偏東40°方向上，選項A正確；

,.?/。。5=/地。=40°，點6在點尸的南偏西40°方向上，選項D正確；故選：B

【點睛】本題考查了方向角問題，涉及到平行線的性質與判定，熟練掌握相關知識是解題的關鍵

8.(2021?四川宜賓市?七年級期末)把三角板ABC按如圖所示的位置放置，已知ZCAB=30°,ZC=90°,

過三角板的頂點A、3分別作直線A。、BE,且ZDAE=120°.給出以下結論：

(1)Zl+Z2=90°；(2)N2=NEAB；(3)CA平分其中正確結論有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】根據AD//8E和ZBAC+NABC=90°易證Nl+N2=90。，故(1)正確.再由角的等量關系可

知NBAE=90。—N1,即證明出入BAE=N2.故(2)正確.根據N1的大小隨乙BAE的大小變化而變化，

向NC48=30。固定，所以CA不一定平分ND4B.故(3)錯誤.即可選出結果.

【詳解】???AO//5E,(Nl+ZBAC)+(N2+NABC)=180°.

VZBAC+ZABC=90°.：.Zl+Z2=90°,故(1)正確.

,/NBAE=ZDAE-ZCAB-N1=120。-30°—N1=90°—N1,

???Z1+Z2=90°,/.ZBAE=90°-(90°-Z2)=Z2.故(2)正確.

VZ1=ZDAE-ZCAB-NBAE=120。—30°-NBAE=90°-NBAE,

/.Z1的大小隨ZBAE的大小變化而變化，

^.?NC48=30°固定，.?.CA不一定平分NO4B.故(3)錯誤.綜上，正確的結論有兩個.故選：C.

【點睛】本題考查平行線的性質、余角以及判斷角平分線.根據平行線的性質與余角得出角之間的數量關

系是解答本題的關鍵.

知識點1-7尺規作圖

1.（2020?全國初一課時練習）尺規作圖的工具是（）.

A.刻度尺和圓規B.三角尺和圓規C.直尺和圓規D.沒有刻度的直尺和圓規

【答案】D

【分析】根據尺規作圖的定義作答.

【解析】解：“尺規作圖”中的尺是指沒有刻度的直尺，即使有刻度也不能使用上面的刻度.故選：D.

【點睛】本題考查了尺規作圖的定義，解題的關鍵是掌握尺規作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖.

2.（2020?山西初一期中）下列對尺規作圖步驟的描述不準確的是（）

A.作NABC,使=+B.作使NAO8=2Na

C.以點A為圓心，線段。的長為半徑作弧D.以點。為圓心作弧

【答案】D

【分析】尺規作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖，據此逐項分析即可.

【解析】解：A.作NABC，使乙鉆。=/。+/4，此選項描述準確；

B.作一個角等于己知角的倍數是常見的尺規作圖，此選項描述準確；

C.以點A為圓心，線段a的長為半徑作弧，此選項描述準確；

D.畫弧既需要圓心，還需要半徑，缺少半徑長，此選項描述不準確.故選：D.

【點睛】本題考查的知識點是尺規作圖，主要內容有：作線段等于已知線段；作角等于已知角：作角的平

分線；作線段的垂直平分線（中垂線）或中點；過宜線外一點作直線的垂線.

3.（2020?山西壽陽?期末）下面出示的的尺規作圖題，題中符號代表的內容正確的是（）

如圖，已知NAO8,求作：ZDEF,使NDEF=NAOB

作法：（1）以①為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點P、Q；

（2）作射線EG,并以點E為圓心②長為半徑畫弧交EG于點力：

（3）以點。為圓心③長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點F；

（4）作④，NOEF即為所求作的角.

A.①表示點EB.②表示PQC.③表示。。D.④表示射線EF

【答案】D

【分析】根據尺規作圖作?個角等于已知角的方法即可判斷.

【解析】尺規作圖作一個角等于已知角作法：

（1）以點0為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、0B于點P、Q；

（2）作射線EG,并以點E為圓心OP長為半徑畫弧交EG于點D；

（3）以點D為圓心PQ長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點F；

（4）作射線EF,NDEF即為所求作的角.所以A,B,C選項都錯誤，D選項正確.故選：D.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法.

4.（2020?四川龍泉驛?初一期中）用直尺和圓規作NHDG=/AOB的過程中，弧②是（）

C.以M為圓心，以EF為半徑畫弧D.以D為圓心，以EF長為半徑畫弧

【答案】C

【分析】根據作一個角等于已知角的步驟判斷即可.

【解析】由題意弧②是以M為圓心，EF為半徑畫弧，故選：C.

【點睛】此題主要考查根據作一個角等于已知角的步驟，熟練掌握，即可解題.

5.（2020?山東歷下?初一期中）如圖，點C在乙40B的邊。8上，用直尺和圓規作NAOC,這個尺

規作圖的依據是（）

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

【答案】B

【分析】用尺規畫一個角等于已知角的步驟：首先以C為圓心，OD為半徑畫弧交OB于點E,再以點E為

圓心，DM為半徑畫弧，記兩弧交于點N,據此即可求解.

【解析】解：連接NE,根據做法可知：CE=OD,EN=DM,CN=OM

AACEN^AODM（SSS）,NECN=NDOM