一：等差數列1.判定一個數列為等差數列的常用方法①定義法：（常數）是等差數列；②中項公式法：是等差數列；③通項公式法：（p，q為常數）是等差數列；④前n項和公式法：（A，B為常數）是等差數列.對于探索性較強的問題，則應注意從特例入手，歸納猜想一般特性.2.等差數列的有關性質：（1）通項公式的推廣：（2）若，則；特別，若，則（3）等差數列中，若（），則.（4）公差為d的等差數列中，連續k項和，…組成新的等差數列.（5）等差數列，前n項和為①當n為奇數時，；；；②當n為偶數時，；；.（6）等差數列，前n項和為，則（m、n∈N*，且m≠n）.（7）等差數列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），則.（8）等差數列中，公差d，依次每k項和：，，成等差數列，新公差.3.等差數列前n項和的最值問題：等差數列中=1\*GB3①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式組來確定n；=2\*GB3②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式組來確定n，也可由前n項和公式來確定n.等差數列的求和中的函數思想是解決最值問題的基本方法.要點二：等比數列1.判定一個數列是等比數列的常用方法（1）定義法：（q是不為0的常數，n∈N*）是等比數列；（2）通項公式法：（c、q均是不為0的常數n∈N*）是等比數列；（3）中項公式法：（，）是等比數列.2.等比數列的主要性質：（1）通項公式的推廣：（2）若，則.特別，若，則（3）等比數列中，若（）成等比數列，則成等比數列.（4）公比為q的等比數列中，連續k項和，…組成新的等比數列.（5）等比數列，前n項和為，當n為偶數時，.（6）等比數列中，公比為q，依次每k項和：，，…成公比為qk的等比數列.（7）若為正項等比數列，則（a＞0且a≠1）為等差數列；反之，若為等差數列，則（a＞0且a≠1）為等比數列.（8）等比數列前n項積為，則3.等比數列的通項公式與函數：⑴方程觀點：知二求一；⑵函數觀點：①，時，是關于n的指數型函數；時，是常數函數；②當時，若，等比數列是遞增數列；若，等比數列是遞減數列；當時，若，等比數列是遞減數列；若，等比數列是遞增數列；當時，等比數列是擺動數列；當時，等比數列是非零常數列.要點三：等差等比數列綜合問題1.公共項問題;（1）求兩個等差數列的公共項常用整除討論的方法；（2）求等差數列與等比數列的公共項常用到二項式定理．2.互相添減、穿插數問題3.分群數列問題4.最值問題例1.(2018北大自招)18.設三個實數組成等比數列，且，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.前三個答案都不對解析：記公比為，由，知，又得，即，得或。所以，故選B。例2.(2018清華)22.數列滿足：，（），則下列正確的是（）A.B.C.D.解析：可得，得，所以是首項為，公比為的等比數列，所以可得。所以，，故AB錯誤；對CD，注意到，且，所以，所以，故C對，接著單調性，知，故D對。綜上，選CD。例3.2019B8.設等差數列的各項均為整數，首項，且對任意正整數，總存在正整數，使得．這樣的數列的個數為．◆答案：★解析：設的公差為．由條件知（是某個正整數），則，即，因此必有，且．這樣就有，而此時對任意正整數，，確實為中的一項．因此，僅需考慮使成立的正整數k的個數．注意到，易知可取這個值，對應得到個滿足條件的等差數列．例4.（2018年貴州預賽）已知等差數列及，設，，若對，有，則（）A．B．C．D．【解析】：為等差數列，且前n項和之比，故可設從而故選B例5.（2018上海交大）3.已知等差數列，滿足，求的最大值。解析：由，令，，，則，則。例6.1996*2、等比數列的首項,公比是．用表示它的前項之積，則()最大的是____________A.B.C.D.◆答案：C★解析：由題意得，故．作商比較：又，．故選C．例7.在等差數列中，公差，是與的等比中項，已知數列成等比數列，求數列的通項．?分析與解答：依題設得，∴，整理得∵，∴,得[所以，由已知得是等比數列．由于，所以數列也是等比數列，首項為1，公比為，由此得等比數列的首項，公比，所以．即得到數列的通項為例8.若數列的通項公式為，數列的通項公式為．設集合，．若等差數列任一項是中的最大數，且，求的通項公式．對任意，，∴，∴ ∵是中的最大數，∴，設等差數列的公差為，則∴，即，又是一個以為公差等差數列， ∴，∴，∴．例9.已知數列{}的通項公式為，數列{}的通項公式為．若將數列{}，{}中相同的項按從小到大的順序排列后看作數列{}，（1）求的值；（2）求數列的通項公式.解：（1）961；（2）設，考察模7的余數問題；若時經驗證可得：當時，存在滿足條件的存在故{}中的項目依次為：可求得數列{}的通項公式為：例10.已知數列和的通項公式分別為，.將與中的公共項按照從小到大的順序排列構成一個新數列記為.（1）試寫出，，，的值，并由此歸納數列的通項公式；（2）證明你在（1）所猜想的結論.解：（1），，，，由此歸納：.（2）由，得，，由二項式定理得，當為奇數時，有整數解，.例11.已知數列，.（1）求證：數列為等比數列；（2）數列中，是否存在連續的三項，這三項構成等比數列？試說明理由；（3）設，其中為常數，且，，求.解：⑴∵=，∴，∵∴為常數∴數列為等比數列⑵取數列的連續三項，∵，，∴，即，∴數列中不存在連續三項構成等比數列；⑶當時，，此時；當時，為偶數；而為奇數，此時；當時，，此時；當時，，發現符合要求，下面證明唯一性（即只有符合要求）。由得，設，則是上的減函數，∴的解只有一個從而當且僅當時，即，此時；當時，，發現符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）從而當且僅當時，即，此時；綜上，當，或時，；當時，，當時，。例12.設數列的前項和為，且滿足（1）求數列的通項公式；（2）在數列的每兩項之間都按照如下規則插入一些數后，構成新數列，在兩項之間插入個數，使這個數構成等差數列，求的值；（3）對于（2）中的數列，若，并求（用表示）．19．解：（1）當時，由.又與相減得：，故數列是首項為1，公比為2的等比數列，所以；…………4分（2）設和兩項之間插入個數后，這個數構成的等差數列的公差為，則，又，故（3）依題意，，考慮到，令，則，所以例13.設數列是等差數列，數列滿足，（1）證明：數列也是等差數列；（2）設數列、的公差均是，并且存在正整數，使得是整數，求的最小值。★解析：（1）設等差數列的公差為，則所以數列也是等差數列.（2）由已知條件及（1）的結果知：，因為，故，這樣若正整數滿足，則.記，則，且是一個非零的整數，故，從而.又當時，有，綜上所述，的最小值為.例14.（2004年春季北京卷)下表給出一個“等差數陣”：47（）（）（）………712（）（）（）………（）（）（）（）（）………（）（）（）（）（）[來源:學.科.網]………………其中每行、每列都是等差數列，表示位于第行第列的數．（I）寫出的值；（II）寫出的計算公式以及2008這個數在等差數陣中所在的一個位置．（III）證明：正整數在該等差數列陣中的充要條件是可以分解成兩個不是1的正整數之積．解析：（I）;（II）該等差數陣中：第一行是首項為4，公差為3的等差數列：;第二行是首項為7，公差為5的等差數列：……第i行是首項為，公差為的等差數列，因此，要找2008在該等差數陣中的位置，也就是要找正整數、，使得,所以,當時，得。所以2008在等差數陣中的一個位置是第1行第669列．（III）“必要性”：若在該等差數陣中，則存在正整數，使得從而即正整數可以分解成兩個不是1的正整數之積．“充分性”：若可以分解成兩個不是1的正整數之積，由于是奇數，則它必為兩個不是1的奇數之積，即存在正整數、，使得,從而可見N在該等差數陣中．綜上所述，正整數在該等差數陣中的充要條件是可以分解成兩個不是1的正整數之積．例15.(2010北約)5．是否存在，使得為組成等差數列的四個數（即某種排列可以構成等差數列），請說明理由（25分）解析：不存在；否則有，則或者．若，有．而此時不成等差數列；若，有．解得有．而，矛盾！例16.設數列的各項都是正數，且對任意都有，其中為數列的前項和．（1）求，；（2）求數列的通項公式；（3），，試找出所有即在數列中又在數列中的項．解：（1）令，則，即，所以或或．又因為數列的各項都是正數，所以．令，則，即，解得或或．又因為數列的各項都是正數，所以．（2）因為(1)所以()(2)由(1)－(2)得，因為,所以(3)所以()(4)由(3)－(4)得，即()，又，所以()．所以數列是一個以2為首項，1為公差的等差數列．所以．（3），所以,．不妨設數列中的第項和數列中的第項相同，則．即，即．1o若，則，所以，當時,，無解；當時，，即，所以，當時；時,令,則，所以單調增，所以,所以無解；當時，即，當時，；當時，；當時，所以，．2o若，即．由1知，當時，。因此，當時，或．當時，無解，當時,無解．綜上即在數列中又在數列中的項僅有．1.(2018北大自招)4.設為一等差數列的前項和，已知，，則的最小值為（）A.B.C.D.前三個答案都不對解析：易得，所以，導數可得時，有最小，故選D。2.2016B9、（本題滿分16分）已知是各項均為正數的等比數列，且是方程的兩個不同的解，求的值．★解析：對，有即因此，是一元二次方程的兩個不同實根，從而即由等比數列的性質知，3.(2015清華)2、設為等差數列，為正整數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：記該數列的公差為，則等價于，由于可正可負，所以“”是“”的既不充分也不必要條件。故選D。4.【2016年山西預賽】設集合A=nn+1n=1,2,?,B=3m?1m=1,2,?,若將集合A∩B解析：易知，，.若，則.于是，為某個奇平方數的3倍．設.則，所以，.故.5.(2012北大保送)1.已知數列為正項等比數列，且，求的最小值．解析：設數列的公比為，則，．由知．，當且僅當即時，有最小值．6.(2015清華)10、設數列的前項和為，若對任意正整數，總存在正整數，使得，則（）A.可能為等差數列B.可能為等比數列C.的任意一項均可寫成的兩項之差D.對任意正整數，總存在正整數，使得解析：取滿足A對；時，D不滿足。若是等比數列，則，下面記，則，即，若，則，則，顯然不成立；若，則，但當時，矛盾，其它范圍同理。所以B錯；對于C，注意到，故C對，綜上選AC。7.2007*10、已知等差數列的公差不等于，等比數列的公比是小于的正有理數，若，，且是正整數，則等于解析：因為，故由已知條件知道：為，其中m為正整數。令，則。由于是小于的正有理數，所以，即且是某個有理數的平方，由此可知。8.（2011復旦）設有4個數的數列為，前3個數構成一個等比數列，其和為，后3個數構成一個等差數列，其和為9，且公差非零。對于任意固定的，若滿足條件的數列的個數大于1，則應滿足（）（B）（C）（D）其他條件解析：由于前3個數成等比數列，不妨設公比為，后三個數成等差數列，公差為，依題意，。。所以，即。依題意知，此關于的方程的根不是唯一的，且。所以，，，且。故選D。9.（2009上海交大），為等比數列，求的最大值。解析：，，當且僅當時，為正（），。當時，，故只需比較與的大小。（因為），故。10.（07江蘇）已知是等差數列，是公比為的等比數列，記為數列的前項和（1）若（是大于2的整數），求證：；（2）若是某個正整數），求證：是整數，且數列中的每一項都是數列中的項；（3）是否存在這樣的正數，使等比數列中有三項成等差數列？若存在，寫出一個的值，并加以說明；若不存在，請說明理由。解：（1）設等差數列的公差為d，則由題設得由，故等式成立.（2）（i）證明為整數：由移項得因故為整數.（ii）證明數列中的任一項，只要討論的情形.令，得.因，當時，為－1或0，則為1或2；而，否則，矛盾.當時，為正整數，所以正整數，從而.故數列中的每一項都是數列中的項.（3）取，11.已知數列和的通項公式分別是和()．（1）當時，①試問，分別是數列中的第幾項？②記，若是數列中的第項()，試問是數列中的第幾項？請說明理由；（2）對給定自然數，試問是否存在，使得數列和有公共項？若存在，求出的值及相應的公共項組成的數列；若不存在，說明理由．解(1)由條件可得，.①令，得，故是數列中的第1項．令，得，故是數列中的第19項．②由題意知，，由為數列中的第項，則有，那么，因，所以是數列中的第項．(2)設在上存在實數使得數列和有公共項，即存在正整數使，∴，因自然數，為正整數，∴能被整除．①當時，，②當，*時，當時，，即能被整除．此時數列和有公共項組成的數列；顯然，