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文檔簡介

曲率及其曲率半徑的計算一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑有向弧段的值、弧微分公式曲率、曲率的計算公式曲率圓曲率半徑2023/5/241一、弧微分s的絕對值等于這弧段的長度，當有向弧段的方向與曲線的正向一致時s>0，相反時s<0．有向弧段的值s(簡稱為弧s)

：MM0(xyOM0x0Mxs>0xyOM0x0Mxs<0顯然，弧s是x的函數：s

s(x)，而且s(x)是x的單調增加函數．2023/5/242設x，x+

Dx為(a，b)內兩個鄰近的點，它們在曲線y

f(x)上的對應點為M，M

，并設對應于x的增量Dx，弧s的增量為Ds，于是下面來求s(x)的導數及微分．M0MM

x0xx+DxDxDyxyODs2023/5/243

1，因為因此由于s

s(x)是單調增加函數，從而于是ds

這就是弧微分公式．2023/5/244)jM1M2N1N2觀察曲線的彎曲線程度與切線的關系：二、曲率及其計算公式可以用單位弧段上切線轉過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度，2023/5/245M0MM

DsDaxyOa+Da)a)sC設曲線C是光滑的，曲線線C上從點M到點M

的弧為Ds，切線的轉角為Da．平均曲率：曲率：2023/5/246曲率的計算公式：設曲線的直角坐標方程是y

f(x)，且f(x)具有二階導數．于是從而，有因為tana

y

，所以2023/5/247例1計算等雙曲線x

y

1在點(1，1)處的曲率．解因此，y

|x

1

1，y

|x

1

2．曲線x

y

1在點(1，1)處的曲率為2023/5/248例2拋物線y

ax2

bx

c上哪一點處的曲率最大？解由y

ax2

bx

c，得y

2ax

b，y

2a，代入曲率公式，得要使K最大，只須2ax

b

0，拋物線的頂點．因此，拋物線在頂點處的曲率最大，最大曲率為K

|2a|．對應的點為2023/5/2492．若曲線由參數方程給出，那么曲率如何計算？1．直線上任一點的曲率等于什么？討論：提示：設直線方程為y=ax+b，則y

=a，y

=0．于是提示：．2023/5/2410曲線在點M處的曲率K(K

0)與曲線在點M處的曲率半徑r

有如下關系：曲線在M點的曲率中心三、曲率圓與曲率半徑My=f(x)xyODr曲線在M點的曲率半徑曲線在M點的曲率圓2023/5/2411例3設工件表面的截線為拋物線y

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