銀川一中2024屆高三年級第五次月考理科數學一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）AxxBxNx2AB1.已知集合，，則B.（）10,1A.C.0,1D.xisinx（i為虛數單位，xR2.歐拉公式eix）是由瑞土著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數之間的關系，根據此公式可知，下面結論中正確的是（）ixeixeπA.iB.sinxe2102xisinx)2xisin2x2C.e5i在復平面內對應的點位于第二象限D.，sin2xmsinx0”是假命題，則的取值范圍為（(,2](,2)xπm3.若“）(,2](,2)A.B.C.D.14f(x)x2xfx，fx的導函數，則的圖像大致是（4.已知函數是函數f(x)）A.C.B.D.為向量與“向量積，5.如果向量a，b的夾角為abab”ababababsinab2，，如果，ab12，則（）A.-16B.16C.-20D.20c6.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cosA，則必為（）b第1頁/共5頁A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形x2y4x2y07.已知不等式組表示的平面圖形為，則按斜二測畫法，平面圖形的直觀圖的面積為x1（）5252825A.B.C.D.42122BCtanABC，則（）8.如圖，的頂點都在坐標軸上，直線AB的斜率為，直線的斜率為31478747A.B.C.D.2111中，若1a2318，2，則（2）a9.在正項等比數列n123A.1B.2C.3D.23mn10.近來汽油價格起伏較大，假設第一周、第二周的汽油價格分別為m元/升，n元/升()，甲和乙購買汽油的方式不同，甲每周購買40元的汽油，乙每周購買12升汽油，甲、乙兩次購買平均單價分別記為a1a，則下列結論正確的是（2，）1a21a2a21a1a，的大小無法確2A.B.C.D.定52，，2fx為偶函數，afbfe311.已知函數fx2xmxm．若372cf，則（）A.bacB.cbaC.cabD.abc的12.如圖，在棱長為2正方體ABCD中，M,NAB,AD分別是棱的中點，點E在BD11111111第2頁/共5頁BC1BECF，點P在線段CM上運動，下列說法正確的是（上，點F在上，且）A.三棱錐NCME的體積不是定值2B.直線BD到平面的距離是112B90C.存在點P，使得11556△D.面積的最小值是1二、填空題（本大題共4小題，每小題5分.共20分）3π2121交于點P,y，則sin__________.x2y213.已知角的終邊與單位圓14π14.已知圓臺的上?下底面半徑分別為1和2，體積為，則該圓臺的側面積為___________.322的圖象上有且僅有兩個不同的點關于直線y1的對稱點在y115.已知函數fx1x2的圖象上，則實數k的取值范圍是__________．lnxx1kx0恰有2個不同的整數解，則k的取值范圍是_________．16.已知關于x的不等式三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.）60分）Sn前anSn項和為，數列n是以9為首項，為公差的等差數列1.17.已知數列的n（1）求數列的通項公式；ana的前項和T.nn（2）求數列n第3頁/共5頁y23yxmmR.18.已知圓C：x2，直線l：（1）若直線l與圓Cm相切，求的值；（2）若m2，過直線上一點P作圓的切線lCb，PB，切點為A，B，求四邊形面積的最小值及此時點P的坐標，Aac19.在中，角，B，C的對邊分別為，，，且滿足_____.（從以下兩個條件中任選一個補充在上面橫線上作為已知，將其序號寫在答題卡的橫線上并作答.）bc)(sinBsinC)asinAbsinC條件①：條件②：π542()A2（1）求角A；c1，求（2）若為銳角三角形，面積的取值范圍.20.如圖，在四棱錐P中，PA面ABCD,//CD，且CD2，22,BC,E,F分別為PD,的中點.（1）求證：EF//平面PAB；1（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面所成角的正弦值是？若存在，求出3DM的值，若不存任，說明理由；DP（3）在平面內是否存在點，滿足HDHA0，若不存在，請簡單說明理由；若存在，請寫出點HH的軌跡圖形形狀.x1xa121.已知函數fx,aR,且函數f(x)有兩個極值點.xa（1）求的范圍;x,x(xx)31xlnxlnx2a的最大值.12（2）若函數f(x)的兩個極值點為且，求12122（二）選考題（共10分.請考生在第2223兩題中任選一題做答，如果多做.則按所做的第一題記分.）[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）第4頁/共5頁xtt),為參數為l的傾斜角，且22.在平面直角坐標系中，已知直線l的參數方程為y1tsin0,，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為22．12（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C,B交于兩點，點恰為線段P0,1AB的三等分點，求sin.[選修4-5：不等式選講]（10分）2xaa．0,4的解集為23.已知不等式a（1）求實數的值；11mn0mna（2）若，且，求的最小值．m2n2mn第5頁/共5頁銀川一中2024屆高三年級第五次月考理科數學一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）AxxBxNx2AB1.已知集合，，則B.（）10,1A.C.0,1D.【答案】B【解析】【分析】根據絕對值的幾何意義求集合A，根據一元二次不等式的解法及自然數集求集合B，然后利用集合的交集運算求解即可.Axx3x3x3，【詳解】BxNx2xN2x20,1，2.AB0,1故選：B.xisinx（i為虛數單位，xR2.歐拉公式eix）是由瑞土著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數之間的關系，根據此公式可知，下面結論中正確的是（）ixeixeπA.iB.sinxe2102xisinx)2xisin2x2C.e5i在復平面內對應的點位于第二象限D.【答案】D【解析】x【分析】由歐拉公式，代入對應的值，即可判斷A和C；由eixxisinx得eixxisinx，兩式聯立，解出sinx即可判斷B；由二倍角公式即可判斷D．πππiπ【詳解】對于A：由歐拉公式得e2isini，所以i，故A錯誤；e2i022對于B：由eixxisinx得eixxisinx，第1頁/共23頁ixxisinxexsinxeixeix得，，兩式聯立得，兩式相減消去eixxisinxixeixieixieixi(eixeixe)所以sinx，故B錯誤；i22對于C：由歐拉公式得，e5icos5isin5，在復平面對應點的坐標為sin，π因為5(,2π)，2cos50,sin50所以，所以e5i在復平面內對應的點位于第四象限，故C錯誤；xisinx)22xsinxsinxx2xisin2x，故D正確，2對于D：故選：D．xπ，sin2xmsinx0”是假命題，則的取值范圍為（m3.若“）(,2](,2](,2)(,2)A.B.C.D.【答案】B【解析】xπ【分析】確定sin2xmsinx0對于恒成立，變換m2x，根據三角函數的值域得到答案.xπ，”是假命題，sin2xmsinx0【詳解】“sin2xsinxxπ2cosx即sin2xmsinx0對于恒成立，即m，xπ，2x2m2.，故故選：B1f(x)x2xfx，fx的導函數，則的圖像大致是（4.已知函數是函數f(x)）4A.B.第2頁/共23頁C.D.【答案】C【解析】12【分析】對函數求導得fx，易知fxfx為奇函數，排除B、D選項；再對fxxsinx求導，易得在fx是遞減，即可求解.312f(x)f(x)fx為奇函數，則函數的圖像關于原點對稱，排除選項B、D，xsinx【詳解】1g(x)f(x)g(x)x令當，，2xg(x)0g(x)，f(x)，也就是在遞減，排除A，故C正確.33故選：C．為向量與“向量積”，5.如果向量a，b的夾角為ababababababsinab2，，如果，ab12，則（）A.-16B.16C.-20D.20【答案】B【解析】【分析】根據向量的新定義和向量數量積計算即可.ababsinab2【詳解】由于，，，ab12，3ababcos102cos12cos,，則則5445所以sinababsin10216，則.5故選：Bc6.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cosA，則必為（）bA.鈍角三角形【答案】AB.直角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形第3頁/共23頁【解析】【分析】由正弦定理得到sinCAsinB，得出sinAB0，進而sinAB0，即可求解.【詳解】因為csinCsinBcosA，由正弦定理可得cosA，即，sinCAsinBb又因為sinCsin(AB)sinABAsinB，所以sinABAsinBAsinB，即sinAB0，,B(0,)，所以sinAB0因為，B(,)為鈍角三角形.所以，所以2故選：A.x2y4x2y07.已知不等式組表示的平面圖形為，則按斜二測畫法，平面圖形的直觀圖的面積為x1（）52528254A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根據不等式組畫出平面圖形，再根據斜二測畫法得出直觀圖，根據梯形的面積公式計算即可.【詳解】解：根據不等式組，作出如圖所示的平面圖，32在平面圖中，ABBCAD，根據斜二測畫法，作出直觀圖ABCD，31ABAD,BC,AD//BC,A45則在四邊形ABCD中，,42113125216(ADBC)ABsinA().則SABCD2242252所以平面圖形的直觀圖的面積為.故選：A.第4頁/共23頁122BCtanABC，則（）8.如圖，的頂點都在坐標軸上，直線AB的斜率為，直線的斜率為31478747A.B.C.D.2【答案】C【解析】tanABC【分析】利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】由題可得ABCxCB，23231212ktanktanxCB，得又，得，，122312123tanxCBtan7tanABCtanxCBxAB.1tanxCBtan4故選：C.111中，若1a2318，2，則（2）a9.在正項等比數列n123A.1B.2C.3D.23【答案】C【解析】aaa22【分析】根據等比數列性質有，代入計算即可得.13【詳解】因為為等比數列，所以，anaaa2213第5頁/共23頁1a133aaa181222311112，故1232aa22a229a20a3，所以2所以，又.故選：C.10.近來汽油價格起伏較大，假設第一周、第二周的汽油價格分別為m元/升，n元/升(買汽油的方式不同，甲每周購買40元的汽油，乙每周購買12升汽油，甲、乙兩次購買平均單價分別記為mn)，甲和乙購a1a，則下列結論正確的是（2，）1a21a2a21a1a，的大小無法確2A.B.C.D.定【答案】C【解析】a1amn，的表達式，再根據基本不等式即可求解．【分析】分別計算出，關于2【詳解】由題意得，m0，n0mn，，4022214040則mn2mn12m12nmna2，1222aa所以．12故選：C．5，2，2fx為偶函數，afbfe311.已知函數fx2xmxm．若372cf，則（）A.bac【答案】A【解析】B.cbaC.cabD.abcm1在gxexx1fx數可得，以及，進而分析得解.x1xx0exx1x0fx1fx1fx1，【詳解】因為為偶函數，則第6頁/共23頁可知的對稱軸為x1，fxyxmylog3xm2,2xm，又因為均只有一條對稱軸可知只有一條對稱軸，則m1，m1，可得fxxm所以fx2x1x1，23fx2x22log3x，當x1時，y2xyx在上為增函數，則在上為增函數，fx因為3gxex1，則gxex1，令x在上單調遞增，當x0時，gx0，則gx35gxg00可得exxx10，則e3e2，即；2752由即，可得，則1；exx1x0x1xx0275751e3f2ffe3，所以bac．，可得222故選：A．【點睛】關鍵點睛：構造恰當的函數，過程中用到了函數gxexx1，對應的不等式為exxx10xxx0xx1，x，，以及變形的．此類不等式常用的有exxx1，ex，加強記憶，方便碰到此類問題后直接使用．xABCDM,NAB,AD分別是棱的中點，點E在BD111112.如圖，在棱長為2的正方體中，1111BC1BECF，點P在線段CM上，點F在上，且上運動，下列說法正確的是（）A.三棱錐NCME的體積不是定值第7頁/共23頁2B.直線BD到平面的距離是112B90C.存在點P，使得11556△D.面積的最小值是1【答案】C【解析】D1到平面的距離判斷B；建立空間直角【分析】根據線面平行的判定判斷A；根據等體積法求得點坐標系，利用空間向量的數量積運算解決垂直問題判斷C；求出△面積的表達式，再求得面積的最1小值判斷D.M,NAB,ADBD//的中點，則，11【詳解】對于A，分別是棱1111BB1//DDBB1DDDDBD//BD，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以111111所以BD//MN，因為平面平面，，所以BD//平面，因為E在BD上，所以點E在平面的距離不變，而不變，ECMN面積是定值，則三棱錐的體積即三棱錐NCME的體積不變，故A錯誤；BD//BD平面平面BD//平面，11對于B，因為，，，于是1111因此直線BD到平面的距離等于點D1的距離，到平面h112,CMCNCD211N2(22)223，1113117212172CMND(12，DCMN1h，，SCMN232()23212231117332由V1CMN，得h，則h，B錯誤；CMND12第8頁/共23頁，C2,0，，B2,0,21M1,0,2對C，以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則D0,2,2,1設，則，Pt2t,t2，PB11t,t,2tPD1t1,2t,2t，tt2t，PBPD1ttt2ttttBPD=902t10由，得，解得1111213t，92130,1，因此存在點P，使得BPD=90，C正確；由于t119對于D，由選項C得Pt2t,t2在，t2的投影點為135165t2(2t)2)2則P到dt，113165345S2dt)2t，所以當t△面積為時，取得最小值為S，D12555錯誤.故選：C【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用線面平行的判定來判定A，再通過等體積法求出距離從而判斷B，第9頁/共23頁C,D選項通過建立合適的空間直角坐標系解決.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分.共20分）3π21213.已知角1交于點P,y__________.x2y2，則sin的終邊與單位圓1【答案】【解析】##-0.52【分析】根據任意角三角比的定義和誘導公式求解.12【詳解】因為角1交于點P,yr|OP1，所以x2y2的終邊與單位圓13π2x1221，sincosr12故答案為：.14π14.已知圓臺的上?下底面半徑分別為1和2，體積為，則該圓臺的側面積為___________.3【答案】35π【解析】h2【分析】利用圓臺體積公式可得其高為，即可知母線長為5，利用側面展開圖面積求出圓臺的側面積為35π.Sπ1S4π；1【詳解】根據題意可知，圓臺上底面面積為，下底面面積為114πhSSSS12設圓臺的高為h，由體積可得，1233h2，所以可得圓臺母線長為l22解得h25，12π4πl35π根據側面展開圖可得圓臺側面積為.2故答案為：35π22的圖象上有且僅有兩個不同的點關于直線y1的對稱點在y115.已知函數fx1x2的圖象上，則實數k的取值范圍是__________．4【答案】3第10頁/共23頁【解析】M2為圓心，1為半徑的上半圓，則2【分析】變形后得到y1x22表示的圖象為以N0的對稱圖象也是一個半圓，圓心為y1x222關于直線y1，半徑1，畫出圖象，數kACkk，不含形結合得到當直線斜率位于直線AB與直線之間（含）時，滿足要求，求出k,k，得到不等式，求出實數k的取值范圍.x2222，變形得到x22y221【詳解】y1，M2為圓心，1為半徑的上半圓，2故y則y11x22表示的圖象為以x222關于直線y1N0，半徑為，且該圓與的對稱圖象也是一個半圓，圓心為1兩點，B1,0,Q0x軸交于如圖所示：直線y1恒過點A0,1，N設直線y1與半圓相切時，切點為C，kACkk）時，滿足函數fx1x222故當直線斜率位于直線AB與直線之間（含，不含的圖象上有且僅有兩個不同的點關于直線y1的對稱點在y1的圖象上，2m11001其中1，設直線AC:y1，則1，k2m14m解得：或03434kk,1故，解得：，3第11頁/共23頁4k實數k的取值范圍是.34故答案為：3lnxx1kx0恰有2個不同的整數解，則k的取值范圍是_________．16.已知關于x的不等式2ln3,【答案】1012【解析】xkx1【分析】將不等式化為，轉化為兩函數的交點問題，畫出函數圖象，數形結合求出答案.xlnxx1xx1kx0kx變形為【詳解】，xkx1因為x0，所以，xxykx1，fx令，x0，x1xxefx0，時，fx0xef(x)>0，當，當時，x2x1xefxfe所以在上取得極大值，也是最大值，，xefx0且當x1時，第12頁/共23頁xfx畫出的圖象如下：xykx過定點0，且當直線位于如圖所示的兩條直線l:ykx1l:ykx1與之而1122間（包含l，不包含）時，滿足恰有兩個整數解，l21ln333122ln324110其中，1k22ln3,故答案為：1012【點睛】對于不等式整數解個數問題，通常可轉化為兩函數圖象問題，數形結合來求解.三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.）60分）Sn的前項和為，數列是以9為首項，為公差的等差數列anSnn17.已知數列1.n（1）求數列的通項公式；ana的前項和Tnn（2）求數列【答案】（1）.na2n11n1n5210nnTnN*（2）n10nn5n2【解析】【分析】(1)根據題意求出a即可寫出的通項公式；nSnn210na,再由nSnSn1的通項公式，找到其正負臨界的值，去掉絕對值符號再求和.ann(2)根據【小問1詳解】第13頁/共23頁設等差數列的首項為a,公差為d，1anSn11n10Sn，所以n10nn92則naSSn210n[(n10(n2n112當n2時，nnn1a91又也符合上式，故數列的通項公式為a2n11na.n【小問2詳解】數列nTS10nn；2當當n5時，n2n110，的前n項和nnn5時，n2n110，anTaaaaaaaan數列的前n項和n123456782a2345Sn12S5S，nn2(2550)n210nn10n50.21n5210nnTnN*綜上所述：n10nn5n2y23yxmmR.18.已知圓C：x2，直線l：（1）若直線l與圓Cm相切，求的值；（2）若m2，過直線上一點P作圓的切線lC，PB，切點為A，B，求四邊形面積的最小值及此時點P的坐標，【答案】（1）m16或m1631322P,（2）S，22【解析】1）由圓心到直線的距離等于半徑列方程求解即可，yx2的面積S3（2）當m2時，直線的方程為l，而四邊形，由圓的性PClP的質可得當坐標.第14頁/共23頁【小問1詳解】由已知，圓心到直線l：xym0的距離等于半徑3，C1md3.即2解得：m16或m16.【小問2詳解】x2S2S3PA當m2時，直線的方程為ly，四邊形的面積∵為直角三角形，PA22PC33PCl最短，顯然當時，PC當最小時，切線長23∴四邊形min232S.的面積最小值為2k此時，∴直線1，C，PC1x0，即yx1.y1：32xyx131P,.由，解得，即yx21222yAb19.在中，角，B，C的對邊分別為，，，且滿足_____.ac第15頁/共23頁（從以下兩個條件中任選一個補充在上面橫線上作為已知，將其序號寫在答題卡的橫線上并作答.）bc)(sinBsinC)asinAbsinC條件①：條件②：π542()A2（1）求角A；c1，求（2）若為銳角三角形，面積的取值范圍.π【答案】（1）A；33,3).（2）(82【解析】1）選擇①，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得；選擇②，利用誘導公式及同角公式求解即得.（2）利用正弦定理求出邊b【小問1詳解】的范圍，再利用三角形面積公式求解即得.bc)(sinBsinC)asinAbsinCbc)2abc，2選擇①，由及正弦定理，得b2c2a212整理得a0Aπ，而，2b2c2bc，由余弦定理得Abcπ所以A.3π555412()A，得sin2AcosA，即12AA選擇②，由，244A0Aπ，解得，又2π所以A.3【小問2詳解】πbcsin(C)π由（1）知，A，由正弦定理得，即bsinBsinC3sinC3sinBsinC31cosCsinC1231，而是銳角三角形，22sinC2tanC第16頁/共23頁π0C2πππ11223C03b2，tanC則，解得，，即，因此π62tanC30C32133,3)，SbcsinAb(24823,3).所以面積的取值范圍是(8220.如圖，在四棱錐P中，PA面ABCD,//CD，且CD2，22,BC,E,F分別為PD,的中點.（1）求證：EF//平面PAB；1（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面所成角的正弦值是？若存在，求出3DM的值，若不存任，說明理由；DP（3）在平面內是否存在點，滿足HDHA0，若不存在，請簡單說明理由；若存在，請寫出點HH的軌跡圖形形狀.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析；（3）存在，理由見解析.【解析】EGAD交AD于點G,連接EG,,由線線平面證明面面平行，再由面面平行的1）過E作性質即可得出線面平行的證明；nDMtPD(0t,利用向量法結合線面角得正弦值求（2）先求出面解即可;的法向量，設13,HAD（3）由點在空間內軌跡為以AD中點為球心,為半徑的球,而AD中點到平面22第17頁/共23頁32432,.的距離為即可求解【小問1詳解】如圖，EGAD交ADEG,,過E作于點G,連接PA面ABCD，AD面ABCD，則PAAD，EG,PAPAD又面PAD，PA面，且不共線，故EG//PA，因為E為PD的中點，所以G也為AD中點，又F為BC的中點，所以//，而平面PAB，PA平面，所以EG//，平面，同理//平面PAB，PABPABG，EG,EGF平面又因為EGF//PABEGF,平面所以平面平面，而EF//PAB；所以平面【小問2詳解】DMtPD(0t設如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,則P(0,B0),C(20),D(22,0)，故PBPC(22PD(22,CD0)，則CMCDCDtPD(2t,tt)，nPByz0取,n,n(x,y,z),則有設平面的法向量nPC22xyz0第18頁/共23頁|nCM||t2|13|cosn,CM|n||CM|t2)t2(2t)2221272整理得t2t70,解得t或(舍去)，11.所以當時,直線CM與平面所成角的正弦值是23【小問3詳解】由（2）知，平面n的一個法向量，(2,,0),13B0),G(2,,0)點AD中點，則22302110322BGn則AD中點到平面的距離為211324，n123,AD由HDHA0，即故H在以AD中點為球心，半徑為的球面上，23243233243242)2而，故H在面上的軌跡是半徑為()(的圓，232故存在符合題意的H，此時H軌跡是半徑為的圓.41232,AD【點睛】關鍵點點睛：第三問，根據題設有則H在以AD中點為球心，半徑為的球面上，再求AD中點到面距離，結合直觀想象及計算確定H在面上的軌跡.x1xa121.已知函數fx,aR,且函數f(x)有兩個極值點.xa（1）求的范圍;x,x(xx)31xlnxlnx2a的最大值.12（2）若函數f(x)的兩個極值點為且，求12122)【答案】（1）（2）【解析】1）函數f(x)極值點問題轉化為導函數零點問題處理.構造函數2ln3h(x)xxa,(x0)，通過函數的單調性與最值及圖象趨勢，找到方程h(x)0有兩個正實數根的充要條件；2121（2）整體換元法，令t，再結合（1）結論得，將x,x都轉化為表示，從而將多t12xxt21第19頁/共23頁t1)lntt1元最值問題轉化為一元函數問題，構造函數t),t，求其最大值即可.【小問1詳解】xxaf(x),(x0)由題得，，x2h(x)xxa,(x0)令，則函數f(x)有兩個極值點，即方程h(x)0有兩個正實數根.1x1h(x)1因為，xxxh(x)0h(x)，所以當時，單調遞減，單調遞增，x)h(x)0h(x)當時，，，，h(x)h1a所以，x0h(x)xh(x)時，且當時，.所以方程h(x)0有兩個正實數根，只需h1a0，解得a1，)即函數f(x)有兩個極值點時，的范圍為a.【小問2詳解】21x，令2t，則t012且3x由，1由（1）知，h(1)h(2)0，axxxx，2即則1122xx