廣東省江門市鶴山白水帶中學高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集，集合，集合，則集合為（）A．[－1,1]

B．[0,1]

C．(0,1]

D．[－1,0)參考答案：C2.若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，則(

) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a參考答案：C考點：對數值大小的比較．分析：根據函數的單調性，求a的范圍，用比較法，比較a、b和a、c的大小．解答： 解：因為a=lnx在（0，+∞）上單調遞增，故當x∈（e﹣1，1）時，a∈（﹣1，0），于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，從而b＜a．又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，從而a＜c．綜上所述，b＜a＜c．故選C點評：對數值的大小，一般要用對數的性質，比較法，以及0或1的應用，本題是基礎題．3.己知命題p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要條件；q：?x∈R，ex＜lnx，則（）A．￢p∨q為真命題 B．p∧￢q為假命題 C．p∧q為真命題 D．p∨q為真命題參考答案：D【考點】復合命題的真假．【分析】命題p：“a＞b”?“2a＞2b”，即可判斷出真假．q：令f（x）=ex﹣lnx，x∈（0，1]時，f（x）＞0；x＞1時，f′（x）=，因此x＞1時，f（x）單調遞增，可得f（x）＞0．即可判斷出真假．【解答】解：命題p：“a＞b”?“2a＞2b”，是真命題．q：令f（x）=ex﹣lnx，f′（x）=．x∈（0，1]時，f（x）＞0；x＞1時，f（x）單調遞增，∴f（x）＞f（1）=e＞0．∴不存在x∈R，ex＜lnx，是假命題．∴只有p∨q為真命題．故選：D．4.已知函數，若函數（，）在區間[－1,1]上有4個不同的零點，則實數a的取值范圍是（

）A. B.(2,+∞)C. D.參考答案：B【分析】求得函數為偶函數，利用導數得到函數的單調性，把函數在區間上有4個不同的零點，轉化為與的圖象在上有4個不同的交點，結合圖象，即可求解.【詳解】由題意，函數，可得，所以函數為上的偶函數，當時，，可得，所以函數在上單調遞增，所以在單調遞減，又由，所以函數的圖象，如圖所示，要使得函數在區間上有4個不同的零點，即函數與的圖象在上有4個不同的交點，則滿足，解得，即實數的取值范圍是.故選：B.【點睛】本題主要考查了函數與方程的綜合應用，以及利用導數研究函數的性質的應用，其中解答中熟練應用導數和函數的基本性質，把方程的零點的個數轉化為兩個函數的圖象的交點個數，結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點(a，b)在直線(sinA－sinB)＋sinB＝sinC上．則角C的值為

（

）A．

B．

C． D．參考答案：D6.有5名畢業生站成一排照相，若甲乙兩人之間恰有1人，則不同站法有（

）

A．18種

B．24種

C．36種

D．48種參考答案：C略7.已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為(

).（A）

(B)(C)

(D)參考答案：B8.在三棱錐P—ABC中，∠APB=∠BPC=60°，PA=1，PB=，PC=，則三棱錐P—ABC的體積為(

)A、

B、

C、

D、參考答案：答案:B9.已知集合，，則A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.已知是不共線的向量，，那么三點共線的充要條件為A．

B．

C．

D．

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若數列是等差數列，則數列也為等差數列，類比上述性質，若數列是等比數列，且，則有________也是等比數列．參考答案：12.設Sn為等比數列{an}的前n項和，，則

．參考答案：－11試題分析：通過，設公比為，將該式轉化為，解得，代入所求式可知答案－11．

13.下列說法：

①函數y=圖象的對稱中心是（1,1）

②“x>2是x2-3x+2>0”的充分不必要條件

③對任意兩實數m,n，定義定點“*”如下：m*n=,則函數f（x）=的值域為（-∞，0]

④若函數f（x）=對任意的x1≠x2都有，則實數a的取值范圍是（-]

其中正確命題的序號為___________．參考答案：（2），（3）略14.（09年揚州中學2月月考）如果復數是實數，則實數_____▲

．參考答案：答案：

15.下列命題中，①對于命題p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，則￢p：?x∈R，均有x2+x﹣1＞0；②p是q的必要不充分條件，則￢p是￢q的充分不必要條件；③命題“若sinx≠siny，則x≠y”為真命題；④a＞b，則2a＞2b．所有正確命題的序號是

．參考答案：②③④【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】①利用命題的否定即可判斷出正誤；②利用充分必要條件定義即可判斷出；③利用互為逆否命題之間的等價關系即可判斷出正誤；④由指數函數的單調性加以判斷．【解答】解：①命題p：?x∈R，使得x2+x﹣1＜0，則￢p：?x∈R，均有x2+x﹣1≥0，故①錯誤；②∵p是q的必要不充分條件，∴q?p，但p不能推q，則￢p?￢q，但￢q不能推￢p，∴￢p是￢q的充分不必要條件，故②正確；③命題“若x=y，則sinx=siny”是真命題，因此其逆否命題也為真命題，故③正確；④若a＞b，則由指數函數的單調性可得2a＞2b，故④正確．綜上可得：正確命題的序號是②③④．故答案為：②③④．16.當時，4x＜logax，則a的取值范圍．參考答案：【考點】指、對數不等式的解法．【分析】若當時，不等式4x＜logax恒成立，則在時，y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方，在同一坐標系中，分析畫出指數和對數函數的圖象，分析可得答案．【解答】解：當時，函數y=4x的圖象如下圖所示若不等式4x＜logax恒成立，則y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方（如圖中虛線所示）∵y=logax的圖象與y=4x的圖象交于（，2）點時，a=故虛線所示的y=logax的圖象對應的底數a應滿足＜a＜1故答案為：（，1）17.設數列()是等差數列.若和是方程的兩根，則數列的前

項的和______________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分10分)選修:不等式選講設函數．(Ⅰ)當時，求不等式的解集；(Ⅱ)若時有，求的取值范圍．參考答案：19.在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為，其中a為參數，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求圓C的極坐標方程；(2)B為圓C上一點，且B點的極坐標為，射線OB繞O點逆時針旋轉，得射線OA，其中A也在圓C上，求的最大值．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）通過進行消參，然后利用公式，把普通方程化為極坐標方程；（2）由已知可以求出的極坐標，然后用兩角和的余弦公式及輔助角公式化簡，最后求出它的最大值.【詳解】解：（1），由可得圓的極坐標方程．（2）由題意可知：,所以，所以，從而最大值為．【點睛】本題考查了把圓的參數方程化成普通方程再化為極坐標方程問題.考查了在極坐標下，利用三角恒等變換求兩極徑之和最大值問題，考查了運算能力.20.如圖是一個二次函數的圖象.(1）寫出這個二次函數的零點；(2）寫出這個二次函數的解析式及時函數的值域參考答案：（1）由圖可知這個二次函數的零點為(2）可設兩點式，又過點，代入得，，其在中，時遞增，時遞減，最大值為

又，最大值為0，時函數的值域為

21.設函數f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0． （Ⅰ）當b=時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性； （Ⅱ）當b＜時，求函數f（x）的極值點 （Ⅲ）證明對任意的正整數n，不等式都成立． 參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值． 【專題】導數的綜合應用． 【分析】（Ⅰ）將b的值代入，求出函數的表達式、導數，從而求出函數的單調區間； （Ⅱ）通過討論b的范圍，得到函數的單調區間，從而求出函數的極值點； （Ⅲ）將b=﹣1代入函數的表達式，求出函數f（x）的表達式，令h（x）=x3﹣f（x），求出h（x）的導數，得到ln（x+1）＞x2﹣x3，從而證出結論． 【解答】解（Ⅰ）當，f（x）=x2+ln（x+1），（x＞﹣1）， f′（x）=2x+=2（x+1）+﹣2≥2﹣2≥0， 當且僅當x=﹣時，“=”成立， ∴函數f（x）在定義域（﹣1，+∞）上單調遞增． （Ⅱ）

當時，解f′（x）=0得兩個不同解： 當b＜0時， ∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞）， 此時f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的極小值點 當時，x1，x2∈（﹣1，+∞）f′（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0， 此時f（x）有一個極大值點和一個極小值點 綜上可知，時，f（x）有一個極大值點和一個極小值點， b＜0，時，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的極小值點； （Ⅲ）當b=﹣1時，f（x）=x2﹣ln（x+1）， 令上恒正， ∴h（x）在[0，+∞）上單調遞增，當x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0， 即當x∈（0，+∞）時，有x3﹣x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2﹣x3， 對任意正整數n，?。? 【點評】本題考察了函數的單調性，導數的應用，考察分類討論思想，運用轉化思想是解答第三問的關鍵，本題是一道難題． 22.（本小題滿分12分）前不久，省社科院發布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，蕪湖成為本年度安徽最“幸福城”.隨后，師大附中學生會組織部分同學，用“10分制”隨機調查“陽光”社區人們的幸福度.現從調查人群中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉)：（Ⅰ）指出這組數據的眾數和中位數；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”，若幸福度低于7.5分，則稱該人的幸福度為“不幸福”.現從這16人中感到“極幸?！焙汀安恍腋！钡恼{查人里隨機選取2人，恰有1人是“極幸