2020屆中考數學考點專項突破

考點27概率

一、事件的分類

i.必然事件：在一定條件下一定會發生的事件，它的概率是i.

2.不可能事件：在一定條件下一定不會發生的事件，它的概率是0.

3.隨機事件：在一定條件下可能發生，也可能不發生的事件，它的概率是0~1之間.

二、概率的計算

1.公式法

P(A)='，其中”為所有事件的總數，根為事件A發生的總次數.

n

2.列舉法

(1)列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現的結果數目較多時，應不重不漏地列

出所有可能的結果，通常采用列表法求事件發生的概率.

(2)畫樹狀圖法：當一次試驗要涉及2個或更多的因素時，通常采用畫樹狀圖來求事件發生的

概率.

三、利用頻率估計概率

1.定義

一般地，在大量重復試驗中，如果事件發生的頻率穩定在某個常數P附近，因此，用一個事

件發生的頻率生來估計這一事件發生的概率.

n

2.適用條件

當試驗的所有可能結果不是有限個，或各種結果發生的可能性不相等時，我們一般要通過統計頻

率來估計概率.

3.方法

進行大量重復試驗，當事件發生的頻率越來越靠近一個常數時，該常數就可認為是這個事件發生

的概率.

四、概率的應用

概率是和實際結合非常緊密的數學知識，可以對生活中的某些現象做出評判，如解釋摸獎、評判

游戲活動的公平性、數學競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件做出決策.

考向一事件的分類

1.一般地，不確定事件發生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整個問題中所占比例的大小來

確定，它占整體的比例大，它的可能性就大，它占整體的比例小，它的可能性就小，不確定事件

發生的概率在0到I之間，不包括。和I.

2.必然事件發生的機率是100%,即概率為1,不可能事件發生的機率為0,即概率為0.

典例引領

典例1下列事件中，是必然事件的是

A.擲一枚質地均勻的硬幣，一定正面向上

B.車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈

C.如果。2=/凡那么

D.將花生油滴在水中，油會浮在水面上

【答案】

【解析】A.擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上是隨機事件.

B.車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈是隨機事件；

C.如果。2=〃，那么也可能是“=-6,此事件是隨機事件；

D.將花生油滴在水中，油會浮在水面上是必然事件；

故選D.

變式拓展

1.下列事件中，屬于不可能事件的是

A.擲一枚骰子，朝上一面的點數為5

B.任意畫一個三角形，它的內角和是178°

C.任意寫一個數，這個數大于-1

D.在紙上畫兩條直線，這兩條直線互相平行

2.口袋中裝有形狀、大小與質地都相同的紅球2個，黃球1個，下列事件為隨機事件的是

A.隨機摸出1個球，是白球B.隨機摸出1個球，是紅球

C.隨機摸出1個球，是紅球或黃球D.隨機摸出2個球，都是黃球

考向二概率的計算

在用列舉法解題時，一定要注意各種情況出現的可能性務必相同，不要出現重復、遺漏等現象.

典例引領

典例2【陜西省寶雞市鳳翔縣2019-2020學年九年級上學期期末數學試題】一個布袋內只裝有2

個黑球和1個白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機摸出一個球后再隨機摸出一個球，則兩次摸

出的球都是黑球的概率是

4111

A.-B.-C.-D.一

9369

【答案】B

【解析】畫樹狀圖如下

共有6種等可能的結果，其中兩次摸出的球都是黑球的結果有2種，

.??兩次摸出的球都是黑球的概率是2+6=）,故選B.

【名師點睛】此題考查的是求概率問題，掌握畫樹狀圖的方法和概率公式求概率是解決此題的關鍵.

典例3【山東省德州市武城縣2019-2020學年九年級上學期期末數學試題】甲從標有1,2,3,4

的4張卡片中任抽1張，然后放回.乙再從中任抽1張，兩人抽到的標號的和是2的倍數的（包括2）

概率是

1111

A.-B.—C.—D.一

2468

【答案】A

【解析】根據題意，列出所有情況，如下：

甲

1234

乙

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

Q|

標號的和是2的倍數的（包括2）的情況共有8種，...其概率為7=不，故選A.

162

【名師點睛】此題主要考查對概率的求解，熟練掌握，即可解題.

變式拓展

3.【四川省南充市2019-2020學年九年級上學期期末數學試題】如圖，轉盤的紅色扇形圓心角為

120°.讓轉盤自由轉動2次，指針I次落在紅色區域，1次落在白色區域的概率是

4.【江蘇省泰州市泰興市實驗初級中學教育集團（聯盟）2019-2020學年九年級上學期期末數學試

題】實驗初中有A、8兩個閱覽室，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個閱覽室閱讀.

下列事件中，是必然事件的為

A.甲、乙同學都在4閱覽室；

B.甲、乙、丙同學中至少兩人在A閱覽室；

C.甲、乙同學在同一閱覽室

D.甲、乙、丙同學中至少兩人在同一閱覽室

5.【安徽省蕪湖市無為縣2018-2019學年九年級上學期期末數學試題】如圖，電路圖上有四個開關

A、B、C、。和一個小燈泡，則任意閉合其中兩個開關，小燈泡發光的概率是

11

A.-B.一C.一D.-

2346

考向三利用頻率估計概率

在大量重復試驗中，隨著統計數據的增大，頻率穩定在某個常數左右，將該常數作為概率的估計值，

兩者的區別在于：頻率是通過多次試驗得到的數據，而概率是理論上事件發生的可能性，二者并不

完全相同.

典例引領

典例4在一個不透明的布袋中裝有黃、白兩種顏色的球共40個，除顏色外其他都相同，小王通過

多次摸球試驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在0.35左右，則布袋中黃球可能有

A.12個B.14個

C.18個D.28個

【答案】B

【解析】設袋子中黃球有x個，

根據題意，得：2=。.35,

40

解得：x=14,

即布袋中黃球可能有14個，故選B.

變式拓展

6.做重復試驗：拋擲同一枚啤酒瓶蓋1000次.經過統計得“凸面向上”的頻率約為0.44,則可以

由此估計拋擲這枚啤酒瓶蓋出現“凹面向上”的概率約為

A.0.22B.0.44C.0.50D.0.56

考向四概率的應用

游戲是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戲公平；可能性不相等，則游戲不公平.

典例引領

典例5小亮、小芳和兩個陌生人甲、乙同在如圖所示的地下車庫等電梯，已知兩個陌生人到1至4

層的任意一層出電梯，并設甲在〃層出電梯，乙在〃層出電梯.

（1）請你用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率；

（2）小亮和小芳打賭說：“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯，則小亮勝，否則小芳勝”.該游

戲是否公平？說明理由.

【解析】（1）列表如下:

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

--共出現16種等可能結果，其中出現在同一層樓梯的有4種結果，

41

則P（甲、乙在同?層樓梯）=,=：.

164

（2）由（1）歹U知：甲、乙住在同層或相鄰樓層的有10種結果，

故p（小亮勝）=p（同層或相鄰樓層）C，p（小芳勝）

16888

,.53

.—>—>

88

，游戲不公平，

修改規則：若甲、乙同住一層或相鄰樓層，則小亮得3分；否則，小芳得5分.

典例5【陜西省榆林市綏德縣2019-2020學年九年級上學期期末數學試題】在數學活動課上，張

明運用統計方法估計瓶子中的豆子的數量.他先取出100粒豆子，給這些豆子做上記號，然后放回

瓶子中，充分搖勻之后再取出100粒豆子，發現其中8粒有剛才做的記號，利用得到的數據可以估

計瓶子中豆子的數量約為粒.

A.125B.1250C.250D.2500

【答案】B

【解析】設瓶子中有豆子%粒豆子，根據題意得：-=4-.解得：x=1250,

x100

經檢驗：x=l250是原分式方程的解，估計瓶子中豆子的數量約為1250粒.故選

【名師點睛】本題考查了用樣本的數據特征來估計總體的數據特征，利用樣本中的數據對整體進行

估算是統計學中最常用的估算方法.

變式拓展

7.設a,〃是兩個任意獨立的一位正整數，則點(a,b)在拋物線產以2_板上方的概率是

、亨點沖關上

1.【江西省贛州市大余縣2019-2020學年九年級上學期期末數學試題】下列說法正確的是

A.不可能事件發生的概率為0；

B.隨機事件發生的概率為!

C.概率很小的事件不可能發生；

D.投擲一枚質地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數一定是500次

2.【江蘇省連云港市灌云縣2019-2020學年九年級上學期期末數學試題】一枚質地勻均的骰子，其

六個面上分別標有數字：1,2,3,4,5,6,投擲一次，朝上面的數字大于4的概率是

1121

A.一B.-C.-D.一

2336

3.【山東省威海市乳山市2019-2020學年九年級上學期期末數學試題】從1,2,3,4四個數中任

取一個數作為十位上的數字，再從2,3,4三個數中任取一個數作為個位上的數字，那么組成的

兩位數是3的倍數的概率是

4.【廣東省中山市2019-2020學年九年級上學期期末數學試題】某魚塘里養了100條鯉魚、若干條

草魚和50條羅非魚，通過多次捕撈實驗后發現，捕撈到草魚的頻率穩定在0.5左右，可估計該

魚塘中草魚的數量為

A.150B.100C.50D.200

5.在一個不透明的口袋中，裝有12個黃球和若干個紅球，這些球除顏色外沒有其他區別.小李通

過多次摸球試驗后發現，從中隨機摸出一個紅球的頻率穩定在25%,則該口袋中紅球的個數可能

是.

6.不透明的布袋里有白球2個，紅球10個，它們除了顏色不同其余均相同，為了使從布袋里隨機

摸一個球是白球的概率為！，若白球個數保持不變，則要從布袋里拿去______個紅球.

3

7.如果根是從0,1,2,3四個數中任取的一個數，”是從0,1,2三個數中任取的一個數，那么

關于x的一元二次方程N-2,"x+〃2=o有實數根的概率為.

8.一個不透明的布袋中有4個紅球、5個白球、11個黃球，它們除顏色外都相同.

（1）求從袋中摸出一個球是紅球的概率；

（2）現從袋中取走若干個黃球，并放入相同數量的紅球，攪拌均勻后，要使從袋中摸出一個球

是紅球的概率不小于;，問至少需取走多少個黃球？

9.某報社為了解溫州市民對大范圍霧霾天氣的成因、影響以及應對措施的看法，做了一次抽樣調查，

調查結果共分為四個等級：A.非常了解；B.比較了解；C.基本了解；D.不了解.根據調查

統計結果，回執了不完整的三種統計圖表.請結合統計圖表，回答下列問題：

（1）本次參與調查的市民共有人，m=,n=.

（2）統計圖中扇形。的圓心角是度.

（3）某校準備開展關于霧霾的知識競賽，九（3）班鄭老師欲從2名男生和一名女生中任選2人

參加比賽，求恰好選中“1男1女”的概率（要求列表或畫樹狀圖）.

對霧霾的了解程度百分比

A非常了解5%

B比較了解m%

C基本了解45%

D不了解/?%

10.圖1是一個可以自由轉動的轉盤，被分成了面積相等的三個扇形，分別標有數T,-2,-3,甲

轉動一次轉盤，轉盤停止后指針指向的扇形內的數記為A（如果指針恰好指在分割線上，那么

重轉一次，直到指針指向某一扇形為止），圖2是背面完全一樣、牌面數字分別是2,3,4,5

的四張撲克牌，把四張撲克牌背面朝上，洗勻后放在桌面上，乙隨機抽出一張牌的牌面數字記

為艮

（1）用樹狀圖或列表法求A+B=0的概率；

（2）甲、乙兩人玩游戲，規定：當A+B是正數時，甲勝；否則，乙勝.你認為這個游戲規則

對甲、乙雙方公平嗎？為什么？如果不公平，請你修改游戲規則，使游戲公平.

直通中考.

1.（2019?廣西）“學雷鋒”活動月中，“飛翼”班將組織學生開展志愿者服務活動，小晴和小霞

從“圖書館，博物館，科技館”三個場館中隨機選擇一個參加活動，兩人恰好選擇同一場館的概

率是

2.（2019?廣西）下列事件為必然事件的是

A.打開電視機，正在播放新聞

B.任意畫一個三角形，其內角和是180°

C.買一張電影票，座位號是奇數號

D.擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上

3.（2019?湖南長沙）下列事件中，是必然事件的是

A.購買一張彩票，中獎

B.射擊運動員射擊一次，命中靶心

C.經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

D.任意畫一個三角形，其內角和是180°

4.（2019?海南）某路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當小明到

達該路口時，遇到綠燈的概率是

5.（2019?浙江紹興）為了解某地區九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區100名九年級男生,

他們的身高x（cm）統計如下：

組別（cm）x<160160<x<170170<x<180x>180

人數5384215

根據以上結果，抽查該地區一名九年級男生，估計他的身高不低于180cm的概率是

A.0.85B.0.57C.0.42D.0.15

6.（2019?甘肅天水）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，現隨機向正方形內

擲一枚小針，則針尖落在黑色區域內的概率為

7.（2019?湖北武漢）從123.4四個數中隨機選取兩個不同的數，分別記為a,c,則關于x的一元

二次方程“X2+4X+C=0有實數解的概率為

8.（2019?浙江寧波）袋中裝有除顏色外其余均相同的5個紅球和3個白球.從袋中任意摸出一個

球，則摸出的球是紅球的概率為.

9.（2019?浙江舟山）從甲、乙、丙三人中任選兩人參加“青年志愿者”活動，甲被選中的概率為

10.（2019?浙江臺州）一個不透明的布袋中僅有2個紅球，1個黑球，這些球除顏色外無其它差

另人先隨機摸出一個小球，記下顏色后放回攪勻，再隨機摸出一個小球，則兩次摸出的小球顏

色不同的概率是.

11.（2019?甘肅隴南）一個猜想是否正確，科學家們要經過反復的實驗論證.下表是幾位科學家“擲

硬幣”的實驗數據：

實驗者德?摩根蒲豐費勒皮爾遜羅曼諾夫斯基

擲幣次數61404040100003600080640

出現“正面朝上”的次數3109204849791803139699

頻率0.5060.5070.4980.5010.492

請根據以上數據，估計硬幣出現“正面朝上”的概率為（精確到0.1）.

12.（2019?廣西）甲，乙兩人進行飛鏢比賽，每人各投6次，甲的成績（單位：環）為:9,8,9,

6,10,6.甲，乙兩人平均成績相等，乙成績的方差為4,那么成績較為穩定的是.（填

“甲”或“乙”）

13.（2019?新疆）同時擲兩枚質地均勻的骰子，兩枚骰子點數之和小于5的概率是.

14.（2019?江西）為紀念建國70周年，某校舉行班級歌詠比賽，歌曲有：《我愛你，中國》，《歌

唱祖國》，《我和我的祖國》（分別用字母4,B,C依次表示這三首歌曲）.比賽時，將A,

B,C這三個字母分別寫在3張無差別不透明的卡片正面上,洗勻后正面向下放在桌面上，八（1）

班班長先從中隨機抽取一張卡片，放回后洗勻，再由八（2）班班長從中隨機抽取一張卡片，進

行歌詠比賽.

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖國》的概率是；

（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同

歌曲的概率.

物考答案,

變式拓展

I.【答案】B

【解析】A.擲一枚骰子，朝上一面的點數為5是隨機事件；

B.任意畫一個三角形，它的內角和是1780是不可能事件；

C.任意寫一個數，這個數大于-1是隨機事件；

D.在紙上畫兩條直線，這兩條直線互相平行是隨機事件；

故選B.

2.【答案】B

【解析】A、從袋中隨機摸出1個球，是白球是不可能事件；B、從袋中隨機摸出1個球，是紅

球是隨機事件；C、從袋中隨機摸出1個球，是紅球或黃球是必然事件；D、從袋中隨機摸出2

個球，都是黃球是不可能事件，故選B.

3.【答案】C

【解析】由圖得：紅色扇形圓心角為120,白色扇形的圓心角為240。，

,紅色扇形的面積：白色扇形的面積=—,

2

畫出樹狀圖如圖，共有9個等可能的結果，讓轉盤自由轉動2次，指針I次落在紅色區域，1次

落在白色區域的結果有4個，

4

.?.讓轉盤自由轉動2次，指針1次落在紅色區域，1次落在白色區域的概率為了；

y

故選c.

開始

紅白白

zTx/KZK

紅白白紅白白紅白白

【名師點睛】本題考查了樹狀圖和概率計算公式，解決本題的關鍵是正確理解題意，熟練掌握樹

狀圖的畫法步驟.

4.【答案】D

【解析】根據題意，三位同學的分布一共有如下幾種：

序號4閱覽室8閱覽室

1甲乙同學丙同學

2甲丙同學乙同學

3乙丙同學甲同學

4丙同學甲乙同學

5乙同學甲丙同學

6甲同學乙丙同學

所以只有。選項是正確選項.故答案是D

【名師點睛】本題考查了必然事件的定義，解決本題的關鍵是根據題意將每種情況都要考慮到,

據此判斷哪種情況是必然事件.

5.【答案】A

【解析】畫樹狀圖得：

開始

ABCD

/1\/4\/N/N

BcDAcDABDABC

???共有12種等可能的結果，現任意閉合其中兩個開關，則小燈泡發光的有6種情況，

小燈泡發光的概率為9=1.故選A.

122

【名師點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情

況數之比.

6.【答案】D

【解析】因為瓶蓋只有兩面，”凸面向上”頻率約為0.44,所以，“凹面向上”的概率約為

1-0.44=0.56,

故選D.

7.【答案】D

【解析】。是兩個任意獨立的一位正整數，.二。，人取1~9,代入廣。時，y=a'-ba,

\,點（a,b）在拋物線產以2_法的上方，.?.出產:入蘇+慶以），

當。=1時，b-\+b>0,：.b>~,有9個數，b=l,2,3,4,5,6,7,8,9,

2

Q

當a=2時，b-S+2b>0,：.b>~,有7個數，b=3,4,5,6,7,8,9,

3

當a=3時，/?-27+3比＞0,：.b＞一，有3個數，b=7,8,9,

4

64

當a=4時，b-64+4b＞Q,：.b＞—,有0個數，方在此以上無解，

共有19個,而總的可能性為9x9=81,

19

...點(a,b)在拋物線產辦2_法的上方的概率是支；

81

故選D.

【名師點睛】此題考查概率的求法：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其

中事件A出現，"種結果，那么事件A的概率P(A)

n

考點沖關

Hz-----------

1.【答案】A

【解析】A、不可能事件發生的概率為0,故本選項正確；

B、隨機事件發生的概率P為0＜尸＜1,故本選項錯誤；

C、概率很小的事件，不是不發生，而是發生的機會少，故本選項錯誤；

。、投擲一枚質地均勻的硬幣1000次，是隨機事件，正面朝上的次數不確定是多少次，故本選

項錯誤；

故選A.

【名師點睛】本題考查不可能事件、隨機事件的概念.不可能事件是指在一定條件下，一定不發

生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.

2.【答案】B

【解析】???一枚質地均勻的骰子，其六個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6,投擲一次，

共有6種情況，其中朝上面的數字大于4的情況有2種，

...朝匕一面的數字是朝上面的數字大于4的概率為：2故選B.

【名師點睛】本題考查簡單的概率求法，概率=所求情況數與總情況數的比；熟練掌握概率公式

是解題關鍵.

3.【答案】B

【解析】畫樹狀圖得：

開始

十理字12[4

/K不/T\

個位數字234234234234

???共有12種等可能的結果，組成的兩位數是3的倍數的有4種情況，

41

，組成的兩位數是3的倍數的概率是：—故選B

123

【名師點睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情

況數之比.

4.【答案】A

【解析】???通過多次捕撈實驗后發現，捕撈到草魚的頻率穩定在0.5左右，

.?.捕撈到草魚的概率約為0.5,

X

設有草魚x條，根據題意得：----------=0.5,解得：x=150,故選A.

100+X+50

【名師點睛】本題考查用樣本估計總體，解題的關鍵是明確題意，由草魚出現的頻率可以計算出

魚的數量.

5.【答案】4

X

【解析】設袋中有紅球X個，由題意得——X1OO%=25%,解得戶4個，故答案為：4.

x+12

6.【答案】6

【解析1設白球的概率為5時,布袋里紅球有x個.由題意，得一=”，解得I,所以10-戶6.故

32+x3

答案為：6.

3

7.【答案】-

4

【解析】從0,1,2,3四個數中任取的一個數，從0,1,2三個數中任取的一個數，畫樹狀圖

可知共有12種結果，:滿足關于x的一元二次方程42-2〃狀+/=0有實數根，則/=（-2加）2一4〃2=4

3

（加一層）次，符合的有9個，，關于工的?元二次方程/1加計序二。有實數根的概率為故

4

3

答案為：—.

4

8.【解析】（1）??,袋中有4個紅球、5個白球、11個黃球,

???摸出一個球是紅球的概率=討7=二

（2）設取走x個黃球，則放入x個紅球，

4+x1

由題意得,------------->—

4+5+11-3

0

解得危

為整數,

.?.X的最小正整數值是3.

答：至少取走3個黃球.

9.【解析】（1）本次參與調查的市民共有：20-?5%-400（人），

60

〃?％=——X100%=15%,n則lm=l5,

400

"%=1-5%-45%-15%=35%,則〃=35；

故答案為：400,15,35；

（2）扇形統計圖中。部分扇形所對應的圓心角是360°X35%=126°.

故答案為：126；

（3）根據題意畫圖如下：

共有6種等可能的結果數，其中恰好選中1男1女的結果數為4利I

42

所以恰好選中1男1女的概率是二=彳.

63

10.【解析】（1）由題意可得，A+8的所有可能性是：

-1+2=1,-1+3=2,-1+4=3,-1+5=4,-2+2=0,-2+3=1,-2+4=2,-2+5=3,-3+2=-1,-3+3=0,

211

-3+4=1,—3+5=2,??.A+8=0的概率是：—即A+8=0的概率是一.

1266

（2）這個游戲規則對甲、乙雙方不公平，

理由：由題意可得，A+3的所有可能性是:

-1+2=1,-1+3=2,-1+4=3,-1+5=4,-2+2=0,-2+3=1,-2+4=2,-2+5=3,-3+2=7,-3+3=0,

-3+4=1,

93

-3+5=2,.,.A+8的和為止數的概率是：—=—,

124

31

.?.甲獲勝的概率為一，乙獲勝的概率為一，

44

31

：—#一,.?.這個游戲規則對甲乙雙方不公平.

44

直通中考

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1.【答案】A

【解析】圖書館，博物館，科技館分別記為A、B、C,畫樹狀圖如下：

ABC

A小BC八ABC小ABC

共有9種等可能的結果數，其中兩人恰好選擇同一場館的結果數為3,

31

所以兩人恰好選擇同一場館的概率=§=§.

故選A.

【名師點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n,

再從中選出符合事件A或8的結果數目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

2.【答案】B

【解析】：A,C,D選項中的事件均為不確定事件，即隨機事件，故不符合題意.

一定發生的事件只有B,任意畫一個三角形，其內角和是180°,是必然事件，符合題意.

故選B.

【名師點睛】本題考查的是對必然事件的概念的理解.解決此類問題，要學會關注身邊的事物，

并用數學的思想和方法去分析、看待、解決問題，提高自身的數學素養.用到的知識點為：必

然事件指在一定條件下一定發生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生

也可能不發生的事件.

【答案】D

【解析】A.購買一張彩票中獎，屬于隨機事件，不合題意；

B.射擊運動員射擊一次，命中靶心，屬于隨機事件，不合題意；

C.經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，屬于隨機事件，不合題意；

D.任意畫一個三角形，其內角和是180°,屬于必然事件，符合題意；

故選D.

【名師點睛】本題主要考查了必然事件，事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件.

4.【答案】D

【解析】；每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，.?.當小明到達該路口時，遇到綠

255

燈的概率尸=二=二，故選D.

6012

【名師點睛】本題考查了概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵.

5.【答案】D

【解析】樣本中身高不低于180cm的頻率=齋=0.15,

所以估計他的身高不低于180cm的概率是0.15.

故選D.

【名師點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位

置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來

估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗

次數的增多，值越來越精確.

6.【答案】C

12_

【解析】設正方形ABCD的邊長為2a,針尖落在黑色區域內的概率=5、兀、°=g.故選C.

4a

7.【答案】C

【解析】畫樹狀圖得:

由樹形圖可知：一共有12種等可能的結果，其中使acW4的有6種結果，

關于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有實數解的概率為,，故選C.

2

【名師點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不

遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完

成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

8.【答案】|

8

【解析】從袋中任意摸出一個球，則摸出的球是紅球的概率=■!.故答窠為!■.

88

【名師點睛】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現的結果數除以

所有可能出現的結果數.

9.【答案】|

【解析】樹狀圖如圖所示:

共有6個等可能的結果，甲被選中的結果有4個，

422

，甲被選中的概率為故答案為；T.

633

【名師點睛】本題考查了樹狀圖法求概率以及概率公