北京市東城區市級名校2024年高考仿真模擬數學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．2．函數在區間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．3．一個封閉的棱長為2的正方體容器，當水平放置時，如圖，水面的高度正好為棱長的一半．若將該正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉，則容器里水面的最大高度為（）A． B． C． D．4．復數為純虛數，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i5．己知函數的圖象與直線恰有四個公共點，其中，則（）A． B．0 C．1 D．6．在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個坐位的寬度()，每個座位寬度為，估計彎管的長度，下面的結果中最接近真實值的是（）A． B． C． D．7．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．18．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段中點的橫坐標為3，且，則拋物線的方程是()A． B． C． D．9．如圖所示，為了測量、兩座島嶼間的距離，小船從初始位置出發，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現在船往東開2百海里到達處，此時測得在的北偏西的方向上，再開回處，由向西開百海里到達處，測得在的北偏東的方向上，則、兩座島嶼間的距離為（）A．3 B． C．4 D．10．在中，為中點，且，若，則（）A． B． C． D．11．已知數列滿足，則（）A． B． C． D．12．已知函數的圖像與一條平行于軸的直線有兩個交點，其橫坐標分別為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，雙曲線（，）的左頂點為A，右焦點為F，過F作x軸的垂線交雙曲線于點P，Q.若為直角三角形，則該雙曲線的離心率是______.14．若，則的最小值為________.15．將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，則函數的最大值為______.16．展開式中的系數為_______________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣不存在逆矩陣，且非零特低值對應的一個特征向量，求的值.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（為參數）．以平面直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程；（2）設和交點的交點為，求的面積．19．（12分）為提供市民的健身素質，某市把四個籃球館全部轉為免費民用（1）在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數如圖，用分層抽樣的方法從四場館的使用場數中依次抽取共25場，在中隨機取兩數，求這兩數和的分布列和數學期望；（2）設四個籃球館一個月內各館使用次數之和為，其相應維修費用為元，根據統計，得到如下表的數據：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程；②叫做籃球館月惠值，根據①的結論，試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數據和公式：，20．（12分）已知函數．(Ⅰ)求函數的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．21．（12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面積的最大值．22．（10分）甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為，三人各射擊一次，擊中目標的次數記為.（1）求的分布列及數學期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中,若的值最大,求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.2、B【解析】

根據特殊值及函數的單調性判斷即可；【詳解】解：當時，，無意義，故排除A；又，則，故排除D；對于C，當時，，所以不單調，故排除C；故選：B【點睛】本題考查根據函數圖象選擇函數解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎題.3、B【解析】

根據已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半，由此得到結論．【詳解】正方體的面對角線長為，又水的體積是正方體體積的一半，且正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉，所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半，即最大水面高度為，故選B.【點睛】本題考查了正方體的幾何特征，考查了空間想象能力，屬于基礎題．4、B【解析】

復數為純虛數，則實部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數，∴，解得..故選：.【點睛】本題考查復數的分類，屬于基礎題.5、A【解析】

先將函數解析式化簡為，結合題意可求得切點及其范圍，根據導數幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數即直線與函數圖象恰有四個公共點，結合圖象知直線與函數相切于，，因為，故，所以.故選：A.【點睛】本題考查了三角函數的圖像與性質的綜合應用，由交點及導數的幾何意義求函數值，屬于難題.6、B【解析】

為彎管，為6個座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個座位的寬度，則設弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認為，即于是，長所以是最接近的，其中選項A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B【點睛】本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學生的分析問題的能力，屬于基礎題.7、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.8、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設拋物線的焦點為F,設點，由拋物線的定義可知，線段AB中點的橫坐標為3，又，，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質的應用,利用拋物線的定義是解題的關鍵.9、B【解析】

先根據角度分析出的大小，然后根據角度關系得到的長度，再根據正弦定理計算出的長度，最后利用余弦定理求解出的長度即可.【詳解】由題意可知：，所以，，所以，所以，又因為，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查解三角形中的角度問題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關鍵.10、B【解析】

選取向量，為基底，由向量線性運算，求出，即可求得結果.【詳解】，，，，，.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎題.11、C【解析】

利用的前項和求出數列的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時，；當時，由，可得，兩式相減，可得，故，因為也適合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.12、A【解析】

畫出函數的圖像，函數對稱軸方程為，由圖可得與關于對稱，即得解.【詳解】函數的圖像如圖，對稱軸方程為，，又，由圖可得與關于對稱，故選：A【點睛】本題考查了正弦型函數的對稱性，考查了學生綜合分析，數形結合，數學運算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據是等腰直角三角形，且為中點可得，再由雙曲線的性質可得，解出即得.【詳解】由題，設點，由，解得，即線段，為直角三角形，，且，又為雙曲線右焦點，過點，且軸，，可得，，整理得：，即，又，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質，是常考題型.14、【解析】

由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等號取得的條件。【詳解】由題意，，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值．【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項都是正數；②和（或積）為定值；③等號取得的條件。15、【解析】

由三角函數圖象相位變換后表達函數解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達式，進而由三角函數值域求得最大值.【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，則所以，當函數最大，最大值為故答案為：【點睛】本題考查表示三角函數圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡函數式并求最值，屬于簡單題.16、【解析】

把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數．【詳解】解：，故它的展開式中的系數為，故答案為：．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

由不存在逆矩陣，可得，再利用特征多項式求出特征值3，0，，利用矩陣乘法運算即可.【詳解】因為不存在逆矩陣，，所以.矩陣的特征多項式為，令，則或，所以，即，所以，所以【點睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關的問題，考查學生的運算能力，是一道容易題.18、（1）；（2）【解析】

（1）先將曲線的參數方程化為普通方程，再將普通方程化為極坐標方程即可.（2）將和的極坐標方程聯立，求得兩個曲線交點的極坐標，即可由極坐標的含義求得的面積.【詳解】（1）曲線的參數方程為（α為參數），消去參數的的直角坐標方程為．所以的極坐標方程為（2）解方程組，得到．所以，則或（）．當（）時，，當（）時，．所以和的交點極坐標為：,.所以．故的面積為．【點睛】本題考查了參數方程與普通方程的轉化，直角坐標方程與極坐標的轉化，利用極坐標求三角形面積，屬于中檔題.19、（1）見解析，12.5（2）①②20【解析】

(1)運用分層抽樣，結合總場次為100，可求得的值，再運用古典概型的概率計算公式可求解果;(2)①由公式可計算的值，進而可求與的回歸直線方程；②求出，再對函數求導，結合單調性，可估計這四個籃球館月惠值最大時的值.【詳解】解：（1）抽樣比為，所以分別是，6，7，8，5所以兩數之和所有可能取值是：10，12，13，15，，，所以分布列為期望為（2）因為所以，，；②，設，所以當遞增，當遞減所以約惠值最大值時的值為20【點睛】本題考查直方圖的實際應用，涉及求概率，平均數、擬合直線和導數等問題，關鍵是要讀懂題意，屬于中檔題.20、(Ⅰ)極大值為：，無極小值；(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可求出函數的極值；(Ⅱ)得到,根據函數的單調性問題轉化為證明，即證,令，根據函數的單調性證明即可．【詳解】(Ⅰ)的定義域為且令，得；令，得在上單調遞增，在上單調遞減函數的極大值為，無極小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上單調遞增，在上單調遞減且，則要證，即證，即證，即證即證由于，即，即證令則恒成立在遞增在恒成立【點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，考查不等式的證明，考查運算求解能力及化歸與轉化思想，關鍵是能夠構造出合適的函數，將問題轉化為函數最值的求解問題，屬于難題．21、（1）（2）【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及誘導公式與和角公式，結合特殊角的三角函數值，求得角C；(2)運用向量的平方就是向量模的平方，以及向量數量積的定義，結合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面積公式計算即可得到所求的值.詳解：（1）∵，，（Ⅱ）取中點，則，在中，，（注：也可將兩邊平方）即，，所以，當且僅當時取等號．此時，其最大值為.點睛：該題考查的是有關三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理，誘導公式，和角公式，向量的平方即為向量模的平方，基本不等式，三角形的面積公式，在解題的過程中，需要正確使用相關的公式進行運算即可求得結果.22、（1），ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1－a)2

(1－a2)

(2a－a2)

（2）【解析】(1)P(ξ)是“ξ個人命中，3－ξ個人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ＝0)＝(1－a