2.2函數的單調性與最值

一、填空題

1.函數/V)=log2(V—4x—5)的單調增區間為.

解析由題意知4x—5>0,解得x〈一1或x〉5,即函數/1(x)=log2(x2—4x—

5)的定義域為(—8,-l)U(5,+8),根據外層函數為單調增函數，而內層函

數—4x—5=(x—2尸一9在(5,+8)上單調遞增，所以所求函數的單調增

區間為(5,+8).

答案(5,十8)

2.下列函數中，在區間(0,2)上為增函數的是.(填所有對的的編號)

2

①尸一x+l；②尸丑；③尸V-4x+5；?y=-

X

解析y=-x+1在R上遞減；在R+上遞增；—4x+5在(-8,2］

2

上遞減，在［2,+8)上遞增，y=-在R+上遞減.

答案②

3.定義在R的奇函數F(x)單調遞增，且對任意實數a,6滿足f(a)+f(6—1)

=0,則a+Z?=.

解析：f(x)為奇函數，；./1(—X)=—f(x)

F(a)=一—tj)

又???F(x)單調遞增

...a=l——力即a+力=1.

答案1

4.若函數f(x)=f+(a?—4a+l)x+2在區間(-8,1］上是減函數，則a的取

值范圍是.

解析由于F(x)是二次函數且開口向上，

所以要使/Xx)在(一8,1］上是單調遞減函數，

52-4方+1

則必有一一-一三1,即a?—4a+3W0,解得lWaW3.

答案［1,3］

5.下列函數：①y=/；②y=|x|+l；③y=—*+1；④y=2-"，既是偶函數

又在(0,+8)單調遞增的函數序號是.

解析y=V是奇函數，y=-V+1與y=2一國在(0,+8)上是減函數.

答案②

6.已知F(x)是定義在(一1,1)上的奇函數，且f(x)在(一1,1)上是減函數，不等

式f(l—x)+f(l—X)<0的解集為.

解析由Hx)是定義在(一1,1)上的奇函數，

及+f(l—Y)<0

得Al-A)<—/(l—/).

所以F(l—x)</(/-1).又由于f(x)在(一1,1)上是減函數，

所以1V1一解得0<xVl.

11—^>^—1.

故原不等式的解集為(0,1).

答案(0,1)

7.已知函數y=f(x)是定義在R上的偶函數，當xWO時，y=f(x)是減函數，

若|帚IVI也|,則結論：①f(xi)一f(xD<0；②片(荀)—f(x2)>0；③廣(天)+廣(也)

<0；④廣(為)+/U)>o中成立的是(填所有對的的編號).

解析由題意，得Hx)在［0,+8)上是增函數，且￡(在)=

AI^21)>從而由0W|X11<|尼I,得/1(|荀|)V/■(|X21),即f(x)<f(xD,f(x)

-/-UX0,只能①是對的的.

答案①

8.設a=log54,6=(log53)2,c=log45,則a,b,c的大小關系是

解析由于0<log53<log54<l<log45,b<a<c.

答案b<a<c

9.假如對于函數廣(x)的定義域內任意兩個自變量的值為，尼，當為<在時，都

有/1(芯)WF(X2)且存在兩個不相等的自變量幽，迎，使得/1(?)=/1(加，則稱為

定義域上的不嚴格的增函數.已知函數g(x)的定義域、值域分別為A,B,A=

{1,2,3},比/且g(x)為定義域/上的不嚴格的增函數，那么這樣的函數g(x)

共有個.

解析分刀中元素為1個，2個，3個討論.8中只有一個元素，此時各有一個

函數；8有兩個元素，此時各有兩個函數；8有3個元素時，不合題意.因此共

有3+6=9個函數.

答案9

10.已知函數F(x)=1—=1一4,xG[0,1],對于滿足0<與<苞<1的任意由、

蒞，給出下列結論：

①(蒞一為)[f(蒞)-f(xi)]V0；②蒞/1(苞)Vxi/1(蒞)；③/1(蒞)—f(xi)>蒞一蒞；④

fX、+F蒞/芯+坨

22}

其中對的結論的序號是.

解析函數/Xx)=l一冊二，，xe[0,l]的圖象如圖所示，命題①可等價為

「，即F(x)在X?[0,1]上是單調遞增函數，結合圖象可知,

IX2VfXl

命題①錯誤；對于命題②，作差即可知其對的；命題③可變形為,,二七苞-

>1,不等式左端的幾何意義是圖象上任意兩點連線的斜率，由圖象知斜率不都

大于1,命題③錯誤；對于命題④，由于圖象是凹函數，滿足.藥;廣涇〉

產產J,所以命題④對的.

答案②④

11.若函數f{x}=a|x-b|+2在［0,+oo)上為增函數，則實數a,b的取值范圍

為.

解析由Ax)=ak-b|+2知其圖象關于產b對稱，且在［0,+oo)上為增函數，所以

b<0,a>0.

答案b<0,a>0

12.設y=F(x)是定義在R上的偶函數，滿足/1(x+1)=—F(x),且在［-1,0］

上是增函數，給出下列關于函數y=f(x)的判斷：

①y=F(x)是周期函數;②y=F(x)的圖象關于直線x=l對稱;③y=f(x)在［0,1］

上是增函數；④彳目=0.其中對的判斷的序號是(把你認為對的判斷的

序號都填上).

解析①由/1(x+1)=—f(x),得/1(x+2)=-f(x+l)=f(x),即①對的.②由

Al-A)=—/1(—A)=—f(x)=f(l+x)知②對的.③由偶函數在［-1,0］與［0,1］

上具有相反的單調性知③不對的.④在/Xx+I)：—y(x)中令x=—得

答案①②④

但一一2,啟0,

13.已知函數/'(x)=(a是常數且a>0).對于下列命題:

2ax—1,x>0

①函數f(x)的最小值是一1；

②函數f(x)在R上是單調函數;

③若f（x）＞0在;，+8）上恒成立，則a的取值范圍是a＞l；

④對任意的芯＜0,蒞＜0且用力蒞，恒有干十

fX\+fXi

2,

其中對的命題的序號是（寫出所有對的命題的序號）.

解析（數形結合法）根據題意可畫出草圖,

由圖象可知，①顯然對的；函數F（x）在R上不

是單調函數，故②錯誤；若F（x）＞0在;，+8

上恒成立，則2aX；—1＞0,a＞l,故③對的；

由圖象可知在（一8,0）上對任意的為＜0,蒞＜0

口一卜一七/苞+珀甩±f_Xz

且XiW苞，怛有｛2I-?成立,

故④對的.

答案①③④

【點評】采用數形結合法.注意本題中的③和④的理解，此題充足體現了數形結

合法的直觀性與便捷性.

二、解答題

14.已知t為常數，函數尸_2xt|在區間［0,3］上的最大值為2,求力的直

解析顯然函數片\x2-2x-t1的最大值只能在尸1或尸3時取到，

若在A=1時取到,則|l-2-t|=2,得t=l或t=-3.

t=l,A=3時，y=2;t=-3,A=3時，y=6（舍去）;

若在A=3時取到,則|9-6-t=2,得t=l或t=5.

t=l,A=1時，y=2;t=5,A=1時，尸6（舍去），所以t=l.

15.設函數/1（x）=a1+力x+1（a、力?R）.

(1)若F(—1)=0,且對任意實數x均有/'(x)》。成立，求實數a、力的值；

(2)在(1)的條件下，當、?[—2,2]時，g(x)=F(x)—Nx是單調函數，求實數N

的取值范圍.

解析⑴?."(一1)=0,—+1=0,即b=a+l.

又對任意實數x均有/>(X)>0成立，...a〉。且/=斤一4aW0恒成立，即a〉0且

(a-l)2<0恒成立，

/.a=l,b=2.

(2)由(1)可知f{x}=x+2x+X,

Ag{x}=x+(2—A)x+L

?.?g(x)在X?[—2,2]時是單調函數，

2,2]q1—8,或[―+eoj

k—2k—2

???2或下-或一廠忘一2,解得A26或AW—2,

即實數N的取值范圍為(一8,-2]U[6,+8).

16.已知函數F(x)對于任意x,y￡R,總有F(x)+_f(y)=F(x+y),且當x>0

2

時，/(A)<0,/(I)=—o.

O

(1)求證：f(x)在R上是減函數.

⑵求M在[—3,3]上的最大值和最小值.

解析(1)證明法一,函數/1(x)對于任意總有廣(x)+f(y)=f(x+y),

.,.令x=y=0,得/1(())=0.

再令y=—x，得/1(—x)=—f(x).

在R上任取也，則苞一蒞>0,

Axi)—f(蒞)=F(xJ+/■(一蒞)=/(茍一蒞).

又：x>0時，Ax)<0,

而為一?蒞>0,.'"(xi—蒞)<0,即/1(X)V/1(就.

因此/"(x)在R上是減函數.

法二設為>在，

則Axi)—f(xD=F(X1—蒞+苞)—f〈xD

=F(荀一蒞)+/■(蒞)―/■(蒞)=F(X1-蒞).

又,.,x>0時，f{x)<0,而石一再>0,

I.f(E—就V0,即AAI)<f'xD,

.?"(x)在R上為減函數.

(2)?."(X)在R上是減函數，

I.f(x)在［—3,3］上也是減函數，

??"(X)在［—3,3］上的最大值和最小值分別為『(一3)與F(3).

而r(3)=3f⑴=—2,A-3)=-A3)=2.

在［―3,3］上的最大值為2,最小值為一2.

17.函數f(x)的定義域為。={x|xWO}且滿足對于任意不，xRD,有￡(石?蒞)

=f(Ai)+f(涇).

⑴求/?⑴的值；

⑵判斷f(x)的奇偶性并證明；

(3)假如/1(4)=1,f(3x+l)+f(2x—6)W3,且f(x)在(0,+8)上是增函數，

求x的取值范圍.

解析(1)令芯=蒞=1,有廣(IX1)=F(1)+廣(1),解得/1(1)=0.

(2)f(x)為偶函數，令茍=尼=-1,有/1(—1)X(―1)］=F(—1)+F(—1),解

得F(T)=0

令為=一1,蒞=十有/'(—X)=f(-l)+f(x),即f(-x)=f(x).

所以/>(X)為偶函數.

(3)f(4X4)=F(4)+f⑷=2,f(16X4)=f(16)+f(4)=3.

所以f(3x+l)+f(2x—6)W3即f［(3x+l)(2x—6)］&F(64)①

由于F(x)在(0,+8)上是增函數，所以①等價于不等式組：

3x+l2x—6>0,f3x+l2x—6VO,

或《

3x+l2jr-6W64,一［一3x+l2x—6W64.

一1

入〉3或入〈一可,1

o—~<x<3,

o

7

一鼻WxW5,x￡R,

o

、71、1

所以3VxW5或一^WxV一鼻或一w〈xV3.

ooo

711

故X的取值范圍為{x|—^WxV一鼻或一可VxV3或3VxW5}.

ooo

18.在區間。上，假如函數Hx）為增函數,而函數會⑸為減函數,則稱函數Hx）

為“弱增函數”，已知函數f（x）=l一而\

⑴判斷函數/?（十）在區間（0,1]上是否為“弱增函數”；

（2）設石，蒞?[0,+8）,且荀中在，證明：1￡（荀）一F（X2）IV'IXLEI;

⑶當xG[0,1]時，不等式l-a啟-^^Wl—，x恒成立，求實數a,6的取值

中+x

范圍.

解析⑴顯然七）在區間（。，1）上為增函數，由于會）一

1y/1+x—