準考證號：姓名：（在此卷上答題無效）2023~2024學年第二學期福建省部分學校教學聯盟高一年級開學質量監測數學試卷（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）請將所有答案填寫到答題卡的相應位置上！請不要錯位、越界答題！一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合N的元素，根據集合的交集運算即可求得答案.【詳解】由題意得，故，故選：D2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數值計算即可.【詳解】.故選：A3.已知，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接由作差法逐一判斷即可.【詳解】對于A，由題意，即，故A錯誤；對于B，由題意，即，故B錯誤；對于C，由題意，即，故C正確；對于D，由題意，即，故D錯誤.故選：C.4.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關.黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的（）A.必要條件 B.充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據逆否命題的等價性，結合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.【詳解】由題意“不破樓蘭終不還”只可知，“返回家鄉”則可推出“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉”必要條件，故選：A.5.已知命題.若為假命題，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先得到為真命題，從而根據根的判別式列出不等式，求出答案.【詳解】為真命題，即，解得：，故實數的取值范圍是.故選：B6.函數的圖象大致為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據函數奇偶性、特殊點的函數值確定正確答案.【詳解】的定義域為，，所以是奇函數，圖象關于原點對稱，排除BD選項.，排除A選項.所以正確的為C選項.故選：C7.“學如逆水行舟，不進則退心似平原跑馬，易放難收”，增廣賢文是勉勵人們專心學習的如果每天的“進步”率都是，那么一年后是如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“進步”的是“落后”的倍現假設每天的“進步”率和“落后”率都是，要使“進步”的是“落后”的倍，則大約需要經過參考數據：，（）A.天 B.天 C.天 D.天【答案】B【解析】【分析】依題意得，利用對數的運算性質即可求解.【詳解】經過天后，“進步”的是“落后”的比，所以，兩邊取以10為底的對數得，解得.要使“進步”的是“落后”的倍，則大約需要經過11天.故選：B8.中國最早的天文觀測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺是西周初年在陽城建立的周公測景（影）臺．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了漢代，使用圭表有了規范，規定“表”為八尺長（1尺=10寸）．用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節的變化，也能用于丈量土地．同一日內，南北兩地的日影長短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差千里”．記“表”的頂部為，太陽光線通過頂部投影到“圭”上的點為．同一日內，甲地日影長是乙地日影長的，記甲地中直線與地面所成的角為，且．則甲、乙兩地之間的距離約為（）A.10千里 B.12千里 C.14千里 D.16千里【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，求出甲地、乙地的日影長，即可計算甲、乙兩地的距離作答.【詳解】依題意，甲地中線段AB的長為寸，則甲地的日影長為寸，于是乙地的日影長為寸，甲、乙兩地的日影長相差12寸，所以甲、乙兩地之間的距離是12千里.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.函數的部分圖象如圖，則（）A.是函數的一條對稱軸 B.是函數的一條對稱軸C. D.【答案】ABD【解析】【分析】點是函數圖象的對稱中心，且在函數的一個單調增區間內，則，令函數周期為T，由圖象知，由，得函數圖象的對稱軸：，，據此分析即可.【詳解】依題意，點是函數的圖象對稱中心，且在函數的一個單調增區間內，則，，即，，令函數周期為T，由圖象知，即有，而，則有，因此，，解得，而，則，，，故C錯誤D正確；由，得函數圖象的對稱軸：，，當時，，當時，，故AB正確.故選：ABD．10.已知函數，的定義域均為R，且，．若是的對稱軸，且，則下列結論正確的是（）A.是奇函數 B.是的對稱中心C.2是的周期 D.【答案】BD【解析】【分析】根據對稱性和已知條件得到，判斷A；結合已知條件變形得到，判斷B；利用賦值法求得，判斷C；根據條件得到的周期為4，對稱中心為，從而得到函數值即可求解，判斷D.【詳解】對于A，因為是的對稱軸，所以，又因為，所以，故，即為偶函數，故A錯誤；對于B，因為，所以，又因為，聯立得，所以的圖像關于點中心對稱，故B正確；對于C，因為，，則，即；因為，則，即，則；顯然，所以2不是的周期，故C錯誤；對于D，因為是的對稱軸，所以，又因為，即，則，所以，所以，即，所以周期為4，因為周期為4，對稱中心為，所以，當時，代入，即，所以，所以，又是的對稱軸，所以，所以，故D正確，故選：BD.11.波恩哈德·黎曼（～）是德國著名的數學家.他在數學分析、微分幾何方面作出過重要貢獻，開創了黎曼幾何，并給后來的廣義相對論提供了數學基礎.他提出了著名的黎曼函數，該函數的定義域為，其解析式為：，下列關于黎曼函數的說法正確的是（）A. B.C. D.關于的不等式的解集為【答案】AB【解析】【分析】根據黎曼函數的定義域分類對函數進行分析，再對每一個選項逐一分析判斷，即可求出結果.【詳解】對于選項A，當時，，當時，，而，當時，，若是無理數，則是無理數，有，若是有理數，則是有理數，當（為正整數，為最簡真分數），則（為正整數，為最簡真分數），此時，綜上，時，所以選項A正確，對于選項B，當和無理數時，，顯然有，當是正整數，是最簡真分數時，，，故，當時，，有當時，，，有當為無理數，時，，有綜上，所以選項B正確；對于選項C，取，則，而，所以選項C錯誤，對于選項D，若或或內的無理數，此時，顯然不成立，當（為正整數，互質），由，得到，整理得到，又為正整數，互質，所以或均滿足，所以可以取或，所以選項D錯誤，故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知全集，，，指出Venn圖中陰影部分表示的集合是______..【答案】【解析】【分析】根據集合運算求得，可得，結合Venn圖中陰影部分表示的集合為，即可得答案.【詳解】由于全集，，，故，則，故Venn圖中陰影部分表示的集合為，故答案為：13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】根據倍角公式即的取值范圍從而可求解.【詳解】由題意知，，所以，所以，，所以．故答案為：.14.已知函數，若，則關于的不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】計算出，函數關于點中心對稱，得到有唯一的解，求出函數的單調性，結合題目條件得到，進而得到分段函數解析式，計算出，故，結合函數單調性得到不等式.【詳解】由題意，得，，所以，即函數關于點中心對稱．因為恒成立，所以當時，，當時，．所以有唯一的解．，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞增，又，，故在R上單調遞增，，由對稱性可知，下面證明，過程如下：若時，則，且，則，，，此時，同理可得當時，，當，即時，，，滿足，即．故，當時，，當時，令，解得，當時，，又不等式，所以．由，得．由，得．所以原不等式的解集為．故答案為：【點睛】函數的對稱性：若，則函數關于中心對稱，若，則函數關于對稱四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數的圖象經過點．（1）求的值，判斷的單調性并說明理由；（2）若存在，不等式成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）；是上的單調遞增函數，理由見解析；（2）,【解析】【分析】（1）由函數經過點求的值，得到的解析式，用定義法證明函數的單調性；（2）根據函數的奇偶性和單調性，不等式轉化為在,上有解，利用參數分離法結合基本不等式可求出實數的取值范圍．【小問1詳解】函數經過點，所以，解得，即，，則是上的單調遞增函數，理由如下：任取、x2∈R，且，則，則，所以，即，所以是定義域上的單調遞增函數．【小問2詳解】因為，故是奇函數且在上單調遞增，則不等式等價于，所以，即，即存在,不等式有解，即在,上有解，由,，可得，由對勾函數性質易知：在單調遞減，在單調遞增，且，故在的最大值為，所以，即所以，即實數的取值范圍是,．16.杭州，作為2023年亞洲運動會的舉辦城市，以其先進的科技和創新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“機器狗”在田徑賽場上運送鐵餅等，迅速成為了全場的焦點.已知購買臺“機器狗”的總成本為.（1）若使每臺“機器狗”的平均成本最低，問應買多少臺?（2）現安排標明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3臺“機器狗”在同一場次運送鐵餅，且運送的距離都是120米.3臺“機器狗”所用時間（單位:秒）分別為，，.“汪1”有一半的時間以速度（單位:米/秒）奔跑，另一半的時間以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且則哪臺機器狗用的時間最少?請說明理由.【答案】（1）（2）“汪1”用的時間最少，理由見解析【解析】【分析】（1）平均成本為，利用比較不等式，即可求解函數的最值；（2）利用速度，時間和路程的關系，分別求解，，，再根據不等式，比較時間大小，即可求解.【小問1詳解】由題意，購買臺“機器狗”的總成本為，則每臺機器狗的平均成本為，當且僅當時，即時，等號成立，所以，若使每臺“機器狗”的平均成本最低，應買臺.【小問2詳解】由題意，“汪1”滿足，可得，“汪2”滿足，可得，“汪3”滿足，，，所以，因為，，且，所以可得，則，所以，所以“汪1”用的時間最少.17.筒車（chinesenoria）亦稱“水轉筒車”.一種以水流作動力，取水灌田的工具.據史料記載，筒車發明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史．這種靠水力自動的古老筒車，在家鄉郁郁蔥蔥的山間、溪流間構成了一幅幅遠古的田園春色圖．水轉筒車是利用水力轉動的筒車，必須架設在水流湍急的岸邊．水激輪轉，浸在水中的小筒裝滿了水帶到高處，筒口向下，水即自筒中傾瀉入輪旁的水槽而匯流入田．某鄉間有一筒車，其最高點到水面的距離為，筒車直徑為，設置有8個盛水筒，均勻分布在筒車轉輪上，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉一周需要，如圖，盛水筒A（視為質點）的初始位置距水面的距離為．（1）盛水筒A經過后距離水面的高度為h（單位：m），求筒車轉動一周的過程中，h關于t的函數的解析式；（2）盛水筒B（視為質點）與盛水筒A相鄰，設盛水筒B在盛水筒A的順時針方向相鄰處，求盛水筒B與盛水筒A的高度差的最大值（結果用含的代數式表示），及此時對應的t．（參考公式：，）【答案】（1）（2），或．【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標系，設，，根據題意求出得到函數的解析式；

（2）由，求出高度差，再利用已知條件給出的參考公式進行化簡變形，利用三角函數的有界性進行分析求解即可．【小問1詳解】以簡車轉輪的中心O為原點，與水面平行的直線為x軸建立平面直角坐標系，設，，由題意知，，，∴，，即，當時，，解得，結合圖像初始位置可知，又因為，所以，綜上．【小問2詳解】經過后A距離水面的高度，由題意知，所以經過后B距離水面的高度，則盛水筒B與盛水筒A的高度差為，利用，，當，即時，H取最大值，又因為，所以當或時，H取最大值，綜上，盛水筒B與盛水筒A的高度差的最大值約為，此時或．18.某藥品可用于治療某種疾病，經檢測知每注射tml藥品，從注射時間起血藥濃度y（單位：ug/ml）與藥品在體內時間（單位：小時）的關系如下：當血藥濃度不低于時才能起到有效治療的作用，每次注射藥品不超過．（1）若注射藥品，求藥品的有效治療時間；（2）若多次注射，則某一時刻體內血藥濃度為每次注射后相應時刻血藥濃度之和．已知病人第一次注射1ml藥品，12小時之后又注射aml藥品，要使隨后的6小時內藥品能夠持續有效消療，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由血藥濃度與藥品在體內時間的關系，計算血藥濃度不低于時對應的時間段；（2）由兩次注射血藥濃度之和不低于，利用基本不等式求的最小值．【小問1詳解】注射該藥品，其濃度為當時，，解得；當時，，解得．所以一次注射該藥品，則藥物有效時間可達小時．【小問2詳解】設從第一次注射起，經小時后，其濃度，則，因，當時，即時，等號成立．，當時，，所以，因為，解得，所以．當時，，，所以不能保證持續有效，答：要使隨后的6小時內藥品能夠持續有效治療，的最小值為．【點睛】方法點睛：分段函數模型的應用：在現實生活中，很多問題的兩變是之間的關系，不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成分段函數，分段函數模型適用于描述在不同區間上函數值的變化情況，分段函數主要是每一段上自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規